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Total Differential Formula

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1 1.सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ (Total Differential Formula),अवकल गुणांक क्या है? (What is Differential Coefficient?)-

1.सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ (Total Differential Formula),अवकल गुणांक क्या है? (What is Differential Coefficient?)-

सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ (Total Differential Formula) को सम्पूर्ण अवकल गुणांक (Total Differential Coefficient) भी कहते हैं।यदि u=f(x,y) तथा x,y का मान t के पदों में हो तो x,y के मान u=f(x,y) में रखने पर u का मान t के पदों में आ जाएगा।इस अवस्था में u एकल चर t का फलन होगा तथा साधारण अवकल गुणांक (Ordinary Differential Coefficient),du/dt ज्ञात किया जा सकता है।\frac{du}{dt}  को u का सम्पूर्ण अवकल गुणांक (Total Differential Coefficient) कहते हैं जिससे उसका आंशिक अवकल गुणांक \frac{\partial u}{\partial x}  तथा \frac{\partial u}{\partial y}  से भिन्नता प्रकट कर सकें।
व्यापकतया (in general) यदि f=f\left(x_{1},x_{2}, x_{3} \cdots x_{n}\right)  तथा x_{1,} x_{2},{x_{3},} \ldots x_{n}  सभी t के फलन हों तो \frac{d y}{d t}=\frac{\partial u}{\partial x_{1}} \cdot \frac{d x_{1}}{d t}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}} \cdot \frac{d x_{2}}{d u}+\cdots+\frac{\partial u}{\partial x_{n}} \cdot \frac{d x_{n}}{d t} 
यदि (If) u=f(x,y), x=\phi\left(t_{1}, t_{2}\right)  तथा (and) y=\psi\left(t_{1}, t_{2}\right)  तो (then)

\frac{\partial u}{\partial t_{1}}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial t_{1}}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t_{1}} 
तथा \frac{\partial u}{\partial t_{2}}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial t_{2}}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t_{2}} 
यदि u=f(x,y) तथा x=\phi(t), y=\psi(t)  हो तो

\frac{d u}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t} \\ \Rightarrow \frac{d u}{d t}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t} 
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2.सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ के उदाहरण (Total Differential Formula Examples),सम्पूर्ण अवकलज उदाहरण समस्याएं (Total Derivative Example Problems)-

Example-1.यदि (If) z=x^{2} y+y^{3} , जहां (Where) x=\log t, y=e^{t}  ;तो \frac{d z}{d t}  का मान ज्ञात कीजिए [Find \frac{d z}{d t}  ]।
Solutionz=x^{2} y+y^{3} \\ \frac{\partial z}{\partial x}=2 x y, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=x^{2}+3 y^{2} \\ x=\log t \\ \frac{d x}{d t}=\frac{1}{t} \\ y=e^{t} \\ \frac{d y}{d t}=e^{t} 
सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ (Total Differential Formula) से-

\frac{d z}{d t} =\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t} \\ =2 x y \cdot \frac{1}{t}+\left(x^{2}+3 y^{2}\right) \cdot e^{t} \\ =\frac{2 \log t \cdot e^{t}}{t}+\left\{(\log t)^{2}+3 e^{2 t}\right\} e^{t} 
[ \because x=\log t  तथा y=e^{t}  ]

\Rightarrow \frac{d z}{d t}=\frac{2 e^{t} \log t}{t}+\left\{(\log t)^{2}+3 e^{2 t} \right\} e^{t} 
Example-2.यदि (If) z=x y^{2}+y x^{2} ; x=a t^{2}, y=2 at   तो \frac{d z}{d t}  का मान ज्ञात कीजिए [find \frac{d z}{d t}  ]।सीधे प्रतिस्थापन द्वारा इसका सत्यापन कीजिए।
Solutionz=x y^{2}+y x^{2} \\ \frac{\partial z}{\partial x}=y^{2}+2 x y, \frac{\partial z}{\partial y}=2 x y+x^{2} \\ x=a t^{2}, y=2 a t \\ \frac{d x}{d t}=2 a t \quad , \frac{d y}{d t}=2 a 
सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ (Total Differential Formula) से-

\frac{d z}{d t} =\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t} \\ =\left(y^{2}+2 x y\right) 2 a t+\left(2 x y+x^{2}\right) \cdot 2 a \\ \left[\because x=a t^{2}, y=2 a t\right] 
अतः \frac{d z}{d t} =\left[(2 a t)^{2}+2\left(a t^{2}\right)(2 a t)\right] 2 a t+\left[2\left(a t^{2}\right)(2 a t)+\left(a t^{2} \right)^{2}\right] 2 a\\ =\left(4 a^{2} t^{2}+4 a^{2} t^{3}\right) 2 a t+\left(4 a^{2} t^{3}+a^{2} t^{4}\right) 2 a \\ =8 a^{3} t^{3}+8 a^{3} t^{4}+8 a^{3} t^{3}+2 a^{3} t^{4} \\ =16 a^{3} t^{3}+10 a^{3} t^{4} \\ \frac{d z}{d t}=2 a^{3} t^{3}(8+5 t) 
सीधे प्रतिस्थापन द्वारा-

z=x y^{2}+y x^{2} \\ \Rightarrow z=\left(a t^{2}\right)(2 a t)^{2}+(2 a t)(a t^{2})^{2} \\ \Rightarrow z=\left(a t^{2}\right)\left(4 a^{2} t^{2}\right)+(2 a t)\left(a^{2} t^{4}\right) \\ \Rightarrow z=4 a^{3} t^{4}+2 a^{3} t^{5} \\ \Rightarrow \frac{d z}{d t}=16 a^{3} t^{3}+10 a^{3} t^{4} \\ \Rightarrow \frac{d z}{d t}=2 a^{3} t^{3}(8+5 t) 
Example-3.यदि (If) u=x^{4} y^{5}  , जहां (Where) x=t^{2} , y=t^{3} ,तो \frac{d u}{d t}  ज्ञात कीजिए [find \frac{d u}{d t}] ।
Solutionu=x^{4} y^{5} \\ \frac{\partial u}{\partial x}=4 x^{3} y^{5}, \frac{\partial u}{\partial y}=5 x^{4} y^{4} \\ x=t^{2}, \quad y=t^{3} \\ \frac{d x}{d t}=2 t, \frac{d y}{d t}=3 t^{2} 
सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ (Total Differential Formula) से-

\frac{d u}{d t} =\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d t} =\left(4 x^{3} y^{5}\right)(2 t)+\left(5 x^{4} y^{4}\right)\left(3 t^{2}\right) 
[x=t^{2}  तथा y=t^{3}  रखने पर]

\Rightarrow \frac{d u}{d t} =4\left(t^{2}\right)^{3}\left(t^{3}\right)^{5}(2t)+5\left(t^{2}\right)^{4} \left(t^{3}\right)^{4} \left(3 t^{2}\right) \\ =8\left(t^{6}\right)\left(t^{15}\right)(t)+15\left(t^{8}\right)\left(t^{12}\right) \left(t^{2}\right) \\ =8 t^{22}+15 t^{22} \\ \Rightarrow \frac{d u}{d t} =23 t^{22} 
Example-4.यदि (If) u=\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)  , जहां (Where) a^{2} x^{2}+b^{2} y^{2}=c^{2} ,\left(\frac{d u}{d x}\right)  का मान ज्ञात कीजिए [find \left(\frac{d u}{d x}\right)  ]।
Solutionu =\sin \left(x^{2}+y^{2}\right) \\ \frac{\partial u}{\partial x} =\cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \cdot 2 x \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=2 x \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y}=2 y \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \\ a^{2} x^{2}+b^{2} y^{2}=c^{2} 
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow 2 a^{2} x+2 b^{2} y \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{2 a^{2} x}{2 b^{2} y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{a^{2} x}{b^{2} y} 
सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ (Total Differential Formula) से-

\frac{d y}{d x}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x}=2 x \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)+2 y \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)\left(-\frac{a^{2} x}{b^{2} y}\right) \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x}=2 x\left(1-\frac{a^{2}}{b^{2}}\right) \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) 

Example-5.z,चरों x तथा y का फलन है।यदि x=e^{u}+e^{-v} , y=e^{-u}-e^{v}  हो तो सिद्ध कीजिए कि
(z is a function of x and y.If x=e^{u}+e^{-v} , y=e^{-u}-e^{v}  then prove that)

\frac{\partial z}{\partial u}-\frac{\partial z}{\partial v}=x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y} 
Solution– z=f(x,y)

x=e^{u}+e^{-v} \\ \frac{\partial x}{\partial u}=e^{u}, \frac{\partial x}{\partial v}=-e^{-v} \\ y=e^{-u}-e^{v} \\ \frac{\partial y}{\partial u}=-e^{-u}, \frac{\partial y}{\partial v}=-e^{v} 
सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ (Total Differential Formula) से-

\frac{\partial z}{\partial u} =\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u} \\ =\frac{\partial z}{\partial x} \cdot e^{u}+\frac{\partial z}{\partial y}\left(-\bar{e}^{u}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial u} =e^{u} \frac{\partial z}{\partial x}-e^{-u} \frac{\partial z}{\partial y} \cdots (1)\\ \frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} \\ =\frac{\partial z}{\partial x}\left(-e^{-v}\right)+\frac{\partial z}{\partial y}\left(-e^{v}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial v} =-e^{-v} \frac{\partial z}{\partial x}-e^{v} \frac{\partial z}{\partial y} \cdots(2) 
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर-

\frac{\partial z}{\partial u}-\frac{\partial z}{\partial v} =e^{u} \frac{\partial z}{\partial x}-e^{-u} \frac{\partial z}{\partial y}+e^{-v} \frac{\partial z}{\partial x}+e^{v} \frac{\partial z}{\partial y} \\ =\left(e^{u}+e^{-v}\right) \frac{\partial z}{\partial x}-\left(e^{-u}-e^{v}\right) \frac{\partial z}{\partial y} \\ \frac{\partial z}{\partial u}-\frac{\partial z}{\partial v} =x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y} 
[ \therefore x=e^{u}+e^{-v}  तथा y=e^{-u}-e^{v}  ]
Example-6.यदि वक्र f(x,y)=0 तथा ‌\phi(x, y)=0  एक-दूसरे को स्पर्श करते हों तो सिद्ध कीजिए कि सम्पर्क बिन्दु पर
(If the curves f(x,y)=0 , \phi(x, y)=0  touch each other,Show that at the point of contact)

\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial \phi}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{\partial \phi}{\partial x} 
Solution– f(x,y)=0
सम्पूर्ण अवकल गुणांक (Total Differential Coefficient) से-

\frac{d y}{d x}=-\frac{\frac{\partial f }{\partial x}}{\frac{\partial f }{\partial y}} \cdots(1) \\ \phi(x, y)=0 \\ \frac{d y}{d x}=-\frac{\frac{\partial \phi }{\partial x} }{\frac{\partial \phi }{\partial y} } \cdots (2) 
सम्पर्क बिन्दु पर प्रवणता समान होगी अतः

\frac{-\frac{\partial f}{\partial u}}{\frac{\partial f}{\partial y}}=-\frac{\frac{\partial \phi}{\partial x}}{\frac{\partial \phi}{\partial y}} \\ \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial \phi}{\partial y}=\frac{\partial \phi}{\partial x} \cdot \frac{\partial f}{\partial y} 
Example-7.यदि (If) f(x,y)=0 और (and) \phi(x, z)=0  तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)

\frac{\partial \phi}{\partial x} \cdot \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d z}=\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial \phi}{\partial z} 
Solution-f(x,y)=0
सम्पूर्ण अवकल गुणांक (Total Differential Coefficient) से-

\frac{d y}{d x}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{\partial f}{\partial x} \cdots (1) \\ \phi(x, z)=0 \\ \frac{d z}{d x}=-\frac{ \frac{\partial \phi}{\partial x} }{\frac{\partial \phi}{\partial z}} \\ \Rightarrow \frac{d z}{d x} \cdot \frac{\partial \phi}{\partial z}=-\frac{\partial \phi}{\partial x} \cdots(2) 
समीकरण (1) में (2) का भाग देने पर-

\frac{\frac{d y}{d x}}{\frac{d z}{d x}} \cdot \frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial \phi}{\partial z}}=\frac{-\frac{\partial f}{\partial x}}{-\frac{\partial \phi}{\partial x}} \\ \Rightarrow \frac{\partial \phi}{\partial x} \cdot \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d z}=\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial \phi}{\partial z} 
Example-8.यदि (If) x=r \cos \theta, y=r \sin \theta  , जहां r तथा \theta  ,t के फलन हों (Where r and \theta  are functions of t),तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)

x \frac{d y}{d t}-y \frac{d x}{d t}=r^{2} \frac{d \theta}{d t} 
Solutionx=r \cos \theta \\ \frac{\partial x}{\partial r}=\cos \theta \quad \frac{\partial x}{\partial \theta}=-r \sin \theta \\ y=r \sin \theta \\ \frac{\partial y}{\partial r}=\sin \theta, \quad \frac{\partial y}{\partial \theta}=r \cos \theta 
सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ (Total Differential Formula) से-

\frac{d x}{d t}=\frac{\partial x}{\partial r} \cdot \frac{d r}{d t}+\frac{\partial x}{\partial \theta} \cdot \frac{d \theta}{d t} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t}=\cos \theta .\frac{d r}{d t}-r \sin \theta \frac{d \theta}{d t} \\ \Rightarrow y \frac{d x}{d t}=r \sin \theta \cos \theta \frac{d r}{d t}-r^{2} \sin ^{2} \theta \frac{d \theta}{d t} \cdots(1) \\ \frac{d y}{d t}=\frac{\partial y}{d r} \cdot \frac{d r}{d t}+\frac{\partial y}{\partial \theta} \cdot \frac{d \theta}{d t} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d t}=\sin \theta \frac{d r}{d t}+r \cos \theta \frac{d \theta}{d t} \\ \Rightarrow x \frac{d y}{d t}=r \cos \theta \sin \theta+r^{2} \cos ^{2} \theta \frac{d \theta}{d t} \cdots(2) 
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर-

x \frac{d y}{d t}-y \frac{d x}{d t}=r^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right) \frac{d \theta}{d t} \\ \Rightarrow x \frac{d y}{d t}-y \frac{d x}{d t}=r^{2} \frac{d \theta}{d t} 
Example-9.यदि (If) u=x^{2}-y^{2}+\sin y z , जहां (Where) y=e^{x}  तथा (and) z=\log x, \frac{d u}{d x}  का मान ज्ञात कीजिए (find the value of \frac{d u}{d x}  )।
Solutionu=x^{2}-y^{2}+\sin y z \\ \frac{\partial u}{\partial x}=2 x, \frac{\partial u}{\partial y}=(-2 y+z \cos y z), \frac{\partial u}{\partial z}=y \cos y z \\ y=e^{x}, z=\log x \\ \frac{\partial y}{\partial x}=e^{x}, \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x} 
सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ (Total Differential Formula) से-

\frac{d y}{d x} =\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =2 x+(-2 y+z \cos y z) e^{x}+\frac{y}{x} \cos y z 
Example-10.यदि (If) u=\sin ^{-1}(x-y), x=3t  तथा (and) y=4 t^{3}  तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)

\frac{d u}{d t}=3\left(1-t^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} 
Solutionu=\sin ^{-1}(x-y) \\ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt{1-(x-y)^{2}}} \quad , \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\sqrt{1-(x-y)^{2}}} \\ x=3 t, y=4 t^{3} \\ \frac{\partial x}{\partial t}=3, \quad \frac{\partial y}{\partial t}=12 t^{2} 
सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ (Total Differential Formula) से-

\frac{d u}{d t} =\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t} \\ =\frac{1}{\sqrt{1-(x-y)^{2}}} \cdot 3-\frac{1}{\sqrt{1-(x-y)^{2}}} \cdot 12 t^{2} \\ \Rightarrow \frac{d u}{d t} =\frac{3}{\sqrt{1-(x-y)^{2}}}\left(1-4 t^{2}\right) 

Put x=3t and y=4 t^{3} 

\Rightarrow \frac{d u}{d t} =\frac{3\left(1-4 t^{2}\right)}{\sqrt{1-\left(3 t-4 t^{3}\right)^{2}}} \\ =\frac{3(1-4 t^{2})}{\sqrt{1-9 t^{2}-16 t^{6}+24 t^{4}}} \\ =\frac{3\left(1-4 t^{2}\right)}{\sqrt{1-t^{2}-8 t^{2}+8 t^{4}+16 t^{4}-16 t^{6}}} \\ =\frac{3\left(1-4 t^{2}\right)}{\sqrt{1\left(1-t^{2}\right)-8 t^{2}\left(1-t^{2}\right)+16 t^{4}\left(1-t^{2}\right)}} \\ =\frac{3\left(1-4 t^{2}\right)}{\sqrt{\left(1-t^{2}\right)\left(1-8 t^{2}+16 t^{4}\right)}} \\ =\frac{3\left(1-4 t^{2}\right)}{\sqrt{\left(1-t^{2}\right)\left(1-4 t^{2}\right)^{2}}} \\ =\frac{3\left(1-4 t^{2}\right)}{\sqrt{1-t^{2}}\left(1-4 t^{2}\right)} \\ \Rightarrow \frac{d u}{d t} =3\left(1-t^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} 
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ (Total Differential Formula),अवकल गुणांक क्या है? (What is Differential Coefficient?) को समझ सकते हैं।

3.सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ की समस्याएं (Total Differential Formula Problems)-

(1.) x=\sin \left(x y^{2}\right), x=\log t, y=e^{t}  हो तब \frac{du}{dt}  का मान ज्ञात कीजिए।
(2.) \frac{du}{dx}  का मान ज्ञात कीजिए।जब [Find \frac{du}{dx},when], u=\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)}  जहां (Where) x^{3}+y^{3}+3 a x y=5 a^{2}  साथ ही इसका मान x=a,y=a पर ज्ञात कीजिए [Also find its value when x=a,y=b]।
(3.)यदि (If) u=f(r),जहां (Where) r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}  तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial u}{\partial z^{2}}=f^{\prime \prime}(r)+\frac{2}{r} f^{\prime}(r) 
(4.)यदि (If) r^{2}=x^{2}+y^{2}  ;तो सिद्ध कीजिए कि ( then prove that)

\frac{\partial^{2} r}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} r}{\partial y^{2}}=\frac{1}{r}\left\{\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial r}{\partial y}\right)^{2}\right\} 
उत्तर (Answers):\text { (1.) } \frac{d u}{d t}=y^{2}\left[\left(\frac{1}{t}\right)+2 x \right] \cos(xy^{2}) \\ (2.) \frac{d u}{d x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-\frac{y\left(x^{2}+a y\right)}{\left(y^{2}+a x\right) \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)}} \\ \left(\frac{d u}{d x}\right)_{(x=a, y=a)}=0 
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ (Total Differential Formula),अवकल गुणांक क्या है? (What is Differential Coefficient?) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ (Total Differential Formula) के‌ सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न-

प्रश्न:1.आप सम्पूर्ण अवकल कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find Total Differentiation?),चर (x y z) का सम्पूर्ण अवकल (Total Differential of f(x y z))

उत्तर-सम्पूर्ण अवकल x और y के दिए गए छोटे परिवर्तनों में,z में परिवर्तन का एक लगभग मान देता है।हम इसका उपयोग लगभग त्रुटि प्रसार के लिए कर सकते हैं।
बिंदु (x_{0},y_{0},z_{0}) पर सम्पूर्ण अवकल dw = w_{x} (x_{0},y_{0},z_{0}) dx + w_{y} (x_{0},y_{0},z_{0}) dy+ w_{z} (x_{0},y_{0},z_{0}) dz है। w_{x}= 3x yz + y, w_{y}= xz + x, w_{z} = xy + 1 .बिंदु (1,2,3) पर प्रतिस्थापन में हमें मिलता है: w_{x} (1, 2, 3) = 20, w_{y} (1, 2, 3) = 4, w_{z} (1, 2, 3) = 3.इस प्रकार, dw = 20 dx + 4 dy + 3 dz।

प्रश्न:2.सम्पूर्ण अवकल गुणांक (Total Differential Coefficient)

उत्तर-गणित में, एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन f का सम्पूर्ण अवकल इसके कोणांक के संबंध में फ़ंक्शन के इस बिंदु के पास सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है।

प्रश्न:3.आंशिक अवकलन और सम्पूर्ण अवकलन के बीच अंतर क्या है? (What is difference between Partial Differentiation and Total Differentiation?), सम्पूर्ण अवकलन और आंशिक अवकलन (Total Differentiation and Partial Differentiation)

उत्तर-गणित में, कई वेरिएबल्स के एक फ़ंक्शन का एक आंशिक अवकलज इसके अवकलज में से एक है जो उन वेरिएबल्स के संबंध में है,जिनमें से अन्य को स्थिर रखा गया है (सम्पूर्ण अवकल के विपरीत,जिसमें सभी चर अलग-अलग होने की अनुमति है)।आंशिक अवकलज का उपयोग वेक्टर केलकुलस और अवकल ज्यामिति में किया जाता है।
एक अवकलज फलनों के लिए लागू किया जाता है जिसमें केवल एक स्वतंत्र चर होता है।उन फलनों के लिए एक आंशिक अवकलज लागू होता है जिनमें एक से अधिक स्वतंत्र चर होते हैं।

प्रश्न:4.सम्पूर्ण अवकल का अर्थ क्या है? (What is the meaning of Total Differential?),सम्पूर्ण अवकल (Total Differentiation )

उत्तर-कई स्थितियों में,यह एक साथ सभी आंशिक अवकलजों पर विचार करने के समान है।”टोटल डेरिवेटिव” शब्द का प्रयोग मुख्य रूप से तब किया जाता है जब f कई वेरिएबल्स का एक फंक्शन होता है, क्योंकि जब f एक सिंगल वेरिएबल का फंक्शन होता है, तो टोटल डेरिवेटिव्स फंक्शन,अवकलज के समान होता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के द्वारा सम्पूर्ण अवकल सूत्र‌ (Total Differential Formula),अवकल गुणांक क्या है? (What is Differential Coefficient?) को समझ सकते हैं।

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