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Numerical Differentiation Examples

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1 1.संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण का परिचय (Introduction to Numerical Differentiation Examples),अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula):

1.संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण का परिचय (Introduction to Numerical Differentiation Examples),अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula):

संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण (Numerical Differentiation Examples) द्वारा स्वतन्त्र चर के किसी विशेष मान पर किसी फलन के अवकलज का संख्यात्मक मान न्यूटन-ग्रेगरी अग्र (पश्च) सूत्र, केन्द्रीय अन्तर्वेशन सूत्र तथा न्यूटन विभाजन सूत्र या लग्रांज सूत्र द्वारा ज्ञात करना सीख चुके हैं।अब कुछ ओर उदाहरणों के द्वारा उपर्युक्त विधियों द्वारा संख्यात्मक अवकलन ज्ञात करेंगे।
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2.संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण (Numerical Differentiation Examples):

Example:1.निम्न आंकड़ों से f'(10) ज्ञात कीजिए।f'(18) का मान भी ज्ञात कीजिए।
(Find f'(10) from the following data):

x35112734
f(x)-13238891731535606

Find also f'(18).
Solution:विभाजित अन्तर सारणी (Divided Difference Table)

xy=f(x)ΔyΔ^{2} yΔ^{3} yΔ^{4} y
x_{0}=3-13    
  18   
x_{1}=523 15.79  
  144.33 1.01 
x_{2}=11889 40.10 0
  1026.625 1 
x_{3}=2717315 68.97  
  2613   
x_{4}=3435606    

Hint:- \frac{23+13}{4-3}=18 ,\frac{889-23}{11-5}=144.33,\frac{17315-889}{27-11}=1026.625,\frac{35606-17315}{34-27}=2613\\ \frac{144.33-18}{11-3}=15.79 ,\frac{1026.625-144.33}{27-5}=40.10,\frac{2613-1026.625}{34-11}=68.97 \\ \frac{40.10-15.79}{27-3}=1.01,\frac{68.97-40.10}{34-5}=1 \\ \frac{1-1.01}{34-3}=0

न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र (Newton’s Divided Difference Formula) से:

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) \Delta f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) \cdot\left(x-x_{1}\right) \Delta^{2} f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \left(x-x_{2}\right) \cdot \Delta^{3} f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdot\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right) \Delta^{4} f\left(x_{0}\right)+\cdots \\ \Rightarrow f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) \Delta f\left(x_{0}\right)+\left(x^{2}-x x_{0}-xx_{1}+x_{0} x_{1}\right) \Delta^{2} f\left(x_{0}\right)+\left[x^{3}-\left(x_{0}+x_{1}+x_{2}\right) x^{2}+\left(x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{1} x_{2}\right) x-x_{0} x_{1} x_{2}\right] \Delta^{3} f\left(x_{0}\right) +[x^{4}-\left(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}\right) x^{3}+\left(x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{0} x_{3}+x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right) x^{2}-\left(x_{0} x_{1} x_{2}+x_{0} x_{3} x_{3}+x_{0} x_{2} x_{3}+x_{1} x_{2} x_{3}\right) x+x_{0} x_{1} x_{2} x_{3}] \Delta^{4} f\left(x_{0}\right)+\cdots (1)
सूत्र (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\Rightarrow f^{\prime}(x)=\Delta f\left(x_{0}\right)+\left(2 x-x_{0}- x_{1}\right) \Delta^{2} f\left(x_{0}\right)+\left[3 x^{2}-2\left(x_{0}+x_{1}+x_{2}\right)x+\left(x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{1} x_{2}\right)\right] \Delta^{3} f\left(x_{0}\right)+[4 x^{3}-3(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3})+2\left(x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{0} x_{3}+x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right) x-\left(x_{0} x_{1} x_{2}+x_{0} x_{1} x_{3}+x_{0} x_{2} x_{3}+x_{1} x_{2} x_{3}\right)] \Delta^{4} f\left(x_{0}\right)+\cdots(2)
अब (2) में x=10, x_{0}=3, x_{1}=5, x_{2}=11, x_{3}=27, x_{4}=34 तथा सारणी से वांछित मान विभाजित अन्तर प्रतिस्थापित करने पर:

f^{\prime}(10)=18+(2 \times 10-3-5)(15.79)+[3 \times 10^{2}-2(3+5+11) \times 10 +(3 \times 5+3 \times 11+5 \times 11)](1.01)+[4 \times 10^{3}-3(3+5+11+27) \times 10^{2} +2(3 \times 5+3 \times 11+3 \times 27+5 \times 11+5 \times 27+11 \times 27) \times 10-(3 \times 5 \times 11+ 3 \times \times 5 \times 27+3 \times 11 \times 27+5 \times 11 \times 27)](0) \\ =18+(20-8)(15.79)+(300-20 \times 19+15+33+55)(1.01)+[4000-300 \times 46+20 \times(15+33+81+55+135+297)-(165+405+891+1485)] \times(0)\\ =18+189.48+23.23+[4000-13800+12320-2946] \times (0)\\=18+189.48+23.23 =230.71\\ \Rightarrow f^{\prime}(10) \approx 231

अब (2) में x=18, x_{0}=3, x_{1}=5, x_{2}=11, x_{3}=27, x_{4}=34 तथा सारणी से वांछित मान विभाजित अन्तर प्रतिस्थापित करने पर:

f^{\prime}(18)=18+(2 \times 18-3-5) \times 15.79+\left[3 \times 18^{2}-2 \times 19 \times 18+15+33+55\right)] \times 1.01+\left[4 \times 18^{3}-3 \times 324 \times 48+36 \times 616-2946\right] \times 0 \\ =18+28 \times 15.79+[972-684+103] \times 1.01+0 \\ =18+442.12+394.91=855.03 \\ \Rightarrow f^{\prime}(18) \approx 855
Example:2.निम्न सारणी से f'(6) ज्ञात कीजिए:
(Find f'(6) from you following table):

x0134579
f(x)1501080-54-100-144-84

Solution:आंकड़ों से स्पष्ट है कि चर असमान अन्तराल पर हैं इसलिए लग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र (Lagrange Interpolation Formula) से:

f(x)=\frac{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots \left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right) \ldots \left(x_{0}-x_{n}\right)}f\left(x_{0}\right)+\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots \left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right) \ldots \left(x_{1}-x_{n}\right)} f\left(x_{1} \right) +\ldots+\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right)}{\left(x_{n}-x_{0}\right)\left(x_{n}-x_{1}\right) \cdots\left(x_{n}-x_{n-1}\right)} f\left(x_{n}\right)
सारणी से x_{0}=0, x_{1}=1, x_{2}=3, x_{3}=4, x_{4}=5, x_{5}=7, x_{6}=9  तथा f\left(x_{0}\right)=150, f\left(x_{1}\right)=108, f\left(x_{2}\right)=0, f\left(x_{3}\right)=-54, f\left(x_{4}\right)=-100, f\left(x_{5}\right)=-144, \quad f\left(x_{6}\right)=-84 \\ f(x)=\frac{(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-7)(x-9)}{(0-1)(0-3)(0-4)(0-5)(0-7)(0-9)} \times 150+\frac{(x-0)(x-3)(x-4)(x-5)(x-7)(x-9)}{(1-0)(1-3)(1-4)(1-5)(1-7)(1-9)} \times 108+\frac{(x-0)(x-1)(x-4)(x-5)(x-7)(x-9)}{(3-0)(3-1)(3-4)(3-5)(3-7)(3-9)} \times 0+\frac{(x-0)(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)(x-9)}{(4-0)(4-1)(4-3)(4-5)(4-7)(4-9)} \times(-54)+\frac{(x-0)(x-1)(x-3)(x-4)(x-7)(x-9)}{(5-0)(5-1)(5-3)(5-4)(5-7)(5-9)}\times(-100) \frac{(x-0)(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-9)}{(7-0)(7-1)(7-3)(7-4)(7-5)(7-9)} \times(-144) +\frac{(x-0)(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-7)}{(9-0)(9-1)(9-3)(9-4)(9-5)(9-7)} \times (-84) \\ = \frac{5}{126}\left(x^{6}-29 x^{5}+330 x^{4}-1870 x^{3}+5489 x^{2}-7701 x+3780\right)-\frac{3}{32}\left(x^{6}-28 x^{5}+302 x^{4}-1568 x^{3}+3921 x^{2}-3780 x\right)+\frac{3}{10}\left(x^{6}-25 x^{5}+230 x^{4}-950 x^{3}+384 x^{2}-945 x\right)-\frac{5}{16} (x^{6}-24 x^{5}+210 x^{4}-820 x^{3}+1389 x^{2}-756 x)+\frac{1}{14}\left(x^{6}-22 x^{5}+176 x^{4}-638 x^{3}+1023 x^{2}-540 x\right) -\frac{7}{1440}\left(x^{6}-20 x^{5}+150 x^{4}-520 x^{3}+809 x^{2}-420 x\right)\\ =\frac{\begin{matrix}400(x^{6}-29 x^{5}+330 x^{4}-1870 x^{3}+5489 x^{2}-7701 x+3780) \\ -945(x^{6}-28 x^{5}+302 x^{4}-1568 x^{3}+3921 x^{2}-3780 x) \\ +3024(x^{6}-25 x^{5}+230 x^{4}-950 x^{3}+1689 x^{2}-945x) \\ -3150(x^{6}-24 x^{5}+210 x^{4}-820 x^{3}+1389 x^{2}-756 x) \\+720(x^{6}-22 x^{5}+176 x^{4}-638 x^{3}+1023 x^{2}-540 x) \\-49(x^{6}-20 x^{5}+150 x^{4}-520 x^{3}+809 x^{2}-420 x)\end{matrix} }{10080} \\ =\frac{\begin{matrix}(-11600+26460-75600+75600-15840+980) x^{5} \\ +(132000-285390+695520-661500+126720-7350) x^{4} \\ +(-748000+1481760-287280+2583000-459360+25480) x^{3} \\+(2195600-3705345+5107536-4375350+736560-39641) x^{2}\\+(-3080400+3572100-2857680+2381400-388800+20580)x+1512000\end{matrix}}{10080} \\ \Rightarrow f(x)=\frac{10080 x^{3}-80640 x^{2}-352800x+1512000}{10080} \cdots(1)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

f^{\prime}(x)=\frac{30240x^{2}-161280x-352800}{10080} \\ f^{\prime}(6) =\frac{30240 \times 6^{2}-161280 \times 6-352800}{10080} \\ \Rightarrow f^{\prime}(6) =\frac{1088640-967680-352800}{10080} \\ =\frac{-231840}{10080} \\ \Rightarrow f^{\prime}(6) =-23

Example:3.निम्न सारणिक फलन की x=2.5 पर प्रथम,द्वितीय तथा तृतीय अवकलज ज्ञात कीजिए:
(Find the first, second and third derivatives of the function tabulated below at the point x=2.5):

x1.51.92.53.24.35.9
y=f(x)3.3756.05913.62522.36873.901196.579

Solution:आंकड़ों से स्पष्ट है कि चर असमान अन्तराल पर हैं इसलिए न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र से वांछित मान ज्ञात करना उचित होगा:
विभाजित अन्तर सारणी (Divided Difference Table)

xy=f(x)Δy Δ^{2} yΔ^{3} yΔ^{4} yΔ^{5} y
x_{0}=1.53.375     
  6.71    
x_{1}=1.96.059 5.9   
  12.61 -3.525  
x_{2}=2.513.625 -0.092 4.113 
  12.49 7.992 -1.523
x_{3}=3.222.368 19.088 -2.589 
  46.848 -2.365  
x_{4}=4.373.901 11.047   
  76.674    
x_{5}=5.9196.579     

Hint:-\frac{6.059-3.375}{1.9-1.5}=6.71,\frac{13.625-6.059}{2.5-1.9}=12.61,\frac{22.368-13.625}{3.2-2.5}=12.49 ,\frac{73.901-22.368}{4.3-3.2}=46.848,\frac{196.579-73.901}{5.9-4.3}=76.674 \\ \frac{12.61-6.71}{2.5-1.5}=5.9,\frac{12.49-12.61}{3.2-1.9}=-0.092,\frac{46.848-12.49}{4.3-2.5}=19.088,\frac{76.674-46.848}{5.9-3.2}=11.047 \\ \frac{-0.092-5.9}{3.2-1.5}=-3.525,\frac{19.088+0.092}{4.3-1.9}=7.992,\frac{11.047-19.088}{5.9-2.5}=-2.365

न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र (Newton’s Divided Difference Formula) से:

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) \Delta f\left(x_{0}\right)+\left[x^{2}-\left(x_{0}+x_{1}\right) x+x_{0} x_{1}\right] \Delta^{2} f\left(x_{0}\right)+[x^{3}-(x_{0}+x_{1}+x_{2}) x^{2}+\left(x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{1} x_{2}\right) x-x_{0} x_{1} x_{2}] \Delta^{3} f\left(x_{0}\right) +[x^{4}-\left(x_{0}+x_{1}+x_{2} +x_{3}\right) x^{3}+\left(x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{0} x_{3}+x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right) x^{2}-(x_{0} x_{1} x_{2}+x_{0} x_{1} x_{3}+x_{0} x_{2} x_{3}+x_{1} x_{2} x_{3}) x+x_{0} x_{1} x_{2} x_{3}] \Delta^{4} f\left(x_{0}\right)+\cdots(1)
सूत्र (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष तीन बार अवकलन करने पर:

f^{\prime}(x)=\Delta f\left(x_{0}\right)+\left(2 x-x_{0}-x_{1}\right) \Delta^{2} f\left(x_{0}\right)+[3 x^{2}-2\left(x_{0}+x_{1}+x_{2}\right) x+x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{1} x_{2}] \Delta^{3} f\left(x_{0}\right) +[4 x^{3}-3(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}) x^{2}+2(x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{0} x_{3}+x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}) x-(x_{0} x_{1} x_{2}+x_{0} x_{1} x_{3}+x_{0} x_{2} x_{3}+x_{1} x_{2} x_{3})] \Delta^{4} f\left(x_{0}\right)+ \ldots (2) \\ f^{\prime \prime}(x)=2 \Delta^{2} f\left(x_{0}\right) +[6 x-2\left(x_{0}+x_{1}+x_{2}\right)] \Delta^{3} f\left(x_{0}\right)+[12 x^{2}-6 x \left(x_{0} +x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)+2(x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{0} x_{3}+x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3})] \Delta^{4} f\left(x_{0}\right) \cdots(3)\\ f^{\prime \prime \prime}(x)=6 \Delta^{3} f\left(x_{0} \right)+\left[24 x-6\left(x_{0}+x_{1}+ x_{2}+x_{3}\right)\right] \Delta^{4} f\left(x_{0}\right) \cdots(4)
अब समीकरण (2),(3) व (4) में x=2.5, x_{0}=1.5, x_{1}=1.9, x_{2}=2.5,x_{3}=3.2, x_{4}=4.3, x_{5}=4.9 तथा सारणी से वांछित मान रखने पर:

f^{\prime}(2.5)=6.71+(2 \times 2.5-1.5-1.9) \times 5.9+[3 \times 2.5^{2}-2(1.5+1.9+2.5) \times 2.5 +1.5 \times 1.9+1.5 \times 2.5+1.9 \times 2.5](-3.525)+[4 \times 2.5^{3}-3(1.5+1.9+2.5+3.2) \times 2.5^{2}+2(1.5 \times 1.9+1.5 \times 2.5+1.5 \times 3.2+1.9 \times 2.5+1.9 \times 3.2+2.5 \times 3.2) \times 2.5-(1.5 \times 1.9 \times 2.5+1.5 \times 1.9 \times 3.2+1.5 \times 2.5 \times 3.2+1.9 \times 2.5 \times 3.2)] \times 4.113 \\ =6.71+(5-3.4) \times 5.9+[18.75-5 \times 5.9+2.85+3.75+4.75] \times(-3.525)+[62.5-18.75 \times 9.1+5 \times(2.85+3.75+4.8+4.75+6.08+8)-(7.125+9.12+12+15.2)] \times 4.113 \\ =6.71+9.44+(30.1-29.5) \times(-3.525)+[62.5-170.625+151.15 -43.445] \times 4.113 \\ =6.71+9.44-2.115-1.72746 \\ \Rightarrow f^{\prime}(2.5)=12.30754 \\ f^{\prime \prime}(2.5)=2 \times 5.9+[6 \times 2.5-2(1.5+1.9+2.5)] (-3.525)+ \\ \left[12 \times 2.5^{2}-6 \times 2.5 \times(1.5+1.9+2.5+3.2)+2(1.5 \times 1.9+1.5 \times 2.5\right. +1.5 \times 3.2+1.9 \times 2.5+1.9 \times 3.2+2.5 \times 3.2)] \times 4.113 \\ = 11.8+[13-2 \times 5.9](-3.525)+[75-15 \times 9.1+2 \times(2.85+3.75+4.8+4.75+6.08+8)] \times 4.113 \\ = 11.8+(13-11.8)(-3.525)+(75-136.5+60.46) \times 4.113 \\ =11.8-4.23+8.7 .5-4.27752 \\ \Rightarrow f^{\prime \prime}(2.5)=3.29248\\ f^{\prime \prime \prime}(2.5) =6 \times-3.525+[24 \times 2.5-6(1.5+1.9+2.5+3.2)] \times 4.113 \\ =-21.15+[60-6 \times 9.1] \times 4.113=-21.15+[60-54.6] \times 4.113\\ \Rightarrow f^{\prime}(2.5) =-21.15+22.2102=1.0602
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण (Numerical Differentiation Examples),अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula) को समझ सकते हैं।

3.संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Numerical Differentiation Examples)

(1.)x और y के मान की निम्न सारणी से x=2.2 पर \frac{dy}{dx} तथा \frac{d^{2}y}{dx^{2}} का मान ज्ञात कीजिए:
(From the following table of values of x and y obtain \frac{dy}{dx} and \frac{d^{2}y}{dx^{2}} at x=2.2):

x1.01.41.82.21.21.62.0
y2.71834.05526.04969.02503.32014.95307.3891

(2.)निम्न सारणी से f'(5) ज्ञात कीजिए:
(Find f'(5) from the following table):

x023479
f(x)42658112466922

उत्तर (Answers):(1.)f'(2.2)=9.0214 (लगभग),f”(2.2)=8.962915
(2.)f'(5)=98
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण (Numerical Differentiation Examples),अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula),Numerical Differentiation Examples को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण (Numerical Differentiation Examples),अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.समान एवं असमान अन्तराल के लिए लग्रांज का अन्तर्वेशन सूत्र लिखो।(Write the interpolation formula of Lagrange for equal and unequal intervals):

उत्तर:लग्रांज का अन्तर्वेशन सूत्र निम्न है:
f(x)=\frac{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots \left(x_{0}-x_{n}\right)}{\left(x-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right) \ldots \left(x_{0}-x_{n}\right)} f\left(x_{0}\right) +\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)\ldots \left(x_{1}-x_{n}\right)}f\left(x_{1}\right) +\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\ldots \left(x-x_{n-1}\right) }{\left(x_{n}-x_{0}\right)\left(x_{n}-x_{1}\right) \cdots\left(x_{n}-x_{n-1}\right)}f\left(x_{n}\right)

प्रश्न:2.समान अन्तराल के लिए न्यूटन ग्रेगरी अग्रान्तर सूत्र लिखो।(Write the Newton-Gregory forward difference interpolation formula for equal interval):

उत्तर:न्यूटन-ग्रेगरी अग्रान्तर सूत्र निम्न है:
f(a+x h)=f(a)+{}^x C_{1} \Delta f(a)+{}^x C_{2} \Delta^{2} f(a)+{}^x C_{3} \Delta^{3} f(a)+\ldots+{}^x C_{n} \Delta^{n} f(a)

प्रश्न:3.असमान अन्तराल के लिए न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र लिखो।(Write Newton’s divided difference formula for unequal intervals):

उत्तर:न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र (Newton’s divided difference formula):
f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) \Delta f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) \cdot\left(x-x_{1}\right) \Delta^{2} f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \Delta^{3} f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)\Delta^{4} f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\ldots \left(x-x_{n-1}\right) \Delta^{n} f\left(x_{0}\right)
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण (Numerical Differentiation Examples),अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula) को समझ सकते हैं।Numerical Differentiation Examples

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Numerical Differentiation Examples

संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण
(Numerical Differentiation Examples)

Numerical Differentiation Examples

संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण (Numerical Differentiation Examples) द्वारा स्वतन्त्र चर के
किसी विशेष मान पर किसी फलन के अवकलज का संख्यात्मक मान न्यूटन-ग्रेगरी अग्र (पश्च)
सूत्र, केन्द्रीय अन्तर्वेशन सूत्र तथा न्यूटन विभाजन सूत्र या लग्रांज सूत्र द्वारा ज्ञात करना सीख चुके हैं।
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