1.एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण (Leibnitz Test for Alternating Series),निरपेक्ष अभिसरण (Absolute Convergence):

Leibnitz Test for Alternating Series

एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण (Leibnitz Test for Alternating Series),निरपेक्ष अभिसरण तथा सापेक्ष अथवा सह प्रतिबन्ध अभिसरण के बारे में इस आर्टिकल में अध्ययन करेंगे।
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2.एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Leibnitz Test for Alternating Series):

Example:1.सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित श्रेणियाँ निरपेक्ष अभिसारी है:
(Prove that the following series are absolutely convergence):
Example:1(i). 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots \cdots
Solution: 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots \cdots
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma (-1)^{n-1} u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1}{2^{n-1}} तथा u_{n+1}=\frac{1}{2^n} \\ u_n-u_{n+1}=\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^n}>0, \forall n \in N
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_{n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{2^{n-1}}=0
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
पुन: \Sigma\left|u_n\right|=\sum\left|\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}\right|=\sum \frac{1}{2^{n-1}}
चूँकि \left|u_n\right| एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका सार्वअनुपात \frac{1}{2}<1 ; इसलिए अभिसारी है।
अतः दी हुई श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी है।
Example:1(ii). \frac{1}{1 \cdot 2} -\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{5 \cdot 6}-\frac{1}{7 \cdot 8}+\cdots
Solution: \frac{1}{1 \cdot 2} -\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{5 \cdot 6}-\frac{1}{7 \cdot 8}+\cdots
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma (-1)^{n-1} u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1}{(2 n-1)(2 n)} तथा u_{n+1}=\frac{1}{(2 n+1)(2 n+2)} \\ u_n-u_{n+1} =\frac{1}{(2 n-1)(2n)}-\frac{1}{(2 n+1)(2 n+2)} \\ =\frac{(2 n+1)(2 n+2)-(2 n-1)(2 n)}{(2 n-1)(2 n)(2 n+1)(2 n+2)} \\ =\frac{4 n^2+4 n+2 n+2-4 n^2+2 n}{(2 n-1)(2 n)(2 n+1)(2 n+2)} \\ =\frac{8 n+2}{(2 n-1)(2 n)(2 n+1)(2 n+2)}>0 \\ u_n-u_{n+1}=\frac{8 n+2}{(2 n-1)(2 n)(2 n+1)(2 n+2)}>0 ,\forall n \in N
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{(2 n-1)(2 n)}=0
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
पुन: \Sigma \left|u_n\right|=\sum \left|\frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1)(2 n)}\right|=\sum \frac{1}{(2 n-1) 2 n}
मान लो सहायक श्रेणी \Sigma V_{n} है,जहाँ

v_n=\frac{1}{n^2}
अब \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{v_n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{(2 n-1)(2 n)}}{\frac{1}{n^2}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{2 n^2(2-\frac{1}{n})}}{\frac{1}{n^2}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{2\left(2-\frac{1}{n}\right)} =\frac{1}{4} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{v_n}=\frac{1}{4} (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \left|u_n\right| तथा \Sigma v_{n} दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होगी,परन्तु \Sigma v_{n} अभिसारी है क्योंकि p=2>1 अतः \left|u_n\right| भी अभिसारी है।
तथा दोनों अभिसारी है अतः दी हुई श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी है।
Example:1(iii). 1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\cdots
Solution: 1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\cdots \cdots
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma (-1)^{n-1} u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1}{n^2} तथा u_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^2} \\ u_n-u_{n+1}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2} \\ =\frac{n^2+2 n+1-n^2}{n^2(n+1)^2} \\ \Rightarrow u_n-u_{n+1}=\frac{2 n+1}{n^2(n+1)^2}>0, \forall n \in N
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{n^2}=0
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
पुन: \sum \left|u_n\right| =\sum\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\right| \\ \Sigma\left|u_n\right| =\sum \frac{1}{n^2}
जो कि अभिसारी है क्योंकि यह \frac{1}{n^p} रूप की श्रेणी है तथा यहाँ p=2>1 है।
\Sigma u_n तथा \Sigma \left|u_n\right| दोनों अभिसारी है अतः दी हुई श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी है।
Example:1(iv). 1-\frac{1}{2 \sqrt{2}}+\frac{1}{3 \sqrt{3}}-\frac{1}{4 \sqrt{4}}+\cdots
Solution: 1-\frac{1}{2 \sqrt{2}}+\frac{1}{3 \sqrt{3}}-\frac{1}{4 \sqrt{4}}+\cdots
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma (-1)^{n-1} u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1}{n \sqrt{n}}  तथा u_{n+1}=\frac{1}{(n+1) \sqrt{n+1}} \\ u_n-u_{n+1}=\frac{1}{n \sqrt{n}}-\frac{1}{(n+1) \sqrt{n+1}} \\ \Rightarrow u_n-u_{n+1}=\frac{(n+1) \sqrt{n+1}-n \sqrt{n}}{n(n+1) \sqrt{n} \sqrt{n+1}}>0, \forall n \in N
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{n \sqrt{n}}=0
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
पुन: \sum|u_{n}| =\sum\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n \sqrt{n}}\right| \\ \Rightarrow \Sigma\left|u_n\right| =\sum \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}
जो कि अभिसारी है क्योंकि यह \frac{1}{n^p} रूप की श्रेणी है तथा यहाँ है।
\Sigma u_n तथा \Sigma \left|u_n\right| दोनों अभिसारी है अतः दी हुई श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी है।
Example:2.सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित श्रेणियाँ सहप्रतिबन्ध अभिसारी है:
(Prove that the following series are conditionally convergence):
Example:2(i). \Sigma(-1)^n\left\{\sqrt{\left(n^2+1\right)}-n\right\}
Solution: \Sigma(-1)^n\left\{\sqrt{\left(n^2+1\right)}-n\right\} \\ (\sqrt{n^2+1}-n) \times \frac{\sqrt{n^2+1}+n}{\sqrt{n^2+1}+n} \\ =\frac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n} \\ \frac{\sum \left(-1\right)^n}{\sqrt{n^2+1}+n}
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma (-1)^{n-1} u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n} तथा u_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{(n+1)^2+1}+n+1} \\ u_n-u_{n+1}-\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}-\frac{1}{\sqrt{(n+1)^2+1}+n+1} \\ =\frac{\sqrt{(n+1)^2+1}+n+1-\sqrt{n^2+1}-n}{\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)\left(\sqrt{(n+1)^2+1}+n+1\right)} \\ \Rightarrow u_n-u_{n+1}= \frac{\sqrt{(n+1)^2+1}+1-\sqrt{n^2+1}}{\left(\sqrt{\left(n^2+1\right)}+n\right) \left(\sqrt{(n+1)^2+1}+n+1\right)}>0, n \in N
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}=0
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
पुन: \Sigma |u_{n}|=\sum\left|\frac{(-)^n}{\sqrt{n^2+1}+n}\right| \\ \Sigma |u_{n}|=\sum \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}
मान लो सहायक श्रेणी है,जहाँ

v_{n}=\frac{1}{n}
अब \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{v_n} =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}}{\frac{1}{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{n\left(\sqrt{1+ \frac{1}{n^2}}+1\right)} \times \frac{n}{1} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{|u_n|}{v_n}-\frac{1}{2} (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma \left|u_n\right| तथा \Sigma v_{n} दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होगी,परन्तु \Sigma v_{n} अपसारी है क्योंकि p=1\leq 1 अतः \Sigma \left|u_n\right| भी अपसारी है।
\Sigma u_{n} अभिसारी है तथा \Sigma \left|u_n\right| अपसारी है अतः दी हुई श्रेणी सह प्रतिबन्ध अभिसारी है।
Example:2(iii). \Sigma(-1)^n \sin \left(\frac{1}{n}\right)
Solution: \Sigma(-1)^n \sin \left(\frac{1}{n}\right)
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma (-1)^{n-1} u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\sin \frac{1}{n} तथा u_{n+1}=\sin \frac{1}{n+1} \\ u_n-u_n+1=\sin \left(\frac{1}{n}\right)-\sin \left(\frac{1}{n+1}\right)>0 \quad \forall n \in N
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \sin \frac{1}{n}=0
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
पुन: \Sigma\left|u_n\right|=\sum\left|\frac{\left(-1\right)^{n}}{1} \sin \left(\frac{1}{n}\right)\right| \\ \Rightarrow \Sigma \left|u_n\right|=\sin \frac{1}{n} \\ \Rightarrow \Sigma \left|u_n\right|=\frac{1}{n}-\frac{1}{3 !} \cdot \frac{1}{n^3}+\frac{1}{5 !} \cdot \frac{1}{n^5}+\cdots \\ \Rightarrow \Sigma \left|u_n\right|=\frac{1}{n}\left[1-\frac{1}{3 !} \cdot \frac{1}{n^2}+\frac{1}{5 !} \cdot \frac{1}{n^4}-\cdots\right]
मान लो सहायक श्रेणी \Sigma v_{n} है,जहाँ

v_n=\frac{1}{n}
अब \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{v_n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{n}\left[1-\frac{1}{3!} \cdot \frac{1}{n^2}+\frac{1}{5!} \cdot \frac{1}{n^4}+\cdots\right]}{\frac{1}{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-\frac{1}{3 !} \cdot \frac{1}{n^2}+\frac{1}{5 !} \cdot \frac{1}{n^4} \cdots\right) \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{v_n}=1 (अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma \left|u_n\right| तथा \Sigma v_{n} दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होगी,परन्तु \Sigma v_{n} अपसारी है क्योंकि p= 1 \leq 1 अतः \Sigma \left|u_n\right| भी अपसारी है।
\Sigma u_n अभिसारी है तथा \left|u_n\right| अपसारी है अतः दी हुई श्रेणी सह प्रतिबन्ध अभिसारी है।
Example:2(iv). \sum \frac{(-1)^{n-1}}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2}
Solution: \sum \frac{(-1)^{n-1}}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2}
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma (-1)^{n-1} u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2}  तथा u_{n+1}=\frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{a})^2} \\ u_n-u_{n+1}=\frac{1}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2}-\frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{a})^2} \\ =\frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{a})^2-(\sqrt{n}+ \sqrt{a})^2} {(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2(\sqrt{n+1}+\sqrt{a})^2} \\ =\frac{n+1+a+2 \sqrt{n+1} \sqrt{a}-n-a-2 \sqrt{n a}}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2(\sqrt{n+1}+\sqrt{a})^2} \\ \Rightarrow u_n-u_{n+1}=\frac{2 \sqrt{n+1} \sqrt{a}+1-2 \sqrt{n a}}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2(\sqrt{n+1}+\sqrt{a})^2}>0, \forall n \in N
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2}=0
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
पुन: \Sigma\left|u_n\right| =\left|\frac{(-1)^{n-1}}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2}\right| \\ \Rightarrow \Sigma\left|u_n\right| =\frac{1}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{a}\right)^2}
मान लो सहायक श्रेणी है,जहाँ

v_n=\frac{1}{n}
अब \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{v_n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{(\sqrt{n}+\sqrt{a})^2}}{\frac{1}{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{n(1+\sqrt{\frac{a}{n}})^2}}{\frac{1}{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{\left(1+\sqrt{\frac{a}{n}}\right)^2} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{v_n}=1 
(अशून्य परिमित राशि)
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma \left|u_n\right| तथा  \Sigma v_{n} दोनों साथ-साथ या तो अभिसारी होगी या दोनों अपसारी होगी,परन्तु \Sigma v_{n} अपसारी है क्योंकि p=1\leq 1 अतः \Sigma \left|u_n\right| भी अपसारी है।
\Sigma u_{n} अभिसारी है तथा \Sigma \left|u_n\right| अपसारी है अतः दी हुई श्रेणी सह प्रतिबन्ध अभिसारी है।

Leibnitz Test for Alternating Series

Example:3.निम्न श्रेणी के अभिसरण तथा निरपेक्ष अभिसरण के लिए विवेचन कीजिए:
(Discuss convergence and absolute convergence of the following series):
Example:3(i). 1-2 x+3 x^2-4 x^3+\cdots 
Solution: 1-2 x+3 x^2-4 x^3+\cdots 
माना \Sigma u_n=1-2 x+3 x^2-4 x^3+\cdots \\ u_n=n x^{n-1}  तथा u_{n+1}=(n+1) x^n \\ \frac{\left|u_n\right|}{\left|u_{n+1}\right|}=\left|\frac{u_n}{u_{n+1}}\right| \\ =\left| \frac{n x^{n-1}}{(n+1) x^n} \right|\\ =\frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{|x|} \\ =\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \cdot \frac{1}{|x|} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{\left|u_{n+1}\right|}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} \cdot \frac{1}{|x|} \\ =\frac{1}{|x|} 
अतः तुलना परीक्षण से अभिसारी होगी यदि \frac{1}{|x|}>1  अर्थात् |x|<1 अतः यदि हो तो दी हुई श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी होगी।निरपेक्ष अभिसारी हमेशा अभिसारी होती है फलतः \Sigma u_{n} अभिसारी है।
Example:3(ii). \frac{1}{a}-\frac{1}{a+x}+\frac{1}{a+2 x}-\frac{1}{a+3 x}+\cdots 
Solution: \frac{1}{a}-\frac{1}{a+x}+\frac{1}{a+2 x}-\frac{1}{a+3 x}+\cdots \\ \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}(-1)^{n-1} u_n=\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} (-1)^{n-1} \frac{1}{a+(n-1) x} 
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1}{a+(n-1) x}  तथा u_{n+1}=\frac{1}{a+n x} \\ u_n-u_{n+1}=\frac{1}{a+(n-1) x}-\frac{1}{a+n x} \\ =\frac{a+nx-a-n x+x}{[a+(n-1) x](a+n x)} \\ \Rightarrow u_n-u_{n+1}=\frac{x}{[a+(n-1) x](a+n x)}>0, \forall n \in N 
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{a+(n-1) x} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=0 
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
पुन: \Sigma |u_{n}| =\left|\frac{(-1)^{n-1}}{a+(n-1) x}\right|=\frac{1}{a+(n-1)|x|} \\ \frac{\left|u_n\right|}{\left|u_{n+1}\right|}=\left| \frac{u_{n}}{u_{n+1}} \right| \\ =\frac{\frac{1}{a+(n-1) |x|}}{\frac{1}{a+n|x|}} \\ =\frac{a+n|x|}{a+(n-1)|x|} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left|u_n\right|}{\left|u_{n+1}\right|} =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{a}{n}+|x|}{\frac{a}{n}-\frac{|x|}{n}+|x|} \\ \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|u_n\right|}{\left|u_{n+1}\right|}=1 
अतः दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
पुन: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \left|\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right|=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{a+n|x|}{a+(n-1)|x|}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{a+n|x|-a-n|x|+|x|}{a+(n-1)|x|}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n|x|}{a+(n-1)|x|} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n|x|}{n\left[\frac{a}{n}-\frac{|x|}{n}+|x|\right]} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \left|\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right|=1  
अतः राबी परीक्षण भी असफल रहता है।
पुन: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[n \left|\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right|-1\right] \log n= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{n|x|}{a+(n-1)|x|}\right] \log n \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{n|x|-a-n|x|+|x|}{a+(n-1)|x|}\right] \log n \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{-a+|x|}{\frac{a}{n}+|x|-\frac{|x|}{n}}\right] \frac{\log n}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[n \left|\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right|-1\right] \log n=0<1\left[\because \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\log n}{n}=0 \right] 
अतः डी’ मार्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण से दी हुई श्रेणी अपसारी है।
\Sigma u_n अभिसारी है तथा \Sigma \left|u_n\right|  अपसारी है अतः दी हुई श्रेणी सह प्रतिबन्ध अभिसारी है।
Example:4.निम्नलिखित श्रेणी के अभिसरण की जाँच कीजिए:
(Test for the convergence of the following series):

\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}(-1)^n\left[\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}{n}\right] 
Solution: \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}(-1)^n\left[\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+ \frac{1}{n}}{n}\right] 
यहाँ दी हुई श्रेणी के पद एकान्तरतः धनात्मक एवं ऋणात्मक हैं।
अब यदि दी हुई श्रेणी को से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}{n}  तथा u_{n+1}= \frac{1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1}}{n+1} \\ u_n-u_{n+1}=\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}}{n}-\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1}}{n+1} \\ =\frac{(n+1)\left[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right]-n\left[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1}\right]}{n(n+1)} \\ =\frac{-\frac{n}{n+1}+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}{n(n+1)} \\ =\frac{-\left[ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}+\cdots+n \text{}\right]+\left[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right]}{n(n+1)} \\ = \frac{\left[1-\frac{1}{n+1}\right]+\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}\right]+\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}\right]+\cdots+\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right]}{n(n+1)} >0 \forall n \in N \\ \Rightarrow u_n-u_{n+1}>0, \forall n \in N 
अतः प्रत्येक पद का संख्यात्मक मान इसके पहले पद के संख्यात्मक मान से छोटा है तथा

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} u_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}{n}=0 
फलतः लेबनीज प्रमेय से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण (Leibnitz Test for Alternating Series),निरपेक्ष अभिसरण (Absolute Convergence) को समझ सकते हैं।

3.एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण के सवाल (Leibnitz Test for Alternating Series Questions):

Leibnitz Test for Alternating Series

(1.)सिद्ध करो कि श्रेणी \frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+ \cdots  सहप्रतिबन्ध अभिसारी है।
(Show that the series \frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+ \cdots  is conditionally convergent.)
(2.)श्रेणी के अभिसरण तथा निरपेक्ष अभिसरण का परीक्षण कीजिए।
(Examine the convergence and absolute convergence of the series)

\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} \frac{(-1)^{n+1} n}{n^2+1} 
उत्तर (Answer):(2.)सहप्रतिबन्ध अभिसारी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण (Leibnitz Test for Alternating Series),निरपेक्ष अभिसरण (Absolute Convergence) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण (Frequently Asked Questions Related to Leibnitz Test for Alternating Series),निरपेक्ष अभिसरण (Absolute Convergence) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

एकान्तर श्रेणी के लिए लेबनीज का परीक्षण (Leibnitz Test for Alternating Series),निरपेक्ष
अभिसरण तथा सापेक्ष अथवा सह प्रतिबन्ध अभिसरण के बारे में इस आर्टिकल में अध्ययन करेंगे।