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Equation of Straight Line

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1 1.सरल रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line),दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line Passing Through Two Points):

1.सरल रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line),दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line Passing Through Two Points):

सरल रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line):एक सरल रेखा का झुकाव रूप समीकरण y = mx + c है, जहाँ m ढाल है और y = c वह मान है जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है।इस संख्या c को y-अक्ष पर अन्त:खण्ड कहा जाता है।
सरल रेखा (Straight Line):
सरल रेखा एक चर बिन्दु का बिन्दुपथ है जिस पर किन्हीं दो बिन्दुओं को सीधे मिलाने पर बिन्दुपथ के अन्य सभी बिन्दु भी इस पर स्थित हों।
सरल रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line):
एक ऐसा समीकरण “सरल रेखा” का समीकरण कहलाता है जो कि सरल रेखा पर स्थित प्रत्येक बिन्दु द्वारा सन्तुष्ट होता है और ऐसे बिन्दु जो सरल रेखा पर नहीं होते उन्हें सन्तुष्ट नहीं करता।
सरल रेखा के विभिन्न रूप:
(1.)सरल रेखा का व्यापक समीकरण (General Equation of Straight Line):
Ax+By+C=0
यहां प्रत्येक पद में x या y की उच्चतम घात एक एवं न्यूनतम घात शून्य है अर्थात् प्रथम पद एवं द्वितीय पद में क्रमशः x,y की एक घात है जबकि अचर तृतीय पद x,y रहित है जिसमें x,y की घात शून्य है।अतः उपर्युक्त समीकरण प्रथम घात का व्यापक समीकरण है।
(2.)सरल रेखा का झुकाव रूप या स्पर्शज्या रूप (Slop form or tangent form of a straight line):
y=mx+c
(3.)सरल रेखा का लम्ब रूप (Normal form of straight line):
मूलबिन्दु से रेखा पर डाले गए लम्ब की लम्बाई तथा लम्ब द्वारा x-अक्ष के साथ बना हुआ कोण दिया हुआ हो तो रेखा का समीकरण

x \cos \alpha +y \sin \alpha=p
(4.)रेखा का अन्त:खण्ड रूप (Intercept form of Straight line):
अक्षों पर क्रमशः a और b अन्त:खण्ड काटने वाली रेखा का समीकरण:

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
(5.)एक बिन्दु‌ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण (Straight Line Passing Through One Point):
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात करना जो दिए हुए बिन्दु \left(x_{1}, y_{1}\right) से गुजरती है:
x-अक्ष के साथ \theta कोण बनाती है।
y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right) जहां m=\tan \theta
(6.)दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण (Line Passing Through Two Points):
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात करना जो दिए हुए दो बिन्दुओं \left(x_{1}, y_{1}\right) तथा \left(x_{2}, y_{2}\right) से गुजरती है।

y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right)
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2.सरल रेखा का समीकरण के उदाहरण (Equation of Straight Line Examples),एक सरल रेखा के समीकरण प्रश्न और उत्तर (Equation of a Straight Line Questions and Answers):

Example:1.उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2,3) से गुजरती है तथा x-अक्ष से 45° का कोण बनाती है।
Solution: \left(x_{1}, y_{1}\right)=(2,3) \quad m=\tan 45^{\circ}=1
एक बिन्दु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right) \\ \Rightarrow y-3=1(x-2) \\ \Rightarrow y-3=x-2 \\ \Rightarrow x-y+1=0
Example:2.उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-3,2) से गुजरती है तथा अक्षों से बराबर तथा विपरीत चिन्हों वाले अन्त:खण्ड काटती है।
Solution:सरल रेखा का अन्त:खण्ड रूप

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
a=a तथा b=-a

\Rightarrow \frac{x}{a}-\frac{y}{a}=1 \\ \Rightarrow x-y=a \cdots(1)
यह बिन्दु (-3,2) से गुजरती है अतः
-3-2=a \\ \Rightarrow  a=-5
a का मान समीकरण (1) में रखने पर-
x-y=-5 \\ \Rightarrow  x-y+5=0
Example:3.यदि मूल बिन्दु से सरल रेखा 4x+3y+a=0 पर डाले गए लम्ब की लम्बाई 2 हो तो a का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:\left(x_{1}, y_{1}\right) से रेखा Ax+By+C=0 पर लम्ब की लम्बाई
p=\frac{A x_{1}+B y_{1}+c}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \\ \left(x_{1}, y_{1}\right)=(0,0),p=2,c=a,A=4,B=3 \\ \Rightarrow 2=\frac{4(0)+3(0)+a}{\sqrt{(4)^{2}+(3)^{2}}} \\ \Rightarrow 2=\frac{a}{\sqrt{16+9}} \\ \Rightarrow 2=\frac{a}{\sqrt{25}} \\ \Rightarrow 2=\frac{a}{5} \Rightarrow a=10
Example:4.यदि किसी रेखा का अक्षों के मध्य अन्त:खण्ड बिन्दु (5,2) पर समद्विभाजित होता है तो रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution: प्रश्नानुसार \left(\frac{a+0}{2}, \frac{b+0}{2}\right)=(5,2) \\ \Rightarrow \frac{a}{2}=5, \quad \frac{b}{2}=2 \\ \Rightarrow a=10, b=4
रेखा का अन्त:खण्ड रूप-

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{10}+\frac{y}{4}=1 \\ \Rightarrow  \frac{2 x+5 y}{20}=1 \\ \Rightarrow 2 x+5 y=20

Example:5.उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (0,1) से होकर जाती है तथा रेखा द्वारा x-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड y-अक्ष पर काटे गए अन्त:खण्ड का तिगुना हो।
Solution:x-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड=a
y-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड=b

a=3 b \Rightarrow b=\frac{a}{3}
रेखा का अन्त:खण्ड रूप

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{a / 3}=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{3 y}{a}=1 \\ \Rightarrow x+3 y=a \cdots(1)
यह रेखा (0,1) से होकर जाती है अतः
0+3(1)=a \\ \Rightarrow a=3
a का मान समीकरण (1) में रखने पर-
x+3y=3
Example:6.सरल रेखाएं y=2mx+c एवं 2x-y+5=0 परस्पर समान्तर एवं लम्बवत् हो तो m का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:y=2mx+c …….(1) तथा 
2x-y+5=0 \\ \Rightarrow y=2x+5 ……..(2)
रेखा (1) तथा (2) समान्तर हैं।अतः दोनो की प्रवणता समान होगी
2m=2
m=1
रेखा (1) की प्रवणता m_{1}=2m
रेखा (2) की प्रवणता m_{1}=2
लम्बवत् रेखाओं का प्रतिबन्ध

m_{1} m_{2} =-1 \\ \Rightarrow (2 m)(2)=-1 \\ \Rightarrow m=-\frac{1}{4}
Example:7.मूलबिन्दु से रेखा \frac{x}{2 a}+\frac{y}{2 b}=4 पर डाले गए लम्ब की लम्बाई p हो तो सिद्ध कीजिए \frac{64}{p^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}
Solution:रेखा का समीकरण

\frac{x}{2 a}+\frac{y}{2 b}=4 \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=4 \\ \Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=8 \\ \Rightarrow-\frac{x}{a}-\frac{y}{b}+8=0
मूलबिन्दु (0,0) से लम्ब

p=\frac{-\frac{0}{a}-\frac{0}{b}+8}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}}} \\ \Rightarrow p=\frac{8}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{b}{b^{2}}}} \\ \Rightarrow p^{2}=\frac{64}{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}} \\\Rightarrow \frac{64}{p^{2}} = \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}
Example:8.बिन्दुओं (4,3) और (2,\lambda ) से गुजरने वाली रेखा y=2x+3 पर लम्ब है तो \lambda का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: y=2x+3
रेखा की प्रवणता m_{1}=2
इस पर लम्ब रेखा की प्रवणता m=-\frac{1}{m_{1}} \\ m=-\frac{1}{2}
(4,3), (2,\lambda ) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता

\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=m \\ \Rightarrow \frac{\lambda-3}{2-4}=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{\lambda-3}{-2}=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \lambda-3=1 \\ \Rightarrow \lambda=4
Example:9.बिन्दु (2,3) से रेखा y=x+4 पर डाले गए लम्ब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Solution:माना लम्बपाद के निर्देशांक=\left(x_{1}, y_{1}\right)
यह बिन्दु y=x+4 पर स्थित है अतः

y_{1}=x_{1}+4 \\ \Rightarrow x_{1}-y_{1}+4=0 \cdots(1)
रेखा की प्रवणता m_{1}=1
लम्ब रेखा की प्रवणता m=-\frac{1}{m_{1}} \\ m=-1
लम्ब रेखा (2,3) , \left(x_{1}, y_{1}\right) से गुजरती है अतः
प्रवणता=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=m \\ \Rightarrow \frac{y_{1}-3}{x_{1}-2}=-1 \\ \Rightarrow y_{1}-3=-x_{1}+2 \\ \Rightarrow x_{1}+y_{1}-5=0 \ldots(2) \\ x_{1}-y_{1}+4=0 \ldots(1) \\.................\text{ जोड़ने पर } \\ 2 x_{1}-1=0 \Rightarrow x_{1}=\frac{1}{2}
x_{1} का मान समीकरण (1) में रखने पर-

\frac{1}{2}-y_{1}+4=0 \Rightarrow y_{1}=\frac{9}{2}
अतः लम्बपाद के निर्देशांक \left(x_{1}, y_{1}\right)=\left ( \frac{1}{2}, \frac{9}{2} \right )
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सरल रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line),दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line Passing Through Two Points) को समझ सकते हैं।

3.सरल रेखा का समीकरण की समस्याएं (Equation of Straight Line Problems):

(1.)सरल रेखा 3x-4y+7=0 पर लम्ब और बिन्दु (1,-2) में से गुजरने वाली रेखा का समीकरण होगा।
(2.) रेखाओं y=-2 तथा y=x+2 के मध्य का अधिक कोण है।
(3.)रेखा 3x-4y-4=0 द्वारा x-अक्ष तथा y-अक्ष पर काटे गए अन्तः खण्डों की लम्बाई है |
(4)बिन्दु (1,0) तथा \left ( -2,\sqrt{3} \right ) को मिलाने वाली रेखा x-अक्ष के साथ \theta कोण बनाती है तो \tan \theta का मान है।
(5.)रेखा के समीकरण 2x+\sqrt{3} y-4=0 को झुकाव रूप में बदलने पर झुकाव रूप में प्रयुक्त अचर राशि के मान हैं।
उत्तर (Answers):(1.)4x+3y+2=0
(2.)135°
(3.) \frac{4}{3} और -1

(4) \frac{-1}{\sqrt{3}}

(5) m=-\frac{2}{\sqrt{3}}, c=\frac{4}{\sqrt{3}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सरल रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line),दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line Passing Through Two Points) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सरल रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.आप दो बिंदुओं से एक सरल रेखा का समीकरण कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the equation of a straight line from two points?):

उत्तर:सरल रेखा की समीकरण ज्ञात करने के छः सूत्र उपर्युक्त आर्टिकल में बताए गए हैं।व्यापक समीकरण,झुकाव या ढाल रूप,अन्त:खण्ड रूप,लम्ब रूप,एक बिन्दु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण,दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण।
सवाल में जिस प्रकार के तथ्य दिए गए हों उसी के अनुसार उपर्युक्त छः सूत्रों में उसका प्रयोग करके सरल रेखा का समीकरण ज्ञात किया जा सकता है।
दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए पहले दो बिन्दुओं से प्रवणता ज्ञात करके रेखा का समीकरण ज्ञात किया जा सकता है।
वैसे निम्नलिखित सूत्र से सीधे ही दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात किया जा सकता है-
y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right)

प्रश्न:2.Y MX C किसे दर्शाता है? (What does Y MX C stand for?):

उत्तर:एक सरल रेखा का झुकाव रूप समीकरण y = mx + c है जहाँ m ढाल है और y = c वह मान है जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है।इस संख्या c को y-अक्ष पर अन्त:खण्ड कहा जाता है।

प्रश्न:3.दो बिंदुओं से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line Passing Through Two Points):

उत्तर:यदि दो बिन्दु क्रमशः (x_{1},y_{1}) तथा (x_{2},y_{2}) दिए हुए हों तो निम्नलिखित सूत्र से सरल रेखा का समीकरण ज्ञात किया जा सकता है-
y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right)

प्रश्न:4.सरल रेखा का समीकरण कक्षा 11(Equation of Straight Line Class 11):

उत्तर:कक्षा 11 में प्रारम्भिक निर्देशांक ज्यामिति का सिलेबस आता है।कक्षा‌ 11 और कक्षा 12 के अधिकांश चैप्टर जेईई-मेन परीक्षा में शामिल है।कक्षा 11 में सरल रेखा का समीकरण ज्ञात करने के साथ-साथ दो रेखाओं के मध्य कोण ज्ञात करना,दो रेखाओं के समान्तर होने का प्रतिबन्ध तथा दो रेखाओं के लम्बवत् होने का प्रतिबन्ध का भी अध्ययन करना होता है।
विभिन्न प्रामाणिक रूपों में रेखा का समीकरण में निम्नलिखित सरल रेखाओं के समीकरण शामिल हैं-
अक्षों पर क्रमशः a तथा b अन्त:खण्ड काटने वाली रेखा का समीकरण को रेखा का अन्त:खण्ड रूप कहते हैं।y अक्ष पर c लम्बाई के बराबर अन्त:खण्ड तथा x-अक्ष की धन दिशा से कोण दिया हुआ हो तो इस प्रकार की रेखा के समीकरण को झुकाव रूप या ढाल रूप या स्पर्शज्या रूप (Slope Form or Tangent Form) कहते हैं।मूलबिन्दु से डाले गए लम्ब की लम्बाई तथा लम्ब द्वारा x-अक्ष के साथ बना हुआ कोण दिया हुआ हो तो इस प्रकार के रेखा के समीकरण को लम्ब रूप (Normal Form) कहते हैं।यदि A,B,C तीन अचर राशि जो कि x,y रहित है तब x,y में एक घातीय समीकरण Ax+By+C=0 को व्यापक समीकरण कहते हैं।

प्रश्न:5.एक सरल रेखा का समीकरण एक स्तर (Equation of a Straight Line a Level):

उत्तर:एक सरल रेखा का झुकाव या ढ़ाल रूप समीकरण y = mx + c है, जहाँ m ढाल है और y = c वह मान है जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है।इस संख्या c को y-अक्ष पर अन्त:खण्ड कहा जाता है।y-अक्ष पर ढाल m और अंतःखंड c वाली एक सरल रेखा का समीकरण y = mx + c है।

प्रश्न:6.एक रेखा का समीकरण (Equation of a Line):

उत्तर:यदि हम रेखा का ढाल और रेखा पर एक बिंदु की स्थिति जानते हैं,तो हम समीकरण y = mx+c में ज्ञात मानों को सम्मिलित करके आसानी से रेखा के समीकरण का पता लगा सकते हैं।

प्रश्न:7.मूल बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line Passing Through Origin):

उत्तर:मूलबिन्दु से गुजरने वाली रेखा के y-अक्ष या x-अक्ष अन्त:खण्ड नहीं होता अर्थात् अचर पद का मान शून्य होता है।अतः मूलबिन्दु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण होगा-
y=mx
यदि हमें प्रवणता m का ज्ञात हो तो हम मूलबिन्दु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कर सकते हैं।प्रवणता m का अर्थ होता है कि कोई सरल रेखा x-अक्ष के साथ धन दिशा में जो कोण बनाती है उस कोण की स्पर्शज्या को उस सरल रेखा की प्रवणता या झुकाव (ढ़ाल) कहते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सरल रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line),दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line Passing Through Two Points) के बारे में बताया गया है।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सरल रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line),दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण (Equation of Straight Line Passing Through Two Points) के बारे में बताया गया है।

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