1.ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal),ट्रेपिजोइडल नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal Rule):

Numerical Integration by Trapezoidal

कभी-कभी ऐसे समाकल होते हैं जिनका समाकल करना आसान नहीं होता है।ऐसी स्थिति में समाकलन करने के लिए ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal) विधि का प्रयोग किया जाता है।जिसमें समाकल्य (integrand) के संख्यात्मक मानों के दिए समुच्चय से अन्तर्वेशन सूत्रों की सहायता से फलन के बहुपद का सन्निकटन ज्ञात कर इसकी दी हुई सीमाओं के मध्य समाकलन करते हैं।
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2.ट्रेपिजोइडल (समलम्बीय) नियम (Trapezoidal Rule):

प्राकथन (Statement):\int_{x_{0}}^{x_{0}+n h} y_{d x}=h\left[\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{n}\right)+ \left(y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots+y_{n-1}\right)\right]
प्रमाण (Proof):क्षेत्रकलन सूत्र (Quadrature Formulae) में n=1 प्रतिस्थापित कर द्वितीय तथा उच्च क्रम के अन्तरों की उपेक्षा करने पर:

इसी प्रकार \int_{x_{0}+h}^{x_{0}+2h} y d x=\frac{h}{2}\left[y_{1}+y_{2}\right] \cdots(2) \\ \int_{x_{0}+(n-1) h}^{x_{0}+n h} y d x \approx \frac{h}{2}\left[y_{n-1}+y_{n}\right] \cdots(3)
उक्त सभी n समाकलनों (1) से (3) तक का योग करने पर:

\int_{x_{0}+(n-1) h}^{x_{0}+n h} y d x=h\left[\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{n}\right) +\left(y_{1}+y_{2}+ y_{3}+\cdots y_{n-1}\right)\right] \cdots(4)
यदि x_{0}+h=x_{1}, x_{0}+2 h=x_{2} \ldots ,x_{0}+n h=x_{0}
माने तो (4) का अन्य रूप होगा:
या \int_{a}^{b} y d x \approx h  [(प्रथम तथा अन्तिम कोटि का माध्य)+(सभी कोटियों का योग)]
जहाँ h=अन्तराल की चौड़ाई।
यह ट्रेपिजोइडल नियम (Trapezoidal Rule) के नाम से जाना जाता है।

3.ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन पर आधारित उदाहरण (Examles Based on Numerical Integration by Trapezoidal):

Example:1.ट्रेपिजोइडल नियम द्वारा निम्न का मान ज्ञात करो।
Using Trapezoidal rule calculate the value of

\int_{0.2}^{1.4} e^{x} d x
जबकि h=0.1 इस मान की यथार्थ मान से तुलना कीजिए।
(Given h=0.1 compare it with the exact value.)
Solution:समाकलन के परास [0.2,1.4] का समान भागों में विभाजित करने पर h=0.1
विभाजन के प्रत्येक बिन्दु पर फलन के 13 मानों के लिए निम्न सारणी प्राप्त होती है:

ट्रेपिजोइडल नियम (Trapezoidal Rule) का उपयोग करने पर:

वास्तविक मान

\int_{0.2}^{1 \cdot 4} e^{x} d x\\ =\left[e^{x}\right]_{0.2}^{1.4}\\ =e^{1.4}-e^{0.2}\\ =4.055200-1.221403\\ =2.833797
अतः ट्रेपिजोइडल नियम (Trapezoidal Rule) में त्रुटि= 2.83615845-2.833797
=0.00236145
Example:2. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x का सन्निकटन मान ट्रेपिजोइडल (समलम्बी) नियम द्वारा अभिकलन कीजिए।
(Calculate an appropriate value of \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x by Trapezoidal rule):
Solution:समाकलन के परास का समान भागों में विभाजित करने पर:

\frac{\frac{\pi}{2}-0}{6}=\frac{\pi}{12}=h
विभाजन के प्रत्येक बिन्दु पर फलन के सात मानों के लिए निम्न सारणी प्राप्त होती है:

ट्रेपिजोइडल नियम (Trapezoidal Rule) का उपयोग करने पर:

I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x \\ =\frac{h}{2}\left[\left(y_{0}+y_{6}\right)+2\left(y_{1}+y_{2} +y_{3}+y_{4}+y_{5}\right)\right] \\ =\frac{\pi}{24}[(0+1)+2(0.2588+0.5+0.7071+0.8660+0.9659]) \\ =\frac{\pi}{24}[1+2 \times 3.2978] \\ =\frac{\pi}{24}[1+6.5956] \\=\frac{\pi}{24} \times 7.5956 \\ =\frac{22}{7} \times \frac{1}{24} \times 7.5956 \\ I =0.9947
वास्तविक मान=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x \\ =[-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ =-\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 \\ =1
अतः ट्रेपिजोइडल नियम (Trapezoidal Rule) में त्रुटि=0.9947-1
=-0.0053

Numerical Integration by Trapezoidal

Example:3. y_{x} के मान निम्न सारणी से दिए गए हैं:
(The following values of y_{x} are given):

समलम्बी नियम द्वारा निम्न समाकल का मान ज्ञात कीजिए।
(Using Trapezoidal rule find the value of): \int^{6}_{0} y_{x} dx
Solution:प्रश्नानुसार स्पष्ट है कि परास [0,6] को छ: समान भागों में विभाजित किया गया है तथा h=1 है।
ट्रेपिजोइडल नियम (Trapezoidal Rule) का उपयोग करने पर:

I=\int^{6}_{0} y_{x} dx=\frac{h}{2} \left[\left(y_{0}+y_{6}\right)+2\left(y_{1} +y_{2}+y_{3}+y_{4} +y_{5} \right)\right] \\ =\frac{1}{2}\left[(0.146+0.230)+2(0.161+0.176+0.190+0.204+ 0.217+0.230)\right] \\ =\frac{1}{2}[0.376+2 \times 1.178] \\ =\frac{1}{2} \times[0.376+2.356] \\ =\frac{1}{2} \times 2.732 \\ \Rightarrow I =1.366
Example:4.ट्रेपिजोइडल नियम से \int_{0}^{4} \sqrt{\left(64-x^{3}\right)}dx का मान 9 कोटियों में विभाजित करते हुए गणना कीजिए।
(Calculate \int_{0}^{4} \sqrt{\left(64-x^{3}\right)}dx by Trapezoidal rule using nine ordinates):
Solution:समाकलन का 8 समान भागों में विभाजित करने पर: h=\frac{4-0}{8}=0.5
विभाजन के 9 मानों के लिए निम्न सारणी प्राप्त होती है:

ट्रेपिजोइडल नियम (Trapezoidal Rule) का उपयोग करने पर:

I=\int_{0}^{4} \sqrt{\left(64-x^{3}\right)}dx=\frac{h}{2}\left[\left(y_{0}+y_{8}\right)+2\left(y_{1} +y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7}\right)\right] \\ =\frac{0.5}{2}[(8.000+0.0000)+2(7.9922+ 7.9373+ 7.7862+7.4833+6.9552+6.0828+4.5962)] \\ =\frac{0.5}{2}[8+2 \times 48.8332] \\=\frac{0.5}{2} \times[8+97 .6664] \\ =\frac{0.5}{2} \times 105.6664 \Rightarrow I=26.4166
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal),ट्रेपिजोइडल नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal Rule) को समझ सकते हैं।

4.ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन पर आधारित सवाल (Questions Based on Numerical Integration by Trapezoidal):

Numerical Integration by Trapezoidal

(1.)ट्रेपिजोइडल (समलम्बीय) नियम द्वारा निम्न समाकल का मान निकालने के लिए परिकलन कीजिए:
(Compute the value of the following integral by Trapezoidal rule):

\int_{0.2}^{1.4} \left(\sin x-\log _{e} x+e^{x}\right) d x
(2.)ट्रेपिजोइडल नियम से \int_{1}^{2} \log x d x  का मान ज्ञात करो।
(Evaluate \int_{1}^{2} \log x dx  by Trapezoidal Rule)
उत्तर (Answers):(1.)4.07152 (2.)0.16704
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal),ट्रेपिजोइडल नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal Rule) को ठीक से समझ सकते हैं।

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5.ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal),ट्रेपिजोइडल नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal Rule) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कभी-कभी ऐसे समाकल होते हैं जिनका समाकल करना आसान नहीं होता है।ऐसी स्थिति में
समाकलन करने के लिए ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration
by Trapezoidal) विधि का प्रयोग किया जाता है