1.डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण (De Morgan and Bertrand Test),अभिसरण और अपसरण के लिए डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण (De Morgan and Bertrand Test for Convergence and Divergence):

De Morgan and Bertrand Test

डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण (De Morgan and Bertrand Test) श्रेणी के अभिसरण और अपसरण के लिए तब किया जाता है जब राबी परीक्षण असफल हो जाता है।इस पर आधारित निम्नलिखित उदाहरण है:
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2.डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण के साधित उदाहरण (De Morgan and Bertrand Test Solved Examples):

निम्न श्रेणियों के अभिसरण तथा अपसरण की जाँच कीजिए:
(Test the convergence and divergence of the following series):
Example:1. \sum \left\{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots (2 n)}\right\}^2\left\{\frac{n}{n+1}\right\}
Solution: \sum \left\{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots (2 n)} \right\}^2\left\{\frac{n}{n+1}\right\}
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma  u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\left\{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots (2 n)}\right\}^2\left\{\frac{n}{n+1}\right\} तथा u_{n+1}=\left\{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2 n-1)(2 n+1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots (2n)(2n+2)}\right\}^2\left(\frac{n+1}{n+2}\right) \\ \Rightarrow \frac{u_n}{u_n+1}=\frac{\left\{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots (2 n)}\right\}^2\left\{\frac{n}{n+1}\right\}}{\left\{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)(2 n+1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots(2 n)(2 n+2)}\right\}^2 \left(\frac{n+1}{n+2}\right)} \\ =\frac{n(2 n+2)^2(n+2)}{(2 n+1)^{2}(n+1)^2} \\ \Rightarrow \frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{4 n(n+2)}{(2 n+1)^2} \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_{n+1}}= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{4 n^2(1+\frac{2}{n})}{n^2(2+\frac{1}{n})^2} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_{n+1}}=1
अतः दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
पुनः \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{4 n(n+2)}{(2 n+1)^2}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{4 n^2+8 n-4 n^2-4 n-1}{(2 n+1)^2}\right] \\=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n(4 n-1)}{n^2(2+\frac{1}{n})^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2(4-\frac{1}{n})}{n^2(2+\frac{1}{n})^2} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)=1
अतः राबी परीक्षण असफल रहता है।
पुन: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)-1\right] \log n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{4 n^2-n}{(2 n+1)^2}-1\right] \log n \\ = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{4 n^2-n-4 n^2-4 n-1}{(2 n+1)^2}\right] \log n \\ = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{-5 n-1}{n^2(2+\frac{1}{n})^2} \log n \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n(-5-\frac{1}{n})}{n\left(2+\frac{1}{n}\right)^2} \cdot \frac{\log }{n} \\ =0 \left[\because \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\log n}{n}=0 \right ] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)-1\right] \log n=0<1
अतः डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण से दी हुई श्रेणी अपसारी है।
Example:2. 1+\frac{2^2}{3^2}+\frac{2^2 \cdot 4^2}{3^2\cdot 5^2}+\frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2}{3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2}+\ldots
Solution: 1+\frac{2^2}{3^2}+\frac{2^2 \cdot 4^2}{3^2\cdot 5^2}+\frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2}{3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2}+\ldots
यदि दी हुई श्रेणी में प्रथम पद छोड़ दिया जाये तो इसका अभिसरण प्रभावित नहीं होता है।अत:मान लो

\Sigma u_n=\frac{2^2}{3^2}+\frac{2^2 \cdot 4^2}{3^2\cdot 5^2}+\frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2}{3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2}+\ldots \\ 2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots a_n=a+(n-1) d \Rightarrow 2+(n-1) 2 \Rightarrow 2 n \\ 3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots \ldots 3+(n-1)2 \Rightarrow 2 n+1
तब u_n=\frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \ldots (2 n)^2}{3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \ldots (2 n+1)^2}
तथा u_{n+1}=\frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \ldots (2 n)^2(2 n+2)^2}{3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \ldots (2 n+1)^2(2 n+3)^2}
अब \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_{n+1}} =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \ldots (2 n)^2}{3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \ldots (2 n+1)^2}}{\frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \ldots (2 n)^2(2 n+2)^2}{3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \ldots (2 n+1)^2(2 n+3)^2}} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \ldots (2 n)^2}{3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \ldots (2 n+1)^2} \times \frac{3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \ldots (2 n+1)^2(2n+3)^2}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \ldots (2n)^2(2 n+2)^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(2 n+3)^2}{(2 n+2)^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2(2+\frac{3}{n})^2}{n^2(2+\frac{2}{n})^2} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_n+1}\right)=1
अतः दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
पुनः \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{(2 n+3)^2}{(2 n+2)^2}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{4 n^2+12 n+9-4 n^2-8 n-4}{(2 n+2)^2}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n(4n+5)}{(2 n+2)^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2\left(4+\frac{5}{n}\right)}{n^2\left(2+\frac{2}{n}\right)^2} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)=1
अतः राबी परीक्षण भी असफल रहता है।
पुन: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)-1\right] \log n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{n(4 n+5)}{(2 n+2)^2}-1\right] \log n \\ = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{4 n^2+5 n-4 n^2-8 n-4}{(2 n+2)^2}\right] \log n \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{-3 n-4}{n^2(2+\frac{2}{n})^2}\right] \log n \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n(-3-\frac{4}{n})}{n(2+\frac{2}{n})^2} \cdot \frac{\log n}{n} \\ =0 \quad\left[\because \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\log n}{n}=0\right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)-1\right] \log n=0<1
अतः डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण से दी हुई श्रेणी अपसारी है।
Example:3. \sum \frac{1^2 \cdot 3^2 \ldots (2 n-1)^2}{2^2 \cdot 4^2 \ldots (2 n)^2} x^{n-1}(x>0)
Solution: \sum \frac{1^2 \cdot 3^2 \ldots (2 n-1)^2}{2^2 \cdot 4^2 \ldots (2 n)^2} x^{n-1}(x>0)
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma  u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो
u_n=\frac{1^2 \cdot 3^2 \ldots (2 n-1)^2}{2^2 \cdot 4^2 \ldots (2 n)^2} तथा u_{n+1}=\frac{1^2 \cdot 3^2 \ldots (2 n-1)^2(2 n+1)^2 }{2^2 \cdot 4^2 \cdots(2 n)^2(2 n+2)^2} x^n \\ \therefore \frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{\frac{1^2 \cdot 3^2 \ldots (2 n-1)^2}{2^2 \cdot 4^2 \ldots (2 n)^2} x^{n-1}}{\frac{1^2 \cdot 3^2 \ldots (2 n-1)^2(2 n+1)^2 x^n}{2^2 \cdot 4^2 \ldots (2 n)^2(2 n+2)^2}} \\ =\frac{1^2 \cdot 3^2 \ldots (2 n-1)^2}{2^2 \cdot 4^2 \ldots (2 n)^2} x^{n-1} \times \frac{2^2 \cdot 4^2 \ldots (2 n)^2(2 n+2)^2}{1^2 \cdot 3^2 \ldots (2 n-1)^2(2 n+1)^2} \cdot \frac{1}{x^n} \\ =\frac{(2 n+1)^2}{(2 n+2)^2} \cdot \frac{1}{x} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(2 n+1)^2}{(2 n+2)^2} \cdot \frac{1}{x} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2\left(2+\frac{1}{n}\right)^2}{n^2\left(2+\frac{2}{n}\right)^2} \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}\right)= \frac{1}{x}
अत: यदि x<1,तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_{n} अभिसारी है,

और यदि x>1,तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_{n} अपसारी है।
यदि x=1 तब दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
अतः x=1 पर

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_{n+1}} =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(2 n+1)^2}{(2 n+2)^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2(2+\frac{1}{n})^2}{n^2\left(2+\frac{2}{n}\right)^2} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left(\frac{u_n}{u_n+1}-1\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{(2+\frac{1}{n})^2}{\left(2+\frac{2}{n}\right)^2}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left[\frac{4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}-4-\frac{8}{n}-\frac{4}{n^2}}{(2+\frac{2}{n})^2}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n\left(-\frac{4}{n}-\frac{3}{n^2}\right)}{(2+\frac{2}{n})^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(-4-\frac{3}{n})}{(2+\frac{2}{n})^2} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)=-1<1
अतः राबी परीक्षण से \Sigma  u_{n} अपसारी है।
फलतः दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी यदि x<1 हो तथा अपसारी होगी यदि हो।

Example:4. \frac{1}{\log 2}+\frac{1}{\log 3}+\frac{1}{\log 4} + \ldots+\frac{1}{\log n}+\ldots

Solution: \frac{1}{\log 2}+\frac{1}{\log 3}+\frac{1}{\log 4} + \ldots+\frac{1}{\log n}+\ldots

यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma  f(n) से प्रदर्शित किया जाए,तो f(n)=\frac{1}{\log n}

तब a^n f(a^n)=\frac{a^n}{\log a^n} \\ =\frac{a^n}{n \log a} जहाँ a>1

\Sigma a^n f(a^n)=\sum \frac{a^n}{n \log a}
पुनः माना कि \Sigma v_n=\Sigma a^n f\left(a^n\right) तब
v_n=\frac{a^n}{n \log a} तथा v_{n+1}=\frac{a^{n+1}}{(n+1) \log a}
अब \frac{v_n}{v_{n+1}}=\frac{\frac{a^n}{n \log a}}{\frac{a^{n+1}}{(n+1) \log a}} \\ =\frac{a^n}{n \log a} \times \frac{(n+1) \log a}{a^{n+1}} \\ =\left(\frac{n+1}{n}\right) \cdot \frac{1}{a} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{v_n}{v_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n} \cdot \frac{1}{a} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{v_n}{v_{n+1}}\right)=\frac{1}{a}<1 \\ \Sigma v_n=\Sigma a^n f\left(a^n\right) अपसारी है।
अतः कौशी संघनन परीक्षण से दी हुई श्रेणी अपसारी है।
Example:5. \frac{1}{(\log 2)^p}+\frac{1}{(\log 3)^p}+\frac{1}{(\log 4)^p}+\ldots+\frac{1}{(\log n)^p}+\ldots
Solution: \frac{1}{(\log 2)^p}+\frac{1}{(\log 3)^p}+\frac{1}{(\log 4)^p}+\ldots+\frac{1}{(\log n)^p}+\ldots
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma  f(n) से प्रदर्शित किया जाए,तो

f(n)=\frac{1}{\left(\log n\right)^p} \\ \Rightarrow a^n f\left(a^n\right)=\frac{a^n}{\left(\log _a n\right)^p}=\frac{a^n}{n^p\left(\log a\right)^p}
पुन: माना कि \Sigma a^n f\left(a^n\right)=\Sigma v_n तब

v_n=\frac{a^n}{n^p(\log a)^p} \text { तथा } v_{n+1}=\frac{a^{n+1}}{(n+1)^p(\log a)^{p}}
अब \frac{v_n}{v_{n+1}}=\frac{\frac{a^n}{n^p(\log a)^p}}{\frac{a^{n+1}}{(n+1)^p(\log a)^p}} \\ =\frac{a^n}{n^p\left(\log a\right) p} \times \frac{(n+1)^p\left(\log a\right)^p}{a^{n+1}} \\ =\frac{(n+1)^p}{n^p} \cdot \frac{1}{a} \\ =\left(1+\frac{1}{n} \right)^p \cdot \frac{1}{a} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{v_n}{v_{n+1}}\right)^n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1+\frac{1}{n}\right)^p \cdot \frac{1}{a} \\ \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{v_n}{v_{n+1}}\right)=\frac{1}{a}<1 \quad[\because a>1] \\ \Sigma v_n=\Sigma a^n f\left(a^n\right) 
अपसारी है।
अत: कौशी संघनन परीक्षण से दी हुई श्रेणी अपसारी है।

De Morgan and Bertrand Test

Example:6. \frac{1}{2(\log 2)}+\frac{1}{3(\log 3)}+\frac{1}{4(\log 4)}+\ldots+\frac{1}{n(\log n)}+\ldots
Solution: \frac{1}{2(\log 2)}+\frac{1}{3(\log 3)}+\frac{1}{4(\log 4)}+\ldots+\frac{1}{n(\log n)}+\ldots
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma  f(n) से प्रदर्शित किया जाए,तब

f(n)=\frac{1}{n(\log n)} \\ \Rightarrow a^n f\left(a^n\right)=\frac{a^n}{a^n\left(\log a^n\right)} \\ \Rightarrow a^n f\left(a^n\right)=\frac{1}{n(\log a)} 
परन्तु \frac{1}{\log a} अचर है इसलिए \Sigma a^n f\left(a^n\right)  अभिसारी या अपसारी है यदि \frac{1}{n} अभिसारी या अपसारी है।
परन्तु \sum \frac{1}{n} अपसारी है क्योंकि p=1 \leq 1 
अतः \Sigma a^n f\left(a^n\right)  अपसारी है।
फलतः कौशी संघनन परीक्षण से दी हुई श्रेणी अपसारी है।
Example:7. 1+\frac{a \cdot b}{1 \cdot c} x+\frac{a(a+1) b(b+1)}{1 \cdot 2 c(c+1)} x^2+ \ldots 
Solution: 1+\frac{a \cdot b}{1 \cdot c} x+\frac{a(a+1) b(b+1)}{1 \cdot 2 c(c+1)} x^2+ \ldots
यदि दी हुई श्रेणी में प्रथम पद छोड़ दिया जाये तो इसका अभिसरण प्रभावित नहीं होता है।अत:मान लो

\Sigma u_n=\frac{a \cdot b}{1 \cdot c} x+\frac{a(a+1) b(b+1)}{1 \cdot 2 c(c+1)} x^2+\frac{a(a+1)(a+2) b(b+1)(b+2)}{1 \cdot 2 \cdot 3 c(c+1)(c+2)}\cdot x^3+\ldots \\ 0,1,2,\ldots \ldots a+(n-1) d \Rightarrow 0+(n-1) 1 \Rightarrow n-1 \\ 1,2,3 \ldots 1+(n-1) 1 \Rightarrow n
तब u_n=\frac{a(a+1)(a+2) \ldots(a+n-1) b(b+1) \ldots(b+n-1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots n(c+1)(c+2) \ldots (c+n-1)} x^{n}
तथा u_{n+1}=\frac{a(a+1)(a+2) \ldots(a+n-1)(a+n) b(b+1) \ldots(b+n-1)(b+n)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots n(n+1) c(c+1)(c+2) \ldots(c+n-1)(c+n)} x^{n+1}
अब \frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{\frac{a(a+1)(a+2) \ldots(a+n-1) b(b+1) \ldots(b+n-1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots n(c+1)(c+2) \ldots (c+n-1)} x^{n}}{\frac{a(a+1)(a+2) \ldots(a+n-1)(a+n) b(b+1) \ldots(b+n-1)(b+n)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots n(n+1) c(c+1)(c+2) \ldots(c+n-1)(c+n)} x^{n+1}} \\ \frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{a (a+1)(a+2) \ldots(a+n-1) b(b+1) \ldots(b+n-1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots n(c+1)(c+2) \ldots (c+n-1)} x^{n} \times \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots n(n+1) c(c+1)(c+2) \ldots(c+n-1)(c+n)}{a(a+1)(a+2) \ldots(a+n-1) (a+n) b(b+1) \ldots(b+n-1)(b+n)} \frac{1}{x^{n+1}} \\ \frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{(n+1)(c+n)}{(a+n)(b+n)} \cdot \frac{1}{x} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{n^2(1+\frac{1}{n}) \left(1+\frac{c}{n}\right)}{n^2\left(1+\frac{a}{n}\right)\left(1+\frac{b}{n}\right)} \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{1}{x}
अतः यदि x<1,तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_{n}  अभिसारी है, और यदि x>1, तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_{n} अपसारी है।
यदि x=1 तब दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
अतः x=1 पर

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_{n+1}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{(n+1)(c+n)}{(a+n)(b+n)} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}} -1\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{(n+1)(c+n)}{(a+n)(b+n)}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{cn+n^2+c+n-a b-a n-b n-n^2}{(a+n)(b+n)}\right] \\ = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{cn-a n-b n+c+n-a b}{(a+n)(b+n)}\right]= \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2}{n^2}\left[\frac{c-a-b+\frac{c}{n}+1-\frac{a b}{n}}{(1+\frac{a}{n})(1+\frac{b}{n})}\right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)=c-a-b+1
अतः राबी परीक्षण से
यदि c-a-b>1, तब c>a+b \Rightarrow \Sigma  u_{n} अभिसारी है,
और यदि c-a-b+1<1, तब c<a+b \Rightarrow \Sigma  u_{n} अपसारी है ।

c-a-b+1=1 \Rightarrow c=a+b पर राबी परीक्षण असफल रहता है।

अतः c=a+b पर

अतः c=a+b डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण से श्रेणी अपसारी है।

फलतः दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी यदि x<1 हो तथा अपसारी होगी यदि x>1 हो और x=1 हो तब c>a+b अभिसारी होगी और c \leq a+b पर अपसारी होगी।
Example:8. \frac{a}{b}+\frac{a(a+c)}{b(b+c)}x+\frac{a(a+c)(a+2 c)}{b(b+c)(b+2 c)} x^2+\cdots(x>0)
Solution: \frac{a}{b}+\frac{a(a+c)}{b(b+c)}x+\frac{a(a+c)(a+2 c)}{b(b+c)(b+2 c)} x^2+\cdots(x>0)
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma  u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो

a(a+c)(a+2 c) \ldots a+(n-1) d \Rightarrow 0+(n-1)c \Rightarrow(n-1)c \\ b(b+c)(b+2 c) \cdots 0+(n-1) c \Rightarrow(n-1) c \\ 1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots=1+(n-1) 1 \Rightarrow n
तब u_n=\frac{a(a+c)(a+2 c) \ldots (a+(n-1) c)}{b(b+c)(b+2 c) \ldots (b+(n-1) c)} x^n
तथा  u_{n+1}=\frac{a(a+c)(a+2 c) \ldots (a+(n-1) c)(a+n c)}{b(b+c)(b+2 c) \ldots(b+(n-1) c)(b+n c)} x^{n+1} \\ \frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{\frac{a(a+c)(a+2 c) \ldots (a+(n-1) c)}{b(b+c)(b+2 c) \ldots (b+(n-1) c)} x^n}{\frac{a(a+c)(a+2 c) \ldots (a+(n-1) c)(a+n c)}{b(b+c)(b+2 c) \ldots(b+(n-1) c)(b+n c)} x^{n+1}} \\ =\frac{a(a+c)(a+2 c) \ldots (a+(n-1) c)}{b(b+c)(b+2 c) \ldots (b+(n-1) c)} x^n \times \frac{b(b+c)(b+2 c) \ldots(b+(n-1) c)(b+n c)}{a(a+c)(a+2 c) \ldots (a+(n-1) c)(a+n c)} \cdot \frac{1}{x^{n+1}} \\  \Rightarrow \frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{b+n c}{a+n c} \cdot \frac{1}{x} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_{n+1}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n}{n}\left(\frac{\frac{b}{n}+c}{\frac{a}{n}+c}\right) \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}  \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\frac{1}{x}
अतः यदि x<1,तब \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \Sigma u_{n} अभिसारी है, और यदि x>1, तब \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \Sigma u_{n} अपसारी है।
यदि x=1 तब दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
अतः x=1 पर

\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_{n+1}}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(\frac{b+n c}{a+n c}\right) \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left(\frac{b+n c}{a+n c}-1\right) \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n \left(\frac{b+n c-a-n c}{a+n c}\right) \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n}{n}\left(\frac{b-a}{c+\frac{a}{n}}\right) \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)=\frac{b-a}{c}
अतः राबी परीक्षण से
यदि \frac{b-a}{c}>1,तब b-a>c \Rightarrow \Sigma u_{n}अभिसारी है,
और यदि \frac{b-a}{c}<1, तब b-a<c \Rightarrow \Sigma u_{n} अपसारी है।
यदि \frac{b-a}{c}=1 \Rightarrow b-a=c तब राबी परीक्षण असफल रहता है।
अत: b-a=c पर

n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)=n\left(\frac{c}{a+n c}\right) \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)-1\right] \log n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{n c}{a+n c}-1\right) \log n \\=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{n c-a-n c}{a+n c}\right) \log n \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{-a}{(c+\frac{a}{n})} \cdot \frac{\log n}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)-1\right] \log n=0<1
अतः डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण से श्रेणी अपसारी है।
फलतः दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी यदि x<1 हो तथा अपसारी होगी यदि x>1 हो और x=1 हो तब b-a>c पर अभिसारी होगी और b-a \leq c पर अपसारी होगी।
Example:9. 1+\frac{a+1}{b+1}+\frac{1}{2} \cdot \frac{(a+1)(2 a+1)}{(b+1)(2 b+1)}+\frac{1}{3} \frac{(a+1)(2a+1)(3 a+1)}{(b+1)(2 b+1)(3 b+1)}+\cdots
Solution: 1+\frac{a+1}{b+1}+\frac{1}{2} \cdot \frac{(a+1)(2 a+1)}{(b+1)(2 b+1)}+\frac{1}{3} \frac{(a+1)(2a+1)(3 a+1)}{(b+1)(2 b+1)(3 b+1)}+\cdots
यदि दी हुई श्रेणी को \Sigma  u_{n} से प्रदर्शित किया जाए,तो

(0 \cdot a+1),(a+1),(2 a+1),\ldots a_n=a+(n-1) d \Rightarrow n-1 \\ 1,2,3 \ldots 1+(n-1) \Rightarrow n
तब u_{n}=\frac{1}{n} \frac{(a+1)(2 a+1)(3 a+1) \ldots[(n-1) a+1]}{(2b+1)(b+1)(3 b+1)\ldots [(n-1) b+1]}
तथा u_{n+1}=\frac{1}{n+1} \frac{(a+1)(2 a+1)(3 a+1)\ldots [(n-1) a+1](n a+1)}{(b+1)(2 b+1)(3 b+1) \ldots [(n-1) b+1)(n b+1)}
अब \frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{\frac{1}{n} \cdot \frac{(a+1)(2 a+1)(3 a+1) \ldots [(n-1) a+1)}{(b+1)(2 b+1)(3 b+1) \ldots [(n-1) b+1)}}{\frac{1}{(n+1)} \cdot \frac{(a+1)(2 a+1)(3 a+1) \ldots 2(n-1) a+1](n a+1)}{(b+2)(2 b+1)(3 b+1) \ldots [(n-1) b+1](n b+1)}} \\ \\ =\frac{n+1}{n} \frac{(a+1)(2 a+1)(3 a+1) \ldots [n-1) a+1]}{(b+1)(2 b+1)(3 b+1) \ldots [(n-1) b+1]} \times \frac{(b+1)(2b+1)(3 b+1) \cdots [(n-1) b+1](n b+1)}{(a+1)(2 a+1)(3 a+1) \ldots [(n+1) a+1](n a+1)} \\ \Rightarrow \frac{u_n}{u_{n+1}} =\frac{(n+1)(n b+1)}{n(n a+1)} \\ \lim _{n \rightarrow a}\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2(1+ \frac{1}{n})(\frac{1}{n}+b)}{n^2(a+\frac{1}{n})} \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=\frac{b}{a}
अतः यदि \frac{b}{a}>1, तब b>a>0 \Rightarrow \Sigma u_{n} अभिसारी है,
और यदि \frac{b}{a}<1,तब b>a>0 \Rightarrow \Sigma u_{n} अपसारी है।
यदि b=a तब दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
अत: b=a पर

\frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{n+1}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1 \right]=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{n+1}{n}-1\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{n+1-n}{n}\right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left[\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right]=1
अतः राबी परीक्षण असफल रहता है।
पुन: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)-1\right] \log n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} [1-1] \log n \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)-1\right] \log n =0<1
अतः डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण से दी श्रेणी अपसारी है।
फलतः दी हुई श्रेणी अभिसारी होगी यदि b>a>0 हो तथा अपसारी होगी यदि हो।
Example:10. 1+ \frac{a(1-a)}{1^2}+\frac{(1+a) a(1-a)(2-a)}{1^2 \cdot 2^2}+ \frac{(2+a)(1+a) a(1-a)(2-a)(3-a)}{1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2}+\cdots(0<a<1)
Solution: 1+ \frac{a(1-a)}{1^2}+\frac{(1+a) a(1-a)(2-a)}{1^2 \cdot 2^2}+ \frac{(2+a)(1+a) a(1-a)(2-a)(3-a)}{1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2}+\cdots(0<a<1)
यदि दी हुई श्रेणी में प्रथम पद छोड़ दिया जाये तो इसका अभिसरण प्रभावित नहीं होता है।अत:मान लो

\Sigma u_{n}=\frac{a(1-a)}{1^2}+\frac{(1+a) a(1-a)(2-a)}{1^2 \cdot 2^2}+\frac{(2+a)(1+a) a(-a)(2-a)(3-a)}{1^2 \cdot 2^2 \cdots 3^2}+\cdots
तब u_n=\frac{(n-1+a)\ldots (1+a) a(1-a)(2-a)\ldots (n-a)}{1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \ldots n^2}
तथा u_{n+1}=\frac{(n+a)(n-1+a) \ldots(1+a) a(1+a)(2-a) \ldots (n-a)(n+1-a)}{1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \ldots n^2(n+1)^2} \\ \frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{\frac{(n-1+a) \ldots (1+a) a(1-a)(2-a) \ldots (n-a)}{1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \ldots n^2}}{\frac{(n+a)(n-1+a) \ldots(1+a) a(1+a)(2-a) \ldots (n-a)(n+1-a)}{1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \ldots n^2(n+1)^2}} \\ \Rightarrow \frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{(n+1)^2}{(n+a)(n+1-a)} \\ =\frac{n^2+2 n+1}{n^2+n+a-a^2} \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{u_n}{u_{n+1}} =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n^2+2 n+1}{n^2+n+a-a^2} \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n}+\frac{a-a^2}{n}}\right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)=1
अतः दालैम्बर का अनुपात परीक्षण असफल रहता है।
पुनः n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right) =n\left[\frac{n^2+2 n+1}{n^2+n+a-a^2}-1\right] \\ =n \left[\frac{n^2+2 n+1-n^2-n-a+a^2}{n^2+n+a-a^2}\right] \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right) =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{n^2+\left(1-a+ a^2 \right)n}{n^2+n+a-a^2}\right] \\ =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{1+\frac{1-a+a^2}{n}}{1+\frac{1}{n}+\frac{a-a^2}{n^2}}\right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)=1
अतः राबी परीक्षण असफल रहता है।

n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)-1=\frac{n^2+\left(1-a+a^2\right) n}{n^2+n+\left(a-a^2\right)}-1 \\ =\frac{\left(a^2-a\right) n+\left(a^2-a\right)}{n^2+n+\left(a-a^2\right)} \\ =\frac{\left(a^2-a\right)(n+1)}{n^2+n\left(a-a^2\right)} \\ =\frac{\left(a^2-a\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)}{1+\frac{1}{n}+\frac{a-a^2}{n}} \cdot \frac{1}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}} -1\right)-1\right] \log n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{\left(a^2-a\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)}{1+\frac{1}{n}+\frac{a-a^2}{n}} \frac{\log n}{n}\right] \\ =\frac{\left(a^2-a\right)(1)}{1} \times 0\left[\because \frac{\log n}{n}=0\right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)-1\right]\log n=0<1
अतः डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण से दी हुई श्रेणी अपसारी है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण (De Morgan and Bertrand Test),अभिसरण और अपसरण के लिए डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण (De Morgan and Bertrand Test for Convergence and Divergence) को समझ सकते हैं।

3.डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण के सवाल (De Morgan and Bertrand Test Questions):

De Morgan and Bertrand Test

(1.)Test the series

\frac{(1+a)(1+b)}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{(2+a)(2+b)}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{(3+a)(3+b)}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots
(2.)Test the series

u_n=\frac{2^2 \cdot 4^2 \ldots(2 n-2)^2}{3^2 \cdot 5^2 \ldots(2 n-1)^2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण (De Morgan and Bertrand Test),अभिसरण और अपसरण के लिए डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण (De Morgan and Bertrand Test for Convergence and Divergence) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण (Frequently Asked Questions Related to De Morgan and Bertrand Test),अभिसरण और अपसरण के लिए डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण (De Morgan and Bertrand Test for Convergence and Divergence) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

डी-माॅर्गन एवं बरट्राण्ड्स परीक्षण (De Morgan and Bertrand Test) श्रेणी के अभिसरण
और अपसरण के लिए तब किया जाता है जब राबी परीक्षण असफल हो जाता है।