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Numerical Integration by Trapezoidal

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1 1.ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal),ट्रेपिजोइडल नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal Rule):

1.ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal),ट्रेपिजोइडल नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal Rule):

कभी-कभी ऐसे समाकल होते हैं जिनका समाकल करना आसान नहीं होता है।ऐसी स्थिति में समाकलन करने के लिए ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal) विधि का प्रयोग किया जाता है।जिसमें समाकल्य (integrand) के संख्यात्मक मानों के दिए समुच्चय से अन्तर्वेशन सूत्रों की सहायता से फलन के बहुपद का सन्निकटन ज्ञात कर इसकी दी हुई सीमाओं के मध्य समाकलन करते हैं।
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2.ट्रेपिजोइडल (समलम्बीय) नियम (Trapezoidal Rule):

प्राकथन (Statement):\int_{x_{0}}^{x_{0}+n h} y_{d x}=h\left[\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{n}\right)+ \left(y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots+y_{n-1}\right)\right]
प्रमाण (Proof):क्षेत्रकलन सूत्र (Quadrature Formulae) में n=1 प्रतिस्थापित कर द्वितीय तथा उच्च क्रम के अन्तरों की उपेक्षा करने पर:

\int_{x_{0}}^{x_{0}+h} y d x=h\left[y_{0}+\frac{1}{2} \Delta y_{0}\right]=h\left[y_{0}+\frac{1}{2}\left(y_{1}-y_{0}\right)\right]\\ \approx \frac{h}{2}\left[y_{0}+y_{1}\right] \cdots(1)

इसी प्रकार \int_{x_{0}+h}^{x_{0}+2h} y d x=\frac{h}{2}\left[y_{1}+y_{2}\right] \cdots(2) \\ \int_{x_{0}+(n-1) h}^{x_{0}+n h} y d x \approx \frac{h}{2}\left[y_{n-1}+y_{n}\right] \cdots(3)
उक्त सभी n समाकलनों (1) से (3) तक का योग करने पर:

\int_{x_{0}+(n-1) h}^{x_{0}+n h} y d x=h\left[\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{n}\right) +\left(y_{1}+y_{2}+ y_{3}+\cdots y_{n-1}\right)\right] \cdots(4)
यदि x_{0}+h=x_{1}, x_{0}+2 h=x_{2} \ldots ,x_{0}+n h=x_{0}
माने तो (4) का अन्य रूप होगा:
या \int_{a}^{b} y d x \approx h  [(प्रथम तथा अन्तिम कोटि का माध्य)+(सभी कोटियों का योग)]
जहाँ h=अन्तराल की चौड़ाई।
यह ट्रेपिजोइडल नियम (Trapezoidal Rule) के नाम से जाना जाता है।

3.ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन पर आधारित उदाहरण (Examles Based on Numerical Integration by Trapezoidal):

Example:1.ट्रेपिजोइडल नियम द्वारा निम्न का मान ज्ञात करो।
Using Trapezoidal rule calculate the value of

\int_{0.2}^{1.4} e^{x} d x
जबकि h=0.1 इस मान की यथार्थ मान से तुलना कीजिए।
(Given h=0.1 compare it with the exact value.)
Solution:समाकलन के परास [0.2,1.4] का समान भागों में विभाजित करने पर h=0.1
विभाजन के प्रत्येक बिन्दु पर फलन के 13 मानों के लिए निम्न सारणी प्राप्त होती है:

xy=e^{x}
0.2y_{0}=1.221403
0.3y_{1}=1.349859
0.4y_{2}=1.491825
0.5y_{3}=1.648721
0.6y_{4}=1.822119
0.7y_{5}=2.013753
0.8y_{6}=2.225541
0.9y_{7}=2.459603
1.0y_{8}=2.7182822
1.1y_{9}=3.004166
1.2y_{10}=3.320117
1.3y_{11}=3.669297
1.4y_{12}=4.055200

ट्रेपिजोइडल नियम (Trapezoidal Rule) का उपयोग करने पर:

I=\int_{0.2}^{1.4} e^{x} d x \\ =\frac{h}{2}\left[\left(y_{0}+y_{12}\right)  +2\left(y_{1}+y_{2}+y_{3} +y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7}+y_{8}+y_{9}+y_{10}+y_{11}\right)\right] \\ I =\frac{0.1}{2}[(1.221403+4.055200)+ 2(1.349859+1.491825+1.648721+1.822119+ 2.013753+2.225541+2.459603+2.718282 +3.004166+ 3.320117 +3.669297)] \\ =0.05[5.276603+2 \times 25.723283] \\=0.05[5.276603+51.446566] \\ =0.05 \times 56.723169 \\ \Rightarrow I=2.83615845

वास्तविक मान

\int_{0.2}^{1 \cdot 4} e^{x} d x\\ =\left[e^{x}\right]_{0.2}^{1.4}\\ =e^{1.4}-e^{0.2}\\ =4.055200-1.221403\\ =2.833797
अतः ट्रेपिजोइडल नियम (Trapezoidal Rule) में त्रुटि= 2.83615845-2.833797
=0.00236145
Example:2. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x का सन्निकटन मान ट्रेपिजोइडल (समलम्बी) नियम द्वारा अभिकलन कीजिए।
(Calculate an appropriate value of \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x by Trapezoidal rule):
Solution:समाकलन के परास का समान भागों में विभाजित करने पर:

\frac{\frac{\pi}{2}-0}{6}=\frac{\pi}{12}=h
विभाजन के प्रत्येक बिन्दु पर फलन के सात मानों के लिए निम्न सारणी प्राप्त होती है:

xy=sin x
0y_{0}=0
\frac{\pi}{12}y_{1}=0.2588
\frac{\pi}{6}y_{2}=0.5
\frac{\pi}{4}y_{3}=0.7071
\frac{\pi}{3}y_{4}=0.8660
\frac{5 \pi}{12}y_{5}=0.9659
\frac{\pi}{2}y_{6}=1

ट्रेपिजोइडल नियम (Trapezoidal Rule) का उपयोग करने पर:

I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x \\ =\frac{h}{2}\left[\left(y_{0}+y_{6}\right)+2\left(y_{1}+y_{2} +y_{3}+y_{4}+y_{5}\right)\right] \\ =\frac{\pi}{24}[(0+1)+2(0.2588+0.5+0.7071+0.8660+0.9659]) \\ =\frac{\pi}{24}[1+2 \times 3.2978] \\ =\frac{\pi}{24}[1+6.5956] \\=\frac{\pi}{24} \times 7.5956 \\ =\frac{22}{7} \times \frac{1}{24} \times 7.5956 \\ I =0.9947
वास्तविक मान=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x \\ =[-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ =-\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 \\ =1
अतः ट्रेपिजोइडल नियम (Trapezoidal Rule) में त्रुटि=0.9947-1
=-0.0053

Example:3. y_{x} के मान निम्न सारणी से दिए गए हैं:
(The following values of y_{x} are given):

xy_{x}
00.146
10.161
20.176
30.190
40.204
50.217
60.230

समलम्बी नियम द्वारा निम्न समाकल का मान ज्ञात कीजिए।
(Using Trapezoidal rule find the value of): \int^{6}_{0} y_{x} dx
Solution:प्रश्नानुसार स्पष्ट है कि परास [0,6] को छ: समान भागों में विभाजित किया गया है तथा h=1 है।
ट्रेपिजोइडल नियम (Trapezoidal Rule) का उपयोग करने पर:

I=\int^{6}_{0} y_{x} dx=\frac{h}{2} \left[\left(y_{0}+y_{6}\right)+2\left(y_{1} +y_{2}+y_{3}+y_{4} +y_{5} \right)\right] \\ =\frac{1}{2}\left[(0.146+0.230)+2(0.161+0.176+0.190+0.204+ 0.217+0.230)\right] \\ =\frac{1}{2}[0.376+2 \times 1.178] \\ =\frac{1}{2} \times[0.376+2.356] \\ =\frac{1}{2} \times 2.732 \\ \Rightarrow I =1.366
Example:4.ट्रेपिजोइडल नियम से \int_{0}^{4} \sqrt{\left(64-x^{3}\right)}dx का मान 9 कोटियों में विभाजित करते हुए गणना कीजिए।
(Calculate \int_{0}^{4} \sqrt{\left(64-x^{3}\right)}dx by Trapezoidal rule using nine ordinates):
Solution:समाकलन का 8 समान भागों में विभाजित करने पर: h=\frac{4-0}{8}=0.5
विभाजन के 9 मानों के लिए निम्न सारणी प्राप्त होती है:

xx^{3}64-x^{3}\sqrt{ 64-x^{3}}
0.00.00064.000y_{0}=8.000
0.50.12563.875y_{1}=7.9922
1.01.00063.000y_{2}=7.9373
1.53.37560.625y_{3}=7.7862
2.08.00056.000y_{4}=7.4833
2.515.62548.375y_{5}=6.9552
3.027.00037.000y_{6}=6.0828
3.542.87527.125y_{7}=4.5962
4.064.0000.000y_{8}=0.000

ट्रेपिजोइडल नियम (Trapezoidal Rule) का उपयोग करने पर:

I=\int_{0}^{4} \sqrt{\left(64-x^{3}\right)}dx=\frac{h}{2}\left[\left(y_{0}+y_{8}\right)+2\left(y_{1} +y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}+y_{7}\right)\right] \\ =\frac{0.5}{2}[(8.000+0.0000)+2(7.9922+ 7.9373+ 7.7862+7.4833+6.9552+6.0828+4.5962)] \\ =\frac{0.5}{2}[8+2 \times 48.8332] \\=\frac{0.5}{2} \times[8+97 .6664] \\ =\frac{0.5}{2} \times 105.6664 \Rightarrow I=26.4166
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal),ट्रेपिजोइडल नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal Rule) को समझ सकते हैं।

4.ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन पर आधारित सवाल (Questions Based on Numerical Integration by Trapezoidal):

(1.)ट्रेपिजोइडल (समलम्बीय) नियम द्वारा निम्न समाकल का मान निकालने के लिए परिकलन कीजिए:
(Compute the value of the following integral by Trapezoidal rule):

\int_{0.2}^{1.4} \left(\sin x-\log _{e} x+e^{x}\right) d x
(2.)ट्रेपिजोइडल नियम से \int_{1}^{2} \log x d x  का मान ज्ञात करो।
(Evaluate \int_{1}^{2} \log x dx  by Trapezoidal Rule)
उत्तर (Answers):(1.)4.07152 (2.)0.16704
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal),ट्रेपिजोइडल नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal Rule) को ठीक से समझ सकते हैं।

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5.ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal),ट्रेपिजोइडल नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal Rule) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.ट्रेपिजोइडल नियम की ज्यामितीय सार्थकता क्या है? (What is the Geometrical Significance of the Trapezoidal Rule?):

उत्तर:इस सूत्र की ज्यामितीय सार्थकता यह है कि वक्र y=f(x) को x का एक घातीय फलन रेखा y=A+Bx रूप में माना गया है।इस नियम के अन्तर्गत y=f(x) को (x_{0},y_{0}) तथा (x_{1},y_{1}) ; (x_{1},y_{1}) तथा (x_{2},y_{2});........ (x_{n-1},y_{n-1}) तथा (x_{n},y_{n}) को मिलाने वाली n सरल रेखाओं से प्रतिस्थापित करते हैं।वक्र y=f(x) x-अक्ष और x=x_{0} तथा x=x_{n} पर दो कोटियों से परिबद्ध क्षेत्रफल प्राप्त n-समलम्बों (ट्रेपिजियम) के क्षेत्रफलों के योग के सन्निकटन तुल्य है।

प्रश्न:2.संख्यात्मक क्षेत्रकलन समाकलन को परिभाषित करो। (Define the numerical quadrature integration):

उत्तर:संख्यात्मक क्षेत्रकलन (समाकलन) (numerical quadrature integration) वह विधि है जिसमें समाकल्य f(x) के संख्यात्मक मानों के दिये समुच्चय से निश्चित समाकल \int^{b}_{a} f(x)dx के मान सन्निकटन ज्ञात करते हैं।जब यह प्रक्रिया एक चर वाले फलन के समाकलन में प्रयुक्त की जाती है तो इसे क्षेत्रकलन (Quadrature) कहते हैं।

प्रश्न:3.संख्यात्मक समाकलन कैसे ज्ञात करते हैं? (How do we find numerical integration?):

उत्तर:समाकल्य (integrand) के संख्यात्मक मानों के दिये समुच्चय से अन्तर्वेशन सूत्रों की सहायता से फलन के बहुपद का सन्निकटन ज्ञात कर इसकी दी गई सीमाओं के मध्य समाकलन करते हैं।संख्यात्मक अवकलन की भाँति उचित अन्तर्वेशन सूत्र का प्रयोग कर फलन के बहुपद ज्ञात कर वांछित सीमाओं में समाकलन करते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal),ट्रेपिजोइडल नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Trapezoidal Rule) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Numerical Integration by Trapezoidal

ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन
(Numerical Integration by Trapezoidal)

Numerical Integration by Trapezoidal

कभी-कभी ऐसे समाकल होते हैं जिनका समाकल करना आसान नहीं होता है।ऐसी स्थिति में
समाकलन करने के लिए ट्रेपिजोइडल द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration
by Trapezoidal) विधि का प्रयोग किया जाता है

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