1.अन्वालोप जब दो प्राचल जुड़े हों (Envelope When Two Parameters Connected),अन्वालोप ज्ञात करना जब दो प्राचल एक सम्बन्ध द्वारा सम्बन्धित हों (To Find the Envelope When Two Parameters are Connected):

Envelope When Two Parameters Connected

अन्वालोप जब दो प्राचल जुड़े हों (Envelope When Two Parameters Connected) तो निम्नलिखित विधि से ज्ञात करते हैं:
अन्वालोप ज्ञात करना जब दो प्राचल एक सम्बन्ध द्वारा सम्बन्धित हों
(To Find the Envelope When Two Parameters are Connected by a Relation):
माना कि वक्र कुल का समीकरण है
f(x,y,a,b)=0…. (1)
जहाँ a तथा b दो प्राचल हैं निम्न हैं जो कि निम्न सम्बन्ध से सम्बन्धित हैं

\phi(a, b)=0 \ldots(2)
(1) और (2) में से एक प्राचल का विलोपन (elimination) कर वक्र कुल में एक प्राचल रह जाने पर वक्र कुल का अन्वालोप पूर्व विधि से ज्ञात करते हैं।
परन्तु कभी-कभी (1) तथा (2) में से एक प्राचल का विलोपन करना कठिन होता है।ऐसी स्थिति में a तथा b को किसी प्राचल (parameter) ‘t’ फलन मान लेते हैं।
अब (1) तथा (2) का t के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{\partial f}{\partial a} \cdot \frac{\partial a}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial b} \cdot \frac{\partial b}{\partial t}=0
तथा \frac{\partial \phi}{\partial a} \cdot \frac{\partial a}{\partial t}+\frac{\partial \phi}{\partial b} \cdot \frac{\partial b}{\partial t}=0
अब \frac{\frac{\partial a}{\partial t}}{\frac{\partial b}{\partial t}} का उपर्युक्त दोनों से मान प्राप्त कर बराबर रखने परः

\frac{\frac{\partial f}{\partial a}}{\frac{\partial \phi}{\partial a}}=\frac{\frac{\partial f}{\partial b}}{\frac{\partial \phi}{\partial b}} \ldots(3)
अब a तथा b को सम्बन्ध (1),(2) तथा (3) से विलोपन करने पर हमें अन्वालोप का समीकरण प्राप्त होता है।
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2.अन्वालोप जब दो प्राचल जुड़े हों के साधित उदाहरण (Envelope When Two Parameters Connected Solved Examples):

Example:1.निम्न में से प्रत्येक प्रतिबन्ध के लिए सरल रेखा \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 के कुल का अन्वालोप ज्ञात कीजिएः
(Find the envelope of the family of straight lines \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 under each of the following conditions):

(a) a^2+b^2=c^2
(b) a b=c^2
जहाँ c अचर है
(Where c is Constant)
Solution:सरल रेखा का समीकरण

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \ldots(1)
जबकि a^2+b^2=c^2 \Rightarrow b^2=c^2-a^2 \ldots(2)
(1) व (2) सेः \frac{x}{a}+\frac{y}{\sqrt{c^2-a^2}}=1 \ldots(3)
(3) का a के सापेक्ष अवकलन करने परः

\Rightarrow-\frac{x}{a^2}-y \cdot \frac{-2 a}{2 \left(c^2-a^2\right)^{\frac{3}{2}}}=0 \\ \Rightarrow-\frac{x}{a^3}+\frac{y}{\left(c^2-a^2\right)^{\frac{3}{2}}}=0 \\ \Rightarrow \frac{x}{a^3}=\frac{y}{\left(c^2-a^2\right)^{\frac{3}{2}}} \\ \Rightarrow \frac{x^{\frac{2}{3}}}{a^2}=\frac{y^{\frac{2}{3}}}{c^2-a^2}= \frac{x^{\frac{2}{3}}+y^\frac{2}{3}}{c^2} \ldots(4)
(3) व (4) से a का विलोपन करने परः

\frac{x^{\frac{2}{3}}}{a^2}=\frac{x^{\frac{2}{3}} +y^{\frac{2}{3}}}{c^2}\\ \Rightarrow a^2=\frac{c^2 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}} \\ \Rightarrow a=\frac{c x^{\frac{1}{3}}}{\left(x^{\frac{2}{3}} +y^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}}\\ \frac{x}{\frac{c x^{\frac{1}{3}}}{\left(x^{\frac{2}{3}} +y^{\frac{2}{3}}\right)^{2}}} +\frac{y}{\sqrt{\left ( c^{2}-\frac{c^2 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}} \right )}}=1 \\ \frac{x^{\frac{2}{3}}\left(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}}{c}+\frac{y\left(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}}{c y^{\frac{1}{3}}}=1 \\ \Rightarrow x^{\frac{2}{3}}\left(x^\frac{2}{3}+y^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{2}{3}}\left(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=c \\ \Rightarrow \left(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}\right)=c \\ \Rightarrow x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}
Example:1(b). a b=c^2\\ \Rightarrow b=\frac{c^2}{a} \ldots(1)\\ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2 \ldots(2)
(1) व (2) सेः

\frac{x}{a}+\frac{y}{\frac{c^2}{a}}=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{a y}{c^2}=1 \cdots(3)
(3) का a के सापेक्ष अवकलन करने परः

\Rightarrow \frac{-x}{a^2}+\frac{y}{c^2}=0 \\ \Rightarrow \frac{x}{a^2}=\frac{y}{c^2} \\ \Rightarrow a^2=\frac{x c^2}{y} \\ \Rightarrow a=\frac{\sqrt{x} c}{\sqrt{y}} \ldots(4)
(3) व (4) से a का विलोपन करने परः

\frac{x}{\frac{\sqrt{x} c}{\sqrt{y}}}+\frac{\sqrt{x} c y}{\sqrt{y} c^2}=1 \\ \frac{\sqrt{y} x}{\sqrt{x}}+ \frac{\sqrt{x} y}{\sqrt{y}}=c \\ \Rightarrow \sqrt{yx}+\sqrt{x y}=c \\ \Rightarrow 2 \sqrt{x y}=c \\ \Rightarrow 4 x y=c^2
Example:2.दीर्घवृत्तों \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 का अन्वालोप ज्ञात कीजिए जिनके अर्द्ध अक्षों a,b में निम्न सम्बन्ध होंः
(Find the envelope of the ellipses \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,whose semi-axes a,b are connected as):

(a)a^2+b^2=c^2  (b)a b=c^2
Example:2(a). \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b^2}=1
Solution:\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b^2}=1 \cdots(1)
प्रतिबन्ध a^2+b^2=c^2 \Rightarrow b^2=c^2-a^2 \ldots(2)
(1) व (2) सेः

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{c^2-a^2}=1 \cdots(3)
(3) का a के सापेक्ष अवकलन करने परः

-\frac{2 x^2}{a^3}+\frac{2 a y^2}{\left(c^2-a^2\right)}=0 \\ \Rightarrow \frac{2 x^2}{a^3}=\frac{2 a y^2}{\left(c^2-a^2\right)^2} \\ \Rightarrow \frac{x^2}{a^4}=\frac{y^2}{\left(c^2-a^2\right)^2} \\ \Rightarrow \frac{x}{a^2}=\frac{y}{c^2-a^2}=\frac{x+y}{c^2} \\ \Rightarrow a^2=\frac{c^2 x}{x+y} \\ a^2 का मान समीकरण (3) में रखने परः

\frac{x^2}{\frac{c^2 x}{x+y}}+\frac{y^2}{c^2-\frac{c^2 x}{x+y}}=1 \\ \Rightarrow \frac{x^2(x+y)}{c^2 x}+\frac{y^2(x+y)}{c^2 y}=1 \\ \Rightarrow x(x+y)+y(x+y)=c^2 \\ \Rightarrow (x+y)(x+y)=c^2 \\ \Rightarrow x+y=c
Example:2(b).  \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
Solution:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \cdots(1)
प्रतिबन्ध a b=c^2 \Rightarrow b=\frac{c^2}{a} \cdots(2)
(1) व (2) सेः

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{c^2}{a}\right)^2}=1 \\ \Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{a^2 y^2}{c^4}=1 \ldots(3)
(3) का a के सापेक्ष अवकलन करने परः

-\frac{2 x^2}{a^3}+\frac{2 a y^2}{c^4}=0 \\ \Rightarrow \frac{2 x^2}{a^3}=\frac{2 a y^2}{c^4} \\ \Rightarrow \frac{x^2}{a^3}=\frac{a y^2}{c^4} \\ \Rightarrow \frac{x^2}{a^4}=\frac{y^2}{c^4} \\ \Rightarrow \frac{x}{a^2}=\frac{y}{c^2} \\ \Rightarrow a^2=\frac{c^2 x}{y}\\ a^2 का मान समीकरण (3) में रखने परः

\frac{x^2}{\frac{c^2 x}{y}}+\frac{c^2 x y^2}{c^4 y}=1 \\ \Rightarrow \frac{x y}{c^2} \neq \frac{x y}{c^2}=1 \\ \Rightarrow 2 x y=c^2 \\ \Rightarrow x y=\frac{1}{2} c^2
Example:3.दीर्घवृत्तों \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 के कुल का अन्वालोप ज्ञात कीजिए जबकि
(Find the envelope of the family of ellipse \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 when

(a)a^n+b^n=c^n (b)a^m b^n=c^{m+n}
जहाँ a तथा b प्राचल है तथा c कोई अचर है।
(Where a and b are parameters and c is any constant)
Example:3(a). \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
Solution:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ldots(1)
प्रतिबन्ध a^{n}+b^n=c^{m+n} \ldots(2)
(1) व (2) का t के सापेक्ष अवकलन करने परः

-\frac{2 x^2}{a^3}\left(\frac{d a}{d t}\right)-\frac{2 y^2}{b^2}\left(\frac{d b}{d t}\right)=0 \\ \frac{\frac{d a}{d t}}{\frac{d b}{d t}}=-\frac{\frac{2 y^2}{b^2}}{\frac{2 x^2}{a^3}} \\ \Rightarrow \frac{\frac{d a}{d t}}{\frac{d b}{d t}}=-\frac{a^3 y^2}{b^2 x^2} \cdots(3) \\ n a^{n-1} \frac{d a}{d t}+n b^{n-1} \frac{d b}{d t}=0 \\ \Rightarrow \frac{\frac{d a}{d t}}{\frac{d b}{d t}}=-\frac{n b^{n-1}}{n a^{n-1}} \\ \Rightarrow \frac{\frac{d a}{d t}}{\frac{d b}{d t}}=-\frac{b^{n-1}}{a^{n-1}} \ldots(4)
(3) व (4) सेः

-\frac{b^{n-1}}{a^{n-1}}=-\frac{a^3 y^2}{b^2 x^2} \\ \Rightarrow \frac{x^2}{a^{n+2}}=\frac{y^2}{b^{n+2}} \\ \Rightarrow \frac{\frac{x^2}{a^2}}{a^n}=\frac{\frac{y^2}{b^2}}{b^n}=\frac{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}{a^n+b^n}=\frac{1}{c^n}\\ \Rightarrow \quad a^{n+2}=x^2 c^n\\ \Rightarrow a=x^{\frac{2}{n+2}} c^{\frac{n}{n+2}}\\ b^{n+2}=y^2 c^n\\ \Rightarrow b=y^{\frac{2}{n+2}} c^{\frac{n}{n+2}}
a व b का मान समीकरण (2) में रखने परः

x^{\frac{2 n}{n+2}} c^{\frac{n^2}{n+2}}+y^{\frac{2 n}{n+2}} c^{\frac{n^2}{n+2}}=c^n \\ \Rightarrow x^{\frac{2 n}{n+2}}+y^{\frac{2 n}{n+2}}=\frac{c^n}{c^{\frac{n^2}{n+2}}} \\ \Rightarrow x^{\frac{2 n}{n+2}}+y^{\frac{2 n}{n+2}}=c^{\frac{2 n}{n+2}}
Example:3(b). \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
Solution: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ldots \text { (1) }
प्रतिबन्ध a^m b^n=c^{m+n} \ldots(2)
(1) व (2) का t के सापेक्ष अवकलन करने परः

-\frac{2 x^2}{a^3} \frac{da}{d t}-\frac{2 y^2}{b^3} \frac{d b}{d t}=0\\ -\frac{2 x^2}{a^3} \frac{d a}{d t}= \frac{2 y^2}{b^3} \frac{d b}{d t}\\ \Rightarrow \frac{\frac{d a}{d t}}{\frac{d b}{d t}}=-\frac{\frac{2 y^2}{b 3}}{\frac{2 x^2}{a 3}}\\ \Rightarrow \frac{\frac{d a}{d t}}{\frac{d b}{d t}}=-\frac{y^2 a^3}{x^2 b^3} \cdots \text { (3) }\\ m a^{m-1} b^n \frac{d a}{d t}+n a^m b^{n-1} \frac{d b}{d t}=0\\ \Rightarrow m a^{m-1} b^n \frac{d a}{d t}=-n a^m b^{n-1} \frac{d b}{d t}\\ \Rightarrow \frac{\frac{d a}{d t}}{\frac{d b}{d t}}=-\frac{n a^m b^{n-1}}{m a^{m-1} b^n} \\ \Rightarrow \frac{\frac{d a}{d t}}{\frac{d b}{d t}}=-\frac{n a}{m b} \cdots(4)
(3) व (4) सेः

-\frac{n a}{m b}=-\frac{y^2 a^3}{x^2 b^3} \\ \Rightarrow \frac{\frac{x^2}{a^2}}{m}=\frac{\frac{y^2}{b^2}}{n}=\frac{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}{m+n} \\ \Rightarrow \frac{x^2}{a^2 m}=\frac{y^2}{b^2 n}=\frac{1}{m+n} \\ a =x \sqrt{\frac{m+n}{m}}, b=y \sqrt{\frac{m+n}{n}}
a व b का मान समीकरण (2) में रखने परः

Envelope When Two Parameters Connected

Example:4.वक्र कुल \sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)}+\sqrt{\frac{y}{b}}=1 का अन्वालोप ज्ञात कीजिए जबकि
(Find the envelope of the family of curves \sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)}+\sqrt{\frac{y}{b}}=1 when)

(a) a^n+b^n=c^n (b)a b=c^2
Example:4(a). \sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)}+\sqrt{\left(\frac{y}{b}\right)}=1
Solution: \sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)}+\sqrt{\left(\frac{y}{b}\right)}=1 \ldots(1) \\ a^n+b^n=c^n \ldots(2)
(1) व (2) का t के सापेक्ष अवकलन करने परः

-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{a^{\frac{3}{2}}} \frac{d a}{d t}-\frac{1}{2} \frac{\sqrt{y}}{b^{\frac{3}{2}}} \frac{d b}{d t}=0\\ \Rightarrow \frac{\frac{d a}{d t}}{\frac{d b}{d t}}=-\frac{\frac{1}{2} \frac{\sqrt{y}}{b^{\frac{3}{2}}}}{\frac{1}{2} \frac{\sqrt{x}}{a^{\frac{3}{2}}}}\\ \Rightarrow \frac{\frac{d a}{d t}}{\frac{d b}{d t}}=-\sqrt{\frac{y}{x}} \cdot\frac{a^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{3}{2}}} \cdots(3)\\ n a^{n-1} \frac{d a}{d t}+n b^{n-1} \frac{d b}{d t}=0 \\ \Rightarrow \frac{\frac{d a}{d t}}{\frac{d b}{d t}}=-\frac{n b^{n-1}}{n a^{n-1}} \\ \Rightarrow \frac{\frac{d a}{d t}}{\frac{d b}{d t}}=-\frac{b^{n-1}}{a^{n-1}} \cdots(4)
(3) व (4) सेः

-\frac{b^{n-1}}{a^{n-1}}=-\sqrt{\frac{y}{x}} \cdot \frac{a^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{3}{2}}} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{\frac{x}{a}}}{a^n}=\frac{\sqrt{\frac{y}{b}}}{b^n}=\frac{\sqrt{\frac{x}{a}}+\sqrt{\frac{y}{b}}}{a^n+b^n} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{x}}{a^{n+\frac{1}{2}}}=\frac{\sqrt{y}}{b^{n+\frac{1}{2}}}=\frac{1}{c^n} \\ a^{n+\frac{1}{2}}=\sqrt{x} c^n \\ \Rightarrow a=x^{\frac{\frac{1}{2}}{n+\frac{1}{2}}} c^{\frac{n}{n+\frac{1}{2}}} \\ \Rightarrow a=x^{\frac{1}{(2 n+1)}} c^{\frac{2 n}{(2 n+1)}}\\ b^{n+\frac{1}{2}}=\sqrt{y} c^{n}\\ \Rightarrow b=y^{\frac{\frac{1}{2}}{n+\frac{1}{2}}} c^{\frac{n}{n+\frac{1}{2}}}\\ \Rightarrow b=y^{\frac{1}{(2 n+1)}} c^{\frac{2 n}{(2 n+1)}}
a व b का मान समीकरण (2) में रखने परः

x^{\frac{n}{2 n+1}} c^{\frac{2 n^2}{2 n+1}}+y^{\frac{n}{2 n+1}} c^{\frac{2 n^2}{2 n+1}}=c^n \\ x^{\frac{n}{2 n+1}}+y^{\frac{n}{2 n+1}}=\frac{c^n}{c^{\frac{2n^2}{2 n+1}}} \\ x^{\frac{n}{2 n+1}}+y^{\frac{n}{2 n+1}}=c^{\frac{n}{2 n+1}}
Example:4(b). \sqrt{\frac{x}{a}}+\sqrt{\frac{y}{b}}=1
प्रतिबन्ध a b=c^2
Solution: \sqrt{\frac{x}{a}}+\sqrt{\frac{y}{b}}=1 \ldots(1)
प्रतिबन्ध a b=c^2 \ldots(2)
(1) सेः \frac{\frac{d a}{d t}}{\frac{d b}{d t}}=-\sqrt{\frac{y}{x}} \frac{a^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{3}{2}}} \cdots(3)
(2) का t के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d a}{d t} b+a \frac{d b}{d t}=0 \\ \Rightarrow \frac{\frac{d a}{d t}}{\frac{d b}{d t}}=-\frac{a}{b} \cdots(4)
(3) व (4) सेः

-\frac{a}{b}=-\sqrt{\frac{y}{x}} \frac{a^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{3}{2}}} \\ \Rightarrow \sqrt{\frac{x}{a}}= \sqrt{\frac{y}{b}}=\frac{\sqrt{\frac{x}{a}}+\sqrt{\frac{y}{b}}}{1+1} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{x}}{a^{\frac{1}{2}}}=\frac{\sqrt{y}}{b^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow a^{\frac{1}{2}}=2 \sqrt{x} \Rightarrow a=4 x \\ \Rightarrow b^{\frac{1}{2}}=2 \sqrt{y} \Rightarrow b=4 y
a व b का मान (2) में रखने परः

(4 x)(4 y)=c^2 \\ \Rightarrow 16 x y=c^2
Example:5.सिद्ध कीजिए कि उन दीर्घवृत्तों का अन्वालोप जिसके मुख्य अक्ष निर्देशांक है तथा जिनके अर्धाक्षों का योग अचर है तथा c के बराबर है,एस्ट्राॅइड x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}} है।
(Prove that the envelope of ellipse having the axes of coordinates as principal axes and the sum of their semi-axes is constant and equal to c, is the asteroid x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}})
Solution:दीर्घवृत्त का समीकरणः \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ldots(1)
प्रतिबन्ध a+b=c…..(2)
(1) व (2) का t के सापेक्ष अवकलन करने परः

-\frac{2 x^2}{a^3} \frac{d a}{d t}-\frac{2 y^2}{b^3} \frac{d b}{d t}=0\\ \frac{\frac{d a}{d t}}{\frac{d b}{d t}}=-\frac{b^{3} x^2}{a^3 y^2} \cdots(3)\\ \frac{d a}{d t}+\frac{d b}{d t}=0\\ \Rightarrow \frac{\frac{d a}{d t}}{\frac{d b}{d t}}=-1 \cdots(4)
(3) व (4) सेः

-\frac{b^3 x^2}{a^3 y^2}=-1 \\ \Rightarrow \frac{\frac{x^2}{a^2}}{a}=\frac{\frac{y^2}{b^2}}{b}= \frac{\frac{x^2}{a 2}+\frac{y^2}{b^2}}{a+b} \\ \Rightarrow \frac{x^2}{a^3}=\frac{y^2}{b^3}=\frac{1}{c} \\ \Rightarrow a-c^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}, \quad b=c^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}
a व b का मान समीकरण (2) में रखने परः

c^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}+c^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}=c \\ \Rightarrow x^{\frac{2}{3}}+ y^{\frac{2}{3}}=\frac{c}{c^{\frac{1}{3}}} \\ \Rightarrow x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}
Example:6.उस वृत्त का अन्वालोप ज्ञात कीजिए जिसका व्यास अचर लम्बाई की एक रेखा है जो सदैव दो स्थिर एवं एक-दूसरे पर लम्ब रेखाओं पर फिसलती है।
(Find the envelope of the circle whose diameter is a line of constant length which slides between two fixed straight lines at right angles to each other):
Solution:माना दो एक-दूसरे पर स्थिर लम्ब रेखाएँ निर्देशांक अक्ष हैं।माना अचर रेखा के सिरों के निर्देशांक A(a,0),B(0,b) है।
AB का व्यास रूप में वृत्त का समीकरणः
(x-a) (x-0)+(y-0)(y-b)=0

\Rightarrow x^2-a x+y^2-b y=0 \\ \Rightarrow x^2+y^2-a x-b y=0 \ldots(1) \\ a^2+b^2=c^2 \ldots(2)
(1) व (2) का t के सापेक्ष अवकलन करने परः

(3) व (4) सेः

-\frac{b}{a}=-\frac{y}{x} \\ \Rightarrow \frac{x}{a}-\frac{y}{b}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{a^2+b^{2}}} \\ \Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{c} \\ \Rightarrow \frac{x}{a}= \frac{\sqrt{x^2 +y^2}}{c} \Rightarrow a=\frac{c x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \frac{y}{b}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{c} \Rightarrow b=\frac{c y}{\sqrt{x^2+y^2}}
a व b का मान समीकरण (1) रखने परः

x^2+y^2-\frac{c x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{c y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 \\ \Rightarrow x^2+y^2-c \left(\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=0 \\ \Rightarrow x^2+y^2-c \left(\sqrt{x^2+y^2}\right)=0 \\ \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}\left(\sqrt{x^2+y^2}-c\right)=0 \\ \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}-c=0 \\ \Rightarrow x^2+y^2=c^2
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अन्वालोप जब दो प्राचल जुड़े हों (Envelope When Two Parameters Connected),अन्वालोप ज्ञात करना जब दो प्राचल एक सम्बन्ध द्वारा सम्बन्धित हों (To Find the Envelope When Two Parameters are Connected) को समझ सकते हैं।

3.अन्वालोप जब दो प्राचल जुड़े हों की समस्याएं (Envelope When Two Parameters Connected Problems):

Envelope When Two Parameters Connected

(1.)दीर्घवृत्तों \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^{2}}=1 के कुल का अन्वालोप ज्ञात कीजिए जबकि a+b=c जहाँ c अचर है।
(Find the envelope of the family of the ellipse \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^{2}}=1)
(2.)सरल रेखाओं \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 के कुल का अन्वालोप ज्ञात कीजिए जहाँ a तथा b प्राचलों में निम्न सम्बन्ध हैः
(Find the envelope of the lines \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 where the parameters a and b are connected by the following relation)

(a)a^n+b^n=c^n (b)a^m b^n=c^{m+n}
उत्तर (Answers):(1) x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}
(2.) (a) x^{\frac{n}{n+1}}+y^{\frac{n}{n+1}}=c^{\frac{n}{n+1}}
(b)(m+n)^{m+n} x^m y^n=c^{m+n} m^{m} n^{n}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अन्वालोप जब दो प्राचल जुड़े हों (Envelope When Two Parameters Connected),अन्वालोप ज्ञात करना जब दो प्राचल एक सम्बन्ध द्वारा सम्बन्धित हों (To Find the Envelope When Two Parameters are Connected) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अन्वालोप जब दो प्राचल जुड़े हों (Envelope When Two Parameters Connected),अन्वालोप ज्ञात करना जब दो प्राचल एक सम्बन्ध द्वारा सम्बन्धित हों (To Find the Envelope When Two Parameters are Connected) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

अन्वालोप जब दो प्राचल जुड़े हों (Envelope When Two Parameters Connected) तो निम्नलिखित
विधि से ज्ञात करते हैं: अन्वालोप ज्ञात करना जब दो प्राचल एक सम्बन्ध द्वारा सम्बन्धित हों