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Leibnitz Test for Alternating Series

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1 1.एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण (Leibnitz Test for Alternating Series),निरपेक्ष अभिसरण (Absolute Convergence):

1.एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण (Leibnitz Test for Alternating Series),निरपेक्ष अभिसरण (Absolute Convergence):

एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण (Leibnitz Test for Alternating Series),निरपेक्ष अभिसरण तथा सापेक्ष अथवा सह प्रतिबन्ध अभिसरण के बारे में इस आर्टिकल में अध्ययन करेंगे।
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2.एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Leibnitz Test for Alternating Series):

Example:1.सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित श्रेणियाँ निरपेक्ष अभिसारी है:
(Prove that the following series are absolutely convergence):
Example:1(i). 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots \cdots
Solution: 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots \cdots
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma (-1)^{n-1} u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1}{2^{n-1}} तथा u_{n+1}=\frac{1}{2^n} \\ u_n-u_{n+1}=\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^n}>0, \forall n \in N
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_{n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{2^{n-1}}=0
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
पुन: \Sigma\left|u_n\right|=\sum\left|\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}\right|=\sum \frac{1}{2^{n-1}}
चूँकि \left|u_n\right| एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका सार्वअनुपात \frac{1}{2}<1 ; इसलिए अभिसारी है।
अतः दी हुई श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी है।
Example:1(ii). \frac{1}{1 \cdot 2} -\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{5 \cdot 6}-\frac{1}{7 \cdot 8}+\cdots
Solution: \frac{1}{1 \cdot 2} -\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{5 \cdot 6}-\frac{1}{7 \cdot 8}+\cdots
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma (-1)^{n-1} u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1}{(2 n-1)(2 n)} तथा u_{n+1}=\frac{1}{(2 n+1)(2 n+2)} \\ u_n-u_{n+1} =\frac{1}{(2 n-1)(2n)}-\frac{1}{(2 n+1)(2 n+2)} \\ =\frac{(2 n+1)(2 n+2)-(2 n-1)(2 n)}{(2 n-1)(2 n)(2 n+1)(2 n+2)} \\ =\frac{4 n^2+4 n+2 n+2-4 n^2+2 n}{(2 n-1)(2 n)(2 n+1)(2 n+2)} \\ =\frac{8 n+2}{(2 n-1)(2 n)(2 n+1)(2 n+2)}>0 \\ u_n-u_{n+1}=\frac{8 n+2}{(2 n-1)(2 n)(2 n+1)(2 n+2)}>0 ,\forall n \in N
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{(2 n-1)(2 n)}=0
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
पुन: \Sigma \left|u_n\right|=\sum \left|\frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1)(2 n)}\right|=\sum \frac{1}{(2 n-1) 2 n}
मान लो सहायक श्रेणी \Sigma V_{n} है,जहाँ

v_n=\frac{1}{n^2}
अब \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{v_n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{(2 n-1)(2 n)}}{\frac{1}{n^2}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{2 n^2(2-\frac{1}{n})}}{\frac{1}{n^2}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{2\left(2-\frac{1}{n}\right)} =\frac{1}{4} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{v_n}=\frac{1}{4} (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \left|u_n\right| तथा \Sigma v_{n} दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होगी,परन्तु \Sigma v_{n} अभिसारी है क्योंकि p=2>1 अतः \left|u_n\right| भी अभिसारी है।
तथा दोनों अभिसारी है अतः दी हुई श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी है।
Example:1(iii). 1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\cdots
Solution: 1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\cdots \cdots
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma (-1)^{n-1} u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1}{n^2} तथा u_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^2} \\ u_n-u_{n+1}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2} \\ =\frac{n^2+2 n+1-n^2}{n^2(n+1)^2} \\ \Rightarrow u_n-u_{n+1}=\frac{2 n+1}{n^2(n+1)^2}>0, \forall n \in N
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{n^2}=0
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
पुन: \sum \left|u_n\right| =\sum\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\right| \\ \Sigma\left|u_n\right| =\sum \frac{1}{n^2}
जो कि अभिसारी है क्योंकि यह \frac{1}{n^p} रूप की श्रेणी है तथा यहाँ p=2>1 है।
\Sigma u_n तथा \Sigma \left|u_n\right| दोनों अभिसारी है अतः दी हुई श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी है।
Example:1(iv). 1-\frac{1}{2 \sqrt{2}}+\frac{1}{3 \sqrt{3}}-\frac{1}{4 \sqrt{4}}+\cdots
Solution: 1-\frac{1}{2 \sqrt{2}}+\frac{1}{3 \sqrt{3}}-\frac{1}{4 \sqrt{4}}+\cdots
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma (-1)^{n-1} u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1}{n \sqrt{n}}  तथा u_{n+1}=\frac{1}{(n+1) \sqrt{n+1}} \\ u_n-u_{n+1}=\frac{1}{n \sqrt{n}}-\frac{1}{(n+1) \sqrt{n+1}} \\ \Rightarrow u_n-u_{n+1}=\frac{(n+1) \sqrt{n+1}-n \sqrt{n}}{n(n+1) \sqrt{n} \sqrt{n+1}}>0, \forall n \in N
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{n \sqrt{n}}=0
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
पुन: \sum|u_{n}| =\sum\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n \sqrt{n}}\right| \\ \Rightarrow \Sigma\left|u_n\right| =\sum \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}
जो कि अभिसारी है क्योंकि यह \frac{1}{n^p} रूप की श्रेणी है तथा यहाँ है।
\Sigma u_n तथा \Sigma \left|u_n\right| दोनों अभिसारी है अतः दी हुई श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी है।
Example:2.सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित श्रेणियाँ सहप्रतिबन्ध अभिसारी है:
(Prove that the following series are conditionally convergence):
Example:2(i). \Sigma(-1)^n\left\{\sqrt{\left(n^2+1\right)}-n\right\}
Solution: \Sigma(-1)^n\left\{\sqrt{\left(n^2+1\right)}-n\right\} \\ (\sqrt{n^2+1}-n) \times \frac{\sqrt{n^2+1}+n}{\sqrt{n^2+1}+n} \\ =\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n} \\ \frac{\sum \left(-1\right)^n}{\sqrt{n^2+1}+n}
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma (-1)^{n-1} u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n} तथा u_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{(n+1)^2+1}+n+1} \\ u_n-u_{n+1}-\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}-\frac{1}{\sqrt{(n+1)^2+1}+n+1} \\ =\frac{\sqrt{(n+1)^2+1}+n+1-\sqrt{n^2+1}-n}{\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)\left(\sqrt{(n+1)^2+1}+n+1\right)} \\ \Rightarrow u_n-u_{n+1}= \frac{\sqrt{(n+1)^2+1}+1-\sqrt{n^2+1}}{\left(\sqrt{\left(n^2+1\right)}+n\right) \left(\sqrt{(n+1)^2+1}+n+1\right)}>0, n \in N
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}=0
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
पुन: \Sigma |u_{n}|=\sum\left|\frac{(-)^n}{\sqrt{n^2+1}+n}\right| \\ \Sigma |u_{n}|=\sum \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}
मान लो सहायक श्रेणी है,जहाँ

v_{n}=\frac{1}{n}
अब \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{v_n} =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}}{\frac{1}{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{n\left(\sqrt{1+ \frac{1}{n^2}}+1\right)} \times \frac{n}{1} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{|u_n|}{v_n}-\frac{1}{2} (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma \left|u_n\right| तथा \Sigma v_{n} दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होगी,परन्तु \Sigma v_{n} अपसारी है क्योंकि p=1\leq 1 अतः \Sigma \left|u_n\right| भी अपसारी है।
\Sigma u_{n} अभिसारी है तथा \Sigma \left|u_n\right| अपसारी है अतः दी हुई श्रेणी सह प्रतिबन्ध अभिसारी है।
Example:2(iii). \Sigma(-1)^n \sin \left(\frac{1}{n}\right)
Solution: \Sigma(-1)^n \sin \left(\frac{1}{n}\right)
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma (-1)^{n-1} u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\sin \frac{1}{n} तथा u_{n+1}=\sin \frac{1}{n+1} \\ u_n-u_n+1=\sin \left(\frac{1}{n}\right)-\sin \left(\frac{1}{n+1}\right)>0 \quad \forall n \in N
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \sin \frac{1}{n}=0
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
पुन: \Sigma\left|u_n\right|=\sum\left|\frac{\left(-1\right)^{n}}{1} \sin \left(\frac{1}{n}\right)\right| \\ \Rightarrow \Sigma \left|u_n\right|=\sin \frac{1}{n} \\ \Rightarrow \Sigma \left|u_n\right|=\frac{1}{n}-\frac{1}{3 !} \cdot \frac{1}{n^3}+\frac{1}{5 !} \cdot \frac{1}{n^5}+\cdots \\ \Rightarrow \Sigma \left|u_n\right|=\frac{1}{n}\left[1-\frac{1}{3 !} \cdot \frac{1}{n^2}+\frac{1}{5 !} \cdot \frac{1}{n^4}-\cdots\right]
मान लो सहायक श्रेणी \Sigma v_{n} है,जहाँ

v_n=\frac{1}{n}
अब \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{v_n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{n}\left[1-\frac{1}{3!} \cdot \frac{1}{n^2}+\frac{1}{5!} \cdot \frac{1}{n^4}+\cdots\right]}{\frac{1}{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-\frac{1}{3 !} \cdot \frac{1}{n^2}+\frac{1}{5 !} \cdot \frac{1}{n^4} \cdots\right) \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{v_n}=1 (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma \left|u_n\right| तथा \Sigma v_{n} दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होगी,परन्तु \Sigma v_{n} अपसारी है क्योंकि p= 1 \leq 1 अतः \Sigma \left|u_n\right| भी अपसारी है।
\Sigma u_n अभिसारी है तथा \left|u_n\right| अपसारी है अतः दी हुई श्रेणी सह प्रतिबन्ध अभिसारी है।
Example:2(iv). \sum \frac{(-1)^{n-1}}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2}
Solution: \sum \frac{(-1)^{n-1}}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2}
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma (-1)^{n-1} u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2}  तथा u_{n+1}=\frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{a})^2} \\ u_n-u_{n+1}=\frac{1}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2}-\frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{a})^2} \\ =\frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{a})^2-(\sqrt{n}+ \sqrt{a})^2} {(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2(\sqrt{n+1}+\sqrt{a})^2} \\ =\frac{n+1+a+2 \sqrt{n+1} \sqrt{a}-n-a-2 \sqrt{n a}}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2(\sqrt{n+1}+\sqrt{a})^2} \\ \Rightarrow u_n-u_{n+1}=\frac{2 \sqrt{n+1} \sqrt{a}+1-2 \sqrt{n a}}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2(\sqrt{n+1}+\sqrt{a})^2}>0, \forall n \in N
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2}=0
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
पुन: \Sigma\left|u_n\right| =\left|\frac{(-1)^{n-1}}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2}\right| \\ \Rightarrow \Sigma\left|u_n\right| =\frac{1}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{a}\right)^2}
मान लो सहायक श्रेणी है,जहाँ

v_n=\frac{1}{n}
अब \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{v_n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2}}{\frac{1}{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{n(1+\sqrt{\frac{a}{n}})^2}}{\frac{1}{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{\left(1+\sqrt{\frac{a}{n}}\right)^2} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{v_n}=1 
(अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma \left|u_n\right| तथा  \Sigma v_{n} दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होगी,परन्तु \Sigma v_{n} अपसारी है क्योंकि p=1\leq 1 अतः \Sigma \left|u_n\right| भी अपसारी है।
\Sigma u_{n} अभिसारी है तथा \Sigma \left|u_n\right| अपसारी है अतः दी हुई श्रेणी सह प्रतिबन्ध अभिसारी है।

Example:3.निम्न श्रेणी के अभिसरण तथा निरपेक्ष अभिसरण के लिए विवेचन कीजिए:
(Discuss convergence and absolute convergence of the following series):
Example:3(i). 1-2 x+3 x^2-4 x^3+\cdots 
Solution: 1-2 x+3 x^2-4 x^3+\cdots 
माना \Sigma u_n=1-2 x+3 x^2-4 x^3+\cdots \\ u_n=n x^{n-1}  तथा u_{n+1}=(n+1) x^n \\ \frac{\left|u_n\right|}{\left|u_{n+1}\right|}=\left|\frac{u_n}{u_{n+1}}\right| \\ =\left| \frac{n x^{n-1}}{(n+1) x^n} \right|\\ =\frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{|x|} \\ =\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \cdot \frac{1}{|x|} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{\left|u_{n+1}\right|}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} \cdot \frac{1}{|x|} \\ =\frac{1}{|x|} 
अतः तुलना परीक्षण से अभिसारी होगी यदि \frac{1}{|x|}>1  अर्थात् |x|<1 अतः यदि हो तो दी हुई श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी होगी।निरपेक्ष अभिसारी हमेशा अभिसारी होती है फलतः \Sigma u_{n} अभिसारी है।
Example:3(ii). \frac{1}{a}-\frac{1}{a+x}+\frac{1}{a+2 x}-\frac{1}{a+3 x}+\cdots 
Solution: \frac{1}{a}-\frac{1}{a+x}+\frac{1}{a+2 x}-\frac{1}{a+3 x}+\cdots \\ \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}(-1)^{n-1} u_n=\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} (-1)^{n-1} \frac{1}{a+(n-1) x} 
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1}{a+(n-1) x}  तथा u_{n+1}=\frac{1}{a+n x} \\ u_n-u_{n+1}=\frac{1}{a+(n-1) x}-\frac{1}{a+n x} \\ =\frac{a+nx-a-n x+x}{[a+(n-1) x](a+n x)} \\ \Rightarrow u_n-u_{n+1}=\frac{x}{[a+(n-1) x](a+n x)}>0, \forall n \in N 
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{a+(n-1) x} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=0 
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
पुन: \Sigma |u_{n}| =\left|\frac{(-1)^{n-1}}{a+(n-1) x}\right|=\frac{1}{a+(n-1)|x|} \\ \frac{\left|u_n\right|}{\left|u_{n+1}\right|}=\left| \frac{u_{n}}{u_{n+1}} \right| \\ =\frac{\frac{1}{a+(n-1) |x|}}{\frac{1}{a+n|x|}} \\ =\frac{a+n|x|}{a+(n-1)|x|} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{\left|u_{n+1}\right|} =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{a}{n}+|x|}{\frac{a}{n}-\frac{|x|}{n}+|x|} \\ \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|u_n\right|}{\left|u_{n+1}\right|}=1 
अतः दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
पुन: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \left|\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right|=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{a+n|x|}{a+(n-1)|x|}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{a+n|x|-a-n|x|+|x|}{a+(n-1)|x|}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n|x|}{a+(n-1)|x|} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n|x|}{n\left[\frac{a}{n}-\frac{|x|}{n}+|x|\right]} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \left|\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right|=1  
अतः राबी परीक्षण भी असफल रहता है।
पुन: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[n \left|\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right|-1\right] \log n= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{n|x|}{a+(n-1)|x|}\right] \log n \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{n|x|-a-n|x|+|x|}{a+(n-1)|x|}\right] \log n \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{-a+|x|}{\frac{a}{n}+|x|-\frac{|x|}{n}}\right] \frac{\log n}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[n \left|\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right|-1\right] \log n=0<1\left[\because \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\log n}{n}=0 \right] 
अतः डी’ मार्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण से दी हुई श्रेणी अपसारी है।
\Sigma u_n अभिसारी है तथा \Sigma \left|u_n\right|  अपसारी है अतः दी हुई श्रेणी सह प्रतिबन्ध अभिसारी है।
Example:4.निम्नलिखित श्रेणी के अभिसरण की जाँच कीजिए:
(Test for the convergence of the following series):

\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}(-1)^n\left[\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}{n}\right] 
Solution: \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}(-1)^n\left[\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+ \frac{1}{n}}{n}\right] 
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}{n}  तथा u_{n+1}= \frac{1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1}}{n+1} \\ u_n-u_{n+1}=\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}}{n}-\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1}}{n+1} \\ =\frac{(n+1)\left[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right]-n\left[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1}\right]}{n(n+1)} \\ =\frac{-\frac{n}{n+1}+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}{n(n+1)} \\ =\frac{-\left[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}+\cdots+n \text{}\right]+\left[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right]}{n(n+1)} \\ = \frac{\left[1-\frac{1}{n+1}\right]+\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}\right]+\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}\right]+\cdots+\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right]}{n(n+1)} >0 \forall n \in N \\ \Rightarrow u_n-u_{n+1}>0, \forall n \in N 
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}{n}=0 
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण (Leibnitz Test for Alternating Series),निरपेक्ष अभिसरण (Absolute Convergence) को समझ सकते हैं।

3.एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण के सवाल (Leibnitz Test for Alternating Series Questions):

(1.)सिद्ध करो कि श्रेणी \frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+ \cdots  सहप्रतिबन्ध अभिसारी है।
(Show that the series \frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+ \cdots  is conditionally convergent.)
(2.)श्रेणी के अभिसरण तथा निरपेक्ष अभिसरण का परीक्षण कीजिए।
(Examine the convergence and absolute convergence of the series)

\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} \frac{(-1)^{n+1} n}{n^2+1} 
उत्तर (Answer):(2.)सहप्रतिबन्ध अभिसारी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण (Leibnitz Test for Alternating Series),निरपेक्ष अभिसरण (Absolute Convergence) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण (Frequently Asked Questions Related to Leibnitz Test for Alternating Series),निरपेक्ष अभिसरण (Absolute Convergence) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.एकान्तर श्रेणी किसे कहते हैं? (What is Alternating Series?):

उत्तर:वह श्रेणी जिसके पद एकान्तरतः धन तथा ऋण चिन्ह के होते हैं,उसे एकान्तर श्रेणी कहते हैं।इसका रूप निम्न होता है:
u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots+ (-1)^n u_{n}= \Sigma (-1)^{n-1} u_{n} 
जहाँ u_n > 0,\forall n \in N 

प्रश्न:2.निरपेक्ष अभिसरण से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Absolute Convergence?):

उत्तर:श्रेणी \Sigma u_{n}  जिसके पद धनात्मक एवं ऋणात्मक है,निरपेक्ष अभिसारी (Absolute Convergence) कहलाती है,यदि \Sigma u_{n}  तथा \Sigma \left| u_{n} \right|  दोनों अभिसारी हैं,जहाँ
यदि u_{n}  धनात्मक, तो \left| u_{n} \right|=u_{n}  तथा
यदि u_{n}  ऋणात्मक,\left| u_{n} \right|=-u_{n}  तो

प्रश्न:3.एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज परीक्षण को स्थापित करो। (Establish Leibnitz Test for Alternating Series):

उत्तर:प्रमेय (Theorem):एकान्तर श्रेणी u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots+(-1)^{n-1} u_n+\cdots \left( u_n > 0,\forall n \in N \right)  अभिसारी होगी यदि प्रत्येक पद संख्यात्मक मान में पूर्वगामी पद से छोटा है अर्थात् u_n> u_{n+1} \forall n  तथा \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_{n}=0 
(The alternating series u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots+(-1)^{n-1} u_n+\cdots \left( u_n > 0,\forall n \in N \right)  converges of each term is numerically less than the preceding term u_n> u_{n+1} \forall n  and \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_{n}=0 )
उपपत्ति (Proof):सर्वप्रथम हम सिद्ध करेंगे कि एकदिष्ट वर्धमान अनुक्रम है।यहाँ
S_{2n}=u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots+u_{2 n-1}-u_{2 n} \cdots(1) 
तथा S_{2 n+2}=u_1-u_2+u_3-u_{4}+\cdots+u_{2 n-1}-u_{2 n}+u_{2n+1}-u_{2 n+2} \\ \Rightarrow S_{2 n+2}-S_{2 n} \geq 0 \left[ \because u_{n-1}>u_{n}, \forall n \in N \right] \cdots(2)\\ \Rightarrow \left\{ S_{2n} \right\} 
एकदिष्ट वर्धमान अनुक्रम है।
पुन: (1) को हम निम्न प्रकार से भी लिख सकते हैं
S_{2n}=u_1-\left(u_2-u_3\right)-\left(u_4-u_5\right) \ldots-u_{2 n} \\ \Rightarrow S_{2n} =u_1  (एक धनात्मक राशि)
\Rightarrow S_{2 n} \leq u_1 \cdot \forall n \in N \\ \Rightarrow \left\{ S_{2n} \right\}  ऊपर से परिबद्ध है।
(2) एवं (3) \Rightarrow \left\{ S_{2n} \right\}  अभिसारी है।माना कि \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_{2 n}=\xi  है।…..(4)
अब हम सिद्ध करेंगे कि \left\{ S_{2n} \right\}  एवं  \left\{ S_{2n+1} \right\}  एक ही सीमा \xi  की ओर प्रवृत्त होती है।
\therefore S_{2 n+1}=S_{2 n}+u_{2 n+1} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_{2 n+1}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_{2n} +\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_{2n+1} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_{2 n+1}=\xi \left [ \because \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_{n}=0 \right ] \cdots(5) 
(4) और (5)
\Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_{2 n+1}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_{2 n}= \xi 
अत: n चाहे सम हो या विषम, एक परिमित सीमा की ओर प्रवृत्त है।अतः श्रेणी अभिसारी है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण (Leibnitz Test for Alternating Series),निरपेक्ष अभिसरण (Absolute Convergence) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Leibnitz Test for Alternating Series

एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण
(Leibnitz Test for Alternating Series)

Leibnitz Test for Alternating Series

एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण (Leibnitz Test for Alternating Series),निरपेक्ष
अभिसरण तथा सापेक्ष अथवा सह प्रतिबन्ध अभिसरण के बारे में इस आर्टिकल में अध्ययन करेंगे।

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