1.ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle Between Radius Vector and Tangent):

Angle Between Radius Vector and Tangent

ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle Between Radius Vector and Tangent):किसी वक्र के किसी बिन्दु P को ध्रुव O से मिलाने वाली रेखा ध्रुवान्तर रेखा कहलाती है।इस बिन्दु P पर स्पर्शरेखा खींची जाती है।इस प्रकार ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्शरेखा के बीच कोण को निम्नलिखित सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है:

\tan \phi=r\left(\frac{d \theta}{dr}\right)
(2.)पदिक समीकरण (Pedal Equation):
किसी दिए हुए वक्र r=f(\theta) के लिए p तथा r के सम्बन्ध को उस वक्र का पदिक समीकरण कहते हैं जहां p ध्रुव के किसी बिन्दु p पर खींची गई स्पर्शरेखा पर लम्बवत् दूरी है।
(i)पदिक समीकरण ज्ञात करना जबकि वक्र का समीकरण कार्तीय रूप में हो (To find the pedal equation of the curve whose equation is given in cartesian form):

p=\frac{x \frac{d y}{dx}-y}{\sqrt{\left\{x+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}}}
(ii) पदिक समीकरण ज्ञात करना जबकि वक्र का समीकरण ध्रुवी रूप में हो (To find the pedal equation of the curve whose equation is given in polar form):

\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r^{4}}\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}
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2.ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण के उदाहरण ‌(Angle Between Radius Vector and Tangent Examples):

निम्न वक्रों के लिए \phi का मान ज्ञात कीजिए: (Fund the value of \phi for the following curves):

Example:1.\frac{2 a}{r}=1+\cos \theta
Solution:-\frac{2 a}{r}=1+\cos \theta
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\log 2 a-\log r=\log (1+\cos \theta)
दोनों पक्षों का \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

-\frac{1}{r} \frac{d r}{d \theta}=\frac{-\sin \theta}{1+\cos \theta} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=\frac{r \sin \theta}{(1+\cos \theta)} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=\frac{2 a \sin \theta}{(1+\cos \theta)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=\frac{2 a \cdot 2 \sin \left ( \frac{\theta }{2} \right ) \cos \left ( \frac{\theta }{2} \right )}{4 \cdot \cos ^{4} \left ( \frac{\theta }{2} \right )} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=\frac{a \sin \left ( \frac{\theta }{2} \right )}{\cos ^{3} \left ( \frac{\theta }{2} \right )} \\ \tan \phi=r \frac{d \theta}{d r} \\ =r \cdot \frac{\cos ^{3} \left ( \frac{\theta }{2} \right )}{a \sin \left ( \frac{\theta }{2} \right )} \\ =\frac{2 a}{\left(1+\cos \theta \right)} \cdot \frac{\cos ^{3} \left ( \frac{\theta }{2} \right )}{a \sin \left ( \frac{\theta }{2} \right )} \\ =\frac{2 a}{2 \cos ^{2} \left ( \frac{\theta }{2} \right )} \cdot \frac{\cos ^{3} \left ( \frac{\theta }{2} \right )}{a \sin \left ( \frac{\theta }{2} \right )} \\ =\frac{\cos \left ( \frac{\theta }{2} \right )}{\sin \left ( \frac{\theta }{2} \right )} \\ \Rightarrow \tan \phi=\cot \left(\frac{\theta}{2}\right) \\ \Rightarrow \tan \phi=\tan \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right) \\ \Rightarrow \phi=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2} \\ \Rightarrow \phi=\frac{1}{2}(\pi-\theta)
Example:2.r^{m}=a^{m} \cos m \theta
Solution:-r^{m}=a^{m} \cos m \theta
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

m \log r=m \log a+\log (\cos m \theta)
दोनों पक्षों का \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{m}{r} \frac{d r}{d \theta}=0+\frac{-m \sin m \theta}{\cos m \theta} \\ \Rightarrow \frac{1}{r} \frac{d x}{d \theta}=-\frac{\sin m \theta}{\cos m \theta} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=-\frac{r \sin m \theta}{\cos m \theta} \\ \tan \phi =r\left(\frac{d \theta}{d r}\right) \\ =r\left(-\frac{\cos m \theta}{r \sin m \theta}\right) \\ =-\frac{\cos m \theta}{r \sin m \theta} \\\Rightarrow \tan \phi =-\cot m \theta \\ \Rightarrow \tan \phi =\tan \left(\frac{\pi}{2}+m \theta\right) \\ \phi =\frac{\pi}{2}+m \theta
Example:3.r=a e^{\theta \cot \alpha}
Solution:-r=a e^{\theta \cot \alpha}
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\log r =\log a+\theta \cot \alpha \log _{e} e \\ \Rightarrow \log r =\log a+\theta \cot \alpha
दोनों पक्षों का \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{1}{r}\left(\frac{d x}{d \theta}\right) =0+\cot \alpha \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta} =r \cot \alpha \\ \tan \phi =\frac{1}{r}\left(\frac{d \theta}{d r}\right) \\ =\frac{1}{r} \cdot \frac{1}{(r \cot \alpha)} \\ \Rightarrow \tan \phi =\tan \alpha \\ \phi =\alpha

Angle Between Radius Vector and Tangent

सिद्ध कीजिए कि हृदयाभ r=a(1-\cos \theta) के लिए
(For the cardioid r=a(1-\cos \theta), prove that):
Example:4.\phi=\frac{\theta}{2}
Solution:-r=a(1-\cos \theta)
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\log r=\log a+\log (1-\cos \theta)
दोनों पक्षों का \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{1}{r}\left(\frac{dr}{d \theta}\right)=0+\frac{\sin \theta}{1-\cos \theta} \\ \Rightarrow \frac{1}{r}\left(\frac{d r}{d \theta}\right) =\frac{\sin \theta}{1-\cos \theta} \\ \Rightarrow\left(\frac{d r}{d \theta}\right) =\frac{r \sin \theta}{1-\cos \theta} \\ \tan \phi =r \left(\frac{d \theta}{d r}\right) \\ =r \cdot\left(\frac{1-\cos \theta}{r \sin \theta}\right) \\ =\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\ =\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\ =\frac{2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} \\ =\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} \\ \Rightarrow \tan \phi=\tan \frac{\theta}{2} \\ \Rightarrow \phi=\frac{\theta}{2}
Example:5.2ap^{2}=r^{3}
Solution:- उपर्युक्त उदाहरण:4 से-

\frac{d r}{d \theta} = \left(\frac{r \sin \theta}{1-\cos \theta}\right) \\ \frac{1}{p^{2}} =\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r^{4}}\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2} \\ =\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r^{4}} \cdot \frac{r^{2} \sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}} \\ =\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}} \\ =\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}} \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[1+\frac{\sin ^{2} \theta}{\left(1-\cos \theta\right)^{2}} \right] \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{\left(1-\cos \theta\right)^{2}+\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{1-2 \cos \theta+\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{p^{2}} =\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{1-2 \cos \theta+1}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{2(1-\cos \theta)}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ =\frac{2}{r^{2}(1-\cos \theta)} \\ =\frac{2}{r^{2} \cdot\left(\frac{r}{a}\right)} \quad[x=a(1-\cos \theta)] \\ \frac{1}{p^{2}}=\frac{2 a}{r^{3}} \\ \Rightarrow p^{2}=\frac{r^{3}}{2 a} \\ \Rightarrow 2 a p^{2}=r^{3}
सिद्ध कीजिए कि परवलय \frac{2a}{r}(1-\cos \theta) में
(Prove that,in the parabola \frac{2a}{r}(1-\cos \theta)):
Example:6.\phi-\pi-\frac{\theta}{2}
Solution:–\frac{2a}{r}=1-\cos \theta
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\log (2a)+\log r=\log (1-\cos \theta)
दोनों पक्षों का \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

0 +\frac{1}{r}\left(\frac{d r}{d \theta}\right)=\frac{\sin \theta}{1-\cos \theta} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=-\frac{r \sin \theta}{1-\cos \theta} \\ \tan \phi=r \left(\frac{d \theta}{d r}\right) \\ =r \left(\frac{1-\cos \theta}{-r \sin \theta}\right) \\ =-\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\ =-\frac{2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} \\ \tan \phi=- \tan \frac{\theta}{2} \\ \Rightarrow \tan \phi=\tan \left(\pi-\frac{\theta}{2}\right) \\ \Rightarrow \phi=\pi-\frac{\theta}{2}
Example:7.p=a \operatorname{cosec}(\frac{\theta}{2})
Solution:- उपर्युक्त उदाहरण:6 से-

\frac{d r}{d \theta}=-\frac{r \sin \theta}{1-\cos \theta} \\ \frac{-1}{p^{2}} =\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r^{4}}\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2} \\ =\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r^{4}} \cdot \frac{r^{2} \sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}} \\ =\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}} \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[1+\frac{\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[1+\frac{\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{(1-\cos \theta)^{2}+\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{1-2 \cos \theta+\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{1-2 \cos \theta+1}{(1-\cos \theta) 2}\right] \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{2(1-\cos \theta)}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{r^{2}} \frac{2}{(1-\cos \theta)} \\ =\frac{2}{r^{2} \cdot\left(\frac{2a}{r}\right)}\left[\because \frac{2a}{r}=1-\cos \theta\right] \\ p^{2}=ar \\ \Rightarrow p^{2} =\frac{2 a^{2}}{1-\cos \theta} \\ \Rightarrow p^{2} =\frac{2 a^{2}}{2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}} \\ \Rightarrow p^{2} =a^{2} cosec^{2} \frac{\theta}{2} \\ \Rightarrow p =a \operatorname{cosec}\left(\frac{\theta}{2}\right)
Example:8.सिद्ध कीजिए कि वक्र x=a \cos ^{3} t ; y=a \sin^{3} t की पदिक समीकरण r^{2}=a^{2}-3 p^{2} द्वारा दिया जाता है।
(Show that the pedal equation of the curve is given by r^{2}=a^{2}-3 p^{2}.):
Solution:-x=a \cos ^{3} t ; y=a \sin^{3} t \\ \frac{d x}{d t}=-3 a \cos ^{2} t \sin t \\ \frac{d y}{d t}=3 a \sin ^{2} t \cos t \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{3 a \sin ^{2} t \cos t}{-3 a \cos ^{2} t \sin t} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{\sin t}{\cos t} \\ p=\frac{x \frac{d y}{d x}-y}{\sqrt{\left[1+(\frac{dy}{dx})^{2}\right]}} \\ =\frac{a \cos ^{3} t \cdot\left(-\frac{\sin t}{\cos t}\right)-a \sin ^{3} t}{\sqrt{1+\left(-\frac{\sin t}{\cos t}\right)^{2}}} \\ =\frac{-a \cos ^{2} t \sin t-a \sin ^{3} t}{\sqrt{1+\tan ^{2} t}} \\ =\frac{-a \sin t\left(\cos ^{2} t+\sin ^{2} t\right)}{\sqrt{\sec ^{2} t}} \\ =\frac{-a \sin t}{\sec t} \\ p=-a \sin t \cos t \ldots(1) \\ x^{2}+y^{2}=\left(a \cos ^{3} t\right)^{2} +\left(a \sin ^{3} t\right)^{2} \\ =a^{2} \cos ^{6} t+a^{2} \sin ^{6} t \\ =a^{2}\left[\left(\cos ^{2} t\right)^{3}+\left(\sin ^{2} t\right)^{3}\right] \\ =a^{2}\left[\left(\cos ^{2} t+\sin ^{2} t\right)\left(\cos ^{4} t+\sin ^{4} t-2 \cos^{2} t \sin ^{2} t\right)\right] \\ =a^{2}\left[\cos ^{4} t+\sin ^{4} t+2 \sin ^{2} t \cos ^{2} t-3 \cos ^{2} t \sin ^{2} t\right] \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2} =a^{2}\left[\left(\cos ^{2} t+\sin ^{2} t\right)^{2}-3 \sin ^{2} t \cos ^{2} t\right] \\ =a^{2}\left[1-3 \sin ^{2} t \cos ^{2} t\right] \\\Rightarrow r^{2}=a^{2}-3 a^{2} \sin ^{2} t \cos ^{2} t\left[\because x^{2}+y^{2}=r^{2}\right][समीकरण (1)से ]

\Rightarrow x^{2}=a^{2}-3 a^{2}\left(-\frac{p}{a}\right)^{2} \\ \Rightarrow r^{2}=a^{2}-3 a^{2} \cdot \frac{p^{2}}{a^{2}} \\ \Rightarrow r^{2}=a^{2}-3 p^{2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle Between Radius Vector and Tangent) को समझ सकते हैं।

3.ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण की समस्याएं (Angle Between Radius Vector and Tangent Problems);

Angle Between Radius Vector and Tangent

(1.)वह कोण ज्ञात कीजिए जिस पर ध्रुवान्तर रेखा वक्र r=a(1-\cos \theta) को काटती है अथवा वक्र r=a(1-\cos \theta) के किसी बिन्दु पर ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्शरेखा के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
(Find the angle at which the radius vector cut the curve r=a(1-\cos \theta)
OR
Find the angle between the radius vector and tangent at a point of the curve r=a(1-\cos \theta).):
(2.)वक्र \frac{l}{r}=1+e \cos \theta में ध्रुव से स्पर्शरेखा पर लम्ब की‌ लम्बाई ज्ञात कीजिए।
(For the curve \frac{l}{r}=1+e \cos \theta ,find the length of the perpendicular from the pole on the tangent):
(3.)परवलय y^{2}=4 a(x+a) का पदिक समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Find the pedal equation of the parabola y^{2}=4 a(x+a)):
उत्तर (Answers): (1 )\phi=\frac{\theta}{2} \\ (2) l\left(e^{2}+\frac{2l}{r}-1\right)^{-\frac{1}{2}} \\ (3) p^{2}=a r
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle Between Radius Vector and Tangent) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle Between Radius Vector and Tangent) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Angle Between Radius Vector and Tangent

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle Between Radius Vector and Tangent) को समझ सकते हैं।