1.सांतत्य कक्षा 12वीं (Continuity Class 12th),सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12):

Continuity Class 12th

सांतत्य कक्षा 12वीं (Continuity Class 12th) के इस आर्टिकल में कुछ फलनों के सांतत्य को ज्ञात करने के अलावा कुछ फलनों के असांतत्य के बिन्दुओं को ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.सांतत्य कक्षा 12वीं के उदाहरण (Continuity Class 12th Examples):

Example:21(c). f(x)=\sin x \cdot \cos x
Solution: f(x)=\sin x \cdot \cos x
माना x=c \in R (वास्तविक संख्या)
x=c पर फलन का मान

f(c)=\sin c \cdot \cos c
x=c पर L.H.L.

\underset{h \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}f(c-h) \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin (c-h) \cos (c-h) \\ =\left[ \underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin c \cos h-\lim _{h \rightarrow 0} \cos c \sin h \right] \left[\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos c \cos h+\lim _{h \rightarrow 0} \sin c \sin h \right] \\= (\sin c \cos 0-\cos c \sin 0)(\cos c \cos 0 +\sin c \sin 0) \\ = [\sin c \cdot (1)-\cos c \cdot (0)][\cos c \cdot (1)+ \sin c \cdot (0) ] \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow c^{-}}{\lim} =\sin c \cos c
x=c पर R.H.L.

\Rightarrow \underset{h \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}f(c+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin (c+h) \cos (c+h) \\ =\left(\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin c \cos h +\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos c \sin h\right) \left(\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos c \cos h -\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin c \sin h\right) \\=(\sin c \cos (0)+\cos c \sin 0)(\cos \cos 0- \sin c \sin 0) \\=(\sin c \times 1+\cos c \cdot 0)(\cos c \cdot (1)-\sin c \cdot (0)) \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)=\sin c \cos c \\ f(c)=\underset{h \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)
अतः फलन x=c पर संतत है।
Example:22. cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए।
Solution:माना f(x)=\cos x
माना x=c \in R (वास्तविक संख्या)

x=c पर फलन का मान

f(c)=\cos c
x=c पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}f(c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos (c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos c \cos h+\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin c \sin h \\ =\cos c \cos 0+\sin c \sin 0 \\=\cos c(1)+\sin c(0) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\cos c
x=c पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}f(c+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos (c+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos c \cos h-\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin c \sin h \\ =\cos c \cos 0-\sin c \sin 0 \\ =\cos c \cdot (1)-\sin c \cdot (0) \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow c^{+}} f(x)=\cos c \\ f(c)=\underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)
अतः cosine सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
cosecant की सांतत्यता
माना f(x)=\operatorname{cosec} x \\ x=c \in R-\{n \pi\}, n \in Z (n पूर्णांक है)
क्योंकि x=n \pi के लिए cosec x परिभाषित नहीं है।
x=c पर फलन का मान

f(c)=\operatorname{cosec} c, c \in R-\{n \pi\}
x=c पर L.H.L. [c \in R-\{n \pi\}] \\ \underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\operatorname{cosec}(c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\frac{1}{\sin (c-h)} \\ =\frac{1}{\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \sin c \cos h -\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \cos c \sin h} \\ = \frac{1}{\sin c \cos 0-\cos c \sin 0} \\ = \frac{1}{\sin c \cdot (1)-\cos c \cdot (0)} \\ =\frac{1}{\sin c} \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\operatorname{cosec} c
x=c पर R.H.L.

\underset{h \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}f(c+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\operatorname{cosec}(c+h) \\=\frac{1}{\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin (c+h)} \\=\frac{1}{\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin c \cos h+\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos c \sin h} \\ =\frac{1}{\sin c \cos 0+\cos c \sin 0} \\ =\frac{1}{\sin c \cdot (1)+\cos c \cdot (0)} \\ =\frac{1}{\sin c}\\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)=\operatorname{cosec} c \\ f(c)=\underset{h \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)
अतः फलन x=c पर संतत है जहाँ c \in R-\{n \pi\}
फलतः फलन cosecant  प्रान्त R-\{n \pi\} में संतत है।
secant फलन की सांतत्यता
माना f(x)=\sec x \\ x=c \in R-\left\{(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right\} पर फलन का मान

f(c)=\sec c, c \in R-\left\{(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right\}
[क्योंकि \sec x ,  (2 n+1) \frac{\pi}{2} पर परिभाषित नहीं है,जहाँ n \in Z ]
x=c पर L.H.L. \left [ c \in R-\left\{(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right\} \right ] \\ \underset{h \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}f(c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sec (c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos (c-h) \\ =\frac{1}{\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos (c-h)} \\ =\frac{1}{\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos c \cos h+\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \sin c \sin h} \\ =\frac{1}{\cos c \cos 0+\sin c \sin 0} \\ =\frac{1}{\cos c \cdot (1)+\sin c \cdot (0)} \\ =\frac{1}{\cos c} \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\sec c
x=c पर R.H.L. \left[c \in R-\left\{(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right\}\right] \\ \underset{h \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}f(c+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sec (c+h) \\ =\frac{1}{\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos (c+h)} \\ =\frac{1}{\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos c \cos h-\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin c \sin h } \\ =\frac{1}{\cos c \cos 0-\sin c \sin 0} \\=\frac{1}{\cos c \cdot (1)-\sin c \cdot (0)} \\ =\frac{1}{\cos c} \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)=\sec c \\ f(c)=\underset{h \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)
अतः फलन x=c पर संतत है जहाँ
फलतः फलन secant प्रान्त R-\left\{(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right\} में संतत है।
cotangent की सांतत्यता
माना f(x)=\cot x
c \in R-\{n \pi\}, x \in Z क्योंकि \cot x , x=n \pi पर परिभाषित नहीं है।
x=c पर फलन का मान

f(c)=\cot c
x=c पर L.H.L. [C \in R-\{n \pi\}] \\ \underset{h \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cot (c-h) \\ =\frac{\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos (c-h)}{\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin (c-h)} \\ =\frac{\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos c \cos h + \underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin c \sinh }{\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin c \cosh -\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos c \sin h} \\ =\frac{\cos c \cos 0+\sin c \sin 0}{\sin c \cos 0-\cos c \sin (0)} \\ =\frac{\cos c \cdot (1)+\sin c \cdot (0)}{\sin c \cdot (1)-\cos c \cdot (0)} \\ =\frac{\cos c}{\sin c} \\ \Rightarrow \underset{h \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\cot c
x=c पर R.H.L. [C \in R-\{n \pi\}] \\ \underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}f(c+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cot (c+h) \\ =\frac{\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos (c+h)}{\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin (c+h)} \\ =\frac{\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos c \cos h-\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin c \sin h} {\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \sin c \cos h+\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos c \sin h } \\ =\frac{\cos c \cos 0-\sin c \sin 0}{\sin c \cos 0+\cos c \sin 0} \\ =\frac{\cos c \cdot (1)-\sin c \cdot (0)}{\sin c \cdot (1)+\cos c \cdot (0)} \\ =\frac{\cos c}{\sin c} \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)=\cot c \\ \lim _{x \rightarrow c^{+}} \text {fim } f(x) \\ f(c)=\underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)
अतः फलन x=c \in R-\{n \pi\}  पर संतत है।
फलतः फलन cotangent प्रान्त R-\{n \pi\} में संतत है।

Continuity Class 12th

Example:23.f के सभी असांतत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए,जहाँ 
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sin x}{x}, \text { यदि } x<0 \\ x+1, \text { यदि } x \geq 0 \end{array} \right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sin x}{x}, \text { यदि } x<0 \\ x+1, \text { यदि } x \geq 0 \end{array} \right.
x=0 पर फलन का मान
f(x)=x+1 \Rightarrow f(0)=0+1=1
x=0 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin (0-h)}{0-h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\left(\frac{-\sinh }{-h}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\left(\frac{\sin h}{h}\right) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=1
x=0 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(0+h)+1 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(h+1) \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=1 \\ f(0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)
फलन x=0 पर संतत है।
अतः फलन f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है फलतः फलन की असांतत्यता का कोई बिन्दु नहीं है।
Example:24.निर्धारित कीजिए कि फलन f
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^2 \sin \frac{1}{x}, \text { यदि } x \neq 0 \\ 0, \text { यदि } x=0 \end{array}\right.
द्वारा परिभाषित एक संतत फलन है।
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^2 \sin \frac{1}{x}, \text { यदि } x \neq 0 \\ 0, \text { यदि } x=0 \end{array}\right.
x=0 पर फलन का मान
f(x)=0 \Rightarrow f(0)=0
x=0 पर L.H.L.
= \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (0-h)^2 \sin \left(\frac{1}{0-h}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}h^2 \times \left[\sin \left(-\frac{1}{h}\right)\right] \\ =0 \times -\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin \left(\frac{1}{h}\right) \\ 0 \times \left[ \text{-1 से 1 के बीच परिमित मान} \right] \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=0
x=0 पर R.H.L.
\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (0+h)^2 \sin \left(\frac{1}{0+h}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}h^2 \times \underset{h \rightarrow 0}{\lim}\sin \left(\frac{1}{h}\right) \\ 0 \times \left[ \text{-1 से 1 के बीच परिमित मान} \right] \\ \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=0 \\ f(0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)
फलन x=0 पर संतत है।
फलतः फलन f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
Example:25.f के सांतत्य की जाँच कीजिए,जहाँ f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \sin x-\cos x \text {, यदि } x \neq 0 \\ -1, \text { यदि } x=0 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} \sin x-\cos x \text {, यदि } x \neq 0 \\ -1, \text { यदि } x=0 \end{array}\right.
x=0 पर फलन का मान
f(0)=-1
x=0 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}[\sin (0-h)-\cos (0-h)] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(-\sin h-\cos h) \\ =-\sin 0-\cos 0 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) =-1
x=0 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}[\sin (0+h)-\cos (0+h)] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(\sin h-\cos h) \\ =\sin 0-\cos 0 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)=-1 \\ f(0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x)
फलन x=0 पर संतत है।
फलतः फलन f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
प्रश्न 26 से 29 में k के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिन्दु पर संतत हो:
Example:26. f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{k \cos x}{\pi-2 x}, & \text { यदि } x \neq \frac{\pi}{2} \\ 3, & \text { यदि } x=\frac{\pi}{2} \end{array}\right. द्वारा परिभाषित फलन x=\frac{\pi}{2} पर
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{k \cos x}{\pi-2 x}, & \text { यदि } x \neq \frac{\pi}{2} \\ 3, & \text { यदि } x=\frac{\pi}{2} \end{array}\right. \\ x=\frac{\pi}{2}  पर फलन का मान
f\left(\frac{\pi}{2}\right)=3 \\ x=\frac{\pi}{2}  पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f\left(\frac{\pi}{2}-h\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{k \cos (\frac{\pi}{2}-h)}{\pi-2(\frac{\pi}{2}-h)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{k \sin h}{\pi-\pi+2 h} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{k \sin h}{2 h} \\ =\frac{k}{2} \underset{h \rightarrow 0}{\lim}\left(\frac{\sin h}{h}\right) \\ =\frac{k}{2} \times 1 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}}{\lim}f(x)=\frac{k}{2}
फलन संतत है अतः

f\left(\frac{\pi}{2}\right)= \underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}}{\lim} f(x) \\ \Rightarrow 3=\frac{k}{2} \Rightarrow k=6
Example:27. f(x)=\left\{\begin{array}{ll} k x^2, & \text { यदि } x \leq 2 \\ 3, & \text { यदि } x>2 \end{array}\right. द्वारा परिभाषित फलन x=2 पर
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll} k x^2, & \text { यदि } x \leq 2 \\ 3, & \text { यदि } x>2 \end{array}\right.
x=2 पर फलन का मान

x=2 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(2+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(3) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x)=3
x=2 पर फलन संतत है अतः

f(2)=\underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x) \\ \Rightarrow 4 k=3 \\ \Rightarrow k=\frac{3}{4}
Example:28. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}k x+1,  \text { यदि } x \leq \pi \\ \cos x, \text { यदि } x>\pi\end{array}\right. द्वारा परिभाषित फलन x=\pi पर
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}k x+1,  \text { यदि } x \leq \pi \\ \cos x, \text { यदि } x>\pi\end{array}\right. \\ x=\pi पर L.H.L.
\underset{x \rightarrow \pi^{-}}{\lim} f(x) =\lim _{h \rightarrow 0^{\prime}} f(\pi-h) \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} k(\pi-h)+1 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(k \pi-k h+1) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow \pi^{-}}{\lim} f(x) =K \pi+1 \\ x=\pi पर R.H.L. 
\underset{x \rightarrow \pi^{+}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(\pi+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \cos (\pi+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(-\cos h) \\ =-\cos 0 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow \pi^{+}}{\lim} f(x) =-1 \\ x=\pi  पर संतत है अतः
\underset{x \rightarrow \pi^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow \pi^{+}}{\lim} f(x) \\ \Rightarrow k \pi+1=-1 \\ \Rightarrow k \pi=-2 \\ \Rightarrow k=-\frac{2}{\pi}
Example:29. f(x)=\left\{\begin{array}{l} k x+1, \text { यदि } x \leq 5 \\ 3 x-5, \text { यदि } x>5 \end{array}\right. द्वारा परिभाषित फलन x=5 पर
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} k x+1, \text { यदि } x \leq 5 \\ 3 x-5, \text { यदि } x>5 \end{array}\right.
x=5 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 5^{-}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}f(5-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}k(5-h)+1 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(5 k-5 h+1) \\ \underset{x \rightarrow 5^{-}}{\lim} f(x)=5 k+1
x=5 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 5^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(5+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}3(5+h)-52 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}15+h=5 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}10+h \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 5^{+}}{\lim} f(x)=10
x=5 पर फलन संतत है अतः

\underset{x \rightarrow 5^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 5^{+}}{\lim} f(x) \\ \Rightarrow 5 K+1=10 \\ \Rightarrow 5 k=9 \\ \Rightarrow K=\frac{9}{5}
Example:30.a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि f(x)=\left\{\begin{array}{l} 5, \text { यदि } x \leq 2 \\ a x+b, \text { यदि } 2<x<10 \\ 21, \text { यदि } x \geq 10 \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} 5, \text { यदि } x \leq 2 \\ a x+b, \text { यदि } 2<x<10 \\ 21, \text { यदि } x \geq 10 \end{array}\right.
x=2 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}{\lim}f(2-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(5) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x)=5
x=2 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}f(2+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} a(2+b)+b \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(2 a+a h+b) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x) =2 a+b
x=2 पर फलन संतत है अतः

\underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 2^{+}}{\lim} f(x) \\ \Rightarrow 2 a+b=5 \cdots(1)
x=10 पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow 10^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(10-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}[a(10-h)+b] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(10 a-a h+b) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 10^{-}}{\lim} f(x) =10a+b
x=10 पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow 10^{+}}{\lim} f(x) =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(10+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(21) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow 10^{+}}{\lim} f(x)=21
x=10 पर फलन संतत है अतः

\underset{x \rightarrow 10^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 10^{+}}{\lim} f(x) \\ 10 a+b=21 \ldots(2) \\ 2 a+b=5 \cdots(1)
(1) व (2) को हल करने परः
a=2,b=1
Example:31.दर्शाइए कि f(x)=\cos \left(x^2\right) द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
Solution: f(x)=\cos \left(x^2\right)
माना g(x)=\cos x तथा h(x)=x^2 \\ g(x)=\cos x
संतत फलन है तथा h(x)=x^2
बहुपद फलन सर्वत्र संतत होता है।

f(x)=goh(x) \\ =g[h(x)] \\ =g\left[x^2\right] \\ f(x)=\cos x^2=goh(x)
दो संतत फलनों का संयुक्त फलन संतत होता है।अतः f(x) भी संतत फलन है।अर्थात् f(x)=\cos x^2 संतत फलन है।
विकल्पतः (alternate):
x=c \in R पर L.H.L.

\underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}f(c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos (c-h)^2 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\cos c^2
x=c \in R पर R.H.L.

\underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}f(c+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\cos (c+h)^2 \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)=\cos c^2
x=c पर फलन का मान

f(c)=\cos c^2 \\ f(c)=\underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x)
अतः फलन f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांतत्य कक्षा 12वीं (Continuity Class 12th),सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12) को समझ सकते हैं।

3.सांतत्य कक्षा 12वीं पर आधारित सवाल (Questions Based on Continuity Class 12th):

Continuity Class 12th

(1.)फलन f(x) की x=a पर सांतत्यता का परीक्षण कीजिए,यदि
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^2}{a}-a & \text { जब } 0<x<a \\ 0 & \text { जब } x>a \\ a-\frac{a^3}{x^2} & \text { जब } x>a \end{array}\right.
(2.)a और b के मान ज्ञात कीजिए यदि निम्न फलन x=1 पर संतत हो।
f(x)=\left\{\begin{array}{c} 2 x+a \text { जब } x>1 \\ b \text { जब } x=1 \\ 5 x-2 \text { जब } x<1 \end{array}\right.
उत्तर (Answers):(1.)x=a पर फलन संतत है। (2.)a=1,b=3
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांतत्य कक्षा 12वीं (Continuity Class 12th),सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांतत्य कक्षा 12वीं (Frequently Asked Questions Related to Continuity Class 12th),सांतत्य कक्षा 12 (Continuity Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:`

सांतत्य कक्षा 12वीं (Continuity Class 12th) के इस आर्टिकल में कुछ फलनों के सांतत्य को
ज्ञात करने के अलावा कुछ फलनों के असांतत्य के बिन्दुओं को ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।