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find square root of complex number

1.सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल ज्ञात करना का परिचय (Introduction to find square root of complex number)-

सम्मिश्र संख्या  का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए (To find square root of complex number) सम्मिश्र संख्या को जानना आवश्यक है।a+ib के रूप की कोई भी संख्या अथवा व्यंजक जहां a और b वास्तविक संख्याएं है और i=\sqrt { -1 } होता है।
इस आर्टिकल में सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने (To find square root of complex number) की विधि तथा कुछ सवालों के द्वारा वर्गमूल ज्ञात करने को समझाया गया है।
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2.सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल ज्ञात करना (To find square root of complex number)-

माना कि \sqrt { A+iB } =C+iD\\ \Rightarrow A+iB={ \left( C+iD \right) }^{ 2 }\\ \Rightarrow A+iB={ C }^{ 2 }-{ D }^{ 2 }+2CDi
वास्तविक तथा काल्पनिक भागों की तुलना करने पर-

A={ C }^{ 2 }-{ D }^{ 2 }....(1)
तथा B=2CD.....(2)\\ { C }^{ 2 }+{ D }^{ 2 }=\sqrt { { \left( { C }^{ 2 }-{ D }^{ 2 } \right) }^{ 2 }+4{ C }^{ 2 }{ D }^{ 2 } } \\ { C }^{ 2 }+{ D }^{ 2 }=\sqrt { { A }^{ 2 }+{ B }^{ 2 } } ......(3)

समीकरण (1) व (3) को जोड़ने पर-

2{ C }^{ 2 }=A+\sqrt { { A }^{ 2 }+{ B }^{ 2 } } \\ C=\pm \sqrt { \frac { A+\sqrt { { A }^{ 2 }+{ B }^{ 2 } } }{ 2 } }

समीकरण (3) में से (1) घटाने पर-

2{ D }^{ 2 }=-A+\sqrt { { A }^{ 2 }+{ B }^{ 2 } } \\ D=\pm \sqrt { \frac { -A+\sqrt { { A }^{ 2 }+{ B }^{ 2 } } }{ 2 } } \\ \sqrt { A+iB } =\pm \left[ \sqrt { \frac { A+\sqrt { { A }^{ 2 }+{ B }^{ 2 } } }{ 2 } } +i\sqrt { \frac { -A+\sqrt { { A }^{ 2 }+{ B }^{ 2 } } }{ 2 } } \right]

3.सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए (To find square root of complex number) सवाल-

Question-1. -5+12i
Solution-माना कि \sqrt { -5+12i } =C+iD\\ \Rightarrow -5+12i={ C }^{ 2 }-{ D }^{ 2 }+2CDi
वास्तविक तथा काल्पनिक भागों की तुलना करने पर-

{ C }^{ 2 }-{ D }^{ 2 }=-5....(1)

तथा 2CD=12.....(2)\\ { C }^{ 2 }+{ D }^{ 2 }=\sqrt { { \left( { C }^{ 2 }-{ D }^{ 2 } \right) }^{ 2 }+4{ C }^{ 2 }{ D }^{ 2 } } \\ =\sqrt { { \left( -5 \right) }^{ 2 }+144 } \\ \Rightarrow { C }^{ 2 }+{ D }^{ 2 }=\sqrt { 169 } =13......(3)
समीकरण (1) व (3) को जोड़ने पर-

2{ C }^{ 2 }=8\\ \Rightarrow { C }^{ 2 }=4\\ \Rightarrow C=\pm 2
समीकरण (3) में से (1) घटाने पर-

2{ D }^{ 2 }=18\\ \Rightarrow { D }^{ 2 }=9\\ \Rightarrow D=\pm 3

{ C }^{ 2 }-{ D }^{ 2 } का मान ऋणात्मक है अतः C व D समान चिन्ह के होंगे।
जब C=2 तब D=3. तथा जब C=-2 तब D=-3

\sqrt { -5+12i } =\pm \left( 2+3i \right)

इस उपर्युक्त सवाल के हल द्वारा सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने (to find square root of complex number) को समझा जा सकता है।

Question-2.8-6i
Solution- माना कि \sqrt { 8-6i } =C+iD\\ \Rightarrow 8-6i={ C }^{ 2 }-{ D }^{ 2 }+2CDi
वास्तविक तथा काल्पनिक भागों की तुलना करने पर-

{ C }^{ 2 }-{ D }^{ 2 }=8....(1)

तथा 2CD=-6.....(2)\\ { C }^{ 2 }+{ D }^{ 2 }=\sqrt { { \left( { C }^{ 2 }-{ D }^{ 2 } \right) }^{ 2 }+4{ C }^{ 2 }{ D }^{ 2 } } \\ { C }^{ 2 }+{ D }^{ 2 }=\sqrt { 64+36 } \\ \Rightarrow { C }^{ 2 }+{ D }^{ 2 }=10......(3)
समीकरण (1) व (3) को जोड़ने पर-

2{ C }^{ 2 }=18\\ \Rightarrow { C }^{ 2 }=9\\ \Rightarrow C=\pm 3

समीकरण (3) में से (1) घटाने पर-

2{ D }^{ 2 }=2\\ \Rightarrow { D }^{ 2 }=1\\ \Rightarrow D=\pm 1

2CD का मान ऋणात्मक है अतः C व D विपरीत चिन्ह के होंगे।

\sqrt { 8-6i } =\pm \left( 3-i \right)

इस उपर्युक्त सवाल के हल द्वारा सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने (to find square root of complex number) को समझा जा सकता है।

Question-3. -i
Solution- माना कि \sqrt { -i } =C+iD\\ -i={ C }^{ 2 }-{ D }^{ 2 }+2CDi

वास्तविक तथा काल्पनिक भागों की तुलना करने पर-

{ C }^{ 2 }-{ D }^{ 2 }=0....(1)

तथा 2CD=-1.....(2)\\ { C }^{ 2 }+{ D }^{ 2 }=\sqrt { { \left( { C }^{ 2 }-{ D }^{ 2 } \right) }^{ 2 }+4{ C }^{ 2 }{ D }^{ 2 } } \\ { C }^{ 2 }+{ D }^{ 2 }=\sqrt { 0+1 } \\ \Rightarrow { C }^{ 2 }+{ D }^{ 2 }=1\quad ......(3)

समीकरण (1) व (3) को जोड़ने पर-

2{ C }^{ 2 }=1\\ \Rightarrow { C }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \\ \Rightarrow C=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }
समीकरण (3) में से (1) घटाने पर-

2{ D }^{ 2 }=1\\ \Rightarrow { D }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \\ \Rightarrow D=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }
2CD का मान ऋणात्मक है अतः C व D विपरीत चिन्ह के होंगे।

\sqrt { -i } =\pm \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } i \right)
Question-4.\sqrt { 4+3\sqrt { -20 } } +\sqrt { 4-3\sqrt { -20 } }

Solution-\sqrt { 4+3\sqrt { -20 } } +\sqrt { 4-3\sqrt { -20 } }

माना कि \sqrt { 4+3\sqrt { 20 } i } =C+iD\\ \Rightarrow 4+3\sqrt { 20 } i={ C }^{ 2 }-{ D }^{ 2 }+2CDi
वास्तविक तथा काल्पनिक भागों की तुलना करने पर-

{ C }^{ 2 }-{ D }^{ 2 }=4....(1)
तथा 2CD=3\sqrt { 20 } .....(2)\\ { C }^{ 2 }+{ D }^{ 2 }=\sqrt { { \left( { C }^{ 2 }-{ D }^{ 2 } \right) }^{ 2 }+4{ C }^{ 2 }{ D }^{ 2 } } \\ { C }^{ 2 }+{ D }^{ 2 }=\sqrt { 16+180 } =\sqrt { 196 } \\ \Rightarrow { C }^{ 2 }+{ D }^{ 2 }=14......(3)

समीकरण (1) व (3) को जोड़ने पर-

2{ C }^{ 2 }=18\\ \Rightarrow { C }^{ 2 }=9\\ \Rightarrow C=\pm 3
समीकरण (3) में से (1) घटाने पर-

2{ D }^{ 2 }=10\\ \Rightarrow { D }^{ 2 }=5\\ \Rightarrow D=\pm \sqrt { 5 }

2CD का मान धनात्मक है अतः C व D समान चिन्ह के होंगे।

\sqrt { 4+3\sqrt { 20 } i } =\pm \left( 3+\sqrt { 5 } i \right)

इसी प्रकार \sqrt { 4-3\sqrt { 20 } i } =\pm \left( 3-\sqrt { 5 } i \right) \\ \sqrt { 4+3\sqrt { 20 } i } +\sqrt { 4-3\sqrt { 20 } i } =\pm \left( 3+\sqrt { 5 } i \right) \pm \left( 3-\sqrt { 5 } i \right)

या \sqrt { 4+3\sqrt { 20 } i } +\sqrt { 4-3\sqrt { 20 } i } =\pm \left( 3+\sqrt { 5 } i \right) \mp \left( 3-\sqrt { 5 } i \right)

धनात्मक चिन्ह लेने पर

\sqrt { 4+3\sqrt { 20 } i } +\sqrt { 4-3\sqrt { 20 } i } =\pm 6

ऋणात्मक चिन्ह लेने पर-

\sqrt { 4+3\sqrt { 20 } i } +\sqrt { 4-3\sqrt { 20 } i } =\pm 2\sqrt { 5 } i

Question-5.{ \left( \frac { -1+\sqrt { -3 } }{ 2 } \right) }^{ 29 }+{ \left( \frac { -1-\sqrt { -3 } }{ 2 } \right) }^{ 29 }=-1

Solution-{ \left( \frac { -1+\sqrt { -3 } }{ 2 } \right) }^{ 29 }+{ \left( \frac { -1-\sqrt { -3 } }{ 2 } \right) }^{ 29 }=-1

L.H.S.{ \left( \frac { -1+\sqrt { -3 } }{ 2 } \right) }^{ 29 }+{ \left( \frac { -1-\sqrt { -3 } }{ 2 } \right) }^{ 29 }\\ \because { \left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) }^{ 2 }=\frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \\ \Rightarrow { \left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) }^{ 28 }=\left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \\ \Rightarrow { \left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) }^{ 29 }=\left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \\ =\frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } ....(1)
इसी प्रकार
{ \left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) }^{ 2 }=\frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \\ \Rightarrow { \left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) }^{ 4 }=\left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \\ =\left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \\ \Rightarrow { \left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) }^{ 8 }=\left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \\ =\left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \\ \Rightarrow { \left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) }^{ 16 }=\left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \\ =\left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \\ \Rightarrow { \left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) }^{ 24 }=\left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \\ =1\\ \Rightarrow { \left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) }^{ 28 }=\left( 1 \right) \left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \\ =\left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \\ \Rightarrow { \left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) }^{ 29 }=\left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \\ =\left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) .....(2)

समीकरण (1) व‌ (2) से-

\Rightarrow { \left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) }^{ 29 }+{ \left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) }^{ 29 }=\frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } -\frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \\ =-\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } \\ \Rightarrow \left( \frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) \left( \frac { -1-\sqrt { 3 } i }{ 2 } \right) =-1

इस उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने (to find square root of complex number) को समझा जा सकता है।

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