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Angle Between Radius Vector and Tangent

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1 1.ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle Between Radius Vector and Tangent):
1.2 3.ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण की समस्याएं (Angle Between Radius Vector and Tangent Problems);

1.ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle Between Radius Vector and Tangent):

ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle Between Radius Vector and Tangent):किसी वक्र के किसी बिन्दु P को ध्रुव O से मिलाने वाली रेखा ध्रुवान्तर रेखा कहलाती है।इस बिन्दु P पर स्पर्शरेखा खींची जाती है।इस प्रकार ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्शरेखा के बीच कोण को निम्नलिखित सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है:

\tan \phi=r\left(\frac{d \theta}{dr}\right)
(2.)पदिक समीकरण (Pedal Equation):
किसी दिए हुए वक्र r=f(\theta) के लिए p तथा r के सम्बन्ध को उस वक्र का पदिक समीकरण कहते हैं जहां p ध्रुव के किसी बिन्दु p पर खींची गई स्पर्शरेखा पर लम्बवत् दूरी है।
(i)पदिक समीकरण ज्ञात करना जबकि वक्र का समीकरण कार्तीय रूप में हो (To find the pedal equation of the curve whose equation is given in cartesian form):

p=\frac{x \frac{d y}{dx}-y}{\sqrt{\left\{x+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}}}
(ii) पदिक समीकरण ज्ञात करना जबकि वक्र का समीकरण ध्रुवी रूप में हो (To find the pedal equation of the curve whose equation is given in polar form):

\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r^{4}}\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}
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2.ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण के उदाहरण ‌(Angle Between Radius Vector and Tangent Examples):

निम्न वक्रों के लिए \phi का मान ज्ञात कीजिए: (Fund the value of \phi for the following curves):

Example:1.\frac{2 a}{r}=1+\cos \theta
Solution:-\frac{2 a}{r}=1+\cos \theta
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\log 2 a-\log r=\log (1+\cos \theta)
दोनों पक्षों का \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

-\frac{1}{r} \frac{d r}{d \theta}=\frac{-\sin \theta}{1+\cos \theta} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=\frac{r \sin \theta}{(1+\cos \theta)} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=\frac{2 a \sin \theta}{(1+\cos \theta)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=\frac{2 a \cdot 2 \sin \left ( \frac{\theta }{2} \right ) \cos \left ( \frac{\theta }{2} \right )}{4 \cdot \cos ^{4} \left ( \frac{\theta }{2} \right )} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=\frac{a \sin \left ( \frac{\theta }{2} \right )}{\cos ^{3} \left ( \frac{\theta }{2} \right )} \\ \tan \phi=r \frac{d \theta}{d r} \\ =r \cdot \frac{\cos ^{3} \left ( \frac{\theta }{2} \right )}{a \sin \left ( \frac{\theta }{2} \right )} \\ =\frac{2 a}{\left(1+\cos \theta \right)} \cdot \frac{\cos ^{3} \left ( \frac{\theta }{2} \right )}{a \sin \left ( \frac{\theta }{2} \right )} \\ =\frac{2 a}{2 \cos ^{2} \left ( \frac{\theta }{2} \right )} \cdot \frac{\cos ^{3} \left ( \frac{\theta }{2} \right )}{a \sin \left ( \frac{\theta }{2} \right )} \\ =\frac{\cos \left ( \frac{\theta }{2} \right )}{\sin \left ( \frac{\theta }{2} \right )} \\ \Rightarrow \tan \phi=\cot \left(\frac{\theta}{2}\right) \\ \Rightarrow \tan \phi=\tan \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right) \\ \Rightarrow \phi=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2} \\ \Rightarrow \phi=\frac{1}{2}(\pi-\theta)
Example:2.r^{m}=a^{m} \cos m \theta
Solution:-r^{m}=a^{m} \cos m \theta
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

m \log r=m \log a+\log (\cos m \theta)
दोनों पक्षों का \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{m}{r} \frac{d r}{d \theta}=0+\frac{-m \sin m \theta}{\cos m \theta} \\ \Rightarrow \frac{1}{r} \frac{d x}{d \theta}=-\frac{\sin m \theta}{\cos m \theta} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=-\frac{r \sin m \theta}{\cos m \theta} \\ \tan \phi =r\left(\frac{d \theta}{d r}\right) \\ =r\left(-\frac{\cos m \theta}{r \sin m \theta}\right) \\ =-\frac{\cos m \theta}{r \sin m \theta} \\\Rightarrow \tan \phi =-\cot m \theta \\ \Rightarrow \tan \phi =\tan \left(\frac{\pi}{2}+m \theta\right) \\ \phi =\frac{\pi}{2}+m \theta
Example:3.r=a e^{\theta \cot \alpha}
Solution:-r=a e^{\theta \cot \alpha}
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\log r =\log a+\theta \cot \alpha \log _{e} e \\ \Rightarrow \log r =\log a+\theta \cot \alpha
दोनों पक्षों का \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{1}{r}\left(\frac{d x}{d \theta}\right) =0+\cot \alpha \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta} =r \cot \alpha \\ \tan \phi =\frac{1}{r}\left(\frac{d \theta}{d r}\right) \\ =\frac{1}{r} \cdot \frac{1}{(r \cot \alpha)} \\ \Rightarrow \tan \phi =\tan \alpha \\ \phi =\alpha

सिद्ध कीजिए कि हृदयाभ r=a(1-\cos \theta) के लिए
(For the cardioid r=a(1-\cos \theta), prove that):
Example:4.\phi=\frac{\theta}{2}
Solution:-r=a(1-\cos \theta)
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\log r=\log a+\log (1-\cos \theta)
दोनों पक्षों का \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{1}{r}\left(\frac{dr}{d \theta}\right)=0+\frac{\sin \theta}{1-\cos \theta} \\ \Rightarrow \frac{1}{r}\left(\frac{d r}{d \theta}\right) =\frac{\sin \theta}{1-\cos \theta} \\ \Rightarrow\left(\frac{d r}{d \theta}\right) =\frac{r \sin \theta}{1-\cos \theta} \\ \tan \phi =r \left(\frac{d \theta}{d r}\right) \\ =r \cdot\left(\frac{1-\cos \theta}{r \sin \theta}\right) \\ =\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\ =\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\ =\frac{2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} \\ =\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} \\ \Rightarrow \tan \phi=\tan \frac{\theta}{2} \\ \Rightarrow \phi=\frac{\theta}{2}
Example:5.2ap^{2}=r^{3}
Solution:- उपर्युक्त उदाहरण:4 से-

\frac{d r}{d \theta} = \left(\frac{r \sin \theta}{1-\cos \theta}\right) \\ \frac{1}{p^{2}} =\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r^{4}}\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2} \\ =\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r^{4}} \cdot \frac{r^{2} \sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}} \\ =\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}} \\ =\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}} \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[1+\frac{\sin ^{2} \theta}{\left(1-\cos \theta\right)^{2}} \right] \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{\left(1-\cos \theta\right)^{2}+\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{1-2 \cos \theta+\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{p^{2}} =\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{1-2 \cos \theta+1}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{2(1-\cos \theta)}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ =\frac{2}{r^{2}(1-\cos \theta)} \\ =\frac{2}{r^{2} \cdot\left(\frac{r}{a}\right)} \quad[x=a(1-\cos \theta)] \\ \frac{1}{p^{2}}=\frac{2 a}{r^{3}} \\ \Rightarrow p^{2}=\frac{r^{3}}{2 a} \\ \Rightarrow 2 a p^{2}=r^{3}
सिद्ध कीजिए कि परवलय \frac{2a}{r}(1-\cos \theta) में
(Prove that,in the parabola \frac{2a}{r}(1-\cos \theta)):
Example:6.\phi-\pi-\frac{\theta}{2}
Solution:\frac{2a}{r}=1-\cos \theta
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\log (2a)+\log r=\log (1-\cos \theta)
दोनों पक्षों का \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

0 +\frac{1}{r}\left(\frac{d r}{d \theta}\right)=\frac{\sin \theta}{1-\cos \theta} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=-\frac{r \sin \theta}{1-\cos \theta} \\ \tan \phi=r \left(\frac{d \theta}{d r}\right) \\ =r \left(\frac{1-\cos \theta}{-r \sin \theta}\right) \\ =-\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\ =-\frac{2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} \\ \tan \phi=- \tan \frac{\theta}{2} \\ \Rightarrow \tan \phi=\tan \left(\pi-\frac{\theta}{2}\right) \\ \Rightarrow \phi=\pi-\frac{\theta}{2}
Example:7.p=a \operatorname{cosec}(\frac{\theta}{2})
Solution:- उपर्युक्त उदाहरण:6 से-

\frac{d r}{d \theta}=-\frac{r \sin \theta}{1-\cos \theta} \\ \frac{-1}{p^{2}} =\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r^{4}}\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2} \\ =\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r^{4}} \cdot \frac{r^{2} \sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}} \\ =\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}} \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[1+\frac{\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[1+\frac{\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{(1-\cos \theta)^{2}+\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{1-2 \cos \theta+\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{1-2 \cos \theta+1}{(1-\cos \theta) 2}\right] \\ =\frac{1}{r^{2}}\left[\frac{2(1-\cos \theta)}{(1-\cos \theta)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{r^{2}} \frac{2}{(1-\cos \theta)} \\ =\frac{2}{r^{2} \cdot\left(\frac{2a}{r}\right)}\left[\because \frac{2a}{r}=1-\cos \theta\right] \\ p^{2}=ar \\ \Rightarrow p^{2} =\frac{2 a^{2}}{1-\cos \theta} \\ \Rightarrow p^{2} =\frac{2 a^{2}}{2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}} \\ \Rightarrow p^{2} =a^{2} cosec^{2} \frac{\theta}{2} \\ \Rightarrow p =a \operatorname{cosec}\left(\frac{\theta}{2}\right)
Example:8.सिद्ध कीजिए कि वक्र x=a \cos ^{3} t ; y=a \sin^{3} t की पदिक समीकरण r^{2}=a^{2}-3 p^{2} द्वारा दिया जाता है।
(Show that the pedal equation of the curve is given by r^{2}=a^{2}-3 p^{2}.):
Solution:-x=a \cos ^{3} t ; y=a \sin^{3} t \\ \frac{d x}{d t}=-3 a \cos ^{2} t \sin t \\ \frac{d y}{d t}=3 a \sin ^{2} t \cos t \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{3 a \sin ^{2} t \cos t}{-3 a \cos ^{2} t \sin t} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{\sin t}{\cos t} \\ p=\frac{x \frac{d y}{d x}-y}{\sqrt{\left[1+(\frac{dy}{dx})^{2}\right]}} \\ =\frac{a \cos ^{3} t \cdot\left(-\frac{\sin t}{\cos t}\right)-a \sin ^{3} t}{\sqrt{1+\left(-\frac{\sin t}{\cos t}\right)^{2}}} \\ =\frac{-a \cos ^{2} t \sin t-a \sin ^{3} t}{\sqrt{1+\tan ^{2} t}} \\ =\frac{-a \sin t\left(\cos ^{2} t+\sin ^{2} t\right)}{\sqrt{\sec ^{2} t}} \\ =\frac{-a \sin t}{\sec t} \\ p=-a \sin t \cos t \ldots(1) \\ x^{2}+y^{2}=\left(a \cos ^{3} t\right)^{2} +\left(a \sin ^{3} t\right)^{2} \\ =a^{2} \cos ^{6} t+a^{2} \sin ^{6} t \\ =a^{2}\left[\left(\cos ^{2} t\right)^{3}+\left(\sin ^{2} t\right)^{3}\right] \\ =a^{2}\left[\left(\cos ^{2} t+\sin ^{2} t\right)\left(\cos ^{4} t+\sin ^{4} t-2 \cos^{2} t \sin ^{2} t\right)\right] \\ =a^{2}\left[\cos ^{4} t+\sin ^{4} t+2 \sin ^{2} t \cos ^{2} t-3 \cos ^{2} t \sin ^{2} t\right] \\ \Rightarrow x^{2}+y^{2} =a^{2}\left[\left(\cos ^{2} t+\sin ^{2} t\right)^{2}-3 \sin ^{2} t \cos ^{2} t\right] \\ =a^{2}\left[1-3 \sin ^{2} t \cos ^{2} t\right] \\\Rightarrow r^{2}=a^{2}-3 a^{2} \sin ^{2} t \cos ^{2} t\left[\because x^{2}+y^{2}=r^{2}\right][समीकरण (1)से ]

\Rightarrow x^{2}=a^{2}-3 a^{2}\left(-\frac{p}{a}\right)^{2} \\ \Rightarrow r^{2}=a^{2}-3 a^{2} \cdot \frac{p^{2}}{a^{2}} \\ \Rightarrow r^{2}=a^{2}-3 p^{2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle Between Radius Vector and Tangent) को समझ सकते हैं।

3.ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण की समस्याएं (Angle Between Radius Vector and Tangent Problems);

(1.)वह कोण ज्ञात कीजिए जिस पर ध्रुवान्तर रेखा वक्र r=a(1-\cos \theta) को काटती है अथवा वक्र r=a(1-\cos \theta) के किसी बिन्दु पर ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्शरेखा के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
(Find the angle at which the radius vector cut the curve r=a(1-\cos \theta)
OR
Find the angle between the radius vector and tangent at a point of the curve r=a(1-\cos \theta).):
(2.)वक्र \frac{l}{r}=1+e \cos \theta में ध्रुव से स्पर्शरेखा पर लम्ब की‌ लम्बाई ज्ञात कीजिए।
(For the curve \frac{l}{r}=1+e \cos \theta ,find the length of the perpendicular from the pole on the tangent):
(3.)परवलय y^{2}=4 a(x+a) का पदिक समीकरण ज्ञात कीजिए।
(Find the pedal equation of the parabola y^{2}=4 a(x+a)):
उत्तर (Answers): (1 )\phi=\frac{\theta}{2} \\ (2) l\left(e^{2}+\frac{2l}{r}-1\right)^{-\frac{1}{2}} \\ (3) p^{2}=a r
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle Between Radius Vector and Tangent) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This article:-Euler Theorem on Homogeneous Functions

4.ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle Between Radius Vector and Tangent) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.आप स्पर्शरेखा और ध्रुवान्तर रेखा के बीच का कोण कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the angle between tangent vector and radius?),ध्रुवान्तर रेखा और स्पर्शरेखा के बीच का कोण (Angle between radius and tangent):

उत्तर:वक्र की स्पर्श रेखा r = f(θ) स्पर्शरेखा के बिंदु पर रेडियल रेखा के संबंध में \phi का कोण बनाती है और x-अक्ष के संबंध में कोण \psiबनाती है। प्रमाण: \psi=\phi+ \theta पर विचार करें।तब r = f(θ) ध्रुवीय निर्देशांक में x = rcosθ, y = rsinθ, (1) द्वारा दिए गए संबद्ध अवकलज के साथ निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है।

प्रश्न:2.स्पर्शरेखा और ध्रुवान्तर रेखा के बीच का कोण क्या है? (What is the angle between tangent and radius?),ध्रुवीय वक्र पर ध्रुवान्तर रेखा और स्पर्शरेखा के बीच का कोण (Angle between radius vector and tangent to the polar curve):

उत्तर:किसी वक्र के किसी बिन्दु P को ध्रुव O से मिलाने वाली रेखा ध्रुवान्तर रेखा कहलाती है।इस बिन्दु P पर स्पर्शरेखा खींची जाती है।इस प्रकार ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्शरेखा के बीच कोण को निम्नलिखित सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है:
\tan \phi=r\left(\frac{d \theta}{dr}\right)

प्रश्न:3.सूत्र द्वारा रेडियस वेक्टर और स्पर्शरेखा के बीच का कोण प्राप्त किया जा सकता है (The angle between radius vector and tangent can be obtained by the formula),रेडियस वेक्टर और स्पर्शरेखा के बीच का कोण द्वारा दिया गया है (Angle between radius vector and tangent is given by):

उत्तर:ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्शरेखा के बीच का कोण निम्नलिखित सूत्र‌ द्वारा ज्ञात किया जाता है-
\tan \phi=r\left(\frac{d \theta}{dr}\right)

प्रश्न:4.स्तब्धिका पर रेडियस वेक्टर और स्पर्शरेखा के बीच का कोण क्या है? (What is the angle between radius vector and tangent at an apse?):

उत्तर:वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा होती है जो वृत्त को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करती है।आमतौर पर,इस बिंदु को स्पर्शरेखा या स्पर्शरेखा बिंदु कहा जाता है।एक apse पर रेडियस वेक्टर और स्पर्शरेखा एक दूसरे के लंबवत होते हैं।apse पर,कण रेडियस वेक्टर के समकोण पर चलता है।

प्रश्न:5.आप स्पर्शरेखा और वक्र के बीच का कोण कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the angle between tangent and curve?):

उत्तर:और P पर दो वक्रों की स्पर्शरेखाओं के बीच न्यून कोण की गणना करें।यदि ढाल m की एक रेखा x-अक्ष को कोण θ पर काटती है,तो m=tanθ।

प्रश्न:6.वक्र की ध्रुवान्तर रेखा क्या है? (What is radius vector of curve?):

उत्तर:एक वेक्टर जिसका मूल बिंदु निश्चित है और जिसका टर्मिनल बिंदु किसी दिए गए वक्र या सतह पर है,वक्र के किसी भी बिंदु पर वक्र को ध्रुव से जोड़ने वाली सीधी रेखा के रूप में।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle Between Radius Vector and Tangent) को समझ सकते हैं।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle Between Radius Vector and Tangent) को समझ सकते हैं।

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