1.मिश्र प्रायिकता का नियम (Theorem of Compound Probability),प्रायिकता का गुणन प्रमेय (Multiplication Theorem of Probability):

Theorem of Compound Probability

मिश्र प्रायिकता का नियम (Theorem of Compound Probability) में दो या दो से अधिक घटनाएँ एक साथ घटित होती हैं।कोई दो घटनाओं A तथा B के एक साथ घटित होने की प्रायिकता,A की प्रायिकता तथा B की प्रतिबन्धित प्रायिकता (जब A घटित हो चुकी हो) के गुणनफल के बराबर होती है (या B की प्रायिकता तथा A की प्रतिबन्धित प्रायिकता के गुणनफल के बराबर होती है)।
अर्थात् P(A B)=P(A) \cdot P\left(\frac{B}{A}\right)
या P(A \cap B)=P(A) \cdot P\left(\frac{B}{A}\right) \\ P(A B)=P(B) P\left(\frac{A}{B}\right)
या P(A \cap B)=P(B) \cdot P\left(\frac{A}{B}\right)
प्रमाण (Proof):मान लो समप्रायिक तथा परस्पर अपवर्जी घटनाओं की कुल संख्या n है जिसमें से m घटनाएँ A के अनुकूल हैं तथा m_{1} घटनाएँ A तथा B दोनों के एक साथ घटित होने के अनुकूल हैं तब घटनाएँ A के अनुकूल घटनाएँ m में सम्मिलित होंगी।

P(A B)=\frac{m_{1}}{n}=\frac{m_{1}}{m} \times \frac{m}{n}
परन्तु P(A)=\frac{m}{n}
P\left(\frac{B}{A}\right)=\frac{A \text{ तथा } B \text{ के एक साथ घटित होने की घटनाएँ }}{A \text{ के अनुकूल घटनाएँ} } \\ \Rightarrow P\left(\frac{B}{A}\right)=\frac{m_{1}}{m} \\ P(A B)=P(A) \cdot P\left(\frac{B}{A}\right)
या P(A B)=P\left(\frac{B}{A}\right) \cdot P(A)

इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि

P(A B)=P(B) \cdot P\left(\frac{A}{B}\right)
या P(A B)=P\left(\frac{A}{B}\right) P(B)
अतः P(A B)=P(B) \cdot P\left(\frac{A}{B}\right)
या P(A B)=P(A) \cdot P\left(\frac{B}{A}\right)
उपप्रमेय (Corollary):यदि A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ हों तो:
P\left(\frac{B}{A}\right)=P(B) \\ P(AB)=P(A).P(B)
व्यापकीकरण:यदि A_{1}, A_{2,} A_{3} \ldots A_{n} स्वतन्त्र घटनाएँ हों तो

P\left(A_{1} A_{2} A_{3} \cdots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(A_{3}\right) \cdots P\left(A_{n}\right)
(2.)प्रायिकता का योग प्रमेय या पूर्ण प्रायिकता का प्रमेय (Addition Theorem of Probability or Theorem of Total Probability):
(i)जब घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हों
P(A+B)=P(A)+P(B)
(ii)जब घटनाएँ परस्पर अपवर्जी न हों:

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)
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2.मिश्र प्रायिकता का नियम के उदाहरण (Theorem of Compound Probability Examples):

Example:1.एक उपकरण तभी काम करेगा जबकि उसके तीनों घटक A,B और C काम कर रहे हों।एक वर्ष में A के खराब होने की प्रायिकता 0.15,B की 0.05 और C की 0.10 है।वर्ष के अन्त होने से पहले उपकरण के खराब होने की प्रायिकता क्या है?
Solution:यदि A,B,C के खराब होने की प्रायिकता क्रमशः P(A),P(B) और P(C) हों तो
P(A)=0.15,P(B)=0.05,P(C)=0.10, P(\bar{A})=1-0.15=0.85 \\ P(\bar{B})=1-0.05=0.95 \\ P(\bar{C})=1-0.10=0.90
चूँकि घटक A,B,C का ठीक काम करना परस्पर स्वतन्त्र घटनाएँ हैं।
इसलिए मिश्र प्रायिकता से:

P(\bar{A} \bar{B} \bar{C}) =P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C}) \\ =0.85 \times 0.95 \times 0.90 \\ \Rightarrow P(\bar{A} \bar{B} \bar{C}) =0.72675
अतः तीनों घटकों के ठीक काम करने की प्रायिकता=0.72675
कम से कम एक घटक के ठीक काम करने की प्रायिकता=1-0.72675
=0.27325
अब चूँकि उपकरण वर्ष के अन्त से पहले खराब हो जाएगा यदि उसका कम से कम एक घटक खराब है।
अभीष्ट प्रायिकता=0.27325
Example:2.A और B दो घटनाएँ हैं जिसमें P(A)=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{4} तथा P(A B)=\frac{1}{12} तथा है तो P\left(\frac{B}{A}\right) ज्ञात कीजिए।
Solution:P(A)=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{4}, P(A B)=\frac{1}{12}
प्रायिकता की गुणन प्रमेय से:

P(A B)=P(A) P\left(\frac{B}{A}\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{12}=\frac{1}{3} P\left(\frac{B}{A}\right) \\ \Rightarrow P\left(\frac{B}{A}\right)=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{3}} \\ \Rightarrow P\left(\frac{B}{A}\right)=\frac{1}{4}
Example:3.कल्पना करें कि पुरुष व बच्चों का अनुपात 1:2 है,प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक परिवार में 5 बच्चों में (i)सभी लड़के होंगे (ii)उनमें से तीन लड़के एवं दो लड़कियाँ होंगी।
Solution:5 बच्चों में लड़के व लड़कियाँ होने की कुल नि:श्शेष स्थितियाँ=2^{5}=32
(i)सभी लड़के होने की अनुकूल स्थितियाँ=(BBBBB)=1
अतः सभी लड़के होने की प्रायिकता=\frac{1}{32}
(ii)तीन लड़के एवं दो लड़कियाँ होने की अनुकूल स्थितियाँ=
{(BBBGG),(BBGBG),(BBGGB),BGBGB),(GBBGB),(GBBBG),(GGBBB),(BGBBG),(BGGBB),(GBGBB)}=10
अतः तीन लड़के एवं दो लड़कियाँ होने की प्रायिकता=\frac{\text{ अनुकूल स्थितियाँ}}{\text{ नि:श्शेष स्थितियाँ }} \\ =\frac{10}{32} \\=\frac{5}{16}
Example:4.A एक निशाने को 6 में से 3 बार सही लगा सकता है,B 4 में से 2 बार सही लगा सकता है तथा C,4 में से एक बार सही लगा सकता है।वे एकसाथ निशाना लगाते हैं।बताइए कि कम से कम दो व्यक्तियों द्वारा सही निशाना लगाए जाने की प्रायिकता क्या होगी?
Solution:A के सही निशाना लगाने की प्रायिकता: P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \\ P(\bar{A})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
B के सही निशाना लगाने की प्रायिकता: P(B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, P(\bar{B})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
C के सही निशाना लगाने की प्रायिकता:P(C)=\frac{1}{4}, P(\bar{C})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}
अतः कम से कम दो व्यक्तियों द्वारा सही निशाना लगाने की प्रायिकता:

P(A \cap B \cap \bar{C})+P(A \cap \bar{B} \cap C)+P(\bar{A} \cap B \cap C)+P(A \cap B \cap C) \\ =P(A) P(B) P(\bar{C})+P(A) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(C)+P(\bar{A}) \cdot P(B) \cdot P(C)+P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\ = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \\ =\frac{3}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16} \\=\frac{3+1+1+1}{16} \\=\frac{6}{16} \\=\frac{3}{8}

Theorem of Compound Probability

Example:5.एक घुड़दौड़ में 4 घोड़े A,B,C,D के पक्ष में संयोगानुपात क्रमशः 1:3,1:4,1:5 तथा 1:6  है इनमें से किसी एक के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:A,B,C व D के पक्ष में संयोगानुपात दिए गए हैं इसलिए:

P(A)=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4} \\P(B)= \frac{1}{1+4}=\frac{1}{5} \\P(C)=\frac{1}{1+5}=\frac{1}{6} \\P(D)=\frac{1}{1+6}=\frac{1}{7}
A,B,C व D परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः
P(A+B+C+D) =P(A)+P(B)+P(C)+P(D) \\=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\\=\frac{9}{20}+\frac{13}{42} \\=\frac{189+130}{420} \\=\frac{319}{420} \\ \Rightarrow P(A+B+C+D)= \frac{319}{420}
Example:6.अगले 25 वर्षों में एक व्यक्ति के जीवित रहने की प्रायिकता \frac{3}{5} और पत्नी के उन्हीं 25 वर्षों में जीवित रहने की प्रायिकता \frac{2}{3} है।निम्नलिखित प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए:
(1)दोनों के जीवित रहने की।
(2.)किसी के भी जीवित्त न रहने की।
(3.)कम से कम एक के जीवित रहने की।
(4.)केवल पत्नी के जीवित रहने की।
Solution:अगले 25 वर्षों तक व्यक्ति के जीवित्त रहे की प्रायिकता

P(A)=\frac{3}{5} \\ P(\bar{A})=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}
पत्नी के अगले 25 वर्षों तक जीवित रहने की प्रायिकता:

P(B)=\frac{2}{3} \\ P(\bar{B})=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}
(1)दोनों के जीवित रहने की प्रायिकता

P(A \cap B) =P(A) \cdot P(B) \\ =\frac{3}{5} \times \frac{2}{3}=\frac{2}{5}
(2)किसी के भी जीवित न रहने की प्रायिकता:

P(\bar{A} \cap \bar{B}) =P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \\ =\frac{2}{5} \times \frac{1}{3}=\frac{2}{15}
(3)कम से कम एक के जीवित रहने की प्रायिकता:

=1-P(\bar{A} \cap \bar{B}) \\=1-P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \\=1-\frac{2}{5} \times \frac{1}{3} \\=1-\frac{2}{15} \\=\frac{13}{15}
(4)केवल पत्नी के जीवित रहने की प्रायिकता:

P(\bar{A} \cap B)=P(\bar{A}) P(B) \\=\frac{2}{5} \times \frac{2}{3} \\=\frac{4}{15}
Example:7.किसी तथ्य में A और B स्वतन्त्र गवाह है।A के सत्य बोलने की प्रायिकता x तथा B के सत्य बोलने की प्रायिकता y है।यदि किसी कथन पर A और B  दोनों सहमत हों तो सिद्ध कीजिए कि इस कथन के सत्य होने की प्रायिकता \frac{x y}{1-x-y+2 x y} होगी।
Solution:माना A और B के सत्य बोलने की घटनाएँ क्रमशः X और Y है।
P(X)=x  तथा  P(Y)=y
\Rightarrow P(\bar{X})=1-x तथा P(\bar{y})=1-y
यदि Z किसी कथन पर दोनों की सहमति की घटना को व्यक्त करता है तो

Z= A B \cup \bar{A} \bar{B} \\ P(Z) =P(A B \cup \bar{A} \bar{B}) \\=P(A B)+P(\bar{A} \bar{B}) \\=P(A) P(B)+P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})

\Rightarrow P(z) =x y+(1-x)(1-y)
यदि C उस कथन की सत्यता को व्यक्त करता है तो
अभीष्ट प्रायिकता=P\left(\frac{C}{Z}\right) =\frac{P(CZ)}{P(Z)} \\ =\frac{P(X) \cdot P(Y)}{P(Z)} \\=\frac{x y}{x y+(1-x)(1-y)} \\=\frac{x y}{1-x-y+2 x y}
Example:8.A,B,C तीन पुरुष बारी-बारी से एक सिक्का उछालते हैं।जिसके पहले चित्त आए उसी की जीत होती है।यदि A की बारी पहले हो तो उनकी जीत की सम्भावनाएँ क्या हैं?
Solution:चित्त आने पर जीत होती है तथा चित्त आने की प्रायिकता=\frac{1}{2}
अब माना A के चित्त आने की प्रायिकता P(A)=\frac{1}{2} 
तथा चित्त न आने की प्रायिकता P(\bar{A})=\frac{1}{2} 
इसी प्रकार P(B)=\frac{1}{2} \\ P(\bar{B})=\frac{1}{2}
तथा P(C)=\frac{1}{2} \\ P(\bar{C})=\frac{1}{2}
A के जीत की प्रायिकता

P(A)+P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C} \cap A)+ P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C} \cap \bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C} \cap A)+\ldots\\ =P(A)+P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C}) \cdot P(A)+P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C}) \cdot P(\bar{A}) P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C}) P(A)+\cdots \\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\cdots \\ =\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{7}+\cdots \\ =\frac{1}{2}\left[1+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{6}}+\cdots\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1-\frac{1}{2^{3}}} \right] [G.P. का S_{\infty}=\frac{a}{1-r}]

=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1-\frac{1}{8}}\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{\frac{7}{8}}\right] \\ =\frac{1}{2} \times \frac{8}{7} \\ =\frac{4}{7}
अतः A के जीतने की प्रायिकता=\frac{4}{7}

B के जीतने की प्रायिकता:

P(\bar{A} \cap B)+P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C} \cap \bar{A} \cap B)+P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C} \cap \bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C} \cap \bar{A} \cap B)+\cdots \\ =P(\bar{A}) \cdot P(B)+P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C}) \cdot P(\bar{A})\cdot P(B)+P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C}) \cdot P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C})\cdot P(\bar{A}) \cdot P(B)+\cdots \\ =\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\cdots \\ =\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{5}}+\frac{1}{2^{8}}+\cdots \\ =\frac{1}{2^{2}} \left[1+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{6}}+\cdots\right] \\ =\frac{1}{4}\left[\frac{1}{1-\frac{1}{2^{3}}}\right] \\ =\frac{1}{4}\left[\frac{1}{1-\frac{1}{8}}\right] \\ =\frac{1}{4}\left[\frac{1}{\frac{7}{8}}\right]\\ =\frac{1}{4} \times \frac{8}{7}=\frac{2}{7}
C के जीतने की प्रायिकता P(C)=1-[A के जीतने की प्रायिकता+B के जीतने की प्रायिकता]

P(C)=1-\left[\frac{4}{7}+\frac{2}{2}\right] \\ =1-\frac{6}{7}=\frac{1}{7}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा मिश्र प्रायिकता का नियम (Theorem of Compound Probability),प्रायिकता का गुणन प्रमेय (Multiplication Theorem of Probability) को समझ सकते हैं।

3.मिश्र प्रायिकता का नियम के सवाल (Theorem of Compound Probability Questions):

(1.)A तथा B दो पासों को बारी-बारी से उछालते हैं।यदि B के 7 उछालता से पहले A ,6 उछालता है तो A जीतता है और यदि A के 6 उछालता से पहले B,7 उछालता है तो B जीतता है।यदि A उछालना प्रारम्भ करे तो सिद्ध कीजिए कि A के जीतने की प्रायिकता \frac{30}{61} है।
(2.)एक थैले में 6 लाल और 4 सफेद गेंदें हैं।थैले में से दो बार 2-2 गेंदें निकाली जाती हैं।पहली बार दो लाल और दूसरी बार दो सफेद गेंदें निकालने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए जबकि पहली बार गेंदें निकालने के पश्चात् उन्हें वापिस थैले में
(i)डाल दिया जाता है
(ii)नहीं डाला जाता है।
(3.)यदि A,B,C किसी यादृच्छिक प्रयोग के संगत तीन घटनाएँ हों तो सिद्ध कीजिए कि:

P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C)
उत्तर (Answer):(2)(i)\frac{2}{45} (ii)\frac{1}{14}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर मिश्र प्रायिकता का नियम (Theorem of Compound Probability),प्रायिकता का गुणन प्रमेय (Multiplication Theorem of Probability) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.मुख्य बिन्दु (HIGHLIGHTS):

Theorem of Compound Probability

(1.)अभिप्रयोग एवं घटना:किसी भी संदर्भ का कोई प्रयोग जिसका कई संभावित परिणामों में से एक परिणाम अवश्य होता हो एक अभिप्रयोग कहलाता है तथा इसके संभावित परिणाम घटनाएं कहलाती है।
(2.)नि:श्शेष घटनाएं या कुल स्थितियां:किसी अभिप्रयोग के समस्त संभावित परिणाम उस अभिप्रयोग की नि:श्शेष घटनाएं या कुल स्थितियां कहलाती है।
(3.)अनुकूल घटनाएं:किसी अभिप्रयोग में किसी विशिष्ट घटनाओं की अनुकूल स्थितियां उस प्रयोग के उन परिणामों की संख्या है जिससे वह विशिष्ट घटना घटित होती है।
(4.)परस्पर अपवर्जी एवं संयुक्त घटनाएं:दो या दो से अधिक घटनाएं परस्पर अपवर्जी घटनाएं कहलाती है यदि इनमें से दो घटनाएं एक साथ घटित नहीं हो सके अर्थात् यदि एक घटना घटित होती है तो शेष घटनाएं घटित नहीं हो सके।
(5.)स्वतंत्र घटनाएं:दो या दो से अधिक घटनाएं स्वतंत्र घटनाएं कहलाती है यदि किसी के घटित होने का प्रभाव शेष घटनाओं के घटित होने पर नहीं पड़ता है।
(6.)आश्रित घटनाएं:दो या दो से अधिक घटनाएं इस प्रकार हों कि एक के घटित होने का प्रभाव दूसरे पर पड़ता हो तो उन्हें आश्रित घटनाएं कहते हैं।

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5.मिश्र प्रायिकता का नियम (Theorem of Compound Probability) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

मिश्र प्रायिकता का नियम (Theorem of Compound Probability) में दो या दो से अधिक घटनाएँ
एक साथ घटित होती हैं।कोई दो घटनाओं A तथा B के एक साथ घटित होने की प्रायिकता,A की
प्रायिकता तथा B की प्रतिबन्धित प्रायिकता (जब A घटित हो चुकी हो) के गुणनफल के बराबर होती है