1.अभिसरण के लिए राबी परीक्षण (Raabe Test for Convergence),अभिसरण व अपसरण के लिए राबी परीक्षण (Raabe Test for Convergence and Divergence):

अभिसरण के लिए राबी परीक्षण (Raabe Test for Convergence) द्वारा किसी श्रेणी के अभिसारी व अपसारी होने की जाँच करेंगे।निम्न उदाहरणों से यह स्पष्ट हो जाएगा।
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2.अभिसरण के लिए राबी परीक्षण के साधित उदाहरण (Raabe Test for Convergence Solved Examples):

निम्न श्रेणियों के अभिसरण तथा अपसरण की जाँच कीजिए:
(Test the convergence and divergence of the following series):
Example:1. \frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9}+\cdots \cdots
Solution: \frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9}+\cdots \cdots \\ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \Rightarrow a_n=a+(n-1) d \Rightarrow 2 n-1 \\ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \Rightarrow 2+(n-1) 2 \Rightarrow 2 n \\ 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \Rightarrow 3+(n-1) 2 \Rightarrow 2 n+1
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो

u_n=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdots 2n(2 n+1)}
तथा u_{n+1}=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots \ldots (2 n-1)(2 n+1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots 2 n(2 n+2)(2 n+3)} \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_{n+1}}= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdots 2n(2 n+1)}}{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots \ldots (2 n-1)(2 n+1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots 2 n(2 n+2)(2 n+3)}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots 2 n(2n+1)} \times \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots 2n(2 n+2)(2 n+3)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots (2 n-1)(2 n+1)} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(2 n+2)(2 n+3)}{(2 n+1)^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2\left(2+\frac{2}{n}\right) \left(2+\frac{3}{n}\right)}{n^2\left(2+\frac{1}{n}\right)^2} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_{n+1}}=1 
अतः दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
पुनः \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{\left(2+\frac{2}{n}\right)\left(2+\frac{3}{n}\right)}{\left(2+\frac{1}{n}\right)^2} -1 \right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{4+\frac{10}{n}+\frac{6}{n^2}-4-\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2}}{\left(2+\frac{1}{n}\right)^2}\right] \\=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[ \frac{\frac{6}{n}+\frac{5}{n^2}}{\left(2+\frac{1}{n}\right)^2}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \times \frac{1}{n}\left[\frac{6+\frac{5}{n}}{\left(2+\frac{1}{n}\right)^2}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{6+\frac{5}{n}}{\left(2+\frac{1}{n}\right)^2}\right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=\frac{3}{2}>1
अतः राबी परीक्षण से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
Example:2. 1+\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{2}+\frac{2 \cdot 4}{1 \cdot 3} \cdot \frac{1}{3}+\frac{2 \cdot 4 \cdot 6}{1 \cdot 3 \cdot 5} \cdot \frac{1}{4}+\cdots
Solution: 1+\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{2}+\frac{2 \cdot 4}{1 \cdot 3} \cdot \frac{1}{3}+\frac{2 \cdot 4 \cdot 6}{1 \cdot 3 \cdot 5} \cdot \frac{1}{4}+\cdots \\ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots a_n=a+(n-1) d \Rightarrow 2 n \\ 1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots 1+(n-1)2 \Rightarrow 2 n-1 \\ 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots 2+(n-1)1 \Rightarrow n+1
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2 n}{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)} \cdot \frac{1}{(n+1)} तथा u_{n+1}=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2 n(2 n+2)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2 n-1)(2 n+1)} \cdot \frac{1}{(n+2)}  \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{u_n}{u_{n+1}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{ \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2 n}{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2 n-1)} \cdot \frac{1}{n+1}}{\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2 n(2 n+2)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2 n-1)(2 n+1)} \cdot \frac{1}{(n+2)}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2 n}{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2 n-1)} \cdot \frac{1}{n+1} \times \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2 n-1)(2 n+1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2 n(2 n+2)} \cdot \frac{(n+2)}{1} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(2 n+1)(n+2)}{(n+1)(2 n+2)} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2(2+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})}{n^2(1+\frac{1}{n})(2+\frac{2}{n})} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_{n+1}}=1 
अतः दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
पुनः \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{\left(2+\frac{1}{n}\right)(1+\frac{2}{n})}{(1+\frac{1}{n})(2+\frac{2}{n})}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{2+\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2}-2-\frac{4}{n}-\frac{2}{n^2}}{(1+\frac{1}{n})\left(2+\frac{2}{n}\right)}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n \times \frac{1}{n}}{(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})} \\ =\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=\frac{1}{2}<1
अतः राबी परीक्षण से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
Example:3. \frac{1^2}{4^2}+\frac{1^2 \cdot 5^2}{4^2 \cdot 8^2}+\frac{1^2 \cdot 5^2 \cdot 9^2}{4^2 \cdot 8^2 \cdot 12^2}+\frac{1 \cdot 5^2 \cdot 9^2 \cdot 13^2}{4^2 \cdot 8^2 \cdot 12^2 \cdot 16^2}+\ldots
Solution: \frac{1^2}{4^2}+\frac{1^2 \cdot 5^2}{4^2 \cdot 8^2}+\frac{1^2 \cdot 5^2 \cdot 9^2}{4^2 \cdot 8^2 \cdot 12^2}+\frac{1 \cdot 5^2 \cdot 9^2 \cdot 13^2}{4^2 \cdot 8^2 \cdot 12^2 \cdot 16^2}+\ldots \\ 1 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 13 \ldots a_n=a+(n-1) d \Rightarrow 4 n-3 \\ 4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16 \cdots 4+(n-1) 4 \Rightarrow 4 n
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो

u_n=\frac{1^2 \cdot 5^2 \cdot 9^2 \cdot 13^2 \ldots(4 n-3)^2}{4^2 \cdot 8^2 \cdot 12^2 \cdot 16^2 \cdots(4 n)^2}
तथा u_{n+1}=\frac{1^2 \cdot 5^2 \cdot 9^2 \cdot 13^2 \cdots(4 n-3)^2(4 n+1)^2}{4^2 \cdot 8^2 \cdot 12^2 \cdot 16^2 \cdots(4 n)^2(4 n+4)^2} \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1^2 \cdot 5^2 \cdot 9^2 \cdot 13^2 \ldots(4 n-3)^2}{4^2 \cdot 8^2 \cdot 12^2 \cdot 16^2 \ldots \cdot(4 n)^2}}{\frac{1^2 \cdot 5^2 \cdot 9^2 \cdot 13^2 \cdots(4 n-3)^2(4 n+1)^2}{4^2 \cdot 8^2 \cdot 12^2 \cdot 16^2 \cdots(4 n)^2(4 n+4)^2}} \\ =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^2 \cdot 5^2 \cdot 9^2 \cdot 13^2 \cdots(4 n-3)^2}{4^2 \cdot 8^2 \cdot 12^2 \cdot 16^2-(4 n)^2} \times \frac{4^2 \cdot 8^2 \cdot 12^2 \cdot 16^2 \ldots (4n)^{2} (4 n+1)^2}{1^2 \cdot 5^2 \cdot 9^2 \cdot 13^2 \ldots (4n-3)^2(4 n+1)^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(4 n+4)^2}{(4 n+1)^2}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2(4 +\frac{4}{n})^2}{n^2(4+\frac{1}{n})^2} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_{n+1}}=1
अतः दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
पुनः \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{(4 +\frac{4}{n})^2}{(4+\frac{1}{n})^2}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{16+\frac{32}{n}+\frac{16}{n^2}-16-\frac{8}{n}-\frac{1}{n^2}}{(4+\frac{1}{n})^2}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{\frac{24}{n}+\frac{15}{n^2}}{(4+\frac{1}{n})^2}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \times \frac{1}{n}\left[\frac{24+\frac{15}{n}}{(4+\frac{1}{n})^2} \right] \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=\frac{3}{2}>1
अतः राबी परीक्षण से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
Example:4. \frac{2^2 \cdot 4^2}{3^2 \cdot 3^2}+\frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2}{3^2 \cdot 3^2 \cdot 6^2 \cdot 6^2}+\cdots+\frac{2^2 \cdot 4^2 \ldots (3 n-1)^2(3 n+1)^2}{3^2 \cdot 3^2 \ldots (3 n)^2(3 n)^2}
Solution: \frac{2^2 \cdot 4^2}{3^2 \cdot 3^2}+\frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2}{3^2 \cdot 3^2 \cdot 6^2 \cdot 6^2}+\cdots+\frac{2^2 \cdot 4^2 \ldots (3 n-1)^2(3 n+1)^2}{3^2 \cdot 3^2 \ldots (3 n)^2(3 n)^2}
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो

u_n=\frac{2^2 \cdot 4^2 \ldots (3 n-1)^2(3 n+1)^2}{3^2 \cdot 3^2 \ldots (3 n)^2(3 n)^2}
तथा u_{n+1}=\frac{2^2 \cdot 4^2 \ldots (3 n-1)^2(3 n+1)^2(3 n+2)^2(3 n+4)^2}{3^2 \cdot 3^2 \ldots (3 n)^2(3 n)^2(3 n+3)^2(3 n+3)^2} \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{2^2 \cdot 4^2 \ldots (3 n-1)^2(3 n+1)^2}{3^2 \cdot 3^2 \ldots (3 n)^2(3 n)^2}}{\frac{2^2 \cdot 4^2 \ldots (3 n-1)^2(3n+1)^2(3 n+2)^2(3 n+4)^2}{3^2 \cdot 3^2 \ldots (3 n)^2(3 n)^2(3 n+3)^2(3 n+3)^2}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2^2 \cdot 4^2 \ldots (3 n-1)^2(3 n+1)^2}{3^2 \cdot 3^2 \ldots (3 n)^2(3 n)^2} \times \frac{3^2 \cdot 3^2 \ldots (3 n)^2(3 n)^2(3 n+3)^2(3 n+3)^2}{2^2 \cdot 4^2 \ldots (3 n-1)^2(3 n+1)^2(3 n+2)^2(3 n+4)^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(3 n+3)^2(3 n+3)^2}{(3 n+2)^2(3 n+4)^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2(3+\frac{3}{n})^2(3+\frac{3}{n})^2}{n^2(3+ \frac{2}{n})^2\left(3+\frac{4}{n}\right)^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(3+\frac{3}{n})^2(3+\frac{3}{n})^2}{\left(3+\frac{2}{n}\right)^2\left(3+\frac{4}{n}\right)^2} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=1
अतः दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
पुनः \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{\left(3+\frac{3}{n}\right)^2\left(3+\frac{3}{n}\right)^2}{\left(3+\frac{2}{n}\right)^2 \left(3+\frac{4}{n}\right)^2}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{81+\frac{324}{n}+\frac{486}{n^2}+\frac{324}{n^3}+\frac{81}{n^ 4}-81-\frac{324}{n}-\frac{468}{n^2}-\frac{288}{n^3}-\frac{16}{n^4}}{\left(3+\frac{2}{n}\right)^2\left(3+\frac{4}{n}\right)^2} \right] \\=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{\frac{18}{n^2}+\frac{36}{n^3}+\frac{65}{n^4}}{\left(3+\frac{2}{n}\right)^2 \left(3+\frac{4}{n}\right)^2}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \times \frac{1}{n^2} \left[\frac{18+\frac{36}{n}+\frac{65}{n^2}}{\left[\left(3+\frac{2}{n}\right)^2\left(3+\frac{4}{n}\right)^2 \right]}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{18+\frac{36}{n}+\frac{65}{n^2}}{n\left(3+\frac{2}{n}\right)^2\left(3+\frac{4}{n}\right)^2} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=0<1
अतः राबी परीक्षण से दी हुई श्रेणी अभिसारी है।
Example:5. \frac{1}{2} x+\frac{2}{3} x^2+\frac{3}{4} x^3+\frac{4}{5} x^4+\cdots
Solution: \frac{1}{2} x+\frac{2}{3} x^2+\frac{3}{4} x^3+\frac{4}{5} x^4+\cdots \\ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots a_n=a+(n-1) d \Rightarrow n \\ 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots 2+(n-1) 1 \Rightarrow n+1
यदि दी हुई श्रेणी को से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{n}{n+1} x^n  तथा u_{n+1}=\frac{n+1}{n+2} x^{n+1} \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\left(\frac{n}{n+1}\right) x^n}{\left(\frac{n+1}{n+2}\right) x^{n+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n}{n+1} x^n \times \frac{n+2}{(n+1)} \cdot \frac{1}{x^{n+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2(1+\frac{2}{n})}{n^2(1+\frac{2}{n})^2} \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\frac{1}{x}
अतः यदि x<1,तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी है,

और यदि x>1,तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_n अपसारी है।
यदि x=1,तब दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
अतः x=1 पर \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{n^2+2 n-n^2-2 n-1}{(n+1)^2}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{-1}{n^2(1+\frac{1}{n})^2}\right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=0<1
अतः राबी परीक्षण से \Sigma u_{n} अपसारी है।
फलतः दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी, यदि x<1 तथा अपसारी होगी,यदि x \geq 1 हो।

Example:6. \frac{3 \cdot 4}{1 \cdot 2} x+\frac{4 \cdot 5}{2 \cdot 3} x^2+\frac{5 \cdot 6}{3 \cdot 4} x^3+\ldots

Solution: \frac{3 \cdot 4}{1 \cdot 2} x+\frac{4 \cdot 5}{2 \cdot 3} x^2+\frac{5 \cdot 6}{3 \cdot 4} x^3+\ldots \\ 3 \cdot 4 \cdot 5 \ldots a_n=a+(n-1) d \Rightarrow n+2 \\ 4 \cdot 5 \cdot 6 \ldots 4+(n-1) 1 \Rightarrow n+3 \\ 1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots 1+(n-1) 1 \Rightarrow n \\ 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots 2+(n-1) 1 \Rightarrow n+1 

यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो

u_n=\frac{(n+2)(n+3)}{n(n+1)} x^n तथा u_{n+1}=\frac{(n+3)(n+4)}{(n+1)(n+2)} \cdot x^{n+1} \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{(n+2)(n+3)}{n(n+1)} x^n}{\frac{(n+3)(n+4)}{(n+1)(n+2)} x^{n+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(n+2)(n+3) x^{n}}{n(n+1)} \times \frac{(n+1)(n+2)}{(n+3)(n+4)} \times \frac{1}{x^{n+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(n+2)^2}{n(n+4)} \cdot \frac{1}{x} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2(1+\frac{2}{n})}{n^2(1+\frac{4}{n})} \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\frac{1}{x}

अतः यदि x<1,तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी है,

और यदि x>1,तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अपसारी है।
यदि x=1,तब दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
अतः x=1 पर 

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(n+2)^2}{n(n+4)} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{(n+2)^2}{n(n+4)}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{n^2+4 n+4-n^2-4 n}{n(n+4)}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left(\frac{4}{n^2(1+\frac{4}{n})}\right) \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{4}{n(1+\frac{4}{n})} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=0<1
अतः राबी परीक्षण से \Sigma u_{n} अपसारी है।
फलतः दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी, यदि x<1 तथा अपसारी होगी,यदि x \geq 1 हो।

Example:7. \frac{x}{1}+\frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{3}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^3}{5}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot \frac{x^4}{7}+\cdots 

Solution: \frac{x}{1}+\frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{3}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^3}{5}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot \frac{x^4}{7}+\cdots

यदि दी हुई श्रेणी में प्रथम पद को छोड़ दिया जाए तो इसका अभिसरण प्रभावित नहीं होता।अतः मान लो

\Sigma u_n=\frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{3}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^3}{5}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot \frac{x^4}{7}+\ldots \\ 1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots a_n=a+(n-1) d \Rightarrow 2 n-1 \\ 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots a_n=2+(n-1) \Rightarrow n+1 \\ 2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots a_n=2+(n-1) 2 \Rightarrow 2 n \\ 3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots a_n=3+(n-1) 2 \Rightarrow 2 n+1 \\ u_n=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2n} \cdot \frac{x^{n+1}}{(2 n+1)} तथा u_{n+1}=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)(2 n+1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2 n(2 n+2)} \cdot \frac{x^{n+2}}{2 n+3} 

अब  \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2n} \cdot \frac{x^{n+1}}{(2 n+1)}}{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)(2 n+1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2 n(2 n+2)} \cdot \frac{x^{n+2}}{2 n+3}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2n} \cdot \frac{x^{n+1}}{(2 n+1)} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2 n(2 n+2)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)(2 n+1)} \cdot \frac{2 n+3}{x^{n+2}} \\ = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(2 n+2)(2 n+3)}{(2 n+1)^2} \cdot \frac{1}{x} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2\left(2+\frac{2}{n}\right)\left(2 +\frac{3}{n}\right)}{n^2(2+\frac{1}{n})^2} \cdot \frac{1}{x} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(2+ \frac{2}{n})\left(2+\frac{3}{n}\right)}{(2+\frac{1}{n})^2} \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\frac{1}{x}

अतः यदि x<1,तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी है,

और यदि x>1,तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_n अपसारी है।
यदि x=1,तब दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
अतः x=1 पर

\Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(2 n+2)(2 n+3)}{(2 n+1)^2} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{(2 n+2)(2 n+3)}{(2 n+1)^2}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{\left.4 n^2+10 n+6-4 n^2-4 n-5 \right]}{(2 n+1)^2}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{6 n+5}{(2 n+1)^2}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n^2\left[\frac{6+\frac{5}{n}}{n^2(2+\frac{1}{n})^2}\right] \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=\frac{3}{2}>1
अतः राबी परीक्षण से \Sigma u_{n} अभिसारी है।
फलतः दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी, यदि तथा अपसारी होगी,x>1 यदि x \geq 1 हो।

Example:8. 1+\frac{1}{2} x+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} x^2+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} x^3+\ldots
Solution: 1+\frac{1}{2} x+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} x^2+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} x^3+\ldots
यदि दी हुई श्रेणी में प्रथम पद को छोड़ दिया जाए तो इसका अभिसरण प्रभावित नहीं होता।अतः मान लो
\Sigma u_{n}=\frac{1}{2} x+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} x^2+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} x^3+ \ldots \\ 1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots a_n=a+(n-1) d \Rightarrow 2 n-1 \\ 1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots 1+(n-1) \Rightarrow n \\ 2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2+(n-1) 2 \Rightarrow 2 n \\ u_n=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2 n} x^n तथा u_{n+1}=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)(2 n+1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2 n(2 n+2)} x^{n+1}
अब \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2 n} x^n}{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)(2 n+1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2 n(2 n+2)} x^{n+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2 n} x^n \times \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2 n(2 n+2)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)(2 n+1)} \frac{1}{x^{n+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2 n+2}{2 n+1} \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left( \frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n(2+\frac{2}{n})}{n(2+\frac{1}{n})} \cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x}
अतः यदि x<1,तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी है,

और यदि x>1,तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_n अपसारी है।
यदि x=1,तब दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
अतः x=1 पर

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_n+1}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2 n+2}{2 n+1} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}} -1\right]=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{2 n+2}{2 n+1}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{2 n+2-2 n-1}{2 n+1}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{1}{n(2+\frac{1}{n})}\right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right] =\frac{1}{2}<1
अतः राबी परीक्षण से अपसारी है।
फलतः दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी, यदि x<1 तथा अपसारी होगी,यदि x \geq 1 हो।

Example:9. \frac{3}{4} \cdot \frac{x}{5}+\frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 7} \cdot \frac{x^2}{8}+\frac{3 \cdot 6 \cdot 9}{4 \cdot 7 \cdot 10} \cdot \frac{x^3}{11}+\cdots

Solution: \frac{3}{4} \cdot \frac{x}{5}+\frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 7} \cdot \frac{x^2}{8}+\frac{3 \cdot 6 \cdot 9}{4 \cdot 7 \cdot 10} \cdot \frac{x^3}{11}+\cdots \\ 3 \cdot 6 \cdot 9 \ldots a_{n}=a+(n-1) d \Rightarrow 3 n \\ 1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots 1+(n-1) 1 \Rightarrow n \\ 4 \cdot 7 \cdot 10 \cdots 4+(n-1) 3 \Rightarrow 3 n+1 \\ 5 \cdot 8 \cdot 11 \cdots 5+(n-1) 3 \Rightarrow 3 n+2

यदि दी हुई श्रेणी को से प्रदर्शित किया जाए,तो

u_n=\frac{3 \cdot 6 \cdot 9 \ldots 3 n}{4 \cdot 7 \cdot 10 \ldots (3 n+1)} \cdot \frac{x^n}{3 n+2}

तथा u_{n+1}=\frac{3 \cdot 6 \cdot 9 \ldots 3 n(3 n+3)}{4 \cdot 7 \cdot 10 \ldots (3 n+1)(3 n+4)} \cdot \frac{x^{n+1}}{3 n+5} \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}} \right)= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{3 \cdot 6 \cdot 9 \ldots 3 n}{4 \cdot 7 \cdot 10 \ldots (3 n+1)} \cdot \frac{x^n}{3 n+2}}{\frac{3 \cdot 6 \cdot 9 \ldots 3 n(3 n+3)}{4 \cdot 7 \cdot 10 \ldots (3 n+1)(3 n+4)} \cdot \frac{x^{n+1}}{3 n+5}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{3 \cdot 6 \cdot 9 \ldots 3 n}{4 \cdot 7 \cdot 10 \ldots (3 n+1)} \cdot \frac{x^n}{3 n+2} \times \frac{4 \cdot 7 \cdot 10 \ldots (3 n+1)(3 n+4)}{3 \cdot 6 \cdot 9 \ldots 3 n(3 n+3)} \cdot \frac{3 n+5}{x^{n+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(3 n+4)(3 n+5)}{(3 n+2)(3 n+3)} \cdot \frac{1}{x} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2\left(3+\frac{4}{n}\right)\left(3+\frac{5}{n}\right)}{n^2\left(3+\frac{2}{n}\right) \left(3+\frac{3}{n}\right)} \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}} \right) =\frac{1}{x}

अतः यदि x<1,तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी है,

और यदि x>1,तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_n अपसारी है।
यदि x=1,तब दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
अतः x=1 पर

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}} \right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(3 n+4)(3 n+5)}{(3 n+2)(3 n+3)} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\left(\frac{u_n}{u_{n+1}} \right)-1\right]=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{(3 n+4)(3 n+5)}{(3 n+2)(3 n+3)}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{9 n^2+27 n+20-9 n^2-15 n-6}{(3 n+2)(3 n+3)}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{12 n+14}{n^2(3+\frac{2}{n})(3+\frac{3}{n})}\right] \\= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2}{n^2}\left[\frac{12+\frac{14}{n}}{\left(3+\frac{2}{n}\right)(3+\frac{3}{n})}\right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=\frac{4}{3}>1
अतः राबी परीक्षण से \Sigma u_n  अभिसारी है।
फलतः दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी, यदि x \geq 1 तथा अपसारी होगी,x>1 यदि हो।
Example:10. \frac{1^2}{2^2}+\frac{1^2 \cdot 3^2}{2^2 \cdot 4^2} x+\frac{1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2} x^2+\ldots
Solution: \frac{1^2}{2^2}+\frac{1^2 \cdot 3^2}{2^2 \cdot 4^2} x+\frac{1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2} x^2+\ldots \\ 1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots a_n=a+(n-1) d \Rightarrow 2 n-1 \\ 0 \cdot 1 \cdot 2 \ldots 0+(n-1) 1 \Rightarrow n-1 \\ 2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2+(n-1) 2 \Rightarrow 2 n
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma u_n से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \ldots (2 n-1)^2}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \cdots(2 n)^2} \cdot x^{n-1} तथा u_{n+1}=\frac{1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \ldots (2 n-1)^2(2 n+1)^2}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \ldots (2 n)^2(2 n+2)^2} x^n \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}} \right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \ldots (2 n-1)^2}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \cdots(2 n)^2} \cdot x^{n-1}}{\frac{1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \ldots (2 n-1)^2(2 n+1)^2}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \ldots(2 n)^2(2 n+2)^2} x^n } \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \ldots (2 n-1)^2}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \cdots(2 n)^2} \cdot x^{n-1} \times \frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \ldots(2 n)^2(2 n+2)^2}{1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \ldots (2 n-1)^2(2 n+1)^2} \cdot \frac{1}{x^n} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(2 n+2)^2}{(2 n+1)^2} \cdot \frac{1}{x} \\=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{n^2\left(2+\frac{2}{n}\right)^2}{n^2(2 +\frac{1}{n})^2} \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}} \right)=\frac{1}{x}
अतः यदि x<1,तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी है,

और यदि x>1,तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_n अपसारी है।
यदि x=1,तब दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
अतः x=1 पर

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}} \right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(2 n+2)^2}{(2 n+1)^2} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{(2 n+2)^2}{(2 n+1)^2}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{4 n^2+8 n+4-4 n^2-4 n-1}{(2 n+1)^2}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{4 n+3}{(2 n+1)^2}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2}{n^2}\left[\frac{4+\frac{3}{n}}{(2+\frac{1}{n})^2}\right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}\right]=1
अतः राबी परीक्षण से असफल रहता है।
पुनः \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)-1\right] \log n =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{4 n^2+3 n}{(2 n+1)^2}-1\right] \log n \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{4 n^2+3 n-4 n^2-4 n-1}{(2 n+1)^2}\right] \log n \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{-n-1}{(2n+1)^2} \cdot \log n \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n}{n}\left[\frac{-1-\frac{1}{n}}{(2+\frac{1}{n})^2}\right] \cdot \frac{\log n}{n} \\ =-\frac{1}{2}(0) \quad \left[\because \frac{\log n}{n}=0\right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)-1\right] \log n=0<1
अतः डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स से दी हुई श्रेणी अपसारी है।
फलतः दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी, यदि x<1 तथा अपसारी होगी,यदि x \geq 1 हो।

Example:11. x^2+\frac{2^2}{3 \cdot 4} x^4+\frac{2^2 \cdot 4^2}{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} x^6+\frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 }{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} x^8+\cdots

Solution: x^2+\frac{2^2}{3 \cdot 4} x^4+\frac{2^2 \cdot 4^2}{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} x^6+\frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 }{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} x^8+\cdots

यदि दी हुई श्रेणी में प्रथम पद को छोड़ दिया जाए तो इसका अभिसरण प्रभावित नहीं होता।अतः मान लो

\Sigma {u}_n=\frac{2^2}{3 \cdot 4} x^4+\frac{2^2 \cdot 4^2}{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} x^6+\frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2}{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} x^8+\cdots \\ 2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots a_n=a+(n-1) d \Rightarrow 2 n \\ 3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots 3+(n-1) 2 \Rightarrow 2 n+1 \\ 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdots 4+(n-1) 2 \Rightarrow 2 n+2 \\ u_n=\frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \ldots (2 n)^2}{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \ldots(2 n+1)(2 n+2)} x^{2 n+2} तथा u_{n+1}=\frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot6^2 \ldots (2 n)^2}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots(2 n+1)(2n+3) 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdots(2 n+2)(2 n+4)} x^{2 n+4}

अब \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}} \right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \ldots (2 n)^2}{3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots(2 n+1) 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots (2 n+2)} x^{2 n+2}}{\frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot6^2 \ldots (2 n)^2 (2 n+2)^2}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots(2 n+1)(2n+3) 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdots(2 n+2)(2 n+4)} x^{2 n+4}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \ldots (2 n)^2}{3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots(2 n+1) 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots (2 n+2)} x^{2 n+2} \times \frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots(2 n+1)(2n+3) 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdots(2 n+2)(2 n+4)}{2^2 \cdot 4^2 \cdot6^2 \ldots (2 n)^2 (2 n+2)^2} \frac{1}{x^{2 n+4}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(2 n+3)(2 n+4)}{(2 n+2)^2 x^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2(2+\frac{3}{n})\left(2+\frac{4}{n}\right)}{n^2(2+\frac{2}{n})^2 x^2} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\frac{1}{x^2}

अतः यदि x^2<1 ,तब \frac{1}{x^2}>1 \Rightarrow \Sigma u_n  अभिसारी है,

और यदि x^2>1 ,तब \frac{1}{x^2}>1 \Rightarrow \Sigma u_n  अपसारी है।

यदि x^2=1,तब दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।

अतः x^2=1 पर

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}} \right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(2 n+3)(2 n+4)}{(2 n+2)^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1 \right]=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{(2 n+3)(2 n+4)}{(2 n+2)^2}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{4 n^2+4 n+12-4 n^2-8 n-4}{(2 n+2)^2}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n(6 n+8)}{n^2(2+\frac{2}{n})^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2(6+\frac{8}{n})}{n^2(2+\frac{2}{n})^2} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=\frac{3}{2}<1

अतः राबी परीक्षण से \Sigma u_n अपसारी है।

फलतः दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी, यदि x^2 \leq 1 तथा अपसारी होगी,यदि x^2 > 1 हो।

Example:12. \frac{x}{2}+\frac{1 \cdot 3}{ 2 \cdot 4} \cdot \frac{x^3}{6}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8} \cdot \frac{x^5}{10}+ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12} \cdot \frac{x^7}{14}+\cdots

Solution: \frac{x}{2}+\frac{1 \cdot 3}{ 2 \cdot 4} \cdot \frac{x^3}{6}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8} \cdot \frac{x^5}{10}+ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12} \cdot \frac{x^7}{14}+\cdots

यदि दी हुई श्रेणी में प्रथम पद को छोड़ दिया जाए तो इसका अभिसरण प्रभावित नहीं होता।अतः मान लो

\Sigma u_n=\frac{x}{2}+\frac{1 \cdot 3}{ 2 \cdot 4} \cdot \frac{x^3}{6}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8} \cdot \frac{x^5}{10}+ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12} \cdot \frac{x^7}{14}+\cdots\\ 1 \cdot 5 \cdot 9 \ldots a_n=a+(n-1) d \Rightarrow 4 n-3 \\ 3 \cdot 7 \cdot 11 \ldots 3+(n-1) 4 \Rightarrow 4 n+1 \\ 3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots 3+(n-1) 2 \Rightarrow 2n+1 \\ 2 \cdot 6 \cdot 10 \ldots 2+(n-1) 4 \Rightarrow 4 n+2 \\ 4 \cdot 8 \cdot 12 \ldots 4+(n-1) 4 \Rightarrow 4 n \\ 6 \cdot 10 \cdot 14 \ldots 6+(n-1) 4 \Rightarrow 4n+2 \\ u_{n}=\frac{1 \cdot 5 \cdot 9 \ldots(4 n-3) 3 \cdot 7 \cdot 11 \ldots (4 n+1)}{2 \cdot 6 \cdot 10 \ldots (4 n+2) 4 \cdot 8 \cdot 12 \ldots 4 n} \cdot \frac{x^{2 n+1}}{4 n+2}

तथा u_{n+1}=\frac{1 \cdot 5 \cdot 9 \ldots (4 n-3)(4n+1) 3 \cdot 7 \cdot 11 \ldots (4 n+1)(4 n+5)}{2 \cdot 6 \cdot 10 \ldots (4 n+2)(4 n+6) 4 \cdot 8 \cdot 12 \ldots 4 n(4 n+4) } \cdot \frac{x^{2 n+3}}{4 n+6}  

अब \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}} \right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{1 \cdot 5 \cdot 9 \ldots(4 n-3) 3 \cdot 7 \cdot 11 \ldots (4 n+1)}{2 \cdot 6 \cdot 10 \ldots (4 n+2) 4 \cdot 8 \cdot 12 \ldots 4 n} \cdot \frac{x^{2 n+1}}{4 n+2}}{\frac{1 \cdot 5 \cdot 9 \ldots (4 n-3)(4n+1) 3 \cdot 7 \cdot 11 \ldots (4 n+1)(4 n+5)}{2 \cdot 6 \cdot 10 \ldots (4 n+2)(4 n+6) 4 \cdot 8 \cdot 12 \ldots 4 n(4 n+4) } \cdot \frac{x^{2 n+3}}{4 n+6}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(4 n+4)(4 n+6)}{(4 n+1)(4 n+5)} \cdot \frac{(4 n+6)}{4 n+2} \cdot \frac{1}{x^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^3\left(4+\frac{4}{n}\right)\left(4+\frac{6}{n}\right)^2}{n^3(4+\frac{1}{n})(4+\frac{5}{n})(4+\frac{2}{n})} \cdot \frac{1}{x^2} \\ =\frac{1}{x^2} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}} \right)=\frac{1}{x^2}

अतः यदि x^2<1 ,तब \frac{1}{x^2}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी है,

और यदि x^2 >1 ,तब \frac{1}{x^2}<1 \Rightarrow \Sigma u_n अपसारी है।

यदि x^2 =1,तब दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।

अतः x^2 =1 पर

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}} \right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(4 n+4)(4 n+6)^2}{(4 n+1)(4 n+5)(4n+2)} \\ \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\frac{(4 n+4)(4 n+6)^2}{(4 n+1)(4 n+5)(4 n+2)}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{64 n^3+256 n^2+336 n+144-64 n^3-128 n^2-68 n-10}{(4 n+1)(4 n+5)(4 n+2)}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{128 n^2+268 n+134}{(4 n+1)(4 n+5)(4 n+2)}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^3}{n^3}\left[\frac{128+\frac{268}{n}+\frac{134}{n^2}}{(4+\frac{1}{n})(n+\frac{5}{n})(4+\frac{2}{n})}\right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)=2 > 1

अतः राबी परीक्षण से \Sigma u_n अपसारी है।

फलतः दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी, यदि x^2 \leq 1 तथा अपसारी होगी,यदि x^2 > 1 हो।

Example:13. 1+\frac{(1 !)^2}{2 !} x+\frac{(2 !)^2}{4 !} x^2+\frac{(3 !)^2}{6 !} x^3+\cdots

Solution: 1+\frac{(1 !)^2}{2 !} x+\frac{(2 !)^2}{4 !} x^2+\frac{(3 !)^2}{6 !} x^3+\cdots

यदि दी हुई श्रेणी में प्रथम पद को छोड़ दिया जाए तो इसका अभिसरण प्रभावित नहीं होता।अतः मान लो

\Sigma u_n=\frac{(1 !)^2}{2 !} x+\frac{(2 !)^2}{4 !} x^2+\frac{(3 !)^2}{6 !} x^3+\cdots \\ u_n=\frac{(n !)^2}{(2 n) !} x^n तथा u_{n+1}=\frac{[(n+1)!]^2}{(2 n+2) !} x^{n+1} \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{(n !)^2}{(2 n) !} x^n}{\frac{[(n+1) !]^2}{(2 n+2) !} x^{n+1}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(n !)^2}{(2 n) !} x^n \times \frac{(2 n+2) !}{[(n+1) !]^{2}} \cdot \frac{1}{x^n+1} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(n !)^2}{(2 n) !} \frac{(2 n+2)(2 n+1)(2 n) !}{(n+1)^2(n !)^2} \cdot \frac{1}{x} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(2 n+2)(2 n+1)}{(n+1)^2} \cdot \frac{1}{x} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2 (2+\frac{2}{n})(2+\frac{1}{n})}{n^2(1+\frac{2}{n})^2} \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\frac{4}{x}

अतः यदि x<4,तब \frac{4}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_n अभिसारी है,

और यदि x>4,तब \frac{4}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_n अपसारी है।
यदि x=4,तब दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
अतः x=4 पर

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(2 n+2)(2 n+1)}{(n+1)^2} \cdot \frac{1}{4} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_{n+1}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2 n+1}{2 (n+1)} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \left[\frac{2 n+1}{2 n+2}-1\right]= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{2 n+1-2 n-2}{2 n+2} \right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \frac{(-1)}{n(2+\frac{2}{n})}=-\frac{1}{2}<1
अतः राबी परीक्षण से \Sigma u_n अपसारी है।
फलतः दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी, यदि x<4 तथा अपसारी होगी,यदि x \geq 4 हो।

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अभिसरण के लिए राबी परीक्षण (Raabe Test for Convergence),अभिसरण व अपसरण के लिए राबी परीक्षण (Raabe Test for Convergence and Divergence) को समझ सकते हैं।

3.अभिसरण के लिए राबी परीक्षण पर आधारित सवाल (Questions Based on Raabe Test for Convergence):

निम्न श्रेणियों के अभिसरण तथा अपसरण की जाँच कीजिए: (Test the convergence and divergence of the following series):

(1.) \frac{a}{a+3}+\frac{a(a+2)}{(a+3)(a+5)} x+\frac{a(a+2)(a+4)}{(a+3)(a+5)(a+7)} x^2+\cdots
(2.) \frac{1}{2}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\cdots

उत्तर (Answers):(1.) x \leq 1 अभिसारी ;x>1 अपसारी
(2.)अपसारी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अभिसरण के लिए राबी परीक्षण (Raabe Test for Convergence),अभिसरण व अपसरण के लिए राबी परीक्षण (Raabe Test for Convergence and Divergence) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-D Alembert Ratio Test for Convergence

4.अभिसरण के लिए राबी परीक्षण (Frequently Asked Questions Related to Raabe Test for Convergence),अभिसरण व अपसरण के लिए राबी परीक्षण (Raabe Test for Convergence and Divergence) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

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Raabe Test for Convergence

अभिसरण के लिए राबी परीक्षण
(Raabe Test for Convergence)

Raabe Test for Convergence