1.अभिसरण के लिए दे-लम्बर का अनुपात परीक्षण (D Alembert Ratio Test for Convergence),अभिसरण और अपसरण के लिए दे-लम्बर का अनुपात परीक्षण (D Alembert Ratio Test for Convergence and Divergence):

अभिसरण के लिए दे-लम्बर का अनुपात परीक्षण (D Alembert Ratio Test for Convergence) द्वारा किसी श्रेणी के अभिसारी व अपसारी होने की जाँच करेंगे।निम्न उदाहरणों से यह ओर स्पष्ट हो जायेगा। 
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2.अभिसरण के लिए दे-लम्बर का अनुपात परीक्षण पर आधारित उदाहरण (Examples Based on D Alembert Ratio Test for Convergence):

निम्न श्रेणियों के अभिसरण की जाँच कीजिएः
(Test the convergence of the following series):
Example:1. 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^{4}}+\cdots \cdots
Solution: 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^{4}}+\cdots \cdots
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n से प्रदर्शित किया जाए तब:
u_n=\frac{1}{n^n} तथा u_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{n+1}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{n^n}}{\frac{1}{(n+1)^{n+1}}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^n(1+\frac{1}{n})(n+1)}{n^n} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} (1+\frac{1}{n})(n+1) \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\infty>1
अतः दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
Example:2. 1+\frac{2^2}{2 !}+\frac{3^2}{3 !}+\frac{4^2}{4 !}+\cdots
Solution: 1+\frac{2^2}{2 !}+\frac{3^2}{3 !}+\frac{4^2}{4 !}+\cdots
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n से प्रदर्शित किया जाए तब:
u_n=\frac{n^2}{n !} तथा u_{n+1}=\frac{(n+1)^2}{(n+1) !} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{n^2}{n !}}{\frac{(n+1)^2}{(n+1) !}} \\ =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{n!} \times \frac{(n+1)!}{(n+1)^2} \\ =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{n^2}{n!} \times \frac{(n+1)n!}{n^2(1+\frac{1}{n})^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(n+1)}{(1+\frac{1}{n})^2} \\ =\infty>1
अतः दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
Example:3. 1+\frac{2^{p}}{2 !}+\frac{3^{p}}{3 !}+\frac{4^{p}}{4 !}+\cdots
Solution: 1+\frac{2^{p}}{2 !}+\frac{3^{p}}{3 !}+\frac{4^{p}}{4 !}+\cdots 
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n से प्रदर्शित किया जाए तब:
u_n=\frac{n^{p}}{n !} तथा u_{n+1}=\frac{(n+1)^P}{(n+1)!} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_{n+1}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{\frac{n^p}{n !}}{\frac{(n+1)^P}{(n+1)!}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^p}{n !} \times \frac{(n+1)!}{(n+1)^p} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^p}{n !} \times \frac{(n+1) n !}{n^p(1+\frac{1}{n})^p} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(n+1)}{(1+\frac{1}{n})^p} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right) =\infty>1
अतः दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
Example:4. 1+ \frac{2 !}{2^2}+\frac{3 !}{3^3}+\frac{4 !}{4^4}+\cdots
Solution: 1+ \frac{2 !}{2^2}+\frac{3 !}{3^3}+\frac{4 !}{4^4}+\cdots
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n  से प्रदर्शित किया जाए तब:
u_n=\frac{n !}{n^n} तथा u_{n+1}=\frac{(n+1) !}{(n+1)^{n+1}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{n !}{n^n}}{\frac{(n+1) !}{(n+1)^{n+1}}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n !}{n^n} \times \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n !(n+1)^n(n+1)}{n^n(n+1) !} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(n+1)! n^n(1+\frac{1}{n})^n}{n^n(n+1) !} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=e>1
अतः दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
Example:5. 1+\frac{1}{1+2}+\frac{2}{1+2^2}+\frac{3}{1+2^3}+\cdots
Solution: 1+\frac{1}{1+2}+\frac{2}{1+2^2}+\frac{3}{1+2^3}+\cdots
यदि दी हुई श्रेणी में प्रथम पद को छोड़ दिया जाए तो इसका अभिसरण प्रभावित नहीं होगा।
मान लो \Sigma u_{n}=1+\frac{1}{1+2}+\frac{2}{1+2^2}+\frac{3}{1+2^3}+\cdots \\ u_n=\frac{n}{1+2^n}
तथा u_{n+1}=\frac{n+1}{1+2^{n+1}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{n}{1+2^n}}{\frac{n+1}{1+2^{n+1}}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n}{1+2^n} \times \frac{1+2^{n+1}}{n+1} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n \cdot 2^n\left(2+\frac{1}{2^n}\right)}{2^n\left(1+\frac{1}{2^n}\right) \cdot n(1+\frac{1}{n})} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left(2+\frac{1}{2^n}\right)}{\left(1+\frac{1}{2^n}\right)(1+\frac{1}{n})} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right) =2>1
अतः दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
Example:6. \frac{2}{1^2+1}+\frac{2^2}{2^2+1}+\frac{2^3}{3^2+1}+\cdots
Solution: \frac{2}{1^2+1}+\frac{2^2}{2^2+1}+\frac{2^3}{3^2+1}+\cdots
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n  से प्रदर्शित किया जाए तब:
u_n=\frac{2^n}{n^2+1} तथा u_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)^2+1} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{2^n}{n^{2}+1}}{\frac{2^{n+1}}{(n+1)^2+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2^n}{n^2+1} \times \frac{(n+1)^2+1}{2^{n+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2\left[ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{2}+\frac{1}{n^2}\right]}{n^2\left[1+\frac{1}{n^2}\right] \times 2} \\ =\frac{1}{2}<1 \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\frac{1}{2}<1
अतः दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
Example:7. \frac{1^3+a}{2+a}+\frac{2^3+a}{2^2+a}+\cdots \cdots+\frac{n^3+a}{2^n+a}
Solution: \frac{1^3+a}{2+a}+\frac{2^3+a}{2^2+a}+\cdots \cdots+\frac{n^3+a}{2^n+a}
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n  से प्रदर्शित किया जाए तब:
u_n=\frac{n^3+a}{2^{n}+1} तथा u_{n+1}=\frac{(n+1)^3+a}{2^{n+1}+1} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{n^3+a}{2^n+1}}{\frac{(n+1)^3+a}{2^{n+1}+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^3+a}{2^n+1} \times \frac{2^{n+1}+1}{(n+1)^3+a} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^3\left(1+\frac{a}{n^3}\right)}{2^n\left(1+\frac{1}{2^n}\right)} \times \frac{2^n\left(2+\frac{1}{2^n}\right)}{n^3\left[(1+\frac{1}{n})^3+\frac{a}{n^3}\right]} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left(1+\frac{a}{n^3}\right)\left(2+\frac{1}{2^n}\right)}{\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^3+\frac{a}{n^3}\right]} \\ =2>1 \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=2>1
अतः दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
Example:8. \frac{x}{1 \cdot 2}+\frac{x^2}{3 \cdot 4}+\frac{x^3}{5 \cdot 6}+\cdots
Solution: \frac{x}{1 \cdot 2}+\frac{x^2}{3 \cdot 4}+\frac{x^3}{5 \cdot 6}+\cdots
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n से प्रदर्शित किया जाए तब:
u_n=\frac{x^n}{(2 n-1) \cdot(2 n)} तथा u_{n+1}=\frac{x^{n+1}}{(2 n+1)(2 n+2)} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{x^n}{(2n-1)2n}}{\frac{x^{n+1}}{(2 n+1)(2 n+2)}} \\ = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x^{n}}{(2 n-1) 2 n} \times \frac{(2 n+1)(2 n+2)}{x^{n+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2 n^2(2+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})}{2 n^2(2-\frac{1}{n}) \cdot x} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(2+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})}{(2-\frac{1}{n}) x} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right) =\frac{1}{x}
अतः यदि x<1 तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी है और यदि x>1 तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_n अपसारी है
पुनः यदि x=1 तब

u_n=\frac{1}{(2 n-1)(2 n)}=\frac{1}{2 n^2(2-\frac{1}{n})}
यदि \Sigma v_n को धनात्मक श्रेणी लेने पर,जहाँ

v_n=\frac{1}{2 n^2} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_{n}}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{2 n^2\left(2-\frac{1}{n}\right)}}{\frac{1}{2 n^2}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{2-\frac{1}{n}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_{n}}\right) =\frac{1}{2} \neq 0
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n या तो दोनों अभिसारी होंगी या दोनों अपसारी परन्तु \Sigma v_n अभिसारी है क्योंकि p=2>1;अतः \Sigma u_n भी अभिसारी होगी।
दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी यदि x \leq 1 तथा अपसारी होगी यदि x>1 हो
Example:9. 1+2 x+3 x^2+4 x^3+\cdots \cdots+n x^{n-1}
Solution: 1+2 x+3 x^2+4 x^3+\cdots \cdots+n x^{n-1}
यदि दी हुई श्रेणी को से प्रदर्शित किया जाए तब:
u_n=n x^{n-1} तथा u_{n+1}=(n+1) x^n \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n x^{n-1}}{(n+1) x^{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n}{n(1+\frac{1}{n}) x} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right) =\frac{1}{x}
अतः यदि x<1 तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी है और यदि x>1 तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_n अपसारी है
पुनः यदि x=1 तब u_{n}=n
यदि \Sigma v_n को धनात्मक श्रेणी लेने पर,जहाँ

v_n=\frac{1}{n^{-1}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{n}{\frac{1}{n^{-1}}}\right) \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right) =1 \neq 0
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n या तो दोनों अभिसारी होंगी या दोनों अपसारी परन्तु \Sigma v_n  अपसारी है क्योंकि p=-1 \leq 1 ;अतः भी अपसारी होगी।
दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी यदि x<1 तथा अपसारी होगी यदि x \geq 1 हो

Example:10. 1 \cdot 2 x+2 \cdot 3 x^2+3 \cdot 4 x^3+\cdots(x>0)

Solution: 1 \cdot 2 x+2 \cdot 3 x^2+3 \cdot 4 x^3+\cdots(x>0)1 \cdot 2 x+2 \cdot 3 x^2+3 \cdot 4 x^3+\cdots(x>0)

यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n से प्रदर्शित किया जाए तब:

u_n=n(n+1) x^n तथा u_{n+1}=(n+1)(n+2) x^{n+1} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n\left(n+1\right)x^n}{(n+1)(n+2) x^{n+1}} \\ =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n\left(1+\frac{2}{n}\right) x} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right) =\frac{1}{x}

अतः यदि x<1 तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी है और यदि x>1 तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_n अपसारी है
पुनः यदि x=1 तब u_n=n(n+1)=n^2(1+\frac{1}{n})
यदि \Sigma v_n को धनात्मक श्रेणी लेने पर,जहाँ

v_n=\frac{1}{n^{-2}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{n^2\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n^{-2}}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=1 \neq 0
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n या तो दोनों अभिसारी होंगी या दोनों अपसारी परन्तु \Sigma v_n अपसारी है क्योंकि P=-2 \leq 1 ;अतः \Sigma u_n भी अपसारी होगी।
दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी यदि x<1 तथा अपसारी होगी यदि x \geq 1 हो

Example:11. 1^2+2^2 \cdot x+3^2 \cdot x^2+4^2 \cdot x^3+\cdots

Solution: 1^2+2^2 \cdot x+3^2 \cdot x^2+4^2 \cdot x^3+\cdots

यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n से प्रदर्शित किया जाए तब: u_n=n^2 \cdot x^{n-1} तथा u_{n+1}=(n+1)^{2} x^n \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2 x^{n-1}}{(n+1)^2 x^n} \\= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2}{n^2(1+\frac{1}{n})^2 x} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right) =\frac{1}{x}

अतः यदि x<1 तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी है और यदि x>1 तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_nअपसारी है
पुनः यदि x=1 तब u_n=n^2
यदि \Sigma v_n को धनात्मक श्रेणी लेने पर,जहाँ

v_n=\frac{1}{n^{-2}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2}{\frac{1}{n^{-2}}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=1 \neq 0
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n या तो दोनों अभिसारी होंगी या दोनों अपसारी परन्तु \Sigma v_n अपसारी है क्योंकि p=-2 \leq 1 ;अतः \Sigma u_n भी अपसारी होगी।
दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी यदि x<1 तथा अपसारी होगी यदि x \geq 1 हो

Example:12. \frac{1}{2 \sqrt{1}}+\frac{x^2}{3 \sqrt{2}}+\frac{x^4}{4 \sqrt{3}}+\frac{x^6}{5 \sqrt{4}}+\cdots

Solution: \frac{1}{2 \sqrt{1}}+\frac{x^2}{3 \sqrt{2}}+\frac{x^4}{4 \sqrt{3}}+\frac{x^6}{5 \sqrt{4}}+\cdots

यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n से प्रदर्शित किया जाए तब:

u_n=\frac{x^{2n-2}}{(n+1)\sqrt{n}} तथा u_{n+1}=\frac{x^{2n}}{(n+2) \sqrt{n+1}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x^{2n-2}}{(n+1)\sqrt{n}} \times \frac{(n+2) \sqrt{n+1}}{x^{2 n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^{\frac{3}{2}}\left(1+\frac{2}{n}\right)\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)}}{n^{\frac{3}{2}} \left(1+\frac{1}{n}\right) x^2} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right) =\frac{1}{x^2}

अतः यदि x^2<1 तब \frac{1}{x^2}>1 \Rightarrow \Sigma u_{n} अभिसारी है

और यदि x^2>1 तब \frac{1}{x^2}<1 \Rightarrow \Sigma u_{n} अपसारी है पुनः यदि x^2=1[/katex] तब

u_n=\frac{1}{(n+1) \sqrt{n}}=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}(1+\frac{1}{n})}

यदि \Sigma v_n को धनात्मक श्रेणी लेने पर,जहाँ

v_n=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}(1+\frac{1}{n})}}{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=1 \neq 0

अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n या तो दोनों अभिसारी होंगी या दोनों अपसारी परन्तु \Sigma v_n अभिसारी है क्योंकि p=\frac{3}{2}>1 ;अतः \Sigma u_n भी अभिसारी होगी। दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी यदि x^{2} \leq 1 तथा अपसारी होगी यदि x^{2} > 1 हो

Example:13. x+\frac{3}{5} x^2+\frac{8}{10} x^3+\frac{15}{17} x^4+\cdots+\frac{n^2-1}{n^2+1} \cdot x^n+\cdots

Solution: x+\frac{3}{5} x^2+\frac{8}{10} x^3+\frac{15}{17} x^4+\cdots+\frac{n^2-1}{n^2+1} \cdot x^n+\cdots

यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n से प्रदर्शित किया जाए तब:

u_n=\frac{n^2-1}{n^2+1} x^n तथा u_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)^2-1}{(n+1)^2+1} x^{n+1} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\lim \frac{\frac{n^2-1}{n^2+1}}{\frac{(n+1)^2-1}{\left(n+1\right)^2+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left(n^2-1\right) x^{n}}{n^2+1} \times \frac{(n+1)^2+1}{(n+1)^2-1} \cdot \frac{1}{x^n+1} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)} \times \frac{n^2 \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^2+\frac{1}{n^2}\right ]}{n^2\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^2-\frac{1}{n^2}\right]} \cdot \frac{1}{x} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right) =\frac{1}{x}

अतः यदि x<1 तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी है और यदि x>1 तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_n अपसारी है
पुनः यदि x=1 तब

u_n=\frac{n^2-1}{n^2+1}=\frac{1-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}
यदि \Sigma v_n को धनात्मक श्रेणी लेने पर,जहाँ

v_n=\frac{1}{n^0} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\frac{\frac{1-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}}{\frac{1}{n^{0}}}\\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=1 \neq 0
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n या तो दोनों अभिसारी होंगी या दोनों अपसारी परन्तु \Sigma v_n  अपसारी है क्योंकि p=0 \leq 1 ;अतः \Sigma u_n  भी अपसारी होगी।
दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी यदि x<1 तथा अपसारी होगी यदि x \geq 1 हो

Example:14. 1+\frac{2}{5} x+\frac{6}{9} x^2+\cdots \cdots+\frac{2^n-2}{2^n+1} x^{n-1}+ \cdots

Solution: 1+\frac{2}{5} x+\frac{6}{9} x^2+\cdots \cdots+\frac{2^n-2}{2^n+1} x^{n-1}+ \cdots

यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n से प्रदर्शित किया जाए तब:

u_n=\frac{2^n-2}{2^{n+1}} x^{n-1} तथा u_{n+1} \frac{2^{n+1}-2}{2^{n+1}+1} x^n \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2^n-2}{2^n+1} \times \frac{2^{n+1}+1}{2^{n+1}-2} \cdot \frac{x^{n-1}}{x^{n}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2^n\left(1-\frac{2}{2^n}\right)}{2^n \left(1+\frac{1}{2^n}\right)} \cdot \frac{2^{n+1} \left(1+\frac{1}{2^{n+1}}\right)}{2^{n+1}\left(1-\frac{2}{2^{n+1}}\right)} \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_n}{u_{n+1}} =\frac{1}{x}

अतः यदि x<1 तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी है और यदि x>1 तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_n अपसारी है
पुनः यदि x=1 तब

u_n=\frac{2^n-2}{2^{n+1}} \\ \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^n(1-\frac{2}{2^n})}{2^n\left(1+\frac{1}{2^n}\right)} \\ =1 \neq 0
अतः \Sigma u_n अपसारी है।
अतः दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी यदि x<1 तथा अपसारी होगी यदि x \geq 1 हो

Example:15. \frac{1}{2}+\frac{4}{9} x+\frac{9}{28} x^2+ \cdots \cdots+\frac{x^2}{n^3+1} x^{n-1}+ \cdots \cdots

Solution: \frac{1}{2}+\frac{4}{9} x+\frac{9}{28} x^2+ \cdots \cdots+\frac{x^2}{n^3+1} x^{n-1}+ \cdots \cdots

यदि दी हुई श्रेणी \Sigma u_n को से प्रदर्शित किया जाए तब:

u_n=\frac{n^2}{n^3+1} x^{n-1} तथा u_{n+1}=\frac{(n+1)^2 x^n}{(n+1)^{3}+1} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2}{n^3+1} x^{n-1} \times \frac{(n+1)^3+1}{(n+1)^2} \cdot \frac{1}{x^n} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2 \cdot n^3\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^3+\frac{1}{n^3}\right]}{n^3\left(1+\frac{1}{n^3}\right) \cdot x^2\left(1+y_n\right)} \cdot \frac{1}{x} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\frac{1}{x}

अतः यदि x<1 तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_n  अभिसारी है और यदि x>1 तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_n  अपसारी है
पुनः यदि x=1 तब

u_{n}=\frac{n^2}{n^3+1}=\frac{1}{n(1+\frac{1}{n^3})}
यदि \Sigma v_n  को धनात्मक श्रेणी लेने पर,जहाँ

v_{n}=\frac{1}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\frac{\frac{1}{n(1+\frac{1}{n^3})}}{\frac{1}{n}} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{v_n}\right)=1 \neq 0
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n या तो दोनों अभिसारी होंगी या दोनों अपसारी परन्तु \Sigma v_n अपसारी है क्योंकि p=1 \leq 1 ;अतः \Sigma u_n  भी अपसारी होगी।
दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी यदि x<1 तथा अपसारी होगी यदि x \geq 1 हो

Example:16. \frac{x}{a+\sqrt{1}}+\frac{x^2}{a+\sqrt{2}}+\frac{x^3}{a+\sqrt{3}}+\cdots

Solution: \frac{x}{a+\sqrt{1}}+\frac{x^2}{a+\sqrt{2}}+\frac{x^3}{a+\sqrt{3}}+\cdots

यदि दी हुई श्रेणी \Sigma u_n को से प्रदर्शित किया जाए तब:

u_n=\frac{x^n}{a+\sqrt{n}} तथा u_{n+1}=\frac{x^{n+1}}{a+\sqrt{n+1}} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x^n}{a+\sqrt{n}} \times \frac{a+\sqrt{n+1}}{x^{n+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left[\frac{a}{\sqrt{n}}+ \sqrt{1+\frac{1}{n}}\right]}{(\frac{a}{\sqrt{n}}+1) \sqrt{n}} \cdot \frac{1}{x}\\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_n+1}\right)=\frac{1}{x}

अतः यदि x<1 तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी है और यदि x>1 तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_n अपसारी है
पुनः यदि x=1 तब

u_n=\frac{1}{a+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}\left(1+\frac{a}{\sqrt{n}}\right)}
यदि \Sigma v_n  को धनात्मक श्रेणी लेने पर,जहाँ

v_n=\frac{1}{\sqrt{n}}
अतः तुलना परीक्षण से \Sigma u_n तथा \Sigma v_n या तो दोनों अभिसारी होंगी या दोनों अपसारी परन्तु \Sigma v_n अपसारी है क्योंकि p=\frac{1}{2} \leq 1 ;अतः भी अपसारी होगी।
दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी यदि x<1 तथा अपसारी होगी यदि x \geq 1 हो

Example:17. 1+\frac{x}{2}+\frac{2!}{3^2} x^2+\frac{3!}{4^3} x^3+\frac{4!}{5^4} x^4+\cdots

Solution: 1+\frac{x}{2}+\frac{2!}{3^2} x^2+\frac{3!}{4^3} x^3+\frac{4!}{5^4} x^4+\cdots

यदि दी हुई श्रेणी को से प्रदर्शित किया जाए तब:

u_{n}=\frac{(n-1)!}{n^{n-1}} x^{n-1} तथा u_{n+1}=\frac{n ! x^n}{(n+1)^n}  \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(n-1)!}{n^{n-1}} x^{n-1} \times \frac{\left(n+1\right)^n}{n!} \cdot \frac{1}{x^n} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(n-1) ! n^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{n^{n-1} \cdot n(n-1) !} \cdot \frac{1}{x} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(1+\frac{1}{n})^n}{x}=\frac{e}{x}

अतः यदि x<e तब \frac{e}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी 

यदि x>e तब \frac{e}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_n अपसारी है
पुनः यदि x=e तब

\frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{(n-1)!}{n^{n-1}} e^{n-1} \times \frac{(n+1)^n}{n !} \frac{1}{e^n}= \frac{\left(1+ \frac{1}{n}\right)^n}{e^n} \\ n \log \frac{u_n}{u_{n+1}} =n[\log (1+\frac{1}{n})-\log e] \\ =n[n \log (1+\frac{1}{n})-1] \\ =n\left[n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2 n^2}+\frac{1}{3 n^3}\cdots \cdots\right) -1\right] \\ =n\left[-\frac{1}{2 n}+\frac{1}{3 n^2}-\cdots\right] \\ =-\frac{1}{2}+\frac{1}{3 n}-\cdots \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \log \frac{u_n}{u_{n+1}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3 n}-\cdots\right) \\ =-\frac{1}{2}<1
अतः श्रेणी \Sigma u_n अपसारी है जबकि x=e
दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी यदि x<e तो अपसारी होगी यदि x \geq e हो

Example:18. x+\frac{2^2 x^2}{2 !}+\frac{3^3 x^3}{3 !}+\frac{4^4 x^4}{4 !}+\cdots

Solution: x+\frac{2^2 x^2}{2 !}+\frac{3^3 x^3}{3 !}+\frac{4^4 x^4}{4 !}+\cdots

यदि दी हुई श्रेणी को से प्रदर्शित किया जाए तब:

u_n=\frac{n^n x^n}{n !} तथा u_{n+1}=\frac{(n+1)^{n+1} x^{n+1}}{(n+1) !} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^n x^n}{n !} \times \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1} x^{n+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^n \cdot (n+1) n !}{n ! n^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \cdot(n+1)} \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\frac{1}{e x}

अतः यदि x<\frac{1}{e} तब \frac{1}{ex}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी 

यदि x>\frac{1}{e} तब \frac{1}{ex}<1 \Rightarrow \Sigma u_n अपसारी है
पुनः यदि x=\frac{1}{e} तब

\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n} \cdot e \\ n \log \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right) =n[\log e-n \log (1+\frac{1}{n})] \\ =n\left[1-n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2 n^2}+\frac{1}{3 n^3}-\cdots \cdots\right)\right] \\ =n\left[1-1+\frac{1}{2 n}-\frac{1}{3 n^2}+\cdots\right] \\ =\frac{1}{2}-\frac{1}{3 n}+\cdots \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \log \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n} +\cdots\right) \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \log \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\frac{1}{2}<1
अतः श्रेणी \Sigma u_n अपसारी है जबकि x=\frac{1}{e}
दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी यदि x<\frac{1}{e}  तथा अपसारी होगी यदि x \geq \frac{1}{e} हो

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अभिसरण के लिए दे-लम्बर का अनुपात परीक्षण (D Alembert Ratio Test for Convergence),अभिसरण और अपसरण के लिए दे-लम्बर का अनुपात परीक्षण (D Alembert Ratio Test for Convergence and Divergence) को ठीक से समझ सकते हैं।

3.अभिसरण के लिए दे-लम्बर का अनुपात परीक्षण (D Alembert Ratio Test for Convergence) पर आधारित सवाल (Questions Based on Matrix in Class 12):

(1.) u_n=\frac{n!}{n^n}
(2.) u_n=\left[\left(\sqrt{\left(n^2+1\right)}-n\right] x^{2 n}\right.
(3.) 1+\frac{3}{2} x+\frac{5}{9} x^2+\frac{7}{28} x^3+ \cdots \cdots+\frac{2 n+1}{n^3+1} x^n+\cdots

Answer:-(1.) अभिसारी
(2.)x^{2} <1 तो अभिसारी तथा x^{2} \geq 1 तो अपसारी
(3.) x \leq 1 तो अपसारी तथा  x > 1 तो अभिसारी

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अभिसरण के लिए दे-लम्बर का अनुपात परीक्षण (D Alembert Ratio Test for Convergence),अभिसरण और अपसरण के लिए दे-लम्बर का अनुपात परीक्षण (D Alembert Ratio Test for Convergence and Divergence) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Divergence of Series in Calculus

4.अभिसरण के लिए दे-लम्बर का अनुपात परीक्षण (Frequently Asked Questions Related to D Alembert Ratio Test for Convergence),अभिसरण और अपसरण के लिए दे-लम्बर का अनुपात परीक्षण (D Alembert Ratio Test for Convergence and Divergence) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

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D Alembert Ratio Test for Convergence

अभिसरण के लिए दे-लम्बर का अनुपात परीक्षण
(D Alembert Ratio Test for Convergence)

D Alembert Ratio Test for Convergence