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Probability Examples

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1.प्रायिकता के उदाहरण का परिचय (Introduction to Probability Examples),प्रायिकता (Probability):

प्रायिकता के उदाहरण (Probability Examples) के इस आर्टिकल से पूर्व सप्रतिबन्ध प्रायिकता,प्रायिकता का गुणन नियम,स्वतन्त्र घटनाएं,कुल प्रायिकता,बेज प्रमेय,यादृच्छिक चर का माध्य तथा प्रसरण,बरनौली परीक्षण तथा द्विपद बंटन की थ्योरी तथा उस पर आधारित उदाहरणों का अध्ययन कर चुके हैं।इस आर्टिकल में उपर्युक्त पर आधारित केवल उदाहरणों के बारे में अध्ययन करेंगे।
हमने रूसी गणितज्ञ ए.एन कौल्मोग्रोव (1903-1987) द्वारा प्रतिपादित अभिगृहीत दृष्टिकोण और प्रायिकता का परीक्षण के परिणामों पर परिभाषित फलन के रूप में निरूपित किया था।हमने समसंभाव्य परिणामों की दशा में प्रायिकता के अभिगृहीतीय दृष्टिकोण और क्लासिकल सिद्धान्त (Classical Theory) में समकक्षता भी स्थापित की थी।इस समकक्षता के आधार पर हमने असंतत प्रतिदर्श समष्टि की घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात की थी।
(1.)सप्रतिबन्ध प्रायिकता सूत्र (Conditional Probability Formula):
यदि किसी यादृच्छिक परीक्षण के प्रतिदर्श समष्टि से सम्बन्धित A व B दो घटनाएँ हो तो घटना A की सप्रतिबन्ध प्रायिकता:

P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}, P(B) \neq 0
इसी प्रकार P\left(\frac{B}{A}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}, P(A) \neq 0
(2.)0 \leq P(A) \leq 1 \Rightarrow P(\frac{\bar{A}}{B})=1-P\left(\frac{A}{B}\right)
(3.)यदि प्रतिदर्श समष्टि S की A तथा B कोई दो घटनाएँ हो तथा F एक अन्य घटना इस प्रकार से हो कि P(F) \neq 0 तब

P\left(\frac{A \cup B}{F}\right)=P\left(\frac{A}{F}\right)+P\left(\frac{B}{F}\right)-P\left(\frac{A \cap B}{F}\right)
(4.)यदि A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ (Independent Events) हों तो:

P\left(\frac{A}{B}\right)=P(A), P(B) \neq 0 \\ P\left(\frac{B}{A}\right)=P(B), P(A) \neq 0
तथा P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)
(5.)सम्पूर्ण प्रायिकता का प्रमेय (Theorem of Total Probability):

P(E)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(\frac{E}{A_{1}}\right)+P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(\frac{E}{A_{2}} \right)+\cdots \cdot +P\left(A_{n}\right) \cdot P\left(\frac{E}{A_{n}}\right)=\sum_{j=1}^{n} P\left(A_{j}\right) P\left(\frac{E}{A_{j}}\right)
जहाँ A_{1}, A_{2}, A_{3},\ldots, A_{n} परस्पर अपवर्जी तथा नि:शेष घटनाएँ हैं।
(6.)बेज प्रमेय (Baye’s Theorem):

P\left(\frac{A_{i}}{E}\right)=\frac{P\left(A_{i}\right) P\left(\frac{E}{A_{i}}\right)}{\sum_{j=1}^{n} P\left(A_{j}\right) P\left(\frac{E}{A_{j}}\right)}
(7.)यादृच्छिक चर और इसके प्रायिकता बंटन (Random Variables and its Probability Distribution):

X=xx_{1}x_{2}x_{3}……….x_{n}
P(X)p_{1}p_{2}p_{3}………p_{n}

जहाँ p_{i}>0, \sum_{i=1}^{n} p_{i}=1
(8.)यादृच्छिक चर का माध्य सूत्र (Mean of a Random Variable Formula) या यादृच्छिक चर की प्रत्याशा सूत्र (Expections of a Random Variable Formula):

\bar{X}=E(X)=\sum x_{i} \cdot P_{i}
(9.)यादृच्छिक चर का प्रसरण सूत्र (Variance of a Random Variable Formula):

\operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-\{E(X)\}^{2} \\ \sigma_{x}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu\right)^{2} p_{i}}
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2.प्रायिकता के उदाहरण (Probability Examples):

Example:1.तीन व्यक्ति A,B व C बारी-बारी से एक सिक्का उछालते हैं।जिसके पहले चित आता है वही जीतता है।यह मानते हुए कि खेल अनिश्चित काल तक जारी रहता है यदि A खेलना आरम्भ करता हो तो उनकी जीत की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:पासे पर चित आने की प्रायिकता=\frac{1}{2}
A के जीतने की प्रायिकता P(A)=\frac{1}{2}
A के हारने की प्रायिकता P(\overline{A})=\frac{1}{2}
इसी प्रकार P(B)=\frac{1}{2}, P(\overline{B})=\frac{1}{2}

P(C)=\frac{1}{2}, P(\overline{C})=\frac{1}{2}
यदि A खेल प्रारम्भ करता है तो जीत की सम्भावनाएँ होगी:
(i)पहली ही फेंक में A के जीतने की प्रायिकता P(A)=\frac{1}{2}
(ii)यदि A के पहली फेंक में चित न आए,B के पहली फेंक में चित न आए,C के पहली फेंक में चित न आए और A की दूसरी फेंक में चित आने की घटना

P(\bar{A} \bar{B} \bar{C} A)=P(\overline{A}) P(\overline{B}) P(\overline{C}) P(A) \\ =\left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{16}
इसी प्रकार A के तीसरी फेंक में जीतने की प्रायिकता होगी:

P(\bar{A} \bar{B} \bar{C} \bar{A} \bar{B} \bar{C} A) \\ =P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) \cdot P(\overline{C}) \cdot P(\overline{A} ) \cdot P(\overline{B}) \cdot P(\overline{C}) \cdot P(A) \\ =\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{128}
इसी प्रकार आगे की फेंको के लिए प्रायिकता ज्ञात की जा सकती है।अतः
A के जीतने की प्रायिकता

=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}+\frac{1}{128}+\cdots\\ a=\frac{1}{2}, \quad r=\frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{8} \\ S_{\infty}=\frac{a}{1-r} [अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योगफल सूत्र से]

S_{\infty}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{8}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{8}}\\ \Rightarrow S_{\infty}=\frac{4}{7}
B के जीतने की सम्भावनाएँ होंगी:
(i)A के पहली फेंक में चित न आए तथा B के पहली फेंक में चित आने की घटना

P(\bar{A} B) =P(\bar{A}) \cdot P(B) \\ =\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}
(ii)A के पहली फेंक में चित न आए,B के पहली फेंक में चित न आए,C के पहली फेंक में चित न आए,A के दूसरी फेंक में चित न आए तथा B के दूसरी फेंक में चित आने की घटना

P(\bar{A} \bar{B} \bar{C} \bar{A} B)= P(\overline{A}) P(\overline{B}) P(\overline{C}) P(\bar{A}) P(B) \\ = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{32}
इसी प्रकार B के तीसरी फेंक में जीतने की प्रायिकता होगी

P(\bar{A} \bar{B} \bar{C} \bar{A} \bar{B} \bar{C} \bar{A} B)=P(\overline{A}) P(\overline{B}) P(\overline{C}) P(\bar{A})P(\overline{B}) P(\overline{C}) P(\bar{A}) P(B) \\ = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{256}
B के जीतने की प्रायिकता

=\frac{1}{4}+\frac{1}{32}+\frac{1}{256}+\cdots\\ a =\frac{1}{4}, r=\frac{\frac{1}{32}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{8}\\ S_{\infty} =\frac{a}{1-r} \\ =\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{8}} \\ =\frac{\frac{1}{7}}{\frac{7}{8}}=\frac{2}{7}

C के जीतने की प्रायिकता=1-\left ( \frac{4}{7}+\frac{2}{7} \right ) \\ =\frac{1}{7}
Example:2.अगले 25 वर्षों में एक व्यक्ति के जीवित रहने की प्रायिकता \frac{4}{5} है तथा उसकी पत्नी के उन्हीं 25 वर्षों जीवित रहने की प्रायिकता \frac{3}{4}है।प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए जबकि:
(i)दोनों 25 वर्षों तक जीवित रहें।
(ii)दोनों में से कम से कम एक 25 वर्षों तक जीवित रहे।
(iii)केवल पत्नी 25 वर्ष तक जीवित रहे।
Solution:(i)अगले 25 वर्षों तक व्यक्ति के जीवित रहने की प्रायिकता P(A)=\frac{4}{5}
25 वर्षों तक व्यक्ति के जीवित न रहने की प्रायिकता P(\overline{A})=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}
25 वर्षों तक व्यक्ति की पत्नी के जीवित रहने की प्रायिकता P(B)=\frac{3}{4} \\ P(\overline{B})=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}

(i)दोनों 25 वर्षों तक जीवित रहने की प्रायिकता P(A B)=P(A)P(B)\\ \Rightarrow P(A B)=\frac{4}{5} \times \frac{3}{4}=\frac{3}{5}
(ii)दोनों में से कम से कम एक के जीवित रहने की प्रायिकता=P(\overline{A} B)+P(A \overline{B})+P(A B) \\ =P(\overline{A}) P(B)+P(A) P(\overline{B})+P(A) P(B)\\=\frac{1}{5} \times \frac{3}{4}+\frac{4}{5} \times \frac{1}{4}+\frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \\=\frac{3}{20}+\frac{1}{5}+\frac{3}{5} \\ =\frac{3+4+12}{20} \\ =\frac{19}{20}
(iii)केवल पत्नी के 25 वर्ष तक जीवित रहने की प्रायिकता P(A B)=P(\overline{A}) P(B) \\ =\frac{1}{5} \times \frac{3}{4}=\frac{3}{20}
Example:3.बच्चों के तीन समूहों में क्रमशः 3 लड़कियाँ और 1 लड़का,2 लड़कियाँ और 2 लड़के तथा 1 लड़की और 3 लड़के हैं।प्रत्येक समूह में से यादृच्छया एक बच्चे का चयन किया जाता है।इस प्रकार चुने गए तीनों बच्चों में 1 लड़की तथा 2 लड़कों के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:प्रथम समूह में से एक लड़के के चयन की प्रायिकता P\left(B_{1}\right)=\frac{1}{4}
प्रथम समूह में से लड़की के चयन की प्रायिकता P\left(G_{1}\right)=\frac{3}{4}
द्वितीय समूह से लड़के के चयन की प्रायिकता P\left(B_{2}\right)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
द्वितीय समूह से लड़की के चयन की प्रायिकता P\left(G_{2}\right)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
तृतीय समूह से लड़के के चयन की प्रायिकता P\left(B_{3}\right)=\frac{3}{4}
तृतीय समूह से लड़की के चयन की प्रायिकता P\left(G_{3}\right)=\frac{1}{4}
तीन बच्चों में 1 लड़की तथा 2 लड़कों के चयन की प्रायिकता=P\left(G_{1}\right) P\left(B_{2}\right) P\left(B_{3}\right)+ P\left(B_{1}\right) P\left(G_{2}\right) P\left(B_{3}\right)+P\left(B_{1}\right) P\left(B_{2}\right) P\left(G_{3}\right) \\ = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \\ =\frac{9}{32}+\frac{3}{32}+\frac{1}{32} \\ =\frac{13}{32}
Example:4.प्रथम थैले में 3 काली और 4 सफेद गेंदे है जबकि द्वितीय थैले में 4 काली और 3 सफेद गेंदे हैं।एक अनभिनत पासे को उछाला जाता है यदि पासे पर 1 या 3 अंक प्रकट होता है तब प्रथम थैले में से एक गेंद निकाली जाती है तथा यदि अन्य अंक प्रकट होता है तब द्वितीय थैले में से एक गेंद निकाली जाती है।निकाली गई गेंद के काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:पासे को उछालने पर अंक 1 या 3 प्रकट होने की प्रायिकता=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \cdots(1)
पासे पर अंक 2,4,5,6 प्रकट होने की प्रायिकता=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \cdots(2)
प्रथम थैले से काली गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{3}{7} \cdots(3)
द्वितीय थैले से काली गेंद निकालने की प्रायिकता=\frac{4}{7} \cdots(4)
सम्पूर्ण प्रायिकता प्रमेय से: P(A)=\sum_{j=1}^{n} P(E_{j}) \cdot P\left(\frac{A}{E_{j}}\right)

(1),(2),(3),(4) का प्रयोग करके

\frac{1}{3} \times \frac{3}{7}+\frac{2}{3} \times \frac{4}{7} \\=\frac{1}{7}+\frac{8}{21} \\ =\frac{3+8}{21}=\frac{11}{21}

Example:5.किसी व्यक्ति ने एक निर्माण कार्य का ठेका लिया,वहाँ हड़ताल होने की प्रायिकता 0.65 है।हड़ताल न होने तथा हड़ताल होने की स्थितियों में निर्माण कार्य के समयानुसार पूर्ण होने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.82 तथा 0.32 है।निर्माण कार्य के समयानुसार पूर्ण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:माना निर्माण कार्य के समयानुसार पूर्ण होने की घटना E_{1} और हड़ताल होने की घटना को E_{2} द्वारा निरूपित किया जाता है।

P\left(E_{2}\right)=0.65, P\left(\overline{E_{2}}\right)=1-P\left(E_{2}\right)=1-0.65=0.35 \\ P\left(\frac{E_{1}}{E_{2}}\right)=0.32 \\ P\left(\frac{E_{1}}{\overline{E_{2}}}\right)=0.80
अतः सम्पूर्ण प्रायिकता प्रमेय द्वारा

P(E_{1}) =P\left(E_{2}\right) \cdot P\left(\frac{E_{1}}{E_{2}}\right)+P\left(\overline{E_{2}}\right) P\left(\frac{E_{1}}{\overline{E_{2}}}\right) \\ =0.65 \times 0.32 + 0.35 \times 0.80

=0.208+0.28=0.488
अतः निर्माण कार्य के समयानुसार पूर्ण होने की प्रायिकता=0.488
Example:6.प्रथम थैले में 8 सफेद तथा 7 काली गेंदे है जबकि द्वितीय थैले में 5 सफेद और 4 काली गेंदे है।प्रथम थैले में से एक गेंद का यादृच्छया चयन किया जाता है और उसे द्वितीय थैले की गेंदों के साथ मिला दिया जाता है।तब इसमें से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है।प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई गेंद सफेद है।
Solution:प्रथम थैले से सफेद गेंद के चयन की प्रायिकता=P\left(W_{1}\right)=\frac{8}{15}
प्रथम थैले से काली गेंद के चयन की प्रायिकता P\left(\overline{W}_{1}\right)=\frac{7}{15}
द्वितीय थैले से सफेद गेंद निकालने की घटना W_{2} है तो

P\left(\frac{W_{2}}{W_{1}}\right)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}, P\left(\frac{W_{2}}{W_{1}}\right)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}
अतः सम्पूर्ण प्रायिकता प्रमेय से:

P\left(W_{2}\right)=P\left(W_{1}\right) \cdot P\left(\frac{W_{2}}{W_{1}}\right)+P\left(\overline{W_{1}}\right) \cdot P\left(\frac{W_{2}}{\overline{W_{1}}}\right) \\ =\frac{8}{15} \times \frac{3}{5}+\frac{7}{15} \times \frac{1}{2} \\ =\frac{8}{25}+\frac{7}{30} \\ =\frac{48+35}{150} \\ \Rightarrow P\left(W_{2}\right)=\frac{83}{150}
Example:7.एक परीक्षा में एक बहुविकल्पीय प्रश्न जिसके चार विकल्प हैं का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो अनुमान लगाता है या नकल करता है या प्रश्न का उत्तर जानता है।विद्यार्थी के द्वारा अनुमान लगाने तथा नकल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः \frac{1}{3}\frac{1}{6} है।उसके द्वारा सही उत्तर दिए जाने की प्रायिकता है जबकि यह ज्ञात है कि उसने नकल की है।विद्यार्थी के द्वारा प्रश्न का उत्तर जानने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए जबकि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है।
Solution:P(E_{1})=P(अनुमान लगाकर उत्तर देने की घटना)=\frac{1}{3}
P(E_{2})=P(नकल करके उत्तर देने की घटना)=\frac{1}{6}
P(E_{3})=P(सही उत्तर जानने की घटना)=1-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right) \\ =1-\left(\frac{2+1}{6}\right)=1-\frac{3}{6}=1-\frac{1}{2} \\ =\frac{1}{2}
माना A=सही उत्तर देने की घटना
P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=\frac{1}{4} [चार विकल्प हैं] P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=\frac{1}{8}, P\left(\frac{A}{E_{3}}\right)=1
बेज प्रमेय से:

P\left(\frac{E_{3}}{A}\right)=\frac{P\left(E_{3}\right) P\left(\frac{A}{E_{3}}\right)}{P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)+P\left(E_{2}\right) P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)+P\left(E_{3}\right) P\left(\frac{A}{E_{3}}\right)}\\ =\frac{\frac{1}{2} \times 1}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{6} \times \frac{1}{8}+\frac{1}{2} \times 1} \\ =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{12}+\frac{1}{48}+\frac{1}{2}}\\ =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{4+1+24}{48}} \\ =\frac{24}{29} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_{3}}{A}\right)=\frac{24}{29}
Example:8.एक पत्र दो शहरों TATANAGAR या CALCUTTA में से किसी एक शहर से आया हुआ है।पत्र के लिफाफे पर केवल दो क्रमागत अक्षर दिखाई देते हैं।प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पत्र
(i)CALCUTTA
(ii)TATANAGAR से आया हुआ है।
Solution:E_{1}=पत्र के CALCUTTA से आने की घटना
E_{2}=पत्र के TATANAGAR से आने की घटना

A=TA होने की घटना

P\left(E_{1}\right)=P\left(E_{2}\right)=\frac{1}{2} \\ \\ P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=\frac{1}{7}, P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} 

(i)P\left(\frac{E_{1}}{A}\right)=\frac{P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)}{P\left(E_{1}\right) P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)+P\left(E_{2}\right) P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)} \\= \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{7}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{7}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}} \\ =\frac{\frac{1}{14}}{\frac{1}{14}+\frac{1}{8}} \\ = \frac{\frac{1}{14}}{\frac{4+7}{56}} \\ = \frac{4}{11} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_{1}}{A}\right)=\frac{4}{11}

(ii)P\left(\frac{E_{2}}{A}\right)=\frac{P\left(E_{2}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)}{P\left(E_{1}\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)+P\left(E_{2}\right) \left(\frac{A}{E_{2}}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{7}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}} \\ =\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{14}+\frac{1}{8}} \\ =\frac{\frac{1}{8}}{\frac{4+7}{56}} \\ =\frac{7}{11} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_{2}}{A}\right)=\frac{7}{11}
Example:9.एक निर्माता के पास तीन यन्त्र संचालक A,B तथा C है।प्रथम संचालक A,1% त्रुटिपूर्ण वस्तुएँ उत्पादित करता है जबकि अन्य दो संचालक B तथा C क्रमशः 5% तथा 7% त्रुटिपूर्ण वस्तुएँ उत्पादित करते हैं।A कार्य पर कुल समय का 50% लगाता है,B कुल समय का 30% तथा C कुल समय का 20% लगाता है।यदि एक त्रुटिपूर्ण वस्तु उत्पादित है तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह यंत्र A से उत्पादित है।
Solution:माना तीनों संचालकों द्वारा समय के अनुसार घटनाएँ क्रमशः E_{1},E_{2} तथा E_{3} हैं।
पहले संचालक द्वारा कुल समय का उपयोग=P\left(E_{1}\right)=50 \%=\frac{1}{2} 
दूसरे संचालक द्वारा कुल समय का उपयोग=P\left(E_{2}\right)=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}
तीसरे संचालक द्वारा कुल समय का उपयोग=P\left(E_{3}\right)=20 \%=\frac{1}{5}
माना E त्रुटिपूर्ण वस्तु उत्पादित है।

P\left(\frac{E}{E_{1}}\right)=\frac{1}{100}, P\left(\frac{E}{E_{2}}\right)=\frac{1}{20},P\left(\frac{E}{E_{3}}\right)=70 \% =\frac{7}{100} \\ P\left ( \frac{E_{1}}{E} \right )=\frac{P(E_{1}) \cdot P\left(\frac{E}{E_{1}}\right)}{P(E_{1}) \cdot P\left(\frac{E}{E_{1}}\right)+P(E_{2}) \cdot P\left(\frac{E}{E_{2}}\right)+P(E_{3}) \cdot P\left(\frac{E}{E_{3}}\right)} \\=\frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{100}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{100}+\frac{3}{10} \times \frac{1}{20}+\frac{1}{5} \times \frac{1}{100}} \\=\frac{\frac{1}{100}}{\frac{1}{200}+\frac{3}{200}+\frac{7}{500}} \\=\frac{\frac{1}{200}}{\frac{5+15+14}{1000}} \\ \Rightarrow P\left ( \frac{E_{1}}{E} \right )=\frac{5}{34}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रायिकता के उदाहरण (Probability Examples),प्रायिकता (Probability) को समझ सकते हैं।

3.प्रायिकता के उदाहरण की समस्याएँ (Probability Examples Problems):

(1.)A और B एकान्तरत: एक पासे के जोड़े को उछालते है।यदि B के 7 फेंकने से पहले A,6 फेंकता है तब A जीतता है तथा यदि A के 6 फेंकने से पहले B,7 फेंकता है तब B जीतता है।यदि A खेलना प्रारम्भ करे तो,A के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(2.)द्विपद बंटन B(4,\frac{1}{3}) का माध्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1)\frac{30}{61}

(2)\mu=\frac{4}{3}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रायिकता के उदाहरण (Probability Examples),प्रायिकता (Probability) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रायिकता के उदाहरण (Probability Examples),प्रायिकता (Probability) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.एक यादृच्छिक चर X सभी ऋणेत्तर पूर्णांक मान ग्रहण कर सकता है तथा चर X की मान r के ग्रहण करने की प्रायिकता \alpha^{r} के समानुपाती है जहाँ 0<r<1 तब P(X=0) ज्ञात कीजिए।

उत्तर:P(X=r)=\lambda \alpha^{r} ,r=0,1,2,\cdots \\ P(X=r)=\lambda \left(\alpha^{0}+\alpha+\alpha^{2}+\alpha^{3}+\cdots\right) \\ =\lambda\left(\frac{1}{1-\alpha}\right)[अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योगफल सूत्र से ]
=\frac{\lambda}{1-\alpha}=1 \\ \Rightarrow \lambda=1-\alpha
P(X=0) पर r=0
\Rightarrow P(X=0) =\lambda \alpha^{0} \\ =\lambda \\ \Rightarrow P(X=0) =1-\alpha

प्रश्न:2.एक न्याय्य सिक्के को एक चित अथवा पाँच पट आने तक उछाला जाता है।यदि X सिक्के की उछालों की संख्या को निरूपित करता है तो X का माध्य ज्ञात करो।

उत्तर:प्रायिकता बंटन
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5 \\ \hline P(X) & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \frac{1}{16} & \frac{1}{32} & \frac{1}{32} \\ \hline \end{array}
माध्य=\Sigma x_{i} p_{i}=1 \times \frac{1}{2}+2 \times \frac{1}{4}+3 \times \frac{1}{8}+4 \times \frac{1}{16}+5 \times \frac{1}{32}+5 \times \frac{1}{32} \\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{1}{4}+\frac{5}{32}+\frac{5}{32} \\ =\frac{16+16+12+8+5+5}{32} \\=\frac{62}{32}=1.9375
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रायिकता के उदाहरण (Probability Examples),प्रायिकता (Probability) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Probability Examples

प्रायिकता के उदाहरण (Probability Examples)

Probability Examples

प्रायिकता के उदाहरण (Probability Examples) के इस आर्टिकल से पूर्व सप्रतिबन्ध प्रायिकता,प्रायिकता का
गुणन नियम,स्वतन्त्र घटनाएं,कुल प्रायिकता,बेज प्रमेय,यादृच्छिक चर का माध्य तथा प्रसरण,बरनौली परीक्षण
तथा द्विपद बंटन की थ्योरी तथा उस पर आधारित उदाहरणों का अध्ययन कर चुके हैं।

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