1.संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण का परिचय (Introduction to Numerical Differentiation Examples),अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula):

Numerical Differentiation Examples

संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण (Numerical Differentiation Examples) द्वारा स्वतन्त्र चर के किसी विशेष मान पर किसी फलन के अवकलज का संख्यात्मक मान न्यूटन-ग्रेगरी अग्र (पश्च) सूत्र, केन्द्रीय अन्तर्वेशन सूत्र तथा न्यूटन विभाजन सूत्र या लग्रांज सूत्र द्वारा ज्ञात करना सीख चुके हैं।अब कुछ ओर उदाहरणों के द्वारा उपर्युक्त विधियों द्वारा संख्यात्मक अवकलन ज्ञात करेंगे।
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2.संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण (Numerical Differentiation Examples):

Example:1.निम्न आंकड़ों से f'(10) ज्ञात कीजिए।f'(18) का मान भी ज्ञात कीजिए।
(Find f'(10) from the following data):

Find also f'(18).
Solution:विभाजित अन्तर सारणी (Divided Difference Table)

Hint:- \frac{23+13}{4-3}=18 ,\frac{889-23}{11-5}=144.33,\frac{17315-889}{27-11}=1026.625,\frac{35606-17315}{34-27}=2613\\ \frac{144.33-18}{11-3}=15.79 ,\frac{1026.625-144.33}{27-5}=40.10,\frac{2613-1026.625}{34-11}=68.97 \\ \frac{40.10-15.79}{27-3}=1.01,\frac{68.97-40.10}{34-5}=1 \\ \frac{1-1.01}{34-3}=0

न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र (Newton’s Divided Difference Formula) से:

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) \Delta f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) \cdot\left(x-x_{1}\right) \Delta^{2} f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \left(x-x_{2}\right) \cdot \Delta^{3} f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdot\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right) \Delta^{4} f\left(x_{0}\right)+\cdots \\ \Rightarrow f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) \Delta f\left(x_{0}\right)+\left(x^{2}-x x_{0}-xx_{1}+x_{0} x_{1}\right) \Delta^{2} f\left(x_{0}\right)+\left[x^{3}-\left(x_{0}+x_{1}+x_{2}\right) x^{2}+\left(x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{1} x_{2}\right) x-x_{0} x_{1} x_{2}\right] \Delta^{3} f\left(x_{0}\right) +[x^{4}-\left(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}\right) x^{3}+\left(x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{0} x_{3}+x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right) x^{2}-\left(x_{0} x_{1} x_{2}+x_{0} x_{3} x_{3}+x_{0} x_{2} x_{3}+x_{1} x_{2} x_{3}\right) x+x_{0} x_{1} x_{2} x_{3}] \Delta^{4} f\left(x_{0}\right)+\cdots (1)
सूत्र (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\Rightarrow f^{\prime}(x)=\Delta f\left(x_{0}\right)+\left(2 x-x_{0}- x_{1}\right) \Delta^{2} f\left(x_{0}\right)+\left[3 x^{2}-2\left(x_{0}+x_{1}+x_{2}\right)x+\left(x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{1} x_{2}\right)\right] \Delta^{3} f\left(x_{0}\right)+[4 x^{3}-3(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3})+2\left(x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{0} x_{3}+x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right) x-\left(x_{0} x_{1} x_{2}+x_{0} x_{1} x_{3}+x_{0} x_{2} x_{3}+x_{1} x_{2} x_{3}\right)] \Delta^{4} f\left(x_{0}\right)+\cdots(2)
अब (2) में x=10, x_{0}=3, x_{1}=5, x_{2}=11, x_{3}=27, x_{4}=34 तथा सारणी से वांछित मान विभाजित अन्तर प्रतिस्थापित करने पर:

अब (2) में x=18, x_{0}=3, x_{1}=5, x_{2}=11, x_{3}=27, x_{4}=34 तथा सारणी से वांछित मान विभाजित अन्तर प्रतिस्थापित करने पर:

f^{\prime}(18)=18+(2 \times 18-3-5) \times 15.79+\left[3 \times 18^{2}-2 \times 19 \times 18+15+33+55\right)] \times 1.01+\left[4 \times 18^{3}-3 \times 324 \times 48+36 \times 616-2946\right] \times 0 \\ =18+28 \times 15.79+[972-684+103] \times 1.01+0 \\ =18+442.12+394.91=855.03 \\ \Rightarrow f^{\prime}(18) \approx 855
Example:2.निम्न सारणी से f'(6) ज्ञात कीजिए:
(Find f'(6) from you following table):

Solution:आंकड़ों से स्पष्ट है कि चर असमान अन्तराल पर हैं इसलिए लग्रांज अन्तर्वेशन सूत्र (Lagrange Interpolation Formula) से:

f(x)=\frac{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots \left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right) \ldots \left(x_{0}-x_{n}\right)}f\left(x_{0}\right)+\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots \left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right) \ldots \left(x_{1}-x_{n}\right)} f\left(x_{1} \right) +\ldots+\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right)}{\left(x_{n}-x_{0}\right)\left(x_{n}-x_{1}\right) \cdots\left(x_{n}-x_{n-1}\right)} f\left(x_{n}\right)
सारणी से x_{0}=0, x_{1}=1, x_{2}=3, x_{3}=4, x_{4}=5, x_{5}=7, x_{6}=9  तथा f\left(x_{0}\right)=150, f\left(x_{1}\right)=108, f\left(x_{2}\right)=0, f\left(x_{3}\right)=-54, f\left(x_{4}\right)=-100, f\left(x_{5}\right)=-144, \quad f\left(x_{6}\right)=-84 \\ f(x)=\frac{(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-7)(x-9)}{(0-1)(0-3)(0-4)(0-5)(0-7)(0-9)} \times 150+\frac{(x-0)(x-3)(x-4)(x-5)(x-7)(x-9)}{(1-0)(1-3)(1-4)(1-5)(1-7)(1-9)} \times 108+\frac{(x-0)(x-1)(x-4)(x-5)(x-7)(x-9)}{(3-0)(3-1)(3-4)(3-5)(3-7)(3-9)} \times 0+\frac{(x-0)(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)(x-9)}{(4-0)(4-1)(4-3)(4-5)(4-7)(4-9)} \times(-54)+\frac{(x-0)(x-1)(x-3)(x-4)(x-7)(x-9)}{(5-0)(5-1)(5-3)(5-4)(5-7)(5-9)}\times(-100) \frac{(x-0)(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-9)}{(7-0)(7-1)(7-3)(7-4)(7-5)(7-9)} \times(-144) +\frac{(x-0)(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-7)}{(9-0)(9-1)(9-3)(9-4)(9-5)(9-7)} \times (-84) \\ = \frac{5}{126}\left(x^{6}-29 x^{5}+330 x^{4}-1870 x^{3}+5489 x^{2}-7701 x+3780\right)-\frac{3}{32}\left(x^{6}-28 x^{5}+302 x^{4}-1568 x^{3}+3921 x^{2}-3780 x\right)+\frac{3}{10}\left(x^{6}-25 x^{5}+230 x^{4}-950 x^{3}+384 x^{2}-945 x\right)-\frac{5}{16} (x^{6}-24 x^{5}+210 x^{4}-820 x^{3}+1389 x^{2}-756 x)+\frac{1}{14}\left(x^{6}-22 x^{5}+176 x^{4}-638 x^{3}+1023 x^{2}-540 x\right) -\frac{7}{1440}\left(x^{6}-20 x^{5}+150 x^{4}-520 x^{3}+809 x^{2}-420 x\right)\\ =\frac{\begin{matrix}400(x^{6}-29 x^{5}+330 x^{4}-1870 x^{3}+5489 x^{2}-7701 x+3780) \\ -945(x^{6}-28 x^{5}+302 x^{4}-1568 x^{3}+3921 x^{2}-3780 x) \\ +3024(x^{6}-25 x^{5}+230 x^{4}-950 x^{3}+1689 x^{2}-945x) \\ -3150(x^{6}-24 x^{5}+210 x^{4}-820 x^{3}+1389 x^{2}-756 x) \\+720(x^{6}-22 x^{5}+176 x^{4}-638 x^{3}+1023 x^{2}-540 x) \\-49(x^{6}-20 x^{5}+150 x^{4}-520 x^{3}+809 x^{2}-420 x)\end{matrix} }{10080} \\ =\frac{\begin{matrix}(-11600+26460-75600+75600-15840+980) x^{5} \\ +(132000-285390+695520-661500+126720-7350) x^{4} \\ +(-748000+1481760-287280+2583000-459360+25480) x^{3} \\+(2195600-3705345+5107536-4375350+736560-39641) x^{2}\\+(-3080400+3572100-2857680+2381400-388800+20580)x+1512000\end{matrix}}{10080} \\ \Rightarrow f(x)=\frac{10080 x^{3}-80640 x^{2}-352800x+1512000}{10080} \cdots(1)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

Numerical Differentiation Examples

Example:3.निम्न सारणिक फलन की x=2.5 पर प्रथम,द्वितीय तथा तृतीय अवकलज ज्ञात कीजिए:
(Find the first, second and third derivatives of the function tabulated below at the point x=2.5):

Solution:आंकड़ों से स्पष्ट है कि चर असमान अन्तराल पर हैं इसलिए न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र से वांछित मान ज्ञात करना उचित होगा:
विभाजित अन्तर सारणी (Divided Difference Table)

Hint:-\frac{6.059-3.375}{1.9-1.5}=6.71,\frac{13.625-6.059}{2.5-1.9}=12.61,\frac{22.368-13.625}{3.2-2.5}=12.49 ,\frac{73.901-22.368}{4.3-3.2}=46.848,\frac{196.579-73.901}{5.9-4.3}=76.674 \\ \frac{12.61-6.71}{2.5-1.5}=5.9,\frac{12.49-12.61}{3.2-1.9}=-0.092,\frac{46.848-12.49}{4.3-2.5}=19.088,\frac{76.674-46.848}{5.9-3.2}=11.047 \\ \frac{-0.092-5.9}{3.2-1.5}=-3.525,\frac{19.088+0.092}{4.3-1.9}=7.992,\frac{11.047-19.088}{5.9-2.5}=-2.365

न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र (Newton’s Divided Difference Formula) से:

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) \Delta f\left(x_{0}\right)+\left[x^{2}-\left(x_{0}+x_{1}\right) x+x_{0} x_{1}\right] \Delta^{2} f\left(x_{0}\right)+[x^{3}-(x_{0}+x_{1}+x_{2}) x^{2}+\left(x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{1} x_{2}\right) x-x_{0} x_{1} x_{2}] \Delta^{3} f\left(x_{0}\right) +[x^{4}-\left(x_{0}+x_{1}+x_{2} +x_{3}\right) x^{3}+\left(x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{0} x_{3}+x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right) x^{2}-(x_{0} x_{1} x_{2}+x_{0} x_{1} x_{3}+x_{0} x_{2} x_{3}+x_{1} x_{2} x_{3}) x+x_{0} x_{1} x_{2} x_{3}] \Delta^{4} f\left(x_{0}\right)+\cdots(1)
सूत्र (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष तीन बार अवकलन करने पर:

f^{\prime}(x)=\Delta f\left(x_{0}\right)+\left(2 x-x_{0}-x_{1}\right) \Delta^{2} f\left(x_{0}\right)+[3 x^{2}-2\left(x_{0}+x_{1}+x_{2}\right) x+x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{1} x_{2}] \Delta^{3} f\left(x_{0}\right) +[4 x^{3}-3(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}) x^{2}+2(x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{0} x_{3}+x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}) x-(x_{0} x_{1} x_{2}+x_{0} x_{1} x_{3}+x_{0} x_{2} x_{3}+x_{1} x_{2} x_{3})] \Delta^{4} f\left(x_{0}\right)+ \ldots (2) \\ f^{\prime \prime}(x)=2 \Delta^{2} f\left(x_{0}\right) +[6 x-2\left(x_{0}+x_{1}+x_{2}\right)] \Delta^{3} f\left(x_{0}\right)+[12 x^{2}-6 x \left(x_{0} +x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)+2(x_{0} x_{1}+x_{0} x_{2}+x_{0} x_{3}+x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3})] \Delta^{4} f\left(x_{0}\right) \cdots(3)\\ f^{\prime \prime \prime}(x)=6 \Delta^{3} f\left(x_{0} \right)+\left[24 x-6\left(x_{0}+x_{1}+ x_{2}+x_{3}\right)\right] \Delta^{4} f\left(x_{0}\right) \cdots(4)
अब समीकरण (2),(3) व (4) में x=2.5, x_{0}=1.5, x_{1}=1.9, x_{2}=2.5,x_{3}=3.2, x_{4}=4.3, x_{5}=4.9 तथा सारणी से वांछित मान रखने पर:

f^{\prime}(2.5)=6.71+(2 \times 2.5-1.5-1.9) \times 5.9+[3 \times 2.5^{2}-2(1.5+1.9+2.5) \times 2.5 +1.5 \times 1.9+1.5 \times 2.5+1.9 \times 2.5](-3.525)+[4 \times 2.5^{3}-3(1.5+1.9+2.5+3.2) \times 2.5^{2}+2(1.5 \times 1.9+1.5 \times 2.5+1.5 \times 3.2+1.9 \times 2.5+1.9 \times 3.2+2.5 \times 3.2) \times 2.5-(1.5 \times 1.9 \times 2.5+1.5 \times 1.9 \times 3.2+1.5 \times 2.5 \times 3.2+1.9 \times 2.5 \times 3.2)] \times 4.113 \\ =6.71+(5-3.4) \times 5.9+[18.75-5 \times 5.9+2.85+3.75+4.75] \times(-3.525)+[62.5-18.75 \times 9.1+5 \times(2.85+3.75+4.8+4.75+6.08+8)-(7.125+9.12+12+15.2)] \times 4.113 \\ =6.71+9.44+(30.1-29.5) \times(-3.525)+[62.5-170.625+151.15 -43.445] \times 4.113 \\ =6.71+9.44-2.115-1.72746 \\ \Rightarrow f^{\prime}(2.5)=12.30754 \\ f^{\prime \prime}(2.5)=2 \times 5.9+[6 \times 2.5-2(1.5+1.9+2.5)] (-3.525)+ \\ \left[12 \times 2.5^{2}-6 \times 2.5 \times(1.5+1.9+2.5+3.2)+2(1.5 \times 1.9+1.5 \times 2.5\right. +1.5 \times 3.2+1.9 \times 2.5+1.9 \times 3.2+2.5 \times 3.2)] \times 4.113 \\ = 11.8+[13-2 \times 5.9](-3.525)+[75-15 \times 9.1+2 \times(2.85+3.75+4.8+4.75+6.08+8)] \times 4.113 \\ = 11.8+(13-11.8)(-3.525)+(75-136.5+60.46) \times 4.113 \\ =11.8-4.23+8.7 .5-4.27752 \\ \Rightarrow f^{\prime \prime}(2.5)=3.29248\\ f^{\prime \prime \prime}(2.5) =6 \times-3.525+[24 \times 2.5-6(1.5+1.9+2.5+3.2)] \times 4.113 \\ =-21.15+[60-6 \times 9.1] \times 4.113=-21.15+[60-54.6] \times 4.113\\ \Rightarrow f^{\prime}(2.5) =-21.15+22.2102=1.0602
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण (Numerical Differentiation Examples),अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula) को समझ सकते हैं।

3.संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Numerical Differentiation Examples)

Numerical Differentiation Examples

(1.)x और y के मान की निम्न सारणी से x=2.2 पर \frac{dy}{dx} तथा \frac{d^{2}y}{dx^{2}} का मान ज्ञात कीजिए:
(From the following table of values of x and y obtain \frac{dy}{dx} and \frac{d^{2}y}{dx^{2}} at x=2.2):

(2.)निम्न सारणी से f'(5) ज्ञात कीजिए:
(Find f'(5) from the following table):

उत्तर (Answers):(1.)f'(2.2)=9.0214 (लगभग),f”(2.2)=8.962915
(2.)f'(5)=98
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण (Numerical Differentiation Examples),अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula),Numerical Differentiation Examples को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण (Numerical Differentiation Examples),अन्तर्वेशन सूत्रों से अवकलज (Derivatives from Interpolation Formula) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

संख्यात्मक अवकलन के उदाहरण (Numerical Differentiation Examples) द्वारा स्वतन्त्र चर के
किसी विशेष मान पर किसी फलन के अवकलज का संख्यात्मक मान न्यूटन-ग्रेगरी अग्र (पश्च)
सूत्र, केन्द्रीय अन्तर्वेशन सूत्र तथा न्यूटन विभाजन सूत्र या लग्रांज सूत्र द्वारा ज्ञात करना सीख चुके हैं।
Numerical Differentiation Examples