1.यादृच्छिक चर का माध्य (Mean of a Random Variable),यादृच्छिक चर का प्रसरण (Variance of a Random Variable):

Mean of a Random Variable

कई व्यावहारिक समस्याओं में किसी यादृच्छिक चर का माध्य (Mean of a Random Variable) के माध्य,माध्यिका व बहुलक को एकल संख्या से निरूपित करना आवश्यक होता है।इसे चर के प्रायिकता बंटन से ज्ञात कर सकते हैं।
माध्य अवस्थिति या केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप इन अर्थों में है कि यह किसी यादृच्छिक चर के औसत मान को इंगित करता है।
माना X एक यादृच्छिक चर है जिसके संभावित मानों x_{1}, x_{2},x_{3},\cdots,x_{n} के संगत प्रायिकताएँ क्रमशः p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ldots ,p_{n} है।किसी यादृच्छिक चर X के माध्य को X की प्रत्याशा (Expectation) भी कहते हैं जिसे E(X) से व्यक्त करते हैं।

E(x)=\mu=\sum_{i=1}^{n} x_{i} p_{i}\\ \Rightarrow E(x)=x_{1} p_{1}+x_{2} p_{2}+x_{3} p_{3}+\cdots+x_{n} p_{n}
(1.)यादृच्छिक चर का माध्य (Mean of a Random Variable):
अतः किसी यादृच्छिक चर X का माध्य \mu चर X के संभावित मानों का भारित समान्तर माध्य होता है जबकि प्रत्येक मान को उसकी संगत प्रायिकता से भारित किया हो।
यादृच्छिक चर X का माध्य या प्रत्याशा X के सभी संभावित मानों का उनकी प्रायिकताओं के गुणन का योग होता है।
(2.)यादृच्छिक चर का प्रसरण (Variance of a Random Variable):
यादृच्छिक चर का माध्य उस चर के मानों में विचरण के बारे में कोई सूचना नहीं देता है।साथ ही विभिन्न प्रायिकता बंटन वाले यादृच्छिक चरों के माध्य समान हो सकते हैं।आँकड़ों में विचरण या बिखराव की माप ही प्रसरण है।
माना X एक यादृच्छिक चर है जिसके संभावित मानों x_{1}, x_{2},x_{3},\cdots,x_{n} के संगत प्रायिकताएँ क्रमशः p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ldots ,p_{n} है तब चर X का प्रसरण Var(X) या \sigma^{2}_{x} द्वारा निरूपित किया जाता है।

\sigma^{2}_{x}=\operatorname{Var}(x)=E(X-\mu)^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu\right)^{2} p_{i}
प्रसरण का धनात्मक मूल्य “+\sqrt{\operatorname{Var}(x)}” मानक विचलन (Standard Deviation) कहलाता है।

\sigma_{x}=+\sqrt{\operatorname{Var}(x)}=+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu\right)^{2} p_{i}}
प्रसरण (Variance) ज्ञात करने का वैकल्पिक सूत्र:

\operatorname{Var}(x)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2} p_{i} \\ =\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}^{2}+\mu^{2}-2 \mu x_{i}\right) \\ =\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} p_{i}+\sum_{i=1}^{n} \mu^{2} p_{i}-2 \sum_{i=1}^{n} \mu x_{i} p_{i} \\ =\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} p_{i}+\mu^{2} \sum_{i=1}^{n} p_{i}-2 \mu \sum_{i=1}^{n} x_{i} p_{i} \\ =\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} p_{i}+\mu^{2}(1)-2 \mu(\mu) \\ =\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} p_{i}-\mu^{2} \\ =\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} p_{i}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i} p_{i}\right)^{2} \\ \operatorname{Var}(x)= E\left(X^{2}\right)-\left\{E(X)\right\}^{2} 

E\left(x^{2}\right)=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} p_{i}
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2.यादृच्छिक चर का माध्य के उदाहरण (Mean of a Random Variable Examples):

Example:1.पासों के एक युग्म को उछाला जाता है।माना यादृच्छिक चर X,पासों पर प्राप्त अंकों के योग को निरूपित करता है।चर X का माध्य ज्ञात कीजिए।
Solution:जब दो पासे फेंके जाते हैं तब परिणामों की कुल संख्या=6^{2}=36 \\ P(X=2)=P\{(1,1)\}=\frac{1}{36} \\ P(X=3)=P\{(1,2),(2,1)\}=\frac{2}{36} \\ P(X=4\}=P\{(1,3),(2,2),(3,1)\}=\frac{3}{36} \\ P(X=5)=P \{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}=\frac{4}{36} \\ P(X=6)=P\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}=\frac{5}{36} \\ P(X=7)=P\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}=\frac{6}{36} \\ P(X=8)=P\{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\}=\frac{5}{36} \\ P(X=9)=P\{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\}=\frac{4}{36} \\ P(X=10)=P\{(4,6),(5,5),(6,4)\}=\frac{3}{36} \\ P(X=10)=P\{(5,6),(6,5)\}=\frac{2}{36} \\ P(X=11)=P\{(6,6)\}=\frac{1}{36}
अतः प्रायिकता बंटन निम्न है:

X का माध्य E(X)=\sum p_{i} x_{i} \\=\frac{252}{36}=7
X का प्रसरण (Var(X))=E(X)^{2}-\{E(X)\}^{2} \\=\Sigma p_{i} x_{i}-\left[\Sigma p_{i} x_{i}\right]^{2} \\=\frac{1974}{36}-\left(\frac{252}{36}\right)^{2} \\=\frac{1974}{36}-7 \\=\frac{987}{18}-\frac{7}{1} \\=\frac{782-882}{18} \\ =\frac{105}{18}=\frac{35}{6}
X का प्रसरण \sigma_{x}^{2}=5.83
X का मानक विचलन \sigma_{x} =\sqrt{5.83} \\ =2.4
Example:2.एक अनभिनत पासे को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
Solution:परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि S={1,2,3,4,5,6}
X पासे पर प्रकट संख्या को प्रकट करता है।अतः यादृच्छिक चर 1,2,3,4,5,6 है।

P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=\frac{1}{6}
X का प्रायिकता बंटन निम्न है:

E(x) =\sum_{i=1}^{n} x_{i} p_{i} \\ =1 \times \frac{1}{6}+2 \times \frac{1}{6}+3 \times \frac{1}{6}+4 \times \frac{1}{6}+5 \times \frac{1}{6}+6 \times \frac{1}{6} \\ \Rightarrow E(X)=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}+\frac{6}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}=3.5 \\ E\left(X^{2}\right) =1^{2} \times \frac{1}{6}+2^{2} \times \frac{1}{6}+3^{2} \times \frac{1}{6}+4^{2} \times \frac{1}{6}+3^{2} \times \frac{1}{6}+6^{2} \times \frac{1}{6} \\ =\frac{1}{6}+\frac{4}{6}+\frac{9}{6}+\frac{16}{6}+\frac{25}{6}+\frac{36}{6} \\ =\frac{91}{6} 

Var(X) =E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2} \\ =\frac{91}{6}-\left(\frac{21}{6}\right)^{2} \\ =\frac{91}{6}-\frac{441}{36} \\=\frac{546-441}{36} \\ =\frac{105}{36} \\ \operatorname{var}(X)=\sigma_{x}^{2} =\frac{35}{12}
Example:3.एक बैठक में 70% सदस्यों ने किसी प्रस्ताव का पक्ष लिया और 30% सदस्यों ने विरोध किया।बैठक में से एक सदस्य को यादृच्छया चुना गया और माना X=0,यदि उस चयनित सदस्य ने प्रस्ताव का विरोध किया हो तथा X=1 यदि सदस्य प्रस्ताव के पक्ष में होना तब X का माध्य तथा प्रसरण ज्ञात कीजिए।
Solution:X=1 प्रस्ताव के पक्ष वाले सदस्यों की प्रायिकता=70 %=\frac{70}{100}=\frac{7}{10}
X=0 पर प्रस्ताव का विरोध करने वाले सदस्यों की प्रायिकता=30 %=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}
प्रायिकता बंटन निम्न हैं:

E(x) =\Sigma p_{i} x_{i} \\=p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2} \\ =0 \times \frac{3}{10}+1 \times \frac{7}{10} \\ =\frac{7}{10}
माध्य E(X)=\frac{7}{10} \\ E\left(X^{2}\right) =\sum p_{i} x_{i}^{2} \\ =p_{1} x_{1}^{2}+p_{2} x_{2}^{2} \\=\frac{3}{10} \times 0^{2}+\frac{7}{10} \times 1^{2} \\=0+\frac{7}{10} \\ \Rightarrow E\left(X^{2}\right) =\frac{7}{10}
प्रसरण [Var(X)]=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2} \\ =\frac{7}{10}-(70)^{2} \\=\frac{7}{10}-\frac{49}{100} \\=\frac{70-49}{100}
प्रसरण [Var(X)]= \sigma_{x}^{2}=\frac{21}{100}

Mean of a Random Variable

Example:4.ताश के 52 पत्तों की एक भलीभाँति फेंटी गई गड्डी में से दो पत्ते उत्तरोत्तर बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं।बादशाहों की संख्या का माध्य,प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
Solution:ताश की गड्डी में से दो पत्ते बिना प्रतिस्थापन खींचे जाते हैं।अतः दोनों पत्तों के बादशाह न होने के कुल तरीके=^{48} C_{2}=\frac{48 \times 47}{2}=1128
52 पत्तों में से 2 पत्ते खींचे जाने के तरीके=^{52} C_{2}=\frac{52 \times 5 1}{2}=26 \times 51 =1326
P(X=0)=P(दोनों पत्तों के बादशाह का न होना)=\frac{1128}{1326}
एक बादशाह तथा एक बादशाह न होने के तरीके=^4 C_{1} \times ^{48} C_{1} \\=4 \times 48=192
P(X=1)=P(एक पत्ता बादशाह तथा एक पत्ता बादशाह का न होना)=\frac{192}{1326}
दोनों पत्तों के बादशाह होने के तरीके=^4 C_{2}=\frac{4 \times 3}{2}=6
P(X=2)=P(दोनों पत्तों का बादशाह होना)=\frac{6}{1326}
अतः प्रायिकता बंटन निम्न है:

माध्य E(X)=E(X)=\sum P_{i} x_{i} \\ =p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}+p_{3} x_{3} \\=\frac{1128}{1326} \times 0+\frac{192}{1326} \times 1+\frac{6}{1326} \times 2\\=\frac{192}{1326}+\frac{12}{1326} \\=\frac{204}{1326}
माध्य E(X)=\frac{2}{13}
प्रसरण [Var(X)]=E\left(X^{2}\right) =\Sigma p_{i} x_{i}^{2} \\ =p_{1} x_{1}^{2}+p_{2} x_{2}^{2}+p_{3} x_{3}^{2} \\=\frac{1128}{1326} \times 0^{2}+\frac{192}{1326} \times 1^{2}+\frac{6}{1326} \times 2^{2} \\=\frac{192}{1326}+\frac{24}{1326} \\ \Rightarrow E\left(X^{2}\right)=\frac{216}{1326}
प्रसरण[Var(X)]=\sigma^{2}_{x}= E\left(X^{2}\right)-\left\{E(X)\right\}^{2} \\ =\frac{216}{1326}-\left(\frac{2}{13}\right)^{2} \\ =\frac{216}{1326}-\frac{4}{169} \\ =\frac{2808-408}{17238} \\ =\frac{2400}{17238}

प्रसरण \left( \sigma_{x}^{2} \right)=\frac{400}{2873}
मानक विचलन \left(\sigma_{x}\right) =\sqrt{\frac{400}{2873}} \\=0.373
मानक विचलन \left(\sigma_{x}\right) \approx 0.37
Example:5.दो पासों को युग्मत उछाला गया।यदि X,छक्कों की संख्या को व्यक्त करता है तो X की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
Solution:X:छक्कों की संख्या को व्यक्त करता है।
एक पासा उछालने की प्रतिदर्श समष्टि S={1,2,3,4,5,6}

एक पासा उछालने की होने की प्रायिकता=\frac{1}{6}
पासे पर छक्का प्राप्त न होने की प्रायिकता=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
P(X=0)=P(कोई छक्का प्राप्त न होना)=\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \\ =\frac{25}{36}
P(X=1)=P(एक छक्का तथा एक छक्का प्राप्त न होना)
=P(पहले पासे पर छक्का और दूसरे पासे पर छक्का प्राप्त न होना अथवा पहले पासे पर छक्का प्राप्त न होना और दूसरे पासे पर छक्का प्राप्त होना)
=P(पहले पासे पर छक्का और दूसरे पासे पर छक्का प्राप्त न होना)+P(पहले पासे पर छक्का प्राप्त न होना और दूसरे पासे पर छक्का प्राप्त होना)
=P(पहले पासे पर छक्का).P(दूसरे पासे पर छक्का प्राप्त न होना)+P(पहले पासे पर छक्का प्राप्त न होना).P(दूसरे पासे पर छक्का प्राप्त होना)

= \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}+\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{5}{36}+\frac{5}{36} \\ \Rightarrow P(X)=\frac{10}{36}
P(X=2)=P(दोनों पासों पर छक्का प्राप्त होना)

=\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\=\frac{1}{36}
प्रायिकता बंटन निम्न है:

X की प्रत्याशा=E(X)=\Sigma p_{i} x_{i} \\=p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}+p_{3} x_{3} \\=\frac{25}{36} \times 0+\frac{10}{36} \times 1+\frac{1}{36} \times 2 \\ =\frac{10}{36}+\frac{2}{36} \\=\frac{12}{36} \\ \Rightarrow E(X) =\frac{1}{3}
Example:6.प्रथम छ: धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गई।मान लें X दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या को व्यक्त करता है।E(X) ज्ञात कीजिए।
Solution:प्रथम छ: धन पूर्णांक संख्याएँ=1,2,3,4,5,6
छः धनात्मक पूर्णांकों में से दो संख्याओं को यदृच्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुने जाने पर इनकी संख्या=6×5=30
P(X=2)=P{(1,2),(2,1)}=\frac{2}{30}
P(X=3)=P{(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)}=\frac{4}{30}
P(X=4)=P{(1,4),(4,1),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3)}=\frac{6}{30}
P(X=5)=P{(1,5),(5,1),(2,5),(5,2),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4)}=\frac{8}{30}
P(X=6)=P{(1,6),(6,1),(2,6),(6,2),(3,6),(6,3),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)}=\frac{10}{30}

प्रत्याशा (माध्य) \mu=E(X)=\Sigma p_{i} x_{i} \\ =p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}+p_{3} x_{3}+p_{4} x_{4}+p_{5} x_{5} \\ =2 \times \frac{2}{30}+3 \times \frac{4}{30}+4 \times \frac{6}{30}+5 \times \frac{8}{30}+6 \times \frac{10}{30} \\ =\frac{4}{30}+\frac{12}{30}+\frac{24}{30}+\frac{40}{30}+\frac{60}{30} \\=\frac{140}{30} \\=\frac{14}{3}
प्रत्याशा (माध्य) \mu=E(X)=3 \frac{2}{3}
Example:7.ऐसे पासे जिसके तीन फलकों पर 1 अन्य दो पर 2 और एक फलक पर 5 लिखा गया है, को उछालने पर प्राप्त संख्याओं का माध्य है:
Solution:पासे के तीन फलकों पर 1 है अतः 1 प्राप्त होने की प्रायिकता P(1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
पासे के दो फलकों पर 2 लिखा है अतः 2 प्राप्त होने की प्रायिकता P(2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
एक फलक पर 5 लिखा है अतः 5 प्राप्त होने की प्रायिकता P(5)=\frac{1}{6}
अतः प्रायिकता बंटन निम्न है:

E(X)=\Sigma p_{i } x_{i} \\ =\frac{1}{2} \times 1+\frac{1}{3} \times 2+\frac{1}{6} \times 5 \\=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{5}{6} \\ =\frac{3+4+5}{6}=\frac{12}{6}=2
Example:8.एक कक्षा में 15 छात्र हैं जिनकी आयु 14,17,15,14,21,17,19,20,17,16,19 और 20 वर्ष है।एक छात्र को इस प्रकार चुना गया है कि प्रत्येक छात्र के चुने जाने की संभावना समान है और चुने गए छात्र की आयु (X) को लिखा गया।यादृच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए:

Solution:कक्षा में कुल 15 छात्र हैं
प्रत्येक छात्र के चुने जाने की प्रायिकता=\frac{1}{15}
X का प्रायिकता बंटन निम्न है:

माध्य \mu=\Sigma p_{i}x_{i}=\frac{263}{15}
माध्य\mu=17.533
प्रसरण =\sigma_{x}^{2} =E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2} \\=\frac{4683}{15}-\left(\frac{263}{15}\right)^{2} \\=\frac{4683}{15}-\frac{69169}{225} \\=\frac{70245-69169}{225} \\=\frac{1076}{225}=4.78222
प्रसरण (Var X)=\sigma_{x}^{2} \approx 4.78
तथा मानक विचलन (\sigma_{x})=\sqrt{4.78222} \approx 2.19
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा यादृच्छिक चर का माध्य (Mean of a Random Variable),यादृच्छिक चर का प्रसरण (Variance of a Random Variable) को समझ सकते हैं।

3.यादृच्छिक चर का माध्य के सवाल (Mean of a Random Variable Questions):

Mean of a Random Variable

(1.)तीन सिक्कों को एक साथ उछाला गया है।सिक्कों पर चितो की संख्या को यादृच्छिक चर मानते हुए X का माध्य ज्ञात कीजिए।
(2.)ताश के 52 पत्तों की एक अच्छी प्रकार फेंटी गई गड्डी में से दो पत्ते उत्तरोत्तर प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं।इक्कों की संख्या का प्रायिकता बंटन तथा माध्य ज्ञात कीजिए।
(3.)प्रथम छ: धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुनी जाती है।माना X दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या को व्यक्त करता है।तब X का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1)\bar{X}=E(X)=\frac{3}{2}

(2)

\bar{X}=\Sigma(X)=\frac{26}{169}

(3) \operatorname{Var}(X)=\sigma_{x}^{2}=\frac{14}{9}
उपर्युक्त सवालों को हर करने पर यादृच्छिक चर का माध्य (Mean of a Random Variable),यादृच्छिक चर का प्रसरण (Variance of a Random Variable) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.यादृच्छिक चर का माध्य (Mean of a Random Variable) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कई व्यावहारिक समस्याओं में किसी यादृच्छिक चर का माध्य (Mean of a Random Variable) के माध्य,माध्यिका
व बहुलक को एकल संख्या से निरूपित करना आवश्यक होता है।इसे चर के प्रायिकता बंटन से ज्ञात कर सकते हैं।