Numerical Differentiation
1.संख्यात्मक अवकलन (Numerical Differentiation),इंटरपोलेशन का उपयोग करके संख्यात्मक अवकलन (Numerical differentiation using interpolation):
संख्यात्मक अवकलन (Numerical Differentiation) एक ऐसा प्रक्रम है जिसमें स्वतन्त्र चर के किसी विशेष मान पर किसी फलन के अवकलज का संख्यात्मक मान ज्ञात करते हैं जबकि स्वतन्त्र चर के विभिन्न मानों के संगत फलन का समुच्चय ज्ञात हो।
संख्यात्मक अवकलन सूत्र (Numerical Differentiation Formula):
प्रथम अवकलज \frac{d y}{d x}=\frac{1}{h} \frac{d y}{d u}=\frac{1}{h}\left[\Delta y_{0}+\frac{2 u-1}{2!} \Delta^{2} y_{0}+\frac{3 u^{2}-6 u+2}{3 !} \Delta^{3} y_{0}+\cdots\right]
द्वितीय अवकलज \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{1}{h^{2}}\left[\Delta^{2} y_{0}+(u-1) \Delta^{3} y_{0}+\cdots\right]
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2.संख्यात्मक अवकलन (Numerical Differentiation):
Example:1.निम्न सारणिक फलन की x=1.5 पर प्रथम,द्वितीय तथा तृतीय अवकलज ज्ञात कीजिए:
(Find the first,second and third derivatives of the function tabulated below at the point x=1.5):
| X | y=f(x) |
| 1.5 | 3.375 |
| 2.00 | 7.000 |
| 2.5 | 13.625 |
| 3.00 | 24.000 |
| 3.5 | 38.875 |
| 4.00 | 59.000 |
Solution:प्रश्न के आंकड़ों के अनुसार चर समदूरस्थ (अर्थात् h=0.5,a=1.5) है तथा x=1.5 पर फलन का मान ज्ञात करना है।यहाँ x=1.5 सारणी के चर मानों के प्रारम्भ में है।अतः इस प्रश्न को हल करने के लिए न्यूटन-ग्रेगरी अग्र सूत्र (Newton Gregory Forward Difference Formula) का प्रयोग वांछित होगा:
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table):
| x | y=f(x) | Δy | Δ^{2}y | Δ^{3}y | Δ^{4}y |
| 1.5 | 3.375 | ||||
| 3.625 | |||||
| 2.00 | 7.000 | 3 | |||
| 6.625 | 0.75 | ||||
| 2.5 | 13.625 | 3.75 | 0 | ||
| 10.375 | 0.75 | ||||
| 3.00 | 24.000 | 4.5 | 0 | ||
| 14.875 | 0.75 | ||||
| 3.5 | 38.875 | 5.25 | |||
| 20.125 | |||||
| 4.00 | 59.000 |
न्यूटन-ग्रेगरी अग्र सूत्र (Newton Gregory Forward Difference Formula) है:
f(a+xh) =f(a)++{}^{x} C_{1} \cdot \Delta f(a) +{}^{x} C_{2} \cdot \Delta^{2} f(a)+{}^{x} C_{3} \cdot \Delta^{3} f(a) +{}^{x} C_{4} \cdot \Delta^{4} f(a)+\cdots \\ \Rightarrow f(a+x h)=f(a)+x \Delta f(a)+\left(\frac{x^{2}-x}{2}\right) \Delta^{2} f(a)+\left(\frac{x^{3}-3 x^{2}+2 x}{6}\right) \Delta^{3} f(a)+\left(\frac{x^{4}-6 x^{3}+11 x^{2}-6 x}{24}\right) \Delta^{4} f(a)+\ldots(1)
सम्बन्ध (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष तीन बार क्रमशः अवकलन करने पर:
h f^{\prime}(a+x h)= \Delta f(a)+\left(\frac{2 x-1}{2}\right) \cdot \Delta^{2} f(a)+\left(\frac{3 x^{2}-6 x+2}{6}\right) \Delta^{3} f(a)+\left(\frac{4 x^{3}-18 x^{2}+22 x-6}{24}\right) \cdot \Delta^{4} f(a)+\cdots(2) \\ h^{2} f^{\prime \prime}(a+x h)=\Delta^{2} f(a)+\left(\frac{6 x-6}{6}\right) \Delta^{3} f(a)+\left(\frac{12 x^{2}-36 x+22}{24}\right) \Delta^{4} f(a) \cdots(3)
तथा h^{3} f^{\prime \prime \prime}(a+x h)=\Delta^{3} f(a)+\left(\frac{24 x-36}{24}\right) \Delta^{4} f(a) \cdots(4)
चूँकि y=f(x) लिया गया है।अतः सम्बन्ध (2),(3) तथा (4) में a=1.5,h=0.5 तथा a+xh=50 \Rightarrow 50+x \times 1=50 \Rightarrow x=0 और सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:
(0.5) f^{\prime}(1.5) =3.625+\left(-\frac{1}{2}\right)(3)+\left(\frac{1}{3}\right)(0.75)-\frac{1}{4}(0) \\ \Rightarrow f^{\prime}(1.5) =\frac{3.625-1.5+0.25}{0.5} \\ \Rightarrow f^{\prime}(1.5) =4.75 \\ (0.5)^{2} f^{\prime \prime}(1.5)=3-0.75-\frac{22}{24}(0) \\ \Rightarrow f^{\prime \prime}(1.5)=\frac{2.25}{0.25} \Rightarrow f^{\prime \prime}(1.5)=9 \\ (0.5)^{3} f^{\prime \prime \prime}(1.5)=0.75-\frac{3}{2}(0) \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime}(1.5)=\frac{0.75}{0.125}=6
अतः f^{\prime}(1.5)=4.75, f^{\prime \prime}(1.5)=9, f^{\prime \prime \prime}(1.5)=6
Example:2.y=x^{\frac{1}{3}} का मान x=50 पर \frac{d y}{d x} तथा \frac{d^{2} y}{d x^{2}} के मान निम्न सारणी से ज्ञात कीजिए:
(Find \frac{d y}{d x} and \frac{d^{2} y}{d x^{2}} of y=x^{\frac{1}{3}} at x=50 from the following table):
| x | y |
| 50 | 3.6840 |
| 51 | 3.7084 |
| 52 | 3.7325 |
| 53 | 3.7563 |
| 54 | 3.7798 |
| 55 | 3.8030 |
| 56 | 3.8259 |
Solution:प्रश्न के आंकड़ों के अनुसार चर समदूरस्थ (अर्थात् h=1,a=50) है तथा x=50 पर फलन का मान ज्ञात करना है।यहाँ x=50 सारणी के चर मानों के प्रारम्भ में है।अतः इस प्रश्न को हल करने के लिए न्यूटन-ग्रेगरी अग्र सूत्र (Newton Gregory Forward Difference Formula) का प्रयोग वांछित होगा:
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table):
| x | y=f(x) | Δy | Δ^{2}y | Δ^{3}y |
| 50 | 3.6840 | 0.0244 | ||
| -0.0003 | ||||
| 51 | 3.7084 | 0.0241 | 0 | |
| -0.0003 | ||||
| 52 | 3.7325 | 0.0238 | 0 | |
| -0.0003 | ||||
| 53 | 3.7563 | 0.0235 | 0 | |
| -0.0003 | ||||
| 54 | 3.7798 | 0.0232 | 0 | |
| -0.0003 | ||||
| 55 | 3.8030 | 0.0229 | ||
| 56 | 3.8259 |
न्यूटन-ग्रेगरी अग्र सूत्र (Newton Gregory Forward Difference Formula) है:
f(a+x h)=f(a)+{}^{x} C_{1} \Delta f(a)+{}^{x} C_{2} \Delta^{2} f(a)+{}^{x} C_{3} \Delta^{3} f(a)+\cdots \cdots \\ \Rightarrow f(a+x h)=f(a)+x \Delta f(a)+\left(\frac{x^{2}-x}{2}\right) \Delta^{2} f(a)+\left(\frac{x^{3}-3 x^{2}+2 x}{6}\right) \Delta^{3} f(a)+\cdots(1)
सम्बन्ध (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष दो बार क्रमशः अवकलन करने पर:
h f^{\prime}(a+x h)=\Delta f(a)+\left(\frac{2 x-1}{2}\right) \Delta^{2} f(a)+\left(\frac{3 x^{2}-3 x+2}{6}\right) \Delta^{3} f(a) \cdots(2) \\ h^{2} f^{\prime \prime}(a+x h)=\Delta^{2} f(a)+\left(\frac{6 x-3}{6}\right) \Delta^{3} f(a) \cdots(3)
चूँकि y=f(x) लिया गया है।अतः सम्बन्ध (2),(3) तथा (4) में a=50,h=1 तथा a+xh=50 \Rightarrow 50+x \times 1=50 \Rightarrow x=0 और सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:
(1) f^{\prime}(50)=0.0244-\frac{1}{2}(-0.0003)+\frac{1}{3} \times 0 \\ \Rightarrow f^{\prime}(50)=0.02455 \\ (1)^{2} f^{\prime \prime}(50)=(-0.0003)-\frac{1}{2} \times 0 \\ \Rightarrow f^{\prime \prime}(50)=-0.0003
अतः f^{\prime}(50)=0.02455, f^{\prime \prime}(50)=-0.0003 \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=50}=0.02455 ,\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)_{x=50}=-0.0003
Example:3.निम्न सारणी द्वारा f(x) का x=0.4 ज्ञात कीजिए:
(Find the first derivative of f(x) at x=0.4 from the following table):
| x | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 |
| f(x) | 1.10517 | 1.22140 | 1.34986 | 1.49182 |
Solution:प्रश्न के आंकड़ों के अनुसार चर समदूरस्थ (अर्थात् h=0.1,a=1.1) हैं तथा x=0.4 पर फलन का मान ज्ञात करना है।यहाँ x=0.4 सारणी के चर मानों के अन्त में है।अतः इस प्रश्न को हल करने के लिए न्यूटन-ग्रेगरी पश्च सूत्र (Newton Gregory Backward Difference Formula) का प्रयोग वांछित होगा:
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table):
| x | y=f(x) | Δy | Δ^{2}y | Δ^{3}y |
| 0.1 | 1.10517 | |||
| 0.11623 | ||||
| 0.2 | 1.22140 | 0.01223 | ||
| 0.12846 | 0.00127 | |||
| 0.3 | 1.34986 | 0.0135 | ||
| 0.14196 | ||||
| 0.4 | 1.49182 |
न्यूटन-ग्रेगरी पश्च सूत्र (Newton Gregory Backward Difference Formula) है:
f(a+nh+x h)=f(a+n h)+x \nabla f(a+n h)+\frac{x^{2}+x}{2 !} \nabla^{2} f(a+n h) +\frac{x^{3}+3 x^{2}+2 x}{3 !} \nabla^{3} f(a+n h)+\cdots(1)
जहाँ f(a+xh) अन्तिम पद तथा h अन्तर है।
h f^{\prime}(a+n h+x h)=\nabla f(a+n h)+\frac{2 x+1}{2} \nabla^{2} f(a+n h)+\frac{3 x^{2}+6 x+2}{6} \nabla^{3} f(a+nh)+\cdots(2)
सम्बन्ध (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष एक बार अवकलन करने पर:
अब (2) में a+nh=0.4,h=0.1,a=0.1,0.1+n(0.1)=0.4 \Rightarrow n=3,x=0 तथा सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:
(0.1) f^{\prime}(0.4)=0.14196+\frac{1}{2}(0.0135)+\frac{1}{3}(0.00127) \\ \Rightarrow f^{\prime}(0.4)= \frac{0.14196+0.00675+0.0004233}{0.1} \\ \Rightarrow f^{\prime}(0.4)=1.491333
Example:4.न्यूटन-ग्रेगरी पश्च अन्तर्वेशन सूत्र से \left ( \frac{dy}{dx} \right )_{x=x_{0}} के मान की गणना करने हेतु सूत्र स्थापित कीजिए।निम्न सारणी से x=6 पर \frac{d y}{d x} तथा \frac{d^{2} y}{d x^{2}} का मान ज्ञात कीजिए:
(Establish the formula for computing the value of \left ( \frac{dy}{dx} \right )_{x=x_{0}} from Newton-Gregory backward interpolation formula.Find \frac{d y}{d x} and \frac{d^{2} y}{d x^{2}} at x=6 from the following table):
| x | f(x) |
| 0 | 6.9897 |
| 1 | 7.4086 |
| 2 | 7.7815 |
| 3 | 8.1291 |
| 4 | 8.4510 |
| 5 | 8.7506 |
| 6 | 9.0309 |
Solution:प्रश्न के आंकड़ों के अनुसार चर समदूरस्थ (अर्थात् h=1a=0) है तथा x=6 पर फलन का मान ज्ञात करना है।यहाँ x=6 सारणी के चर मानों के अन्त में है।अतः इस प्रश्न को हल करने के लिए न्यूटन-ग्रेगरी पश्च सूत्र (Newton Gregory Backward Difference Formula) का प्रयोग वांछित होगा:
परिमित अन्तर सारणी (Finite Difference Table):
| x | y=f(x) | Δy | Δ^{2}y | Δ^{3}y | Δ^{4}y | Δ^{5}y | Δ^{6}y |
| 0 | 6.9897 | ||||||
| 0.4139 | |||||||
| 1 | 7.4036 | -0.036 | |||||
| 0.3779 | 0.0057 | ||||||
| 2 | 7.7815 | -0.0303 | -0.0011 | ||||
| 0.3476 | 0.0046 | -0.0001 | |||||
| 3 | 8.1291 | -0.0257 | -0.0012 | 0.0009 | |||
| 0.3219 | 0.0034 | 0.0008 | |||||
| 4 | 8.4510 | -0.0223 | -0.0004 | ||||
| 0.2996 | 0.003 | ||||||
| 5 | 8.7506 | -0.0193 | |||||
| 0.2803 | |||||||
| 6 | 9.0309 |
न्यूटन-ग्रेगरी पश्च सूत्र (Newton Gregory Backward Difference Formula) है:
f(a+n h+x h)=f(a+n h)+x \nabla f(a+n h)+\frac{x^{2}+x}{2 !} \nabla^{2} f(a+n h)+ \frac{x^{3}+3 x^{2}+2 x}{3 !} \nabla^{3} f(a+n h)+\frac{x^{4}+6 x^{3}+11 x^{2}+6 x}{4!} \nabla^{4} f(a+n h)+ \frac{x^{5}+10 x^{4}+35 x^{3}+50 x^{2}+24 x}{5 !} \nabla^{5} f(a+n h) + \frac{x^{6}+16 x^{5}+85 x^{4}+225 x^{3}+274 x^{2}+120x}{6!} \nabla^{6} f(a+n h)+\cdots \cdots(1)
जहाँ f(a+nh) अन्तिम पद तथा h अन्तर है।
सम्बन्ध (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
h f^{\prime}(a+n h+x h)=\nabla f(a+n h)+\frac{2 x+1}{2} \nabla^{2} f(a+n h)+\frac{3 x^{2}+6 x+2}{6} \nabla^{3} f(a+n h)+\frac{4 x^{3}+18 x^{2}+22 x+6}{24} \nabla^{4} f(a+n h)+\frac{5 x^{4}+40 x^{3}+105 x^{2}+100x+24}{120} \nabla^{5} f(a+n h)+\frac{6 x^{5}+80 x^{4}+340 x^{3}+375 x^{2}+548 x+120}{720} \nabla^{6}f(a+n h)+\cdots(2)
x=x_{0} पर a+n h=x_{1}, a+n h+x h=x_{0} \Rightarrow x=\frac{x_{0}-x_{1}}{h} \\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=x_{0}}=\nabla f(x_{1})+\frac{2\left(x_{0}-x_{1}\right)+h}{2 h} \nabla^{2}f\left(x_{1}\right) +\frac{\frac{3 \left(x_{0}-x_{1}\right)^{2}}{h^{2}}+\frac{6\left(x_{0}-x_{1}\right)}{h}+2}{6} \nabla^{3} f\left(x_{1}\right)+\cdots
पुनः (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
h^{2} f^{\prime \prime}(a+n h+x h)=\nabla^{2} f(a+n h)+\frac{6x+6}{6} \nabla^{3} f(a+n h)+\frac{12 x^{2}+36 x+22}{24} \nabla^{4} f(a+n h)+\frac{20 x^{3}+120 x^{2}+210x+100}{120} \nabla^{5} f(a+n h)+\frac{30 x^{4}+320 x^{3}+1020 x^{2}+750 x+548 }{720}\nabla^{6} f(a+n h)+\cdots
अतः सम्बन्ध (2),(3) a+nh=6,h=1,a=0 ,a+n h=6 \Rightarrow 0+n(1)=6 \Rightarrow n=6,x=0 ….(3) तथा सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:
f^{\prime}(6)=0.2803+\frac{1}{2}(-0.0193)+\frac{1}{3}(0.003) +\frac{1}{4}(-0.0004)+\frac{1}{5}(0.0008) +\frac{1}{6}(0.0009) \\ \Rightarrow \left ( \frac{dy}{dx} \right )_{x=6}=0.27186\\ f^{\prime \prime}(6)=-0.0193+0.003+\frac{11}{22}(-0.0004)+\frac{5}{6}(0.0018)+\frac{548}{720}(0.0009)=-0.01514833 \\ \Rightarrow \left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)_{x=6} \approx-0.015148,\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=6}=0.27186
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा संख्यात्मक अवकलन (Numerical Differentiation),इंटरपोलेशन का उपयोग करके संख्यात्मक अवकलन (Numerical differentiation using interpolation) को समझ सकते हैं।
3.संख्यात्मक अवकलन के सवाल (Numerical Differentiation Questions):
(1.) x के विशेष मानों के लिए एक आनुभविक फलन f(x) के मान दिए हुए हैं।f'(93) ज्ञात कीजिए:
(Give the values of an emperical function f(x) for certain values of x,find f'(93)):
| x | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 |
| f(x) | 28.2 | 38.2 | 43.2 | 40.9 | 37.7 |
(2.)निम्न आंकड़ों से f'(7.5) ज्ञात कीजिए।
(Find f'(7.5) from the following data):
| x | f(x) |
| 7.47 | 0.193 |
| 7.48 | 0.195 |
| 7.49 | 0.198 |
| 7.50 | 0.201 |
| 7.51 | 0.203 |
| 7.52 | 0.206 |
| 7.53 | 0.208 |
उत्तर (Answers):(1)\left[f^{\prime}(x)\right]_{93}=-0.036271 (2) \frac{d y}{d x}=0.22249
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर संख्यात्मक अवकलन (Numerical Differentiation),इंटरपोलेशन का उपयोग करके संख्यात्मक अवकलन (Numerical differentiation using interpolation) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also Read This Article:-Central Difference Interpolation
4.संख्यात्मक अवकलन (Numerical Differentiation),इंटरपोलेशन का उपयोग करके संख्यात्मक अवकलन (Numerical differentiation using interpolation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.न्यूटन-ग्रेगरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र संख्यात्मक अवकलज ज्ञात करने हेतु कब प्रयोग करते हैं? (When do Newton-Gregory forward interpolation formulas be used to determine numerical derivatives?):
उत्तर:(1.)यदि चर के मानों का अन्तराल समान हो तो फलन को न्यूटन-ग्रेगरी सूत्र द्वारा बहुपद में व्यक्त करने के पश्चात् अभीष्ट संख्यात्मक अवकलज ज्ञात करते हैं।
(2.)यदि किसी सारणी में प्रारम्भ या अन्तिम चर के समीप चर के संगत फलन का संख्यात्मक अवकलन ज्ञात करना है तो न्यूटन-ग्रेगरी अग्र (पश्च) सूत्र द्वारा बहुपद में व्यक्त करने के पश्चात् अभीष्ट संख्यात्मक अवकलज ज्ञात करते हैं।
प्रश्न:2.केन्द्रीय अन्तर्वेशन सूत्र संख्यात्मक अवकलज ज्ञात करने हेतु कब प्रयोग करते हैं? (When do central interpolation formulas be used to determine numerical derivatives?):
उत्तर:यदि किसी सारणी के मध्य चर के समीप चर के संगत फलन का संख्यात्मक अवकलन ज्ञात करना हो तो किसी एक केन्द्रीय अन्तर्वेशन सूत्र द्वारा बहुपद में व्यक्त करने के पश्चात् अभीष्ट संख्यात्मक अवकलज ज्ञात करते हैं।
प्रश्न:3.न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र या लग्रांज सूत्र संख्यात्मक अवकलज ज्ञात करने हेतु कब प्रयोग करते हैं? (When does Newton divided or lagrange interpolation formula use to determine the numerical derivatives?):
उत्तर:यदि स्वतन्त्र चर के मान असमान अन्तराल पर हों तो फलन का न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र या लग्रांज सूत्र द्वारा बहुपद में व्यक्त कर अवकलन कर अभीष्ट संख्यात्मक अवकलज ज्ञात करते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा संख्यात्मक अवकलन (Numerical Differentiation),इंटरपोलेशन का उपयोग करके संख्यात्मक अवकलन (Numerical differentiation using interpolation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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संख्यात्मक अवकलन (Numerical Differentiation)
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संख्यात्मक अवकलन (Numerical Differentiation) एक ऐसा प्रक्रम है जिसमें स्वतन्त्र चर के
किसी विशेष मान पर किसी फलन के अवकलज का संख्यात्मक मान ज्ञात करते हैं जबकि स्वतन्त्र
चर के विभिन्न मानों के संगत फलन का समुच्चय ज्ञात हो।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
