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Differentiation in Mathematics

1.गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics),अवकलन कक्षा 12 (Differentiation Class 12):

गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics) का स्पष्ट ज्ञान हो चुका होगा।अब कुछ ओर उदाहरणों से अवकलन के कुछ विशिष्ट समस्याओं को हल करेंगे।
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2.गणित में अवकलन के साधित उदाहरण (Differentiation in Mathematics Solved Examples):

Example:1.यदि किसी c>0 के लिए (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2} है तो सिद्ध कीजिए कि \frac{\left[1+ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}, a और b से स्वतन्त्र एक स्थिर राशि है।
Solution: (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2} \cdots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

2(x-a)+2(y-b) \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{(x-a)}{y-b}

पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\left[\frac{(y-b) \cdot 1-(x-a) \frac{d y}{d x}}{(y-b)^{2}}\right]\\ =-\left[\frac{(y-b)^{2}+x-(x)^{2}}{(y-b)^{3}}\right] \\ =-\left[\frac{(y-b)-(x-a) \cdot\left\{-\frac{(x-a)}{y-b}\right\}}{(y-b)^{2}}\right] \\ =-\left[\frac{[y-b)^{2}+(x-a)^{2}}{(y-b)^{3}}\right] \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}} =-\frac{c^{2}}{(y-b)^{3}} [(1) से]
\frac{d y}{d x} तथा \frac{d^{2} y}{d x^{2}} का मान \frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}} में रखने पर:
\frac{\left[1+\frac{(x-a)^{2}}{(y-b)^{2}}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{-c^{2}}{(y-b)^{\frac{3}{2}}}} \\ \frac{\left[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{(y-b)^{3} \times \frac{-c^{2}}{(y-b)^{\frac{3}{2}}}} \\ =\frac{\left[c^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{-c^{2}} [(1) से]

=\frac{c^{3}}{-c^{2}} \\ =c (संख्यात्मक मान)

\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}=c
जो a और b से स्वतन्त्र राशि है।
Example:2.यदि \cos y=x \cos (a+y) तथा \cos a \neq 0 तो सिद्ध कीजिए कि \frac{d y}{d x}=\frac{\cos ^{2}(a+y)}{\sin a}
Solution: \cos y=x \cos (a+y) \\ \Rightarrow \frac{\cos y}{\cos (a+y)}=x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{\cos (a+y)\left\{-\sin y\right\} \frac{d y}{d x}-\cos y\{-\sin (a x+y)\}}{\cos ^{2}(a+y)} \frac{d y}{d x}=1\\ \Rightarrow \frac{[\cos y \sin (a+y)-\cos (a+y) \sin y]}{\cos ^{2}(a+y)} \frac{d y}{d x} =1\\ \Rightarrow \frac{\sin (a+y-y)}{\cos^{2} (a+y)} \frac{d y}{d x}=1 \\ \Rightarrow \frac{\sin a}{\cos ^{2}(a+y)} \frac{d y}{d x}=1\\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\cos ^{2}(a+y)}{\sin a}
Example:3.यदि x=a\left(\cos t+\sin t\right) और y=a(\sin t-t \cos t) तो \frac{d^{2} y}{d x^{2}} ज्ञात कीजिए।
Solution: x=a(\cos t+t \sin t) \\ y=a(\sin t-\cos t)
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d t}=a(-\sin t+\sin t+t \cos t) \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t}=a t \cos t \\ \frac{d y}{d t}=a(\cos t-\cos t+t \sin t) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=a t \sin t \\ \frac{d y}{d x} =\frac{\frac{d y}{d x}}{\frac{d x}{d t}} \\ =\frac{a t \sin t}{a t \cos t} \\ \frac{d y}{d x} =\frac{\sin t}{\cos t}
पुनः दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने परः

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} =\frac{d}{d x} \frac{\sin t}{\cos t} \\ =\frac{d}{d t} \frac{\sin t}{\cos t} \cdot\frac{dt}{dx} \\ =\frac{\cos t \cos t-\sin t(-\sin t)}{\cos ^{2} t} \frac{d t}{d x} \\ =\frac{\cos ^{2} t+\sin ^{2} t}{\cos ^{2} t} \frac{d t}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{\cos ^{2} t} \frac{d t}{d x}\\ \frac{dt}{dx} का मान रखने पर:

\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{1}{\cos ^{2} t} \cdot \frac{1}{a t \cos t} \\ \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{\sec ^{3} t}{a t}, 0<t<\frac{\pi}{2}
Example:4.यदि f(x)=|x|^{3} तो प्रमाणित कीजिए कि f”(x) का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।
Solution: f(x)=|x|^{3}
यदि x>0 ; |x|=x तब f(x)=x^{3} \\ f(x)=x^{3}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d}{d x}[f(x)]=\frac{d}{d x}\left(x^{3}\right) \\ f^{\prime}(x)=3 x^{2}
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
f”(x)=6x… (1)
अतः f”(x) का अस्तित्व है।
जब x<0,|x|=-x

\therefore f(x)=\left(-x\right)^{3}=-x^{3} \\ \therefore f(x)=-x^{3}

x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

f^{\prime}(x)=-3 x^{2}

पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

f”(x)=-6x …. (2)

अतः f”(x) का अस्तित्व है।

(1) व (2) से:

f^{\prime \prime}(x)=6|x|

जिससे प्रमाणित होता है कि f”(x) का अस्तित्व है।

Example:5.गणितीय आगमन के सिद्धान्त के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी धन पूर्णांक n के लिए \frac{d}{d x}\left(x^{n}\right)=n x^{n-1} है।

Solution: \frac{d}{d x}\left(x^{n}\right)=n x^{n-1}

माना P(n)=\frac{d}{d x}\left(x^{n}\right)=n x^{n-1} \cdots(1)

n=1 रखने पर:

P(1): \frac{d}{d x}(x)=(1) x^{1-1} \\ \Rightarrow P(1): \frac{d}{d x}(x)=1

अतः दिया गया कथन n=1 के लिए सत्य है अर्थात् p(1) सत्य है। माना उक्त कथन n=k के लिए सत्य है।

P(k)=\frac{d}{d x}\left(x^{k}\right)=k x^{k-1} \cdots(2)

अब हमें उक्त कथन n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करना है:

P(k+1) =\frac{d}{d x}\left(x^{k+1}\right)-(k+1) x^{k} \\ \text { L.H.S. } \frac{d}{d x}\left(x^{k+1}\right) \\ =\frac{d}{d x}\left(x \cdot x^{k}\right) \\ =x^{k} \frac{d}{d x}(x)+x \frac{d}{d x}\left(x^{k}\right) \\ =x^{k} \cdot(1)+x \cdot\left[k x^{k-1}\right][(2) से]

=x^{k}+x \cdot k x^{k-1} \\ =x^{k}+k x^{k} \\ =(k+1) x^{k}

L. H. S=R. H. S

अतः कथन (k+1) के लिए सत्य सिद्ध हुआ।

फलतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से कथन सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए सत्य है।

Example:6. \sin (A+B)=\sin A \cos B का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए।

Solution: \sin (A+B)=\sin A \cos B \cdots(1)

(1) के दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\cos (A+B) \cdot\left(\frac{d A}{d t}+\frac{d B}{d t}\right)=\sin A \frac{d}{d t} \cos B+\cos B \frac{d}{d t}(\sin A)+\cos A \frac{d}{d t}(\sin B)+\sin B \frac{d}{d t}(\cos A)\\ =-\sin A \sin B \frac{d B}{d t}+\cos B \cos A \frac{d A}{d t}+\cos A \cos B \frac{d B}{d t}+\sin B(-\sin A) \frac{d A}{d t} \\ =\cos A \cos B\left(\frac{d A}{d t}+\frac{d B}{d t}\right)-\sin A \sin B\left(\frac{d A}{d t}\right)\\ =(\cos A \cos B-\sin A \sin B)\left(\frac{d A}{d t}+\frac{d B}{d t}\right)\\ \Rightarrow \cos (A+B)\left(\frac{d A}{dt}+\frac{d B}{d t}\right)=(\cos A \cos B-\sin A \sin B) \left(\frac{d A}{d t}+\frac{d B}{d t}\right)\\ \Rightarrow \cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B

Example:7.क्या ऐसे फलन का अस्तित्व है जो प्रत्येक बिन्दु पर संतत हो किन्तु केवल दो बिन्दुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

Solution:ऐसे कई फलन हैं जो सभी बिन्दुओं पर संतत है परन्तु केवल दो बिन्दुओं पर अवकलनीय नहीं हैं। उदाहरणार्थ f(x)=|x-1|+|x-2|
मापांक रहित करने पर:

जब x<1 तो f(x)=-(x-1)-(x-2) =-x+1-x+2 f(x)=3-2x

1 \leq x<2  तो f(x)=x-1-(x-2) =x-1-x+2 f(x)=1

यदि x \geq 2 तो f(x)=x-1+x-2 f(x)=2x-3

f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3-2 x & \text { जब } x<1 \\ 1 & \text { जब } 1 \leq x<2 \\ 2 x-3 & \text { जब } x \geq 2 \end{array}\right. \\ x=c<1 \\ f(c)=3-2 c \\ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}(3-2 x) \\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow c} f(x)=3-2 c \\ f(c)=\lim _{x \rightarrow c} f(x)

जब जब जब c<1 के लिए फलन संतत है।

x=1 पर

f(1)=1

L.H.L.

\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(3-2 x)\\ =3-2(1)\\ =3-2\\ \lim _{x \rightarrow 1^{-}} =1

R.H.L.

\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(1)\\ \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 1^{+}}=1\\ \Rightarrow f(1)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)

अतः फलन x=1 पर संतत है। 

1 \leq c<2 \\ f(c)=1 \\ \lim _{h \rightarrow c} f(x)=\lim _{h \rightarrow c}(1) \\ \lim _{h \rightarrow c} f(x)=1 \\ f(c)=\lim _{h \rightarrow c}f(x)

अतः अन्तराल 1 \leq x <2 में फलन संतत है। 

x=c>2

f(c)=2 c-3 \\ \lim _{h \rightarrow c} f(x)=\lim _{h \rightarrow c}(2 x-3) \\ \lim _{h \rightarrow c} f(x)=2 c-3 \\ f(c)=\lim _{h \rightarrow c} f(x)

अतः x>2 के लिए फलन संतत है।
x=2 पर
f(2)=2×2-3=4-3=1

L.H.L.

\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} (1) \\ \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=1

R.H.L.

\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)= \lim _{x \rightarrow 2^{+}}(2 x-3) \\ =2 \times 2-3 \\ \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=1 \\ f(2)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)
अतः फलन सर्वत्र संतत है।
अवकलनीयता

R f^{\prime}(1) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(1)-(1)}{h} \\ R f^{\prime}(1) =0 \\ L f^{\prime}(1) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h)-f(1)}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{3-2(1-h)-1}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{3-2+2 h-1}{-h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{2 h}{-h}\right) \\ Lf^{\prime}(1)=-2 \\ R f^{\prime}(1) \neq L f^{\prime}(1)
अतः x=1 पर अवकलनीय नहीं है।
x=2 पर

R f^{\prime}(2)= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} \\ = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2(2+h)-3-1}{h} \\ = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{4+2 h-4}{h} \\ \Rightarrow R f^{\prime}(2)= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 h=2}{h} \\ L f^{\prime}(2)= \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2-h)-f(2)}{-h} \\ = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-1}{-h} \\ \Rightarrow L f^{\prime}(2)= 0 \\ R f^{\prime}(2) \neq L f^{\prime}(2)
अतः x=2 पर फलन अवकलनीय नहीं है।
Example:8.यदि y=\left|\begin{array}{ccc} f(x) & g(x) & h(x) \\ i & m & n \\ a & b & c \end{array}\right| है तो सिद्ध कीजिए कि \frac{d y}{d x}=\left|\begin{array}{ccc} f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{array}\right|
Solution: y=\left|\begin{array}{ccc} f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{array}\right| \\ y=f(x) (m c-b n)-g(x)(l c-a n)+h(x) (l b-a m)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}= f^{\prime}(x)\left(mc-bn)-g^{\prime}(x)(lc-a n)\right.+h^{\prime}(x)(l b-a m) \\ \frac{d y}{d x}=\left|\begin{array}{ccc} f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{array}\right|
Example:9.यदि  y=e^{a \cos ^{-1} x},-1 \leq x \leq 1 तो दर्शाइए कि \left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}-a^{2} y=0
Solution: y=e^{a \cos ^{-1} x}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x} =e^{a \cos ^{-1} x} \cdot \frac{d}{d x}(a \cos^{-1} x) \\ =e^{a \cos ^{-1} x}-\frac{a}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\frac{a e^{a \cos^{-1} x}}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}=-a e^{a \cos^{-1} } x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{-2 x}{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{d y}{d x}+\sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{a^{2} e^{a \cos^{-1} x}}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}=a^{2} e^{a \cos ^{-1} x} \\ \Rightarrow\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}=a^{2} y \\ \Rightarrow\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}-a^{2} y=0
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics),अवकलन कक्षा 12 (Differentiation Class 12) को समझ सकते हैं।

3.गणित में अवकलन के सवाल (Differentiation in Mathematics Questions):

(1.)y=\tan ^{-1}\left(\frac{x^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{3}}}{1-x^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}}}\right) यदि हो तो \frac{d y}{d x} ज्ञात कीजिए।
(2.)यदि \log _{e} x=\tan ^{-1}\left(\frac{y-x^{2}}{x^{2}}\right) तो \frac{d y}{d x} ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1)\frac{1}{3\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right) \cdot x^{\frac{2}{3}}}

(2)2 x\left[1+\tan \left(\log _{e} x\right)\right]+x \sec ^{2}\left(\log _{e} x\right)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics),अवकलन कक्षा 12 (Differentiation Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics),अवकलन कक्षा 12 (Differentiation Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.लघुगणकीय अवकलन के अर्थपूर्ण होने की शर्त क्या है? (What is Condition that Logarithmic Differentiation is Meaningful?):

उत्तर:लघुगणकीय फलन f(x)=[u(x)]^{v(x)} के रूप के फलनों के अवकलन करने के लिए एक सशक्त तकनीक है।इस तकनीक के अर्थपूर्ण होने के लिए आवश्यक है कि f(x) तथा u(x) दोनों ही धनात्मक हों।

प्रश्न:2.प्रथम सिद्धान्त से अवकलन का क्या तात्पर्य है? (What Does Differentiation From First Principle Mean?):

उत्तर:परिभाषा से सीधे अवकल गुणांक ज्ञात करने की विधि को प्रथम सिद्धान्त से अवकलन करना कहते हैं।प्रथम सिद्धान्त (First Principle) को ab-intio method or delta method से भी व्यक्त करते हैं।

प्रश्न:3.अवकलन किसे कहते हैं? (What is Called Differentiation?):

उत्तर:किसी दिए हुए फलन f(x) का अवकल गुणांक (Differential Coefficient) ज्ञात करने की प्रक्रिया को अवकलन कहते हैं।फलन f(x) का x के सापेक्ष अवकल गुणांक को साधारणतया \frac{d f(x)}{dx} या \frac{d[f(x)]}{d x} या f'(x) या D[f(x)] द्वारा व्यक्त करते हैं तथा x=c पर अवकल गुणांक f'(c) या \left[\frac{d}{d x} f(x)\right]_{x=c} द्वारा व्यक्त करते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics),अवकलन कक्षा 12 (Differentiation Class 12) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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गणित में अवकलन
(Differentiation in Mathematics)

Differentiation in Mathematics

गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics) का स्पष्ट ज्ञान हो चुका होगा।अब
कुछ ओर उदाहरणों से अवकलन के कुछ विशिष्ट समस्याओं को हल करेंगे।

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