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Probability Definition

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1 1.प्रायिकता की परिभाषा (Probability Definition):

1.प्रायिकता की परिभाषा (Probability Definition):

प्रायिकता की परिभाषा (Probability Definition):प्रायिकता की चिरप्रतिष्ठित परिभाषा (Classical Definition of Probability):यदि किसी अभिप्रयोग के कुल n परिणाम समप्रायिक,परस्पर अपवर्जी एवम् नि:श्शेष हों और उनमें से m परिणाम किसी विशेष घटना A के अनूकूल हों तो A की प्रायिकता अनुपात \frac{m}{n} द्वारा परिभाषित की जाती है जिसे संकेत P(A) से व्यक्त करते हैं।
अतः P(A)=\frac{A \text{ की अनुकूल स्थितियाँ }}{A \text{ की नि:श्शेष स्थितियाँ }} =\frac{m}{n},(संख्यात्मक माप)
यदि किसी अभिप्रयोग में घटना A का घटित होना निश्चित हो तो m=n होगा तथा P(A)=\frac{n}{n} =1
यदि किसी घटना A का घटित होना असम्भव हो तो m=0 तथा P(A)=\frac{0}{n}=0
इसलिए किसी भी घटना A के लिए 0 \leq P(A) \leq 1
अर्थात् किसी भी घटना A के लिए 0 \leq P(A) \leq 1
अर्थात् किसी भी घटना की प्रायिकता A से कम तथा 1 से अधिक नहीं हो सकती है और प्रायिकता की सीमा 0 से 1 तक होती है।घटना A के घटित न होने की प्रायिकता P(\bar{A}) द्वारा प्रदर्शित की जाती है।
अतः P(\bar{A})=\frac{A \text{ की प्रतिकूल स्थितियाँ }}{A \text{ की नि:श्शेष स्थितियाँ }}=\frac{n-m}{n}=1-\frac{m}{n} \\ \Rightarrow P(\bar{A})=1-P(A)
(2.)प्रायिकता की अभिगृहीतीय दृष्टिकोण में परिभाषा (Definition of Probability in Axiomatic Approach):
माना कि एक यादृच्छिक प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि S है तथा A इस समष्टि का उपसमुच्चय है जो एक घटना को दर्शाता है तो घटना A की प्रायिकता:
P(A)=\frac{A \text{ में अवयवों की संख्या }}{ S \text{ में अवयवों की संख्या } }=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{A \text{ में प्रारम्भिक घटनाओं की संख्या }}{ S \text{ में प्रारंभिक घटनाओं की संख्या }}
इससे स्पष्ट है कि P(\phi)=0,P(S)=1 तथा 0 \leq P(A) \leq 1
(3.)संयोगानुपात (Odds):यदि किसी अभिप्रयोग में नि:श्शेषी घटनाएँ n तथा किसी घटना A के अनुकूल स्थितियाँ m हो तो घटना A के प्रतिकूल स्थितियाँ n-m होंगी।तब A के पक्ष में संयोगानुपात m:(n-m) और विपक्ष में संयोगानुपात (n-m):n होगा।
घटना A के पक्ष में संयोगानुपात=\frac{m}{n-m} \\ =\frac{\frac{m}{n}}{\frac{n-m}{n}} =\frac{P(A)}{P(\bar{A})}
घटना A के विपक्ष में संयोगानुपात=\frac{n-m}{m}=\frac{\frac{n-m}{n}}{\frac{m}{n}}=\frac{P(\bar{A})}{P(A)}
प्रमेय (Theorem):किसी यादृच्छिक प्रयोग में किसी घटना A के लिए सिद्ध कीजिए कि P(\bar{A})=1-P(A)
प्रमाण (Proof):यदि किसी अभिप्रयोग में नि:श्शेषी घटनाएँ n तथा किसी घटना A के अनुकूल स्थितियाँ m हो तो घटना A के प्रतिकूल स्थितियाँ n-m होगी।
घटना A के घटित न होने की प्रायिकता

P(\bar{A})=\frac{n-m}{n}=1-\frac{m}{n}=1-P(A)
पुनः अभिगृहीती दृष्टिकोण में
P(\bar{A})=\frac{\bar{A} \text{ में प्रारम्भिक घटनाओं की संख्या}}{S \text{ में प्रारंभिक घटनाओं की संख्या }} \\ =\frac{n(S)-n(A)}{n(S)} \\=1-\frac{n(A)}{n(S)}=1-P(A)
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2.प्रायिकता की परिभाषा के उदाहरण (Probability Definition Examples):

Example:1.एक सिक्के के लगातार तीन उछालों में एकान्तरत: चित्त या पट आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:एक सिक्के को लगातार तीन बार उछालने पर आने वाले समस्त सम्भावित परिणाम
={HHH,HHT,HTH,HTT,TTT,TTH,THT,THH}
कुल संख्या=8,
अतः घटना की नि:श्शेष स्थितियाँ=8
एकान्तरत: चित्त या पट आने की स्थितियाँ={HTH,THT}
इनकी कुल संख्या=2,
अतः अनुकूल स्थितियाँ=2
अभीष्ट प्रायिकता=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}
Example:2.यदि दो पासों को एक साथ उछाला जाता है तो युग्मक (Doublet) अथवा 9 प्रदर्शित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:दो पासों को एक साथ उछालने पर आने वाले समस्त सम्भव परिणाम

\begin{array}{lllllll} & \quad 1 & \quad 2 & \quad 3 & \quad 4 & \quad 5 & \quad 6 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2 , 4) & (2,5) & (2,6) \\ 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \end{array}
कुल परिणाम=36
अतः घटना की निश्शेष स्थितियाँ=36
अब युग्मक अथवा योग 9 आने की स्थितियाँ:
={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(6,3),(3,6),(4,5),(5,4)}
इनकी कुल संख्या=10
अतः अनुकूल स्थितियाँ=10
अभीष्ट प्रायिकता=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}
Example:3.एक अलीप वर्ष में केवल 52 रविवार आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:अलीप वर्ष में दिनों की संख्या=365
सप्ताहों की संख्या=\frac{365}{7}=52 सप्ताह तथा 1 दिन शेष
52 सप्ताह का अर्थ है कि अलीप वर्ष में 52 सप्ताह तो होंगे ही।अब 1 शेष दिन में से कोई हो सकता है:
{रविवार, सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार}
इनकी कुल स्थितियाँ=7,
अतः नि:श्शेष स्थितियाँ=7
अब 52 रविवार तो अलीप वर्ष में होते ही हैं।इसलिए शेष 1 दिन रविवार न होकर अन्य दिवस होना चाहिए।
अतः अनुकूल स्थितियाँ=6
अलीप वर्ष में 52 रविवार आने की प्रायिकता=\frac{6}{7}
Example:4.ताश की एक गड्डी में से एक पत्ता खींचा जाता है, उस पत्ते के इक्का होने के पक्ष में संयोगानुपात ज्ञात कीजिए।
Solution:कुल स्थितियाँ=52,
अर्थात् नि:श्शेष स्थितियाँ=52
इक्का होना अनुकूल स्थिति है।
अर्थात् कुल अनुकूल स्थितियाँ=4 (4इक्के होते हैं)
प्रतिकूल स्थितियाँ=(52-4)=48
अतः घटना के पक्ष में संयोगानुपात=अनुकूल स्थितियाँ:  प्रतिकूल स्थितियाँ 

                                               =  4                  :     48

                                               =  1                  :     12
Example:5.12 विद्यार्थियों की एक कक्षा में 5 लड़के और शेष लड़कियाँ हैं।एक विद्यार्थी के चयन में लड़की होने के विपक्ष में संयोगानुपात ज्ञात कीजिए।
Solution:विद्यार्थियों की कुल संख्या=12
विद्यार्थी के चयन की नि:श्शेष स्थितियाँ=12
विद्यार्थी के लड़की होने की अनुकूल स्थितियाँ=लड़कियों की संख्या
=(12-5)=7
तथा विद्यार्थी के लड़की नहीं होने की अनुकूल स्थितियाँ
=12-7=5 प्रतिकूल स्थितियाँ
अतः लड़की होने के विपक्ष में संयोगानुपात=प्रतिकूल स्थितियाँ : अनुकूल स्थितियाँ

                                                           =  5                  :          7
Example:6.n व्यक्ति एक गोलमेज के चारों तरफ बैठते हैं।दो विशिष्ट व्यक्तियों के एक साथ बैठने के विपक्ष में क्या संयोगानुपात होंगे?
Solution:n व्यक्तियों के गोलमेज के चारों ओर बैठने के कुल तरीके=(n-1)!
यदि दो विशिष्ट व्यक्ति एक साथ बैठते हैं तो शेष (n-2) व्यक्तियों के बैठने के तरीके=(n-2)!
परन्तु वे दोनों व्यक्ति भी एक साथ 2! तरीकों से बैठ सकते हैं।
अतः दो विशिष्ट व्यक्तियों के साथ बैठने की अनुकूल स्थितियाँ=(n-2)! × 2!
दो विशिष्ट व्यक्तियों के साथ बैठने की प्रायिकता=\frac{(n-2)! \times 2!}{(n-1)!}=\frac{1}{n-1}
अतः एक साथ बैठने के विपक्ष में संयोगानुपात=\frac{(n-1-2)}{2}=(n-3):2

Example:7.तीन पत्र तथा तीन उनके संगत लिफाफे हैं यदि सभी पत्र लिफाफे में यदृच्छया रखे जाते हैं तो सभी पत्रों के सही लिफाफों में न रखने की क्या प्रायिकता है?
Solution:तीन पत्रों के तीन लिफाफों में रखे जाने के कुल तरीके=3!=3 × 2 × 1=6
सही लिफाफों में पत्रों को रखने का केवल एक ही सही तरीका है।
अतः सभी पत्रों को सही लिफाफों में रखे जाने की प्रायिकता=\frac{1}{6}
सभी पत्रों को सही लिफाफों में न रखे जाने की प्रायिकता=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
Example:8.प्रथम दो सौ पूर्णांकों में से एक अंक यादृच्छया चुना जाता है,इसकी 6 या 8 से विभाजित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:पूर्णांकों की संख्या=200
अतः नि:श्शेष स्थितियाँ=200
अनुकूल स्थितियाँ=(6 से भाज्य संख्या)+(8 से भाज्य संख्या)-(24 से भाज्य संख्या)
={6,12,18,24,……,198}+{8,16,24,32,…..,200}-{24,48,72,96,……..,192}
=33+25-8=58-8=50
अतः अभीष्ट प्रायिकता=\frac{50}{200}=\frac{1}{4}
Example:9.तीन पासों की एक फेंक में अंकों का योग 15 से अधिक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:तीन पासे फेंकने पर नि:श्शेष स्थितियाँ होंगी=6 ×6 × 6=216
प्रदत्त घटना के लिए अनुकूल स्थितियाँ होंगी=अंंकों का योग 15 से अधिक आना अर्थात् 16,17 तथा 18 आना।
(i)तीनों पासों के अंकों का योग निम्नलिखित 6 प्रकार से आ सकता है:
(4,6,6),(6,4,6),(6,6,4),(6,5,5),(5,6,5),(5,5,6)
(ii)तीनों पासों के अंकों का योग 17 निम्नलिखित 3 प्रकार से हो सकता है:
(5,6,6),(6,5,6),(6,6,5)
(iii)तीन पासों के अंकों का योग 18 निम्नलिखित एक प्रकार से:
(6,6,6)
तीन पासों के अंकों का योग 15 से अधिक प्राप्त होने के कुल तरीकों की संख्या=
6+3+1=10
तब तीनों पासों के अंकों का योग 15 से अधिक आने की प्रायिकता=\frac{10}{216}=\frac{5}{108}
Example:10.शब्द ANGLE के अक्षर यादृच्छिक क्रम से एक पंक्ति में व्यवस्थित किए जाते हैं।स्वरों के एक साथ आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:ANGLE को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने पर बनने वाले क्रमचयों की संख्या=5!=5 × 4 × 3 × 2 × 1=120
अतः नि:श्शेष स्थितियाँ=120
अब स्वर एक साथ आने पर निम्न स्थिति संभव होगी:
(AE),N,G,L
अतः अनुकूल स्थितियाँ=4! × 2!=4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1=48
अतः अभीष्ट प्रायिकता=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}
Example:11.एक ताश की गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है।इसके इक्का, राजा या रानी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:ताश की गड्डी में पत्तों की संख्या=32,
अतः नि:श्शेष स्थितियाँ=52
ताश की गड्डी में इक्का, राजा या रानी की संख्या=4+4+4=12
अतः अनुकूल स्थितियाँ=12
अतः अभीष्ट प्रायिकता=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}
Example:12.एक थैले में 6 सफेद,7 लाल और 5 काली गेंदें हैं।इनमें से 3 गेंदें यादृच्छिक रूप से एक के बाद एक निकाली जाती हैं।इन तीनों गेंदों के सफेद होने की क्या प्रायिकता होगी जबकि निकाली गई गेंद वापस थैले में न रखी जाए?
Solution:6 सफेद,7 लाल,5 काली गेंदें हैं।कुल गेंदों की संख्या=6+7+5=18
जिनमें से तीन गेंदें निकालनी हैं।
कुल नि:श्शेष स्थितियाँ=^{18}C_{3}
सफेद गेंदों की संख्या=6
जिनमें से तीन गेंदें लेनी हैं=^{6}C_{3}
तीन गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता=\frac{^{6}C_{3}}{^{18}C_{3}}\\\frac{\frac{6!}{3! \times 3!}}{\frac{18!}{15! \times 3!}} \\=\frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{15! \times 3!}{18!} \\=\frac{6 \times 20 }{17 \times 16 \times 18 }=\frac{6 \times 5 \times 4 }{17 \times 16 \times 18} \\=\frac{5}{204}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रायिकता की परिभाषा (Probability Definition) को समझ सकते हैं।

3.प्रायिकता की परिभाषा की समस्याएं.(Probability Definition Problems):

(1.)ताश की 52 पत्तों की गड्डी में से यादृच्छिक रूप से दो पत्ते निकाले जाते हैं।सिद्ध कीजिए कि दोनों गुलाम आने की प्रायिकता \frac{1}{221} होगी।
(2.)तीन सिक्के एक साथ उछालें जाते हैं तो (i) केवल दो चित्त तथा (ii)कम से कम दो चित्त आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(3.)एक थैले में 3 सफेद एवं 5 काली गेंदें रखी गई हैं।यदि 2 गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं तो दोनों गेंदें काली होने के पक्ष में संयोगानुपात ज्ञात कीजिए।
(4.)4 पुरुष,3 महिलाएं और 5 बच्चों के एक समूह से 4 व्यक्ति यादृच्छया चुने जाते हैं।चुने गए व्यक्तियों में से ठीक दो बच्चे होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(2)\frac{1}{2} (3.)5:9 (4)\frac{14}{33}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रायिकता की परिभाषा (Probability Definition) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Conditional Probability

4.प्रायिकता की परिभाषा (Probability Definition) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.प्रायिकता सरल परिभाषा क्या है? (What is a probability simple definition?):

उत्तर:प्रायिकता एक संख्या है जो किसी विशेष घटना के घटित होने की संभावना (chance) या संभावना (likelihood) को दर्शाती है।प्रायिकताओं को 0 से 1 तक के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और उन्हें 0% से 100 तक के प्रतिशत के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

प्रश्न:2.संभाव्यता की सबसे अच्छी परिभाषा क्या है? (What is the best definition of probability?):

उत्तर:1: संभावित होने की अवस्था या भाव।2: कुछ (जैसे कोई घटना या परिस्थिति) जो संभावित हो।
(1) : समान रूप से संभावित परिणामों के एक संपूर्ण सेट (exhaustive set) में परिणामों की संख्या का अनुपात जो किसी दिए गए ईवेंट को संभावित परिणामों की कुल संख्या से उत्पन्न करता है।

प्रश्न:3.उदाहरण सहित प्रायिकता से आप क्या समझते हैं? (What do you mean by probability with example?):

उत्तर:प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना का माप है।
एक नमूना स्थान में सभी घटनाओं की संभावना 1 तक जुड़ जाती है। उदाहरण के लिए, जब हम एक सिक्का उछालते हैं, तो हमें हेड या टेल मिलता है, केवल दो संभावित परिणाम संभव हैं (H,T)।

प्रश्न:4.गणित में प्रायिकता का क्या अर्थ है? (What does probability mean in maths?):

उत्तर:प्रायिकता संयोग का गणित है।एक प्रायिकता एक संख्या है जो आपको बताती है कि कुछ होने की कितनी संभावना (संभावित) है।संभावनाओं को भिन्न, दशमलव या प्रतिशत के रूप में लिखा जा सकता है।

प्रश्न:5.प्रायिकता के 3 प्रकार क्या हैं? (What are the 3 types of probability?):

उत्तर:तीन प्रकार की प्रायिकता
शास्त्रीय (Classical): (समान रूप से संभावित परिणाम) मान लें कि S= नमूना स्थान (सभी संभावित भिन्न-भिन्न परिणामों (distinct outcomes) का सेट)।
सापेक्ष आवृत्ति परिभाषा (Relative Frequency Definition)।
विषयपरक प्रायिकता (Subjective Probability)।

प्रश्न:6.संभावना क्या है? (What Is Probability?):

उत्तर:निश्चित (certain) (1 की प्रायिकता,उच्चतम संभव संभावना)
संभाव्यता (likely) (\frac{1}{2} और 1 के बीच प्रायिकता)
सम संभावना (even chance) ( \frac{1}{2} की प्रायिकता)
असंभावित (unlikely) (0 और \frac{1}{2} के बीच प्रायिकता)
असंभव (impossible) (0 की प्रायिकता, न्यूनतम संभव संभावना)

प्रश्न:7.संभाव्यता क्या है और इसका महत्व क्या है? (What is probability and its importance?):

उत्तर:प्रायिकता एक धारणा है जिसका उपयोग हम अनिश्चितता से निपटने के लिए करते हैं।यदि किसी घटना के कई परिणाम हो सकते हैं और हम निश्चित रूप से नहीं जानते कि कौन सा परिणाम होगा, तो हम संभावित घटनाओं में से प्रत्येक की संभावना का वर्णन करने के लिए प्रायिकता का उपयोग कर सकते हैं।क्लासिक उदाहरण एक सिक्का उछाल (flipping) रहा है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रायिकता की परिभाषा (Probability Definition) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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प्रायिकता की परिभाषा
(Probability Definition)

Probability Definition

प्रायिकता की परिभाषा (Probability Definition):
प्रायिकता की चिरप्रतिष्ठित परिभाषा (Classical Definition of Probability):यदि किसी अभिप्रयोग के कुल
n परिणाम समप्रायिक,परस्पर अपवर्जी एवम् नि:श्शेष हों और उनमें से m परिणाम किसी विशेष घटना A

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