Menu

Euler theorem of homogeneous function

1.समघात पर आयलर प्रमेय (Euler theorem of homogeneous function)-

समघात फलन  पर आयलर प्रमेय (Euler theorem of homogeneous function) को कुछ सवालों के हल द्वारा समझेंगे।समघात फलन का अर्थ होता है कि दो या दो से अधिक चरों के फलन में प्रत्येक पद के चरों की घातों का योग सदैव समान रहता है।
समघात फलन पर आयलर प्रमेय ( Euler theorem of homogeneous function) को इससे पूर्व आर्टिकल में बताया गया है। अतः समघात फलन पर आयलर प्रमेय (Euler theorem of homogeneous function) को समझने के लिए पहले उस आर्टिकल को पढ़ना चाहिए।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें ।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके ।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए ।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं। इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Radius curvature for parametric curves

2.समघात फलन पर आयलर प्रमेय ( Euler theorem of homogeneous function) पर आधारित सवाल-

Question-1.यदि (If) ,u=\sin ^{ -1 }{ \left( \frac { { x }^{ \frac { 1 }{ 4 } }+{ y }^{ \frac { 1 }{ 4 } } }{ { x }^{ \frac { 1 }{ 5 } }+{ y }^{ \frac { 1 }{ 5 } } } \right) } तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 20 } tanu
Solution-यहां u समघात फलन नहीं है, परन्तु दिए हुए फलन को निम्न प्रकार लिख सकते हैं-
sinu=\frac { { x }^{ \frac { 1 }{ 4 } }+{ y }^{ \frac { 1 }{ 4 } } }{ { x }^{ \frac { 1 }{ 5 } }+{ y }^{ \frac { 1 }{ 5 } } } =z(माना)
अब z=\frac { { x }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\left[ 1+{ \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ \frac { 1 }{ 4 } } \right] }{ { x }^{ \frac { 1 }{ 5 } }\left[ 1+{ \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ \frac { 1 }{ 5 } } \right] } \\ z=\frac { { x }^{ \frac { 1 }{ 20 } }\left[ 1+{ \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ \frac { 1 }{ 4 } } \right] }{ \left[ 1+{ \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ \frac { 1 }{ 5 } } \right] }

अतः z, चरों x तथा y का \frac { 1 }{ 20 } घात का समघात फलन है।
आयलर प्रमेय से-

x\frac { \partial z }{ \partial x } +y\frac { \partial z }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 20 } z....(1)\\ z=sinu\\ \frac { \partial z }{ \partial x } =cosu\frac { \partial u }{ \partial x } तथा \frac { \partial z }{ \partial y } =cosu\frac { \partial u }{ \partial y }
समीकरण (1) में तथा का मान रखने पर-

x.cosu\frac { \partial u }{ \partial x } +y.cosu\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 20 } sinu\\ \Rightarrow x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 20 } \frac { sinu }{ cosu } \\ \Rightarrow x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 20 } tanu

Question-2.यदि (If) , u=\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { { y }^{ 2 } }{ x } \right) } तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that){ x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =-sin2u.{ sin }^{ 2 }u
Solution-u=\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { { y }^{ 2 } }{ x } \right) } \\ tanu=\frac { { y }^{ 2 } }{ x } =z(माना)

अतः z, चरों x तथा y का एक घात का समघात फलन है।
आयलर प्रमेय से-

x\frac { \partial z }{ \partial x } +y\frac { \partial z }{ \partial y } =1.z....(1)\\ z=tanu\\ \frac { \partial z }{ \partial x } ={ sec }^{ 2 }u\frac { \partial u }{ \partial x }

तथा \frac { \partial z }{ \partial y } ={ sec }^{ 2 }u\frac { \partial u }{ \partial y }
समीकरण (1) में \frac { \partial z }{ \partial x } तथा \frac { \partial z }{ \partial y } का मान रखने पर-

x.{ sec }^{ 2 }u\frac { \partial u }{ \partial x } +y.{ sec }^{ 2 }u\frac { \partial u }{ \partial y } =tanu\\ \Rightarrow x.\frac { \partial u }{ \partial x } +y.\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { tanu }{ { sec }^{ 2 }u } \\ \Rightarrow x.\frac { \partial u }{ \partial x } +y.\frac { \partial u }{ \partial y } =tanu.{ cos }^{ 2 }u......(2)
समीकरण (2) का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { \partial u }{ \partial x } +x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } =1.\frac { \partial u }{ \partial x } +2tanu.cosu\left( -sinu \right) \frac { \partial u }{ \partial x } \\ \Rightarrow \frac { \partial u }{ \partial x } +x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } =\left( 1-2{ sin }^{ 2 }u \right) \frac { \partial u }{ \partial x } \\ \Rightarrow \frac { \partial u }{ \partial x } +x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } =cos2u\frac { \partial u }{ \partial x } .....(3)

पुनःसमीकरण (2) का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } +\frac { \partial u }{ \partial y } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =1.\frac { \partial u }{ \partial y } +2tanu.cosu\left( -sinu \right) \frac { \partial u }{ \partial y } \\ \Rightarrow x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } +\frac { \partial u }{ \partial y } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =\left( 1-2{ sin }^{ 2 }u \right) \frac { \partial u }{ \partial y } \\ \Rightarrow x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } +\frac { \partial u }{ \partial y } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =cos2u\frac { \partial u }{ \partial y } ......(4)
समीकरण (3) को x से तथा (4) को y से गुणा करके जोड़ने पर-

x\frac { \partial u }{ \partial x } +{ x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =x.cos2u\frac { \partial u }{ \partial x } +y.cos2u\frac { \partial u }{ \partial y } \\ \Rightarrow { x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =\left( x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } \right) \left( cos2u-1 \right) \\ \Rightarrow { x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =tanu.{ cos }^{ 2 }u\left( cos2u-1 \right) \\ \Rightarrow { x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =sinu.cosu\left( -2{ sin }^{ 2 }u \right) \\ \Rightarrow { x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =-sin2u.\left( { sin }^{ 2 }u \right)

Question-3.यदि (If) ,u=\sin ^{ -1 }{ \left[ \frac { x+y }{ x-y } \right] } तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that){ x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =0
Solution-u=\sin ^{ -1 }{ \left\lfloor \frac { \left( x+y \right) }{ \left( x-y \right) } \right\rfloor } \\ \sin { u= } \left( \frac { x+y }{ x-y } \right) =z(माना)
अतः z, चरों x तथा y का शून्य घात का समघात फलन है।
आयलर प्रमेय से-

x\frac { \partial z }{ \partial x } +y\frac { \partial z }{ \partial y } =0.z\\ x\frac { \partial z }{ \partial x } +y\frac { \partial z }{ \partial y } =0......(1)\\ z=\sin { u } \\ \frac { \partial z }{ \partial x } =\cos { u\frac { \partial u }{ \partial x } }
तथा \frac { \partial z }{ \partial y } =\cos { u\frac { \partial u }{ \partial y } }
समीकरण (1) में \frac { \partial z }{ \partial x } तथा \frac { \partial z }{ \partial y } का मान रखने पर-

x.\cos { u\frac { \partial u }{ \partial x } +y } .\cos { u\frac { \partial u }{ \partial y } =0 } \\ x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =0......(2)
समीकरण (2) का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac { \partial u }{ \partial x } +x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } =0.......(3)
पुनःसमीकरण (2) का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } +\frac { \partial u }{ \partial y } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =0.........(4)
समीकरण (3) को x से तथा (4) को y से गुणा करके जोड़ने पर-

x\frac { \partial u }{ \partial x } +{ x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }y }{ \partial { x }^{ 2 } } +xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +y\frac { \partial u }{ \partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =0\\ \Rightarrow \left( x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } \right) +{ x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =0\\ { \Rightarrow 0+x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =0\\ { \Rightarrow x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =0

Question-4.यदि (If) ,u=\sin ^{ -1 }{ \left( \frac { x+y }{ \sqrt { x } +\sqrt { y } } \right) } तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } \tan { u }
Solution-u=\sin ^{ -1 }{ \left( \frac { x+y }{ \sqrt { x } +\sqrt { y } } \right) } \\ \sin { u= } \frac { x+y }{ \sqrt { x } +\sqrt { y } } =z(माना)
अतः z, चरों x तथा y का घात का समघात फलन है।
आयलर प्रमेय से-

x\frac { \partial z }{ \partial x } +y\frac { \partial z }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } z\\ z=\sin { u } \\ \frac { \partial z }{ \partial x } =\cos { u\frac { \partial u }{ \partial x } }
तथा \frac { \partial z }{ \partial y } =\cos { u } \frac { \partial u }{ \partial y }

समीकरण (1) में \frac { \partial z }{ \partial x } तथा \frac { \partial z }{ \partial y } का मान रखने पर-

x.\cos { u\frac { \partial u }{ \partial x } +y } \cos { u } \frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } \sin { u } \\ x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } \frac { \sin { u } }{ \cos { u } } \\ x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } \tan { u }
उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा समघात पर आयलर प्रमेय (Euler theorem of homogeneous function) को समझा जा सकता है।

Also Read This Article:-Euler theorem of homogeneous functions

No.Social MediaUrl
1.Facebookclick here
2.you tubeclick here
3.Twitterclick here
4.Instagramclick here
5.Linkedinclick here
6.Facebook Pageclick here

No Responses

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *