Finding Asymptotes of Algebraic Curves
1.बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना (Finding Asymptotes of Algebraic Curves),बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करने की विधियाँ (Methods of Finding Asymptotes of Algebraic Curves):
बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करने (Finding Asymptotes of Algebraic Curves) की वैकल्पिक विधियों में से सीमा विधि (Method of Limit) के द्वारा अनन्तस्पर्शियों को ज्ञात करना सीखेंगे।दो प्रमुख विधियों के बारे में उल्लेख इससे पूर्व आर्टिकल में किया जा चुका है।अतः इस आर्टिकल को पढ़ने से पूर्व उस आर्टिकल को देखना चाहिए।
बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करने की वैकल्पिक विधियाँ (Alternative Method of Finding Asymptotes of Algebraic Curves):
माना कि वक्र की समीकरण की कोटि n है।
(1.)सीमा विधि (Method of Limit):
निम्न विधि पहले बताई गई विधियों से ज्यादा सुविधाजनक है।
स्थिति:I.माना कि (y-ax) वक्र के समीकरण की n कोटि के पदों का एवं अनावृत्त (non-repeated) गुणनखण्ड है,तो हम वक्र के समीकरण को निम्न प्रकार से लिख सकते हैं।
(y-a x) F_{n-1}+P_{n-1}=0 \cdots(1)
जहाँ F_{n-1} में केवल (n-1) कोटि के पद हैं तथा P_{n-1} में (n-1) या इससे कम कोटि के पद हैं।उपर्युक्त से स्पष्ट है कि \phi_n(m)=0 का एक मूल a है।अतः y=ax+c एक अनन्तस्पर्शी होगी जहाँ c=\lim_{n \rightarrow \infty}(y-a x) तथा बिन्दु (x,y) वक्र पर है परन्तु (x,y),(1) पर होंगे यदि
y-a x=-\frac{P_{n-1}}{F_{n-1}} \\ \therefore c=\lim _{x \rightarrow \infty}(y-a x)=-\lim _{x \rightarrow c}\left(\frac{P_{n-1}}{F_{n-1}}\right) \cdots(2)
(2)की सीमा को सरलता से ज्ञात किया जा सकता है यदि \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{y}{x}=a को प्रयोग में लिया जाए।
अतः अनन्तस्पर्शी जो कि y-ax के संगत है,का समीकरण होगा
y-a x+\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow a}} \left(\frac{P_{n-1}}{F_{n-1}}\right)=0 \cdots(3)
इसी प्रकार दूसरे अनावृत्त रैखिक खण्ड के संगत अनन्तस्पर्शी ज्ञात कर सकते हैं।
स्थिति:II.माना कि वक्र के समीकरण में n कोटि के पदों पर (y-a x)^2 एक गुणनखण्ड है तथा (y-ax),(n-1) कोटि के पदों का गुणनखण्ड नहीं है।अब हम दिए हुए वक्र को निम्न प्रकार लिख सकते हैं
(y-ax)^2 F_{n-2}+P_{n-1}=0 \ldots(4)
जहाँ F_{n-2} में (n-2) कोटि के पद है तथा P_{n-1} में (n-1) या इससे कम कोटि के पद है।स्थिति I की भाँति क्रिया करने पर
\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow a}}(y-a x)^2=
\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow a}}-\frac{P_{n-1}}{F_{n-2}}=\infty \text{ या } -\infty
अतः इस स्थिति में वक्र का कोई अनन्तस्पर्शी नहीं होगा।
स्थिति:III.माना कि वक्र का समीकरण निम्न प्रकार है
(y-a x)^2 F_{n-2}+(y-a x) G_{n-2}+P_{n-2}=0 \cdots(5)
जहाँ F_{n-2}, G_{n-2} में केवल (n-2) कोटि के पद हैं तथा P_{n-2} में (n-2) या इससे कम कोटि के पद हैं। F_{n-2} से दोनों ओर भाग देने पर
(y-a x)^2+(y-a x) \frac{G_{n-2}}{F_{n-2}}+\frac{P_{n-2}}{F_{n-2}}=0 \cdots(6)
अब x \rightarrow \infty,\left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow a सीमा लेने पर
(y-a x)^2+A(y-ax) B=0 \cdots(7)
यह y-ax में द्विघात समीकरण है तो इसको y-ax के लिए हल किया जा सकता है।
y-a x=c_{1} \text { तथा } y-a x=c_2
दो अनन्तस्पर्शी इस स्थिति में होंगी।
स्थिति:IV.यदि वक्र के समीकरण में y-ax की 3 या 3 से अधिक घात के खण्ड विद्यमान हैं तो उपर्युक्त की भाँति इस स्थिति में भी अनन्तस्पर्शी ज्ञात कर सकते हैं।
टिप्पणी (Note):यदि वक्र के समीकरण का रूप
(a x+b y+c) F_{n-1}+P_{n-1}=0
हो,जहाँ F_{n-1} तथा P_{n-1} में (n-1) कोटि से अधिक के पद नहीं हों तथा में कम से कम एक पद (n-1) का हो तो यह सरलता से देखा जा सकता है कि खण्ड (ax+by+c) के संगत अनन्तस्पर्शी
(a x+b y+c)+ \lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow \left(-\frac{a}{b} \right )}} \left(\frac{P_{n-1}}{F_{n-1}}\right)=0
इसी प्रकार का परिवर्तन हम अन्य स्थितियों में कर सकते हैं।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
Also Read This Article:-Maxima and Minima by Lagrange Method
2.बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Finding Asymptotes of Algebraic Curves):
निम्न वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिए:
(Find the asymptotes of the following curves):
Example:8. \left(x^2-y^2\right)(x+2 y)+5\left(x^2+y^2\right)+x+y=0
Solution: \left(x^2-y^2\right)(x+2 y)+5\left(x^2+y^2\right)+x+y=0 \\ (x-y)(x+y)(x+2 y)+5\left(x^2+y^2\right)+x+y=0
गुणनखण्ड x-y के संगत अनन्तस्पर्शी की समीकरण होगीः
x-y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=1 \\ \frac{(x-y)(x+y)(x+2 y)}{(x+y)(x+2 y)}+\frac{5\left(x^2+y^2\right)}{(x+y)(x+2 y)}+\frac{x+y}{(x+y)(x+2 y)}=0 \\ \Rightarrow x-y+ \lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left( \frac{y}{x}\right) \rightarrow 1}} \frac{5 x^2\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1 +\frac{2 y}{x}\right)} + \lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow 1}} \frac{1}{x\left(1+\frac{2 y}{x}\right)}=0 \\ \Rightarrow x-y+\frac{5\left(1+1^2\right)}{(1+1)(1+2 \times 1)}+0=0 \\ \Rightarrow x-y+\frac{5}{3}=0 \\ \Rightarrow 3 x-3 y+5=0
गुणनखण्ड x+y के संगत अनन्तस्पर्शी की समीकरण होगीः
x+y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=-1 \\ x+y+\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow -1}} \frac{5\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)}{\left(1-\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{2y}{x}\right)} +\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow -1}} \frac{x\left(1+\frac{y}{x}\right)}{x^{2}\left(1-\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{2y}{x}\right)}=0 \\ x+y+\frac{5(1+1)}{(1+1)(1-2)}+0=0 \\ \Rightarrow x+y-5=0
गुणनखण्ड x+2y के संगत अनन्तस्पर्शी की समीकरण होगीः
x+2 y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=-\frac{1}{2} \\ x+2 y+\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left( \frac{y}{x}\right) \rightarrow -\frac{1}{2}}} \frac{5\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2-y^2\right)} + \lim_{ \substack{ x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow -\frac{1}{2}}} \frac{x+y}{\left(x^2-y^2\right)}=0 \\ \Rightarrow x+2 y+\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow -\frac{1}{2}}} \frac{5 x^2\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac{y^2}{x^2}\right)} + \lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow -\frac{1}{2}}} \frac{1}{x\left(1-\frac{y}{x}\right)}=0 \\ \Rightarrow (x+2 y) +\frac{5(1+\frac{1}{4})}{(1-\frac{1}{4})}+0=0 \\ \Rightarrow x+2 y+\frac{25}{3}=0 \Rightarrow 3 x+6 y+25=0
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियों के समीकरण हैंः
3x-3y+5=0,x+y-5=0,3x+6y+25=0
Example:9. y^3+x^2 y+2 x y^2-y+1=0
Solution: y^3+x^2 y+2 x y^2-y+1=0
x के उच्चतम घात के गुणांक को शून्य रखने परः
y=0
जो कि x-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शी है।
y\left(y^2+x^2+2 x y\right)-y+1=0 \\ \Rightarrow y(x+y)^2-y+1=0
गुणनखण्ड x-y के संगत अनन्तस्पर्शियों की समीकरण होंगीः
x+y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=-1 \\ (x+y)^2+\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow -1}} \frac{1-y}{y}=0 \\ \Rightarrow(x+y)^2+\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow-1}} \frac{\frac{1}{x}-\frac{y}{x}}{\left(\frac{y}{x}\right)}=0 \\ \Rightarrow (x+y)^2+ \frac{0-(-1)}{(-1)}=0 \\ \Rightarrow(x+y)^2-1=0 \\ \Rightarrow x+y=\pm 1 \\ \Rightarrow x+y=1, x+y=-1
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियों की समीकरण हैंः
y=0, x+y=\pm 1
Example:10. x^3-5 x^2 y+8 x y^2-4 y^3+x^2-3 x y+2 y^2-1=0
Solution: x^3-5 x^2 y+8 x y^2-4 y^3+x^2-3 x y+2 y^2-1=0 \\ \Rightarrow \left(x^3-x^2 y-4 x^2 y+4 x y^2+4 x y^2-4 y^3\right)+\left(x^2-2 x y-x y+2 y^2\right)-1=0 \\ \Rightarrow\left[x^2(x-y)-4 x y(x-y)+4 y^2(x-y)\right]+[x(x-2 y)-y(x-2 y)]-1=0 \\ \Rightarrow(x-y)\left(x^2-4 x y+4 y^2\right)+(x-y)(x-2 y)-1=0 \\ \Rightarrow(x-y)(x-2 y)^2+(x-y)(x-2 y)-1=0
गुणनखण्ड x-2y के संगत अनन्तस्पर्शियों के समीकरण होंगेः
x-2 y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{1}{2} \\ \frac{(x-2 y)^2(x-y)}{x-y}+\frac{(x-y)(x-2 y)}{x-y}-\frac{1}{x-y}=0 \\ \Rightarrow (x-2 y)^2+(x-2 y) \lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow -\frac{1}{2}}}(1)-\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow -\frac{1}{2}}}\frac{1}{x(1-\frac{y}{x})}=0 \\ \Rightarrow (x-2 y)^2+(x-2 y)=0 \\ \Rightarrow(x-2 y)(x-2 y+1)=0 \\ \Rightarrow x-2 y=0, x-2 y+1=0
गुणनखण्ड x-y के संगत अनन्तस्पर्शी की समीकरण होगीः
x-y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=1 \\ \frac{(x-y)(x-2 y)^2}{(x-2 y)^2}+\frac{(x-y)(x-2 y)}{(x-2 y)^2}-\frac{1}{(x-2 y)^2}=0 \\ \Rightarrow x-y+\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow 1}} \frac{(x-y)}{x-2 y}-\frac{1}{x^2\left(1-\frac{2 y}{x}\right)^2}=0 \\ \Rightarrow(x-y)+(x-y) \lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow 1}} \frac{1}{x \left(1-\frac{2 y}{x}\right)}-\frac{1}{x^2\left(1-\frac{2 y}{x}\right)}=0 \\ \Rightarrow(x-y)+(x-y) \cdot 0-0=0 \\ \Rightarrow x-y=0
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियों के समीकरण हैंः
x-2y=0,x-2y+1=0,x-y=0
Example:11. y^3-5 x y^2+8 x^2 y-4 x^3-3 y^2+9 x y-6 x^2+2 y-2 x+1=0
Solution: y^3-5 x y^2+8 x^2 y-4 x^3-3 y^2+9 x y-6 x^2+2 y-2 x+1=0 \\ \Rightarrow \left(y^3-x y^2-4 x y^2+4 x^2 y+4 x^2 y-4x^3\right)-3\left(y^2-3 x y+2 x^2\right)+2(y-x)+1=0 \\ \Rightarrow \left[y^2(y-x)-4 x y(y-x)+4 x^2(y-x)\right]-3\left[y^2-2 x y-x y+2 x^{2}\right]+2(y-x)+1=0 \\ \Rightarrow (y-x)\left(y^2-4 x y+4 x^2\right)-3[y(y-2x)-x(y-2 x)] +2(y-x)+1=0 \\ \Rightarrow (y-x)(y-2 x)^2-3(y-2 x)(y-2 x)+2(y-x)+1=0
गुणनखण्ड y-2x के संगत अनन्तस्पर्शी की समीकरण होगीः
y-2 x=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=2 \\ \frac{(y-x)(y-2 x)^2}{(y-x)}-\frac{3(y-x)(y-2 x)}{(y-x)}+\frac{2(y-x)}{y-x}+\frac{1}{y-x}=0 \\ \Rightarrow(y-2 x)^2-3(y-2 x) \lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow 2}} (1)+2 \lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow 2}}(1)+ \lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow 1}} \frac{1}{x\left(\frac{y}{x}-1\right)}=0 \\ \Rightarrow(y-2 x)^2-3(y-2 x)+2=0
y-2x के रूप में द्विघात समीकरण है अतः
y-2 x=\frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2-4 \times 1 \times 2}}{2 \times 1} \\ \Rightarrow y-2 x=\frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} \\ \Rightarrow y-2 x=\frac{3 \pm 1}{2} \\ \Rightarrow y-2 x=\frac{3+1}{2}, y-2 x=\frac{3-1}{2} \\ \Rightarrow y-2 x=2, y-2 x-1 \\ \Rightarrow y=2 x+2, y=2 x+1
गुणनखण्ड y-x के संगत अनन्तस्पर्शी की समीकरण होगीः
\frac{y}{x}=1 \\ \frac{(y-x)(y-2 x)^2}{(y-2 x)^2}-\frac{3(y-x)(y-2 x)}{(y-2 x)^2}+\frac{2(y-x)}{(y-2 x)^2}+\frac{1}{(y-2 x)^2}=0 \\ \Rightarrow y-x-\frac{3(y-x)}{y-2 x}+\frac{2(y-x)}{x^2(\frac{y}{x}-2)}+\frac{1}{x^2\left(\frac{y}{x}-2\right)}=0 \\ \Rightarrow (y-x)-3(y-x) \lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left( \frac{y}{x}\right) \rightarrow 1}} \frac{1}{x\left(\frac{y}{x}-2\right)}+2(y-x)\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow 1}} \frac{1}{x^2(\frac{y}{x}-2)} +\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow 1}} \frac{1}{x^2\left(\frac{y}{x}-2\right)}=0 \\ \Rightarrow(y-x)-3(y-x)(0)+2(y-x) \cdot 0+0=0 \\ \Rightarrow y-x=0 \\ \Rightarrow y=x
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियों की समीकरण हैंः
y=x, y=2(x+1),y=2x+1
Example:12. x^3+3 x^2 y+3 x y^2+2 y^3=x^2+y^2+x
Solution: x^3+3 x^2 y+3 x y^2+2 y^3-x^2-y^2-x=0 \ldots(1)
अब x=1 तथा y=m तृतीय घातों के पदों में रखने परः
\phi_3(m)=1+3 m+3 m^2+2 m^3 \\ \Rightarrow \phi_3^{\prime}(m)=3+6 m+6 m^2
अब \phi_3(m)=0 रखने परः
1+3 m+3 m^2+2 m^3=0 \\ \Rightarrow 1+2 m+m+2 m^2+m^2+2 m^3=0 \\ \Rightarrow 1(1+2 m)+m(1+2 m)+m^2(1+2 m)=0 \\ \Rightarrow (1+2 m)\left(1+m+m^2\right)=0 \\ \Rightarrow 1+2 m=0 \Rightarrow m=-\frac{1}{2}, m=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \times 1 \times 1}}{2 \times 1} \\ \Rightarrow m=-\frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2}
पुनः (1) के द्वितीय घात पदों में x=1 तथा y=m रखने परः
\phi_2(m)=-1-m^2
अब c का मान निम्न से प्राप्त होता है
c=-\frac{\phi_2(m)}{\phi_3^{\prime}(m)} \\ =-\frac{\left(-1-m^2\right)}{3+6 m+6 m^2} \\ \Rightarrow c =\frac{1+m^2}{3+6 m+6 m^2}
जब m=-\frac{1}{2} तब c=\frac{1+(-\frac{1}{2})^2}{3+6 \times-\frac{1}{2}+6 \times(-\frac{1}{2})^2} \\ =\frac{1+\frac{1}{4}}{3-3+6 \times \frac{1}{4}} \\ =\frac{\frac{5}{4}}{\frac{6}{4}} \\ c=\frac{5}{6}
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शी होगीः
y=m x+c \Rightarrow y=-\frac{1}{2} x+\frac{5}{6} \\ \Rightarrow x+2 y=\frac{5}{3}
Example:13. x^2(x-y)^2+a^2\left(x^2-y^2\right)-a^2 x y=0
Solution: x^2(x-y)^2+a^2\left(x^2-y^2\right)-a^2 x y=0 \\ \Rightarrow x^2\left(x^2-2 x y+y^2\right)+a^2\left(x^2-y^2\right)-a^2 x y=0 \\ \Rightarrow x^4-2 x^3 y+x^2 y^2+a^2 x^2-a^2 y^2-a^2 x y=0 \\ \Rightarrow x^4-2 x^3 y+\left(x^2-a^2\right) y^2+a^2 x^2-a^2 x y=0
y के उच्चतम घात 2 के गुणांक को शून्य रखने परः
x^2-a^2=0 \Rightarrow x=\pm a
जो कि y-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शियाँ हैं।
गुणनखण्ड x-y के संगत अनन्तस्पर्शियों की समीकरण होंगीः
x-y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=1 \\ \frac{x^2(x-y)^2}{x^2}+\frac{a^2(x-y)(x+y)}{x^2}-\frac{a^2 x y}{x^2}=0 \\ \Rightarrow (x-y)^2+a^2(x-y) \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 1}} \frac{(x+y)}{x^2}-\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 1}}\left(\frac{a^2 y}{x}\right)=0 \\ \Rightarrow (x-y)^2+a^2(x-y) \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 1}} \frac{x(1 +\frac{y}{x})}{x^2}-\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 1}} \left(\frac{a^2 y}{x}\right)=0 \\ \Rightarrow(x-y)^2+a^2(x-y) \cdot 0-a^2(1)=0 \\ \Rightarrow (x-y)^2-a^2=0 \Rightarrow x-y=\pm a
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियाँ होंगीः
Example:14. (y-x)^2 x-3 y(y-x)+2 x=0
Solution: (y-2)^2 x-2 y(y-2)+2 x=0 \\ \Rightarrow\left(x^2-2 x y+y^2\right) x-3 y^2+3 x y+2 x=0 \\ \Rightarrow x^3-2 x^2 y+2 y^2-3 y^2+3 x y+2 x=0 \\ \Rightarrow x^3+y^2(x-3)-2 x^2 y+3 x y+2 x=0
y की उच्चतम घात 2 के गुणांक को शून्य रखने परः
x-3=0 \Rightarrow x=3
जो कि y-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शी है।
गुणनखण्ड y-x के संगत अनन्तस्पर्शियों की समीकरण होंगीः
y-x=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=1 \\ \frac{(y-x)^2 x}{x}-\frac{3 y(y-x)}{x}+\frac{2 x}{x}=0 \\ \Rightarrow (y-x)^2-3(y-x) \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 1}} \left(\frac{y}{x}\right)+\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 1}}(2)=0 \\ \Rightarrow(y-x)^2-3(y-x) \cdot(1)+2 \\ \Rightarrow(y-x)^2-3(y-x)+2=0
यह y-x के रूप में द्विघात समीकरण है अतः
y-x=\frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2-4 \times 1 \times 2}}{2 \times 1} \\ =\frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} \\ \Rightarrow y-x=\frac{3 \pm 1}{2} \\ \Rightarrow y-x=\frac{3+1}{2} , y-x=\frac{3-1}{2}\\ \Rightarrow y-x=2, y-x=1 \\ \Rightarrow y=x+2, y=x+1
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियाँ होंगीः
x=3,y=x+2,y=x+1
Example:15. (2 x-3 y+1)^2(x+y)=8 x-2 y+9
Solution: (2 x-3 y+1)^2(x+y)=8 x-2 y+9 \\ \Rightarrow(2 x-3 y)^2(x+y)+2(2 x-3 y)(x+y)+x+y-8 x+2 y-9=0 \\ \Rightarrow(2 x-3 y)^2(x+y)+2(2 x-3 y)(x+y)-7 x+3 y-9=0
गुणनखण्ड 2x-3y के संगत अनन्तस्पर्शियों की समीकरण होंगीः
2 x-3 y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{2}{3} \\ \frac{(2 x-3 y)^2(x+y)}{(x+y)}+\frac{2(2 x-3 y)(x+y)}{x+y}+\frac{(-7 x+3 y-9)}{x+y}=0 \\ \Rightarrow(2 x-3 y)^2+2(2 x-3 y) \lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow \frac{2}{3}}}(1)+\lim_{\substack{x \rightarrow \infty \\ \left(\frac{y}{x}\right) \rightarrow \frac{2}{3}}} \frac{x\left(-7+\frac{3 y}{x}-\frac{y}{x} \right)}{x(1+\frac{y}{x})}=0 \\ \Rightarrow(2 x-3 y)^2+2(2 x-3 y)+\left(\frac{-7+3 \times \frac{2}{3}}{(1+ \frac{2}{3})}\right)=0 \\ \Rightarrow(2 x-3 y)^2 +2(2 x-3 y)-3=0
यह 2x-3y के रूप में द्विघात समीकरण है अतः
2 x-3 y =\frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2-4 \times 1 \times -3}}{2 \times 1} \\ =-\frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2} \\ \Rightarrow 2 x-3 y =\frac{-2 \pm 4}{2} \\ \Rightarrow 2 x-3 y =\frac{-2+4}{2}, 2 x-3 y=\frac{-2-4}{2} \\ \Rightarrow 2 x-3 y =1, 2 x-3 y=-3 \\ \Rightarrow 2x-3y=1,2x-3y+3=0
गुणनखण्ड x+y के संगत अनन्तस्पर्शी की समीकरण होगीः
x+y=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=-1 \\ \frac{(2 x-3 y)^2(x+y)}{(2 x-3 y)^2}+\frac{2(2 x-3 y)(x+y)}{(2 x-3 y)^2}+\frac{(-7 x+3 y-9)}{(2 x-3 y)^2}=0\\ \Rightarrow x+y+2(x+y) \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow-1}} \frac{1}{(2 x-3 y)}+\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow-1}} \frac{x\left(-7+\frac{3 y}{x}-\frac{9}{x}\right)}{x^{2}(2-\frac{3y}{x})^{2}}=0 \\ \Rightarrow x+y+2(x+y) \cdot(0)+0=0 \\ \Rightarrow x+y=0
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियाँ होंगीः
2x-3y=1,2x-3y+3=0,x+y=0
Example:16. (y-2 x)^2(y-x)+(y+3 x)(y-2 x) +2 x+2 y-1=0
Solution: (y-2 x)^2(y-2)+(y+3 x)(y-2 x)+2 x+2 y-1=0
गुणनखण्ड y-2x के संगत अनन्तस्पर्शियाँ की समीकरण होंगीः
y-2 x=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=2 \\ \frac{(y-2 x)^2(y-x)}{y-x}+\frac{(y+3 x)(y-2 x)}{y-x}+\frac{(2 x+2y-1)}{y-x}=0 \\ \Rightarrow (y-2 x)^2+(y-2 x) \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 2}} \frac{(y+3 x)}{y-x}+\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 2}} \frac{x\left(2+\frac{2y}{x}-\frac{1}{x}\right)}{x \left(\frac{y}{x}-1\right)}=0 \\ \Rightarrow (y-2 x)^2+\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 2}} \frac{x\left(\frac{y}{x}+3\right)}{x\left(\frac{y}{x}-1\right)}+\lim _{\substack {x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 2}} \frac{\left(2+\frac{2 y}{x}-\frac{1}{x}\right)}{\left(\frac{y}{x}-1\right)}=0 \\ \Rightarrow(y-2 x)^2+(y-2 x) \frac{(2+3)}{(2-1)}+\frac{(2+2 \times 2-0)}{(2-1)}=0 \\ \Rightarrow(y-2 x)^2+(y-2 x) 5+6=0 \\ \Rightarrow(y-2 x)^2+5(y-2 x)+6=0
यह y-2x के रूप में द्विघात समीकरण है अतः
y-2 x=\frac{-5 \pm \sqrt{(5)^2-4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1} \\ \Rightarrow y-2 x=\frac{-5 \pm \sqrt{15-24}}{2} \\ \Rightarrow y-2 x=\frac{-5 \pm 1}{2} \\ \Rightarrow y-2 x=\frac{-5+1}{2}, y-2 x=-\frac{5-1}{2} \\ \Rightarrow y-2 x=-2, y-2 x=-3 \\ \Rightarrow y-2 x+2=0, y-2 x+3=0
गुणनखण्ड y-x के संगत अनन्तस्पर्शी की समीकरण होगीः
y-x=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=1 \\ \frac{(y-2 x)^2(y-x)}{(y-2x)^2}+\frac{(y+3 x)(y-2 x)}{(y-2 x)^2}+\frac{2 x+2 y-1}{(y-2 x)^2}=0 \\ \Rightarrow(y-x)+\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 1}} \frac{x\left(\frac{y}{x}+3\right)}{x\left(\frac{y}{x}-2\right)}+\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 1}} \frac{x\left(2+\frac{2 y}{x}-\frac{1}{x}\right)}{x^2\left(\frac{y}{x}-2\right)^2}=0 \\ \Rightarrow(y-x)+\frac{1+3}{1-2}+0=0 \\ \Rightarrow y-x-4=0
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियाँ होंगीः
y-2x+2=0,y-2x+3=0,y-x-4=0
Example:17. y^3-2 x y^2-2 x^2 y+2 x^3+3 y^2-7 x y+2 x^2+2 y+2 x+1=0
Solution: y^3-2 x y^2-2 x^2 y+2 x^3+3 y^2-7 x y+2 x^2+2 y+2 x+1=0 \cdots(1)
अब x=1 तथा y=m तृतीय घात के पदों में रखने परः
\phi_3(m)=m^2-2 m^2-m+2 \\ \phi_3^{\prime}(m)=3 m^2-4 m-1
अब \phi_3(m)=0 रखने परः
m^3-2 m^2-m+2=0 \\ \Rightarrow m^3-m^2-m^2+m-2 m+2=0 \\ \Rightarrow m^2(m-1)-m(m-1)-2(m-1)=0 \\ \Rightarrow (m-1)\left(m^2-m-2\right)=0 \\ \Rightarrow (m-1)\left[m^2-2 m+m-2\right]=0 \\ \Rightarrow (m-1)[m(m-2)+1(m-2)]=0 \\ \Rightarrow (m-1)(m-2)(m+1)=0 \\ \Rightarrow m=-1,1,2
तीनों पृथक हैं।
पुनः (1) के द्वितीय घात पदों में x=1 तथा y=m रखने परः
\phi_2(m)=3 m^2-7 m+2
अब c का मान निम्न से प्राप्त करते हैंः
c=-\frac{\phi_2(m)}{\phi_3^{\prime}(m)} \\ =-\frac{\left(3 m^2-7 m+2\right)}{\left(3 m^2-4 m-1\right)}
जब m=-1 तब c =-\frac{\left(3 \times (-1)^2-7 \times -1+2\right)}{(3 \times (-1)^{2}-4 \times -1-1)} \\ =-\frac{(3+7+2)}{(3+4-1)} \\ \Rightarrow c=-2
जब m=1 तब c=-\frac{\left(3 \times(1)^2-7 \times 1+2\right)}{\left(3 \times 1^2-4 \times 1-1\right)} \\ =-\frac{(3-7+2)}{(3-4-1)} \\ \Rightarrow c =-1
जब m=2 तब c=-\frac{\left(3 \times 2^2-7 \times 2+2\right)}{\left(3 \times 2^2-4 \times 2-1\right)} \\ =-\frac{(12-14+2)}{(12-8-1)} \\ c=0
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियाँ होंगीः
y=-x-2,y=x-1,y=2x
x+y+2=0,y-x+1=0,y-2x=0
Example:18. \left(x^2-y^2\right)\left(y^2-4 x^2\right)-6 x^3+5 x^2 y+3 x y^2-2 y^3-x^2+3 x^2 y-1=0
Solution:\left(x^2-y^2\right)\left(y^2-4 x^2\right)-6 x^3+5 x^2 y+3 x y^2-2 y^3-x^2+3 x^2 y-1=0
गुणनखण्ड x-y के संगत अनन्तस्पर्शी की समीकरण होगीः
गुणनखण्ड x+y के संगत अनन्तस्पर्शी की समीकरण होगीः
(x+y)+\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow -1}} \frac{x\left(3+\frac{2 y}{x}\right)}{x\left(\frac{y}{x}+2\right)}+\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow -1}} \frac{x^2\left(-1+ \frac{3y}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)}{x^3(1-\frac{y}{x}) \left(\frac{y}{x}-2\right)\left(\frac{y}{x}+2\right)}=0 \\ \Rightarrow(x+y)+\frac{(3-2)}{(-1+2)}+0=0 \\ \Rightarrow x+y+1=0
गुणनखण्ड y-2x के संगत अनन्तस्पर्शी की समीकरण होगीः
y-2x=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=2 \\ y-2 x+(y-2x) \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 2}} \frac{x(3+\frac{2y}{x})}{x^{2}\left(\frac{y}{x}+1\right)\left(\frac{y}{x}+2\right)}+ \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow 2}} \frac{x^2\left(-1+ \frac{3y}{x}-\frac{1}{x^2} \right)}{x^3(1-\frac{y}{x})\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(\frac{y}{x}+2\right)}=0 \\ \Rightarrow y-2 x+(y-2 x)(0)+0=0 \\ \Rightarrow y-2 x=0
गुणनखण्ड y+2x के संगत अनन्तस्पर्शी की समीकरण होगीः
y+2 x=0 \Rightarrow \frac{y}{x}=-2 \\ y+2x+\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow-2}} \frac{x\left(3+\frac{2y}{x}\right)}{x\left(\frac{y}{x}+1\right)}+ \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ \frac{y}{x} \rightarrow-2}} \frac{x^2\left(-1+\frac{3 y}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}{x^{3}\left(1-\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(\frac{y}{x}-2\right)}=0\\ \Rightarrow y+2 x+\frac{(3+2 x-2)}{(-2+1)}+0=0 \\ \Rightarrow y+2x+1=0
अतः अभीष्ट अनन्तस्पर्शियाँ होंगीः
x-y=0,x+y+1=0,y-2x=0,y+2x+1=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना (Finding Asymptotes of Algebraic Curves),बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करने की विधियाँ (Methods of Finding Asymptotes of Algebraic Curves) को समझ सकते हैं।
3.बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना पर आधारित सवाल (Questions Based on Finding Asymptotes of Algebraic Curves):
निम्न वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिएः
(Find the asymptotes of the following curves):
(1.) x y(2 x-3 y)^2\left(12 x^2-3 y^2\right)-7=0
(2.) x^2\left(y^2+x^2\right)=2\left(x^2-y^2\right)
उत्तर (Answers): (1)x=0,y=0,2x-3y \pm 4=0
(2)y=\pm x \sqrt{3}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना (Finding Asymptotes of Algebraic Curves),बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करने की विधियाँ (Methods of Finding Asymptotes of Algebraic Curves) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also Read This Article:-Minima and Maxima by Lagrange Method
4.बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना (Frequently Asked Questions Related to Finding Asymptotes of Algebraic Curves),बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करने की विधियाँ (Methods of Finding Asymptotes of Algebraic Curves) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.अक्षों के समान्तर अनन्तस्पर्शियाँ कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do We Find Asymptotes Parallel to the Axes?):
उत्तर:माना कि वक्र का समीकरण निम्न हैः
a_0 x^n+a_1 x^{n-1} y+a_2 x^{n-2} y^2+\ldots+a_{n-1} y^{n-1}+ a_{n} y^n+b_1 x^{n-1}+b_2 x^{n-2}+\ldots+b_{n-1} y^{n-1}+b_n y^{n} +c_2 x^{n-2}+c_3 x^{n-3} y+\ldots \ldots=0 \cdots(1)
उपर्युक्त को x के अवरोही घातों (descending powers) में लिखने पर
a_0 x^n+\left(a_{1} y+b_1\right) x^{n-1}+\ldots=0 \cdots(2)
यदि a_0=0 तथा y को इस प्रकार चुना जाए कि
a_1 y+b=0
तो इससे (2) में x^n तथा x^{n-1} के गुणांक शून्य हो जाते हैं।अतः समीकरण सिद्धान्त से (2) के दो मूल अनन्त होंगे।ऐसी दशा में सरल रेखा वक्र (2) को अनन्त पर दो अनुरूप (Coincident) बिन्दुओं पर काटेगी अर्थात् वक्र (2) की अनन्तस्पर्शी होगी।
पुनः a_0=a_1=b_1=0 हो तथा y को इस प्रकार चुना जाए कि a_2 y^2+b_2 y+c_2=0 तो इससे (2) के तीन मूल अनन्त होंगे और इसलिए a_2 y^2+b_2 y+c_2=0 द्वारा निरूपित रेखा युग्म x-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शी होंगे।
प्रश्न:2.x-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शी कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do We Find Asymptotes Parallel to x-axis?):
उत्तर:x-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शी,वक्र के समीकरण में x की उच्चतम घात के गुणांक के वास्तविक एकघाती गुणनखण्ड को शून्य के बराबर रख देने से प्राप्त होते हैं।परन्तु यदि x की उच्चतम घात का गुणांक अचर हो या वास्तविक एकघाती नहीं है तो x-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शी नहीं होंगे।
प्रश्न:3.y-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शी कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do We Find Asymptotes Parallel to y-axis?):
उत्तर:y-अक्ष के समान्तर अनन्तस्पर्शी भी वक्र के समीकरण में y की उच्चतम घात के गुणांक के वास्तविक एकघाती गुणनखण्डों को शून्य के बराबर रख देने से प्राप्त होते हैं परन्तु यदि y की उच्चतम घात का गुणांक अचर हो या वास्तविक एकघाती नहीं है तो y-अक्ष के समान्तर कोई वास्तविक अनन्तस्पर्शी नहीं होंगे।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करना (Finding Asymptotes of Algebraic Curves),बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करने की विधियाँ (Methods of Finding Asymptotes of Algebraic Curves) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
| No. | Social Media | Url |
|---|---|---|
| 1. | click here | |
| 2. | you tube | click here |
| 3. | click here | |
| 4. | click here | |
| 5. | Facebook Page | click here |
| 6. | click here |
Finding Asymptotes of Algebraic Curves
बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करने
(Finding Asymptotes of Algebraic Curves)
Finding Asymptotes of Algebraic Curves
बीजीय वक्रों की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात करने (Finding Asymptotes of Algebraic Curves) की
वैकल्पिक विधियों में से सीमा विधि (Method of Limit) के द्वारा अनन्तस्पर्शियों को ज्ञात करना
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
