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Quadratic Equation

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1 1.द्विघात समीकरण (Quadratic Equation),द्विघात समीकरण करना (Quadratic Equations to Solve):

1.द्विघात समीकरण (Quadratic Equation),द्विघात समीकरण करना (Quadratic Equations to Solve):

द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) का हल गुणनखण्ड विधि,पूर्णवर्ग विधि तथा श्रीधराचार्य द्वारा दी गई व्यापक विधि से हल ज्ञात किया जाता है।इस आर्टिकल में विविक्तिकर के अपरिमेय संख्याएं अर्थात् सम्मिश्र संख्या होने की स्थिति में हल ज्ञात करने के बारे में बताया गया है।
यहां हम विभिन्न द्विघात समीकरण के हल प्राप्त करने की वैदिक विधि का अध्ययन करते हुए प्राप्त मूलों के मध्य सम्बन्ध तथा मूलों की सहायता से समीकरण के निर्माण विधि का अध्ययन करेंगे।(सम्मिश्र संख्याओं के विशेष परिपेक्ष में)
(1.)वैदिक विधि से द्विघात समीकरण का हल निकालने की क्रियाविधि (Methodology of Solving Quadratic Equation by Vedic Method):
(i) सर्वप्रथम द्विघात समीकरण a x^{2}+b x+c=0 का प्रथम अवकलज ज्ञात कर इसे कहें।
(ii)विविक्तिकर \pm \sqrt{b^{2}-4 a c} ज्ञात करें अर्थात् मध्यपद के वर्ग में से प्रथमपद तथा तृतीय पद के गुणा की चार गुणा घटाकर वर्गमूल निकालें
(iii)अब D_{1}=विविक्तिकर रखकर हल प्राप्त करें।
Example-x^{2}-5 x+6 के दो गुणनखण्डों (x-2) तथा (x-3) का योग 2x-5 इसका प्रथम अवकलज है।
अतः D_{1}=2x-5

\pm \sqrt{b^{2}-4 a c} =\pm \sqrt{(-5)^{2}-4 \times 1 \times 6} \\ =\pm \sqrt{25-24} \\ =\pm 1 \\ \Rightarrow D_{1}=\pm \sqrt{b^{2}-4 a c} \\ \Rightarrow 2 x-5 =\pm 1 \\ \Rightarrow 2 x-5=1, \quad 2 x-5=-1 \\ \Rightarrow x =3,2
अतः a x^{2}+b x+c=0  के हल का सूत्र होगा-

2 a x+b=\pm \sqrt{b^{2}-4 a c}
(2.)विशेष अवस्थाओं में द्विघात समीकरण (Solve for Quadratic Equation in Special Cases):
(i)यदि c=0 तो एक मूल शून्य होगा।
(ii)यदि b=0 तो मूल समान किन्तु विपरीत चिन्ह के होंगे।
(iii)यदि b=c=0 तो दोनों मूल समान होंगे।
(iv)यदि a=c हो तो मूल एक-दूसरे के व्युत्क्रम होंगे।
(v)यदि a=0 तो एक मूल अनन्त होगा।
(vi)यदि a=b=0 हो तो दोनों मूल अनन्त होंगे।
(3.)द्विघात समीकरण के मूलों तथा गुणांकों में सम्बन्ध (Relationship between roots and coefficients of Quadratic Equation):
यदि द्विघात समीकरण a x^{2}+b x+c=0 के मूल \alpha तथा \beta हैं तो
\alpha=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} तथा \beta=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4a c}}{2 a}
मूलों का योग \alpha+\beta=-\frac{b}{a} अर्थात्
मूलों का योग=-\frac{x \text{ का गुणांक }}{x^{2} \text{ का गुणांक }}
मूलों का गुणनफल (\alpha \beta)=\frac{c}{a} अर्थात्
मूलों का गुणनफल=\frac{ \text{ अचर पद }}{x^{2} \text{ का गुणांक }}
(4.)द्विघात समीकरण का निर्माण (Construction of Quadratic Equation):
(i)द्विघात समीकरण का निर्माण जब मूल दिए गए हों (Formation of Quadratic Equations with Given Roots):
माना \alpha तथा \beta दिए गए मूल हैं।क्योंकि समीकरण x=\alpha तथा x=\beta से सन्तुष्ट होते हैं।अतः \left(x-\alpha \right) तथा \left( x-\beta \right) समीकरण के गुणनखण्ड होने चाहिए। अतः द्विघात समीकरण \left(x-\alpha \right) \left( x-\beta \right)=0 होगा।
अर्थात् x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta=0
अर्थात् x^{2}- \left( \text{ मूलों का योग } \right)x+\text{ मूलों का गुणनफल }=0
(ii)जब मूल परस्पर एक दिए हुए समीकरण के मूलों से हों:
दिए हुए समीकरण से मूलों के योग एवं गुणा ज्ञात करें फिर आवश्यक समीकरण के मूलों के योग एवं गुणा प्राप्त कर उपर्युक्त विधि से समीकरण ज्ञात करें।
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2.द्विघात समीकरण के उदाहरण उत्तर सहित (Quadratic Equation Examples With Answers),समाधान के साथ द्विघात समीकरण (Quadratic Equations with Solutions),द्विघात समीकरण हल (Quadratic Equation Solution):

निम्न द्विघात समीकरणों के हल वैदिक विधि से ज्ञात कीजिए (Find the solution of the following Quadratic Equations with the Vedic method.):
Example-1.x^{2}+4 x+13=0
Solutionx^{2}+4 x+13=0 \\ D_{1}=2x+4
विविक्तिकर \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}=\pm \sqrt{(4)^{2}-4 \times 1 \times 13} \\ =\pm \sqrt{16-52} \\ \Rightarrow \sqrt{b^{2}-4 a c} =\pm \sqrt{-36} \\ =\pm 6 i
अतः हल D_{1}=\pm \sqrt{b^{2}-4 a c} \\ 2x+4=\pm 6 i \\ \Rightarrow 2 x+4=6 i, 2 x+4=-6 i \\ \Rightarrow x=-\frac{4+6 i}{2}, \frac{-4-6 i}{2} \\ \Rightarrow x=-2+3 i,-(2+3 i)
Example-2. 2 x^{2}+5 x+4=0
Solution-2 x^{2}+5 x+4=0 \\ D_{1}=4 x+5
विविक्तिकर \pm \sqrt{b^{2}-4a c} =\pm \sqrt{(5)^{2}-4 \times 2 \times 4} \\ =\pm \sqrt{25-32} \\ =\pm \sqrt{-7} \\ \pm \sqrt{b^{2}-4a c} =\pm \sqrt{7 i}
अतः हल D_{1}=\pm \sqrt{b^{2}-4 a c} \\ 4 x+5=\pm \sqrt{7 }i\\ \Rightarrow 4 x + 5=\sqrt{7} i, 4 x+5=-\sqrt{7} i\\ \Rightarrow x=\frac{-5+\sqrt{7} i}{4}, \frac{-(5+\sqrt{7} i)}{4}
Example-3.i x^{2}+4 x-\frac{15}{2}=0
Solutioni x^{2}+4 x-\frac{15}{2}=0 \\ D_{1}=2 i x+4
विविक्तिकर =\pm \sqrt{b^{2}-4 a c} \\ =\pm \sqrt{(4)^{2}-4(i)\left(-\frac{15}{2}\right)} \\ \Rightarrow \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}=\pm \sqrt{16+30 i}
\sqrt{16+30 i} का मान निकालना आवश्यक है
माना \sqrt{16+30 i}=u+i v \\ \Rightarrow 16+30 i=u^{2}-v^{2}+2 u v i
दोनों पक्षों की तुलना करने पर-

\Rightarrow u^{2}-v^{2} =16 \cdots(1) \quad , 2 u v=30 \\ \Rightarrow u^{2}+v^{2} =\sqrt{\left(u^{2}-v^{2}\right)^{2}+4 u^{2} v^{2}} \\ =\sqrt{(16)^{2}+(30)^{2}} \\ =\sqrt{256+900} \\ =\sqrt{1156} \\ u^{2}+v^{2}=34 \cdots(2) \\ u^{2}-v^{2}=16 \cdots(1) \\.............................\text{ जोड़ने पर }\\ \Rightarrow 2 u^{2}=50 \\ \Rightarrow u^{2}=25 \\ \Rightarrow u=\pm 5
समीकरण (2) में (1) घटाने पर-

2 v^{2}=18 \\ \Rightarrow v^{2}=9 \\ \Rightarrow v=\pm 3
अतः हल D_{1}=\pm \sqrt{b^{2}-4 a c}=\pm (u+i v) \\ \Rightarrow 2 i x+4=\pm(5+3 i) \\ \Rightarrow x=\frac{5+3 i-4}{2 i}, \frac{-5-3 i-4}{2 i} \\ \Rightarrow x=\frac{i(1+3 i)}{2 i^{2}}, \frac{i(-9-3 i)}{2 i^{2}} \\ =\frac{i-3}{-2}, \frac{-9 i+3}{-2} \\ \Rightarrow x=\frac{3-i}{2}, \frac{-3+9 i}{2}

द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल हैं
Example-4.5 तथा -2 हैं।
Solution-\alpha=5, \quad \beta=-2
मूलों का योग \alpha+\beta=5-2=3
मूलों का गुणा \alpha \beta=(5)(-2)=-10

अतः अभीष्ट समीकरण-

x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta=0 \\ \Rightarrow x^{2}-3 x-10=0
Example-5. 1+2i हैं।
Solution1+2i एक मूल है तो इसका दूसरा मूल संयुग्मी होगा अर्थात् 1-2i

\alpha=1+2 i, \quad \beta=1-2 i
मूलों का योग (\alpha+\beta) =1+2 i+1-2 i=2
मूलों का गुणनफल (\alpha \beta) =(1+2 i)(1-2 i) \\ =1-4 i^{2} \\ =1+4 \\ \Rightarrow \alpha \beta=5
अतः अभीष्ट समीकरण-

x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta=0 \\ \Rightarrow x^{2}-2 x+5=0
Example-6.यदि समीकरण x^{2}-p x+q=0 का एक मूल दूसरे का दुगुना है तो सिद्ध कीजिए कि 2 p^{2}=9 q
Solutionx^{2}-p x+q=0 \\ \Rightarrow x=\frac{\cdot p \pm \sqrt{p^{2}-4 q}}{2} \\ \alpha=\frac{p+\sqrt{p^{2}-4 q}}{2}, \beta=\frac{p-\sqrt{p^{2}-4q}}{2}
प्रश्नानुसार \alpha=2 \beta \\ \Rightarrow \frac{P+\sqrt{P^{2}-4 q}}{2}=\frac{2\left(P-\sqrt{p^{2}-4q}\right)}{2} \\ \Rightarrow \frac{P+\sqrt{p^{2}-4 q}}{2}=p-\sqrt{p^{2}-4 q} \\ \Rightarrow p+\sqrt{p^{2}-4 q}=2 p-2 \sqrt{p^{2}-4 q} \\ \Rightarrow 3 \sqrt{p^{2}-4 q}=p \\ \Rightarrow 9\left(p^{2}-4 q\right)=p^{2} \\ \Rightarrow 9 p^{2}-36 q=p^{2} \\ \Rightarrow 8 p^{2}=36 q \\ \Rightarrow 2 p^{2}=9 q
Example-7.वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए जिसमें समीकरण a x^{2}+b x+c=0 के मूल m:n के अनुपात में हैं।

Solutiona x^{2}+b x+c=0 \\ \alpha=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2}, \beta=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2} \\ \Rightarrow \alpha: \beta=m: n \\ \Rightarrow m: n:: \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2} : \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2} \\ \Rightarrow m\left(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2}\right)=n\left(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2}\right) \\ \Rightarrow-m b-m \sqrt{b^{2}-4 a c}=-n b+n \sqrt{b^{2}-4 a c} \\ \Rightarrow-m b+n b=m \sqrt{b^{2}-4 a c} +n \sqrt{b^{2}-4 a c}\\ \Rightarrow b(n-m)=(m+n) \sqrt{b^{2}-4 a c} \\ \Rightarrow b(n-m)=(m+n) \sqrt{b^{2}-4 a c} \\ \Rightarrow b^{2} n^{2}+b^{2} m^{2}-2 m n b^{2}=(m+n)^{2}\left(b^{2}-4 a c\right) \\ \Rightarrow b^{2} n^{2}+b^{2} m^{2}-2 m n b^{2}-(m+n)^{2} b^{2}=-4 a c(m+n)^{2} \\ \Rightarrow b^{2} n^{2}+b^{2} m^{2}-2 m n b^{2}-m^{2} b^{2}-n^{2} b^{2}-2 m n b^{2}=-4 a c(m+n)^{2} \\ \Rightarrow -4 m n b^{2}=-4 a c(m+n)^{2} \\ \Rightarrow m n b^{2}=a c(m+n)^{2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विघात समीकरण (Quadratic Equation),द्विघात समीकरण करना (Quadratic Equations to Solve) को समझ सकते हैं।

3.द्विघात समीकरण की समस्याएं (Quadratic equation Problems),द्विघात समीकरण प्रश्न (Quadratic equation questions):

(1.)वैदिक विधि से x^{2}+x+3=0 के हल ज्ञात कीजिए।
(2.)वैदिक विधि से 2 x^{2}-9 i x-9=0 के हल ज्ञात कीजिए।
(3.)x^{2}-2 x+(-2+4 i)=0 को हल कीजिए।
(4.)वह समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल समीकरण a x^{2}+b x+c=0 के मूलों के व्युत्क्रम हों।
उत्तर (Answers): (1)x=\frac{-1 \pm \sqrt{11} i}{2} \\ (2.) x=3 i, \frac{3 i}{2} \\ (3.) x=3-i,-1+i \\ (4) c x^{2}+b x+a=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विघात समीकरण (Quadratic Equation),द्विघात समीकरण करना (Quadratic Equations to Solve) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.मैं द्विघात समीकरणों को कैसे हल करूं? (How do I solve Quadratic Equations?)

उत्तर-द्विघात समीकरणों को हल करना
सभी पदों को समान चिह्न के एक तरफ रखें,दूसरी तरफ शून्य छोड़ दें।
गुणनखंड करें।
प्रत्येक गुणनखण्डों को शून्य के बराबर सेट करें।
इनमें से प्रत्येक समीकरण को हल करें।
अपने उत्तर को मूल समीकरण में डालकर जांचें।

प्रश्न:2.मूल द्विघात समीकरण क्या है? (What is the basic Quadratic Equation?)

उत्तर-द्विघात समीकरण एक एकल चर में एक बहुपद समीकरण है जहां चर का उच्चतम घातांक 2 है।
निम्नलिखित मूल द्विघात समीकरण है-
a x^{2}+b x+c=0

प्रश्न:3.द्विघात समीकरण को हल करने के 4 तरीके क्या हैं? (What are the 4 ways to solve a Quadratic Equation?),द्विघात समीकरण को हल करने की 5 विधियाँ क्या हैं? (What are 5 methods of solving a Quadratic Equation?)

उत्तर-द्विघात समीकरण को हल करने के लिए आप कई विधियों का उपयोग कर सकते हैं: पूर्णवर्ग बनाकर, द्विघात सूत्र रेखांकन को पूरा करना
फैक्टरिंग मेथड।
पूर्णवर्ग पूरा करना (पूर्णवर्ग विधि)।
श्रीधराचार्य द्विघात सूत्र (व्यापक सूत्र)।
ग्राफ विधि।
वैदिक विधि।

प्रश्न:4.द्विघात समीकरण सूत्र (Quadratic Equation Formula)

उत्तर-द्विघात समीकरणों को हल करना मुश्किल हो सकता है, लेकिन सौभाग्य से कई अलग-अलग तरीके हैं जिनका उपयोग हम इस आधार पर कर सकते हैं कि हम किस प्रकार के द्विघात समीकरण को हल करते हैं।द्विघात समीकरण को हल करने का श्रीधराचार्य द्विघात सूत्र (व्यापक सूत्र) निम्नलिखित है-
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}

प्रश्न:5.द्विघात समीकरणों को हल करना (Solving Quadratic Equations)

उत्तर-द्विघात समीकरणों को हल करने के कई तरीके हैं।कौनसे द्विघात समीकरण में कौनसा मेथड प्रयोग करना है,यह द्विघात समीकरण की प्रकृति पर निर्भर करता है।
यदि द्विघात समीकरण के गुणनखण्ड‌ किए जा सकते हैं तो गु्णनखण्ड विधि प्रयोग की जाती है।
श्रीधराचार्य विधि (व्यापक विधि) तथा वैदिक विधि से किसी भी तरह के द्विघात समीकरण को हल किया जा सकता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा द्विघात समीकरण (Quadratic Equation),द्विघात समीकरण करना (Quadratic Equations to Solve) को समझ सकते हैं।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा द्विघात समीकरण (Quadratic Equation),द्विघात समीकरण करना (Quadratic Equations to Solve) को समझ सकते हैं।

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