1.प्रायिकता की परिभाषा (Probability Definition):

Probability Definition

प्रायिकता की परिभाषा (Probability Definition):प्रायिकता की चिरप्रतिष्ठित परिभाषा (Classical Definition of Probability):यदि किसी अभिप्रयोग के कुल n परिणाम समप्रायिक,परस्पर अपवर्जी एवम् नि:श्शेष हों और उनमें से m परिणाम किसी विशेष घटना A के अनूकूल हों तो A की प्रायिकता अनुपात \frac{m}{n} द्वारा परिभाषित की जाती है जिसे संकेत P(A) से व्यक्त करते हैं।
अतः P(A)=\frac{A \text{ की अनुकूल स्थितियाँ }}{A \text{ की नि:श्शेष स्थितियाँ }} =\frac{m}{n},(संख्यात्मक माप)
यदि किसी अभिप्रयोग में घटना A का घटित होना निश्चित हो तो m=n होगा तथा P(A)=\frac{n}{n} =1
यदि किसी घटना A का घटित होना असम्भव हो तो m=0 तथा P(A)=\frac{0}{n}=0
इसलिए किसी भी घटना A के लिए 0 \leq P(A) \leq 1
अर्थात् किसी भी घटना A के लिए 0 \leq P(A) \leq 1
अर्थात् किसी भी घटना की प्रायिकता A से कम तथा 1 से अधिक नहीं हो सकती है और प्रायिकता की सीमा 0 से 1 तक होती है।घटना A के घटित न होने की प्रायिकता P(\bar{A}) द्वारा प्रदर्शित की जाती है।
अतः P(\bar{A})=\frac{A \text{ की प्रतिकूल स्थितियाँ }}{A \text{ की नि:श्शेष स्थितियाँ }}=\frac{n-m}{n}=1-\frac{m}{n} \\ \Rightarrow P(\bar{A})=1-P(A)
(2.)प्रायिकता की अभिगृहीतीय दृष्टिकोण में परिभाषा (Definition of Probability in Axiomatic Approach):
माना कि एक यादृच्छिक प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि S है तथा A इस समष्टि का उपसमुच्चय है जो एक घटना को दर्शाता है तो घटना A की प्रायिकता:
P(A)=\frac{A \text{ में अवयवों की संख्या }}{ S \text{ में अवयवों की संख्या } }=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{A \text{ में प्रारम्भिक घटनाओं की संख्या }}{ S \text{ में प्रारंभिक घटनाओं की संख्या }}
इससे स्पष्ट है कि P(\phi)=0,P(S)=1 तथा 0 \leq P(A) \leq 1
(3.)संयोगानुपात (Odds):यदि किसी अभिप्रयोग में नि:श्शेषी घटनाएँ n तथा किसी घटना A के अनुकूल स्थितियाँ m हो तो घटना A के प्रतिकूल स्थितियाँ n-m होंगी।तब A के पक्ष में संयोगानुपात m:(n-m) और विपक्ष में संयोगानुपात (n-m):n होगा।
घटना A के पक्ष में संयोगानुपात=\frac{m}{n-m} \\ =\frac{\frac{m}{n}}{\frac{n-m}{n}} =\frac{P(A)}{P(\bar{A})}
घटना A के विपक्ष में संयोगानुपात=\frac{n-m}{m}=\frac{\frac{n-m}{n}}{\frac{m}{n}}=\frac{P(\bar{A})}{P(A)}
प्रमेय (Theorem):किसी यादृच्छिक प्रयोग में किसी घटना A के लिए सिद्ध कीजिए कि P(\bar{A})=1-P(A)
प्रमाण (Proof):यदि किसी अभिप्रयोग में नि:श्शेषी घटनाएँ n तथा किसी घटना A के अनुकूल स्थितियाँ m हो तो घटना A के प्रतिकूल स्थितियाँ n-m होगी।
घटना A के घटित न होने की प्रायिकता

P(\bar{A})=\frac{n-m}{n}=1-\frac{m}{n}=1-P(A)
पुनः अभिगृहीती दृष्टिकोण में
P(\bar{A})=\frac{\bar{A} \text{ में प्रारम्भिक घटनाओं की संख्या}}{S \text{ में प्रारंभिक घटनाओं की संख्या }} \\ =\frac{n(S)-n(A)}{n(S)} \\=1-\frac{n(A)}{n(S)}=1-P(A)
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2.प्रायिकता की परिभाषा के उदाहरण (Probability Definition Examples):

Example:1.एक सिक्के के लगातार तीन उछालों में एकान्तरत: चित्त या पट आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:एक सिक्के को लगातार तीन बार उछालने पर आने वाले समस्त सम्भावित परिणाम
={HHH,HHT,HTH,HTT,TTT,TTH,THT,THH}
कुल संख्या=8,
अतः घटना की नि:श्शेष स्थितियाँ=8
एकान्तरत: चित्त या पट आने की स्थितियाँ={HTH,THT}
इनकी कुल संख्या=2,
अतः अनुकूल स्थितियाँ=2
अभीष्ट प्रायिकता=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}
Example:2.यदि दो पासों को एक साथ उछाला जाता है तो युग्मक (Doublet) अथवा 9 प्रदर्शित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:दो पासों को एक साथ उछालने पर आने वाले समस्त सम्भव परिणाम

\begin{array}{lllllll} & \quad 1 & \quad 2 & \quad 3 & \quad 4 & \quad 5 & \quad 6 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2 , 4) & (2,5) & (2,6) \\ 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \end{array}
कुल परिणाम=36
अतः घटना की निश्शेष स्थितियाँ=36
अब युग्मक अथवा योग 9 आने की स्थितियाँ:
={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(6,3),(3,6),(4,5),(5,4)}
इनकी कुल संख्या=10
अतः अनुकूल स्थितियाँ=10
अभीष्ट प्रायिकता=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}
Example:3.एक अलीप वर्ष में केवल 52 रविवार आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:अलीप वर्ष में दिनों की संख्या=365
सप्ताहों की संख्या=\frac{365}{7}=52 सप्ताह तथा 1 दिन शेष
52 सप्ताह का अर्थ है कि अलीप वर्ष में 52 सप्ताह तो होंगे ही।अब 1 शेष दिन में से कोई हो सकता है:
{रविवार, सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार}
इनकी कुल स्थितियाँ=7,
अतः नि:श्शेष स्थितियाँ=7
अब 52 रविवार तो अलीप वर्ष में होते ही हैं।इसलिए शेष 1 दिन रविवार न होकर अन्य दिवस होना चाहिए।
अतः अनुकूल स्थितियाँ=6
अलीप वर्ष में 52 रविवार आने की प्रायिकता=\frac{6}{7}
Example:4.ताश की एक गड्डी में से एक पत्ता खींचा जाता है, उस पत्ते के इक्का होने के पक्ष में संयोगानुपात ज्ञात कीजिए।
Solution:कुल स्थितियाँ=52,
अर्थात् नि:श्शेष स्थितियाँ=52
इक्का होना अनुकूल स्थिति है।
अर्थात् कुल अनुकूल स्थितियाँ=4 (4इक्के होते हैं)
प्रतिकूल स्थितियाँ=(52-4)=48
अतः घटना के पक्ष में संयोगानुपात=अनुकूल स्थितियाँ:  प्रतिकूल स्थितियाँ 

                                               =  4                  :     48

                                               =  1                  :     12
Example:5.12 विद्यार्थियों की एक कक्षा में 5 लड़के और शेष लड़कियाँ हैं।एक विद्यार्थी के चयन में लड़की होने के विपक्ष में संयोगानुपात ज्ञात कीजिए।
Solution:विद्यार्थियों की कुल संख्या=12
विद्यार्थी के चयन की नि:श्शेष स्थितियाँ=12
विद्यार्थी के लड़की होने की अनुकूल स्थितियाँ=लड़कियों की संख्या
=(12-5)=7
तथा विद्यार्थी के लड़की नहीं होने की अनुकूल स्थितियाँ
=12-7=5 प्रतिकूल स्थितियाँ
अतः लड़की होने के विपक्ष में संयोगानुपात=प्रतिकूल स्थितियाँ : अनुकूल स्थितियाँ

                                                           =  5                  :          7
Example:6.n व्यक्ति एक गोलमेज के चारों तरफ बैठते हैं।दो विशिष्ट व्यक्तियों के एक साथ बैठने के विपक्ष में क्या संयोगानुपात होंगे?
Solution:n व्यक्तियों के गोलमेज के चारों ओर बैठने के कुल तरीके=(n-1)!
यदि दो विशिष्ट व्यक्ति एक साथ बैठते हैं तो शेष (n-2) व्यक्तियों के बैठने के तरीके=(n-2)!
परन्तु वे दोनों व्यक्ति भी एक साथ 2! तरीकों से बैठ सकते हैं।
अतः दो विशिष्ट व्यक्तियों के साथ बैठने की अनुकूल स्थितियाँ=(n-2)! × 2!
दो विशिष्ट व्यक्तियों के साथ बैठने की प्रायिकता=\frac{(n-2)! \times 2!}{(n-1)!}=\frac{1}{n-1}
अतः एक साथ बैठने के विपक्ष में संयोगानुपात=\frac{(n-1-2)}{2}=(n-3):2

Probability Definition

Example:7.तीन पत्र तथा तीन उनके संगत लिफाफे हैं यदि सभी पत्र लिफाफे में यदृच्छया रखे जाते हैं तो सभी पत्रों के सही लिफाफों में न रखने की क्या प्रायिकता है?
Solution:तीन पत्रों के तीन लिफाफों में रखे जाने के कुल तरीके=3!=3 × 2 × 1=6
सही लिफाफों में पत्रों को रखने का केवल एक ही सही तरीका है।
अतः सभी पत्रों को सही लिफाफों में रखे जाने की प्रायिकता=\frac{1}{6}
सभी पत्रों को सही लिफाफों में न रखे जाने की प्रायिकता=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
Example:8.प्रथम दो सौ पूर्णांकों में से एक अंक यादृच्छया चुना जाता है,इसकी 6 या 8 से विभाजित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:पूर्णांकों की संख्या=200
अतः नि:श्शेष स्थितियाँ=200
अनुकूल स्थितियाँ=(6 से भाज्य संख्या)+(8 से भाज्य संख्या)-(24 से भाज्य संख्या)
={6,12,18,24,……,198}+{8,16,24,32,…..,200}-{24,48,72,96,……..,192}
=33+25-8=58-8=50
अतः अभीष्ट प्रायिकता=\frac{50}{200}=\frac{1}{4}
Example:9.तीन पासों की एक फेंक में अंकों का योग 15 से अधिक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:तीन पासे फेंकने पर नि:श्शेष स्थितियाँ होंगी=6 ×6 × 6=216
प्रदत्त घटना के लिए अनुकूल स्थितियाँ होंगी=अंंकों का योग 15 से अधिक आना अर्थात् 16,17 तथा 18 आना।
(i)तीनों पासों के अंकों का योग निम्नलिखित 6 प्रकार से आ सकता है:
(4,6,6),(6,4,6),(6,6,4),(6,5,5),(5,6,5),(5,5,6)
(ii)तीनों पासों के अंकों का योग 17 निम्नलिखित 3 प्रकार से हो सकता है:
(5,6,6),(6,5,6),(6,6,5)
(iii)तीन पासों के अंकों का योग 18 निम्नलिखित एक प्रकार से:
(6,6,6)
तीन पासों के अंकों का योग 15 से अधिक प्राप्त होने के कुल तरीकों की संख्या=
6+3+1=10
तब तीनों पासों के अंकों का योग 15 से अधिक आने की प्रायिकता=\frac{10}{216}=\frac{5}{108}
Example:10.शब्द ANGLE के अक्षर यादृच्छिक क्रम से एक पंक्ति में व्यवस्थित किए जाते हैं।स्वरों के एक साथ आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:ANGLE को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने पर बनने वाले क्रमचयों की संख्या=5!=5 × 4 × 3 × 2 × 1=120
अतः नि:श्शेष स्थितियाँ=120
अब स्वर एक साथ आने पर निम्न स्थिति संभव होगी:
(AE),N,G,L
अतः अनुकूल स्थितियाँ=4! × 2!=4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1=48
अतः अभीष्ट प्रायिकता=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}
Example:11.एक ताश की गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है।इसके इक्का, राजा या रानी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:ताश की गड्डी में पत्तों की संख्या=32,
अतः नि:श्शेष स्थितियाँ=52
ताश की गड्डी में इक्का, राजा या रानी की संख्या=4+4+4=12
अतः अनुकूल स्थितियाँ=12
अतः अभीष्ट प्रायिकता=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}
Example:12.एक थैले में 6 सफेद,7 लाल और 5 काली गेंदें हैं।इनमें से 3 गेंदें यादृच्छिक रूप से एक के बाद एक निकाली जाती हैं।इन तीनों गेंदों के सफेद होने की क्या प्रायिकता होगी जबकि निकाली गई गेंद वापस थैले में न रखी जाए?
Solution:6 सफेद,7 लाल,5 काली गेंदें हैं।कुल गेंदों की संख्या=6+7+5=18
जिनमें से तीन गेंदें निकालनी हैं।
कुल नि:श्शेष स्थितियाँ=^{18}C_{3}
सफेद गेंदों की संख्या=6
जिनमें से तीन गेंदें लेनी हैं=^{6}C_{3}
तीन गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता=\frac{^{6}C_{3}}{^{18}C_{3}}\\\frac{\frac{6!}{3! \times 3!}}{\frac{18!}{15! \times 3!}} \\=\frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{15! \times 3!}{18!} \\=\frac{6 \times 20 }{17 \times 16 \times 18 }=\frac{6 \times 5 \times 4 }{17 \times 16 \times 18} \\=\frac{5}{204}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रायिकता की परिभाषा (Probability Definition) को समझ सकते हैं।

3.प्रायिकता की परिभाषा की समस्याएं.(Probability Definition Problems):

Probability Definition

(1.)ताश की 52 पत्तों की गड्डी में से यादृच्छिक रूप से दो पत्ते निकाले जाते हैं।सिद्ध कीजिए कि दोनों गुलाम आने की प्रायिकता \frac{1}{221} होगी।
(2.)तीन सिक्के एक साथ उछालें जाते हैं तो (i) केवल दो चित्त तथा (ii)कम से कम दो चित्त आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(3.)एक थैले में 3 सफेद एवं 5 काली गेंदें रखी गई हैं।यदि 2 गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं तो दोनों गेंदें काली होने के पक्ष में संयोगानुपात ज्ञात कीजिए।
(4.)4 पुरुष,3 महिलाएं और 5 बच्चों के एक समूह से 4 व्यक्ति यादृच्छया चुने जाते हैं।चुने गए व्यक्तियों में से ठीक दो बच्चे होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(2)\frac{1}{2} (3.)5:9 (4)\frac{14}{33}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रायिकता की परिभाषा (Probability Definition) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रायिकता की परिभाषा (Probability Definition) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

 

प्रायिकता की परिभाषा (Probability Definition):
प्रायिकता की चिरप्रतिष्ठित परिभाषा (Classical Definition of Probability):यदि किसी अभिप्रयोग के कुल
n परिणाम समप्रायिक,परस्पर अपवर्जी एवम् नि:श्शेष हों और उनमें से m परिणाम किसी विशेष घटना A