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Differentiation Class 12

1.कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation Class 12),गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics):

कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation Class 12) में अवकलन से तात्पर्य है कि किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया।हम वाक्यांश x के सापेक्ष f(x) का अवकलन कीजिए का भी प्रयोग करते हैं जिसका अर्थ होता है कि f'(x) ज्ञात कीजिए।
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2.कक्षा 12 में अवकलन के साधित उदाहरण (Differentiation Class 12 Solved Examples):

प्रश्न संख्या 1 से 11 तक प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
Example:1. \left(3 x^{2}-9 x+5\right)^{9}
Solution: y=\left(3 x^{2}-9 x+5\right)^{9}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x} =9\left(3 x^{2}-9 x+5\right)^{8} \frac{d}{d x}\left(3 x^{2}-9 x+3\right) \\ =9\left(3 x^{2}-9 x+5\right)^{8}(6 x-9) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =27(2 x-3)\left(3 x^{2}-9 x+5\right)^{8}
Example:2. \sin ^{3} x+\cos ^{6} x
Solution: y=\sin ^{3} x+\cos ^{6} x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=3 \sin ^{2} x \frac{d}{d x}(\sin x)+6 \cos ^{5} x \frac{d}{d x} (\cos x)\\ =3 \sin ^{2} x \cdot \cos x+6 \cos ^{5} x(-\sin x)\\ =3 \sin ^{2} x \cos x-6 \cos ^{5} x \sin x\\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=3 \sin x \cos x(\sin x-2 \cos^{4} x)
Example:3. (5 x)^{3 \cos 2 x}
Solution: y=(5 x)^{3 \cos 2 x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:

\log y=\log (5 x)^{3 \cos 2 x} \\ \Rightarrow \log y =3 \cos 2 x \log (5 x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{1}{y} \cdot\left(\frac{d y}{d x}\right)=3 \cos 2 x \frac{d}{d x} \log (5 x)+3 \log (5 x) \frac{d}{d x}(\cos 2 x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=y\left[3 \cos 2 x \cdot \frac{1}{5 x} \cdot 5+3 \log (5 x) (-2 \sin 2x)\right]\\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=(5 x)^{3 \cos x}\left[\frac{3 \cos 2 x}{x}-6 \sin 2 x \log (5 x)\right]
Example:4. \sin ^{-1}(x \sqrt{x}), 0 \leq x \leq 1
Solution:y=\sin ^{-1}(x \sqrt{x})
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x} =\frac{1}{\sqrt{1-(x \sqrt{x})^{2}}} \frac{d}{d x}(x \sqrt{x}) \\ =\frac{1}{\sqrt{1-x^{3}}} \frac{d}{d x}\left(x^{\frac{3}{2}}\right) \\ =\frac{1}{\sqrt{1-x^{3}}} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{3}{2} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x^{3}}}
Example:5. \frac{\cos ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{(2 x+7)}},-2<x<2
Solution: y=\frac{\cos ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{(2 x+7)}}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{\sqrt{(2 x+7)} \frac{d}{d x}\left(\cos ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)-\cos ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) \frac{d}{d x} \sqrt{(2 x+7)}}{(2x+7)} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}= \frac{\sqrt{(2 x+7)} \cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}} \cdot \frac{1}{2}\right)-\cos^{-1} \left(\frac{x}{2}\right)\frac{1}{2 \sqrt{2 x+7}} \cdot 2}{(2 x+7)} \\ \frac{d y}{d x}=-\left[\frac{\sqrt{\frac{2 x+7}{4-x^{2}}}+\frac{\cos^{-1} \left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{(2 x+7)}}}{2 x+7}\right] \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\left[\frac{1}{\sqrt{\left(4-x^{2}\right)} \sqrt{(2 x+7)}}+\frac{\cos^{-1} \left(\frac{x}{2}\right)}{(2 x+7)^{\frac{3}{2}}}\right]
Example:6. \cot^{-1} \left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{(1+\sin x)-\sqrt{1-\sin x}}}\right] ,0<x<\frac{\pi}{2}
Solution: y=\cot^{-1} \left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{(1+\sin x)-\sqrt{1-\sin x}}}\right] ,0<x<\frac{\pi}{2} \\ y=\cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{(1+\sin x)}-\sqrt{1-\sin x}}\right] \\ \Rightarrow y=\cot^{-1} \left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}} \times \frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}} \right]\\ y=\cot^{-1} \left[\frac{1+\sin x+1-\sin x+2 \sqrt{1+\sin } \sqrt{1-\sin x}}{(1+\sin x)-(1-\sin x)}\right]\\ y=\cot^{-1} \left[\frac{2+2 \sqrt{1-\sin ^{2} x}}{1+\sin x-1+\sin x}\right]\\ y =\cot^{-1} \left[\frac{2+2 \sqrt{\cos ^{2} x}}{2 \sin x}\right] \\ =\cot ^{-1}\left[\frac{2(1+\cos x)}{2 \sin x}\right] \\ =\cot ^{-1}\left[\frac{1+2 \cos ^{2} \frac{x}{2}-1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\right] \\ =\cot ^{-1}\left[\frac{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos ^{2} \frac{x}{2}}\right] \\ =\cot ^{-1}[\cot \frac{x}{2}] \\ =\frac{x}{2} \\ y =\frac{x}{2}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2}
Example:7. (\log x)^{\log x}, x>1
Solution: y=(\log x)^{\log x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:

\log y =\log \left[(\log x)^{\log x}\right] \\ \log y =\log x \log (\log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{1}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right) =\log x \frac{d}{d x} \log (\log x)+ \log (\log x) \frac{d}{d x}(\log x) \\ \Rightarrow \frac{1}{y}\left(\frac{d y}{d x}\right) =\log x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}+\frac{\log (\log x)}{x} \\ \frac{d y}{d x} =y\left[\frac{1}{x}+\frac{\log (\log x)}{x}\right] \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =(\log x)^{\log x}\left[\frac{1}{x}+\frac{\log (\log x)}{x}\right]

Example:8. \cos (a \cos x+b \sin x) किन्हीं अचर a तथा b के लिए
Solution: y=\cos (a \cos x+b \sin x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=-\sin (a \cos x+b \sin x) \frac{d}{d x}(a \cos x+b \sin x) \\ \frac{d y}{d x}=-\sin (a \cos x+b \sin x)(-a \sin x+b \cos x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}= \sin (a \cos x+b \sin x)(a \sin x-b \cos x)
Example:9. (\sin x-\cos x)^{(\sin x-\cos x)}
Solution: y=(\sin x-\cos x)^{(\sin x-\cos x)},\frac{\pi}{4}<x<\frac{3 \pi}{4}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:

\log y=\log (\sin x-\cos x)^{(\sin x-\cos x)} \\ \log y=(\sin x-\cos x) \log(\sin x-\cos x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=(\sin x-\cos x) \frac{d}{d x} \log (\sin x-\cos x)+\log (\sin x-\cos x) \frac{d}{d x}(\sin x-\cos x)\\ \frac{d y}{d x}=y\left[(\sin x-\cos x) \frac{1}{\sin x-\cos x} \frac{d}{d x}(\sin x-\cos x)+\log (\sin x-\cos x)(\cos x+\sin x)\right]\\ =y\left [ (\cos x+\sin x)+\log (\sin x-\cos x) (\sin x+\cos x) \right ]\\ \frac{d y}{d x}=(\sin x-\cos x)^{(\sin x-\cos x)}(\cos x+\sin x)[1+\log (\sin x-\cos x)]
Example:10. x^{x}+x^{a}+a^{x}+a^{a},किसी नियत a>0 तथा x>0 के लिए
Solution: y=x^{x}+x^{a}+a^{x}+a^{a}
माना y=u+v+w+t ………(1)

u=x^{x}, v=x^{a}, w=a^{x}, t=a^{a}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:

\log u=\log x^{x}, \log v=\log x^{a}, \log w=\log a^{x} \\ \log u=x \log x, \quad \log v=a \log x, \log w=x \log a
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=1 \cdot \log x+1=(1+\log x) \\ \frac{d u}{d x}=u(1+\log x) \\ \frac{d u}{d x}=x^{x}(1+\log x) \cdots(2) \\ \frac{1}{v} \frac{d v}{d x}=\frac{a}{x} \Rightarrow \frac{d v}{d x}=v \cdot \frac{a}{x} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=x^{a} \cdot \frac{a}{x} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=a x^{a-1} \ldots(3) \\ \frac{1}{w} \cdot \frac{d w}{d x}=\log a \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=w \log a \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=a^{x} \log a \ldots(4) \\ \frac{d t}{d x}=0 \cdots(5)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}+\frac{d w}{d x}+\frac{d t}{d x} \cdots(6)
समीकरण (2),(3),(4),(5) से समीकरण (6) में मान रखने पर:

\frac{d y}{d x}=x^{x}(1+\log x)+a x^{a-1}+a^{x} \log a
Example:11. x^{x^{2}-3}+(x-3)^{x^{2}}, x>3 के लिए
Solution: y=x^{x^{2}-3}+(x-3)^{x^{2}}

y=u+v \cdots(1) \\ u=x^{x^{2}-3} \quad v=(x-3)^{x^{2}}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:

\log u=\log x^{x^{2}-3}, \quad \log v=\log (x-3)^{x^{2}} \\ \log u=\left(x^{2}-3\right) \log x, \quad \log v=x^{2} \log (x-3)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=\left(x^{2}-3\right) \frac{d}{d x}(\log x)+\log x \frac{d}{d x}\left(x^{2}-3\right) \\ \frac{d u}{d x}=u\left[\left(x^{2}-3\right) \cdot \frac{1}{x}+\log x \cdot 2 x\right] \\ \frac{d u}{d x}=x^{x^{2}-3}\left[\frac{x^{2}-3}{x}+2x \log x\right] \cdots(2) \\ \frac{1}{v} \frac{d v}{d x}=x^{2} \frac{d}{d x} \log (x-3)+\log (x-3) \frac{d}{d x}\left(x^{2}\right) \\ \frac{d v}{d x}=v\left[x^{2} \cdot \frac{1}{x-3}+\log (x-3) \cdot 2 x\right] \\ \frac{d v}{d x}=(x-3)^{x^{2}}\left[\frac{x^{2}}{x-3}+2 x \log (x-3)\right] \cdots(3)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x} \cdots(4)
समीकरण (2) व (3) से समीकरण (4) में मान रखने पर:

\frac{d y}{d x}=x^{x^{2}-3}\left[\frac{x^{2}-3}{x}+2 x \log x\right]+(x-3)^{x^{2}} \left [ \frac{x^{2}}{x-3} +2x \log(x-3) \right ]
Example:12. y=12(1-\cos t), x=10(t-\sin t),-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2} यदि तो \frac{d y}{d x} ज्ञात कीजिए।
Solution: y=12(1-\cos t), x=10(t-\sin t)
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d t} =12 \sin t, \frac{d x}{d t}=10(1-\cos t) \\ \frac{d y}{d x} =\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{12 \sin t}{10(1-\cos t)} \\ =\frac{12 \times 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{10\left[1-\left(1-2 \sin ^{2} \frac{t}{2}\right)\right]} \\ =\frac{24 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{10\left[1-1+2 \sin \frac{t}{2}\right]} \\ =\frac{12 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{5 \times 2 \sin ^{2} \frac{t}{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{6}{5} \cot \frac{t}{2}
Example:13.यदि y=\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} \sqrt{1-x^{2}},-1 \leq x \leq 1 है तो \frac{d y}{d x} ज्ञात कीजिए।
Solution: y=\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} \sqrt{1-x^{2}}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x} =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}}} \frac{d}{d x} \left(\sqrt{1-x^{2}}\right)\\ \frac{d x}{d x} =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{1}{\left.\sqrt{1-\left(1-x^{2}\right.}\right)} \frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}}(-2 x) \\ =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1-1+x^{2}}}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \\ =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\frac{x}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =0
Example:14.यदि – 1<x<1 के लिए x \sqrt{1+y}+y \sqrt{1+x}=0 है तो सिद्ध कीजिए कि \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{(1+x)^{2}}
Solution: x \sqrt{1+y}+y \sqrt{1+x}=0 \\ x \sqrt{1+y}=-y \sqrt{1+x} \\ x^{2}(1+y)=y^{2}(1+x) \\ \Rightarrow x^{2}+x^{2} y=y^{2}+x y^{2} \\ \Rightarrow y^{2}+x y^{2}-x^{2} y=x^{2} \\ \Rightarrow y^{2}(1+x)-x^{2} y-x^{2}=0 \\ \Rightarrow y^{2}-x^{2}+y^{2} x-x^{2} y=0 \\ \Rightarrow(y-x)(y+x)+x y(y-x)=0 \\ \Rightarrow (y-x)(y+x+x y)=0 \\ y+x+x y=0 \\ \Rightarrow y(1+x)=-x \\ \Rightarrow y=-\frac{x}{1+x}
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=-\left[\frac{(1+x) \cdot 1-x \cdot 1}{(1+x)^{2}}\right] \\ \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{(1+x)^{2}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation Class 12),गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 12 में अवकलन के सवाल (Differentiation Class 12 Questions):-

निम्न फलनों के x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए:

(1.) e^{\sqrt{\cot x}}  (2.) \sec \log _{e} x^{n} (3.) e^{\cos x^{2}}
उत्तर: (1.) -\frac{e^{\sqrt{\cot x}} \operatorname{cosec}^{2} x}{2 \sqrt{\cot x}} (2.) \frac{n}{x} \sec \left(\log _{e} x^{n}\right) \tan \left(\log _{e} x^{n}\right) (3.)-2 x \sin x^{2} \cdot e^{\cos x^{2}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation Class 12),गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation Class 12),गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.अवकल गुणांक किसे कहते हैं? (What is Differential Coefficient Called?): 

उत्तर:किसी फलन के प्रथम अवकलज अर्थात् को अवकल गुणांक कहते हैं।

प्रश्न:2.अवकल गुणांक का प्रतीक क्या है? (What is Symbol of Differential Coefficient?):

उत्तर:अवकल गुणांक का प्रतीक निम्न है:
\frac{d y}{d x}=\lim _{\delta x \rightarrow 0} \frac{\delta y}{\delta x}

प्रश्न:3.द्वितीय अवकलज का प्रतीक क्या है?(What is the Symbol of Second Derivative?):

उत्तर:द्वितीय अवकलज का प्रतीक निम्न है:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, D^{2} y, y_{2}, y^{\prime \prime}, f^{\prime \prime}(x) इत्यादि।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation Class 12),गणित में अवकलन (Differentiation in Mathematics) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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कक्षा 12 में अवकलन
(Differentiation Class 12)

Differentiation Class 12

कक्षा 12 में अवकलन (Differentiation Class 12) में अवकलन से तात्पर्य है कि किसी फलन का
अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया।हम वाक्यांश x के सापेक्ष f(x) का अवकलन कीजिए का
भी प्रयोग करते हैं

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