1.अपरिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions),अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Algebraic Functions):

Integration of Irrational Functions Examples

अपरिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions):यदि किसी फलन में चर की घात भिन्नात्मक हो तो उसे अपरिमेय फलन कहते हैं।
अपरिमेय बीजीय फलन का समाकलन करने के लिए जिसमें केवल एक अपरिमेय व्यंजक होता हो तो हम प्रतिस्थापन की विधि का ‌प्रयोग करते हैं।यदि एक अपरिमेय फलन में x की एक से अधिक परिमेय घात है तो पूर्ण वर्ग विधि का प्रयोग करके पूर्ण वर्ग बनाते हैं फिर प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करके समाकलन करते हैं।
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2.अपरिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions Examples),अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Algebraic Functions Examples),परिमेय और अपरिमेय फलनों के उदाहरण (Rational and Irrational Functions Examples):

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए:
(Integrate the following functions with respect to x):
Example:1.\frac{1}{x^{2}+2 x+10}
Solution:\frac{1}{x^{2}+2 x+10} \\ I= \int \frac{1}{x^{2}+2 x+10} d x \\ =\int \frac{1}{x^{2}+2 x+1+9} d x \\ =\int \frac{1}{(x+1)^{2}+3^{2}} d x \\ \text { put } x+1=t \Rightarrow d x=d t \\ I=\int \frac{1}{t^{2}+3^{2}} d t \\ I=\frac{1}{3} \tan^{-1} \left(\frac{t}{3}\right)+c \\ I=\frac{1}{3} \tan ^{-1}\left(\frac{x+1}{3}\right)+c
Example:2.\frac{1}{2 x^{2}+x-1}
Solution:\frac{1}{2 x^{2}+x-1} \\ I=\int \frac{1}{2 x^{2}+x-1} \\ I =\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{2}} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}+\frac{x}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{3}{4}} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} \\ \text { Put } x+\frac{1}{2}=t \Rightarrow d x=d t \\ I= \frac{1}{2} \int \frac{d x}{t^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} \log \left(\frac{t-\frac{\sqrt{3}}{2}}{t+\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)+c \\ I= \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log \left[\frac{x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}\right]+c \\ I= \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log \left[\frac{2 x+1-\sqrt{3}}{2 x+1+\sqrt{3}}\right]+c
Example:3.\frac{1}{\sqrt{\left(x^{2}-8 x+15\right)}}
Solution:\frac{1}{\sqrt{\left(x^{2}-8 x+15\right)}} \\ I =\int \frac{1}{\left.\sqrt{\left(x^{2}-8 x+15\right.}\right)} d x \\ =\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-8 x+4^{2}-4^{2}+15}} \\ I=\int \frac{d x}{\sqrt{(x-4)^{2}-16+15}} \\ =\int \frac{d x}{\sqrt{(x-4)^{2}-1^{2}}} \\ \text { Put } x-4=t \Rightarrow d x=d t \\ I =\int \frac{1}{\sqrt{t^{2}-1^{2}}} \\ =\log \left[t+\sqrt{t^{2}-1}\right]+C \\ =\log \left[x-4+\sqrt{(c-4)^{2}-1} \right]+C\\I =\log \left[x-4+\sqrt{x^{2}-8 x+15}\right]+c
Example:4.\frac{1}{\sqrt{1+3 x-4 x^{2}}}
Solution:-\frac{1}{\sqrt{1+3 x-4 x^{2}}} \\ I= \int \frac{d x}{\sqrt{1+3 x-4 x^{2}}} \\ =\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4} x-x^{2}}} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\sqrt{\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}-\left(\frac{3}{8}\right)^{2}+\frac{3}{4} x-x^{2}}} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\sqrt{\frac{16+9}{64}-\left\{\left(\frac{3}{8}\right)^{2}-\frac{3}{4} x+x^{2}\right\}}} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\sqrt{\frac{25}{64}-\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}} \\ \text { Put } x-\frac{3}{8}=t \\ \Rightarrow d x=d t \\ I=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\sqrt{\left(\frac{5}{8}\right)^{2}-t^{2}}} \\ =\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{t}{\frac{5}{8}}\right)+c \\ I=\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{8\left(x-\frac{3}{8}\right)}{5}\right)+c \\I=\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{8 x-3}{5}\right)+c

Integration of Irrational Functions Examples

Example:5.\sqrt{\left(x^{2}-8 x+7\right)}
Solution:-\sqrt{\left(x^{2}-8 x+7\right)} \\ I =\int \sqrt{\left(x^{2}-8 x+7\right)} d x \\ =\int \sqrt{\left(x^{2}-8 x+4^{2}-4^{2}+7\right)} d x \\ =\int \sqrt{(x-4)^{2}-16+7 }dx \\=\int \frac{1}{\sqrt{(x-4)^{2}-9}} d x \\ =\int \frac{1}{\sqrt{(x-4)^{2}-3^{2}}} d x \\ \text { put } x-4=t \Rightarrow d x=d t \\ I =\int \frac{1}{\sqrt{t^{2}-3^{2}}} d t \\ =\frac{t}{2} \sqrt{t^{2}-9}-\frac{9}{2} \log \left(t+\sqrt{t^{2}-9}\right)+c \\ I=\frac{x-4}{2} \sqrt{(x-4)^{2}-9}-\frac{9}{2} \log \left[x-4+\sqrt{(x-4)^{2}-9}\right]+C \\ =\frac{x-4}{2} \sqrt{x^{2}-8 x+7}-\frac{9}{2} \log \left[x-4+\sqrt{x^{2}-8 x+7}\right]+C
Example:6.\sqrt{x^{2}+2 x+5}
Solution:-\sqrt{x^{2}+2 x+5} \\ I =\int \sqrt{x^{2}+2 x+5} d x \\ =\int \sqrt{x^{2}+2 x+1+4} d x \\=\sqrt{(x+1)^{2}+2^{2}} d x \\ \text { put } x+1=t \Rightarrow d x=d t \\ I=\int \sqrt{t^{2}+2^{2}} d t \\=\frac{t}{2} \sqrt{t^{2}+4}+\frac{4}{2} \log \left[t+\sqrt{t^{2}+4}\right]+c \\ I=\frac{x+1}{2} \sqrt{x^{2}+2 x+5}+2 \log \left[x+1+\sqrt{x^{2}+2 x+5}\right]+C
Example:7.\sqrt{\left(2 x^{2}+3 x+4\right)}
Solution:\sqrt{\left(2 x^{2}+3 x+4\right)} \\ =\int \sqrt{2 x^{2}+3 x+4} d x \\ =\sqrt{2} \int \sqrt{\left(x^{2}+\frac{3}{2} x+2\right)} d x \\ =\sqrt{2} \int \sqrt{x^{2}+\frac{3}{2} x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+2} d x \\ =\sqrt{2} \sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{9}{16}+\frac{2}{1} d x} \\ =\sqrt{2} \int \sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}+\frac{32-9}{16}} d x \\ I=\sqrt{2} \int \sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{23}}{4}\right)^{2}} d x \\ \text { put } x+\frac{3}{4}=t \Rightarrow d x=d t \\ I=\sqrt{2} \int \sqrt{t^{2}+\left(\frac{\sqrt{23}}{4}\right)^{2}} d t \\ =\sqrt{2}\left[\frac{t}{2} \sqrt{t^{2}+\frac{23}{16}}+\frac{23}{32} \sinh ^{-1}\left(\frac{t}{\frac{\sqrt{23}}{4}}\right)\right]+c \\ =\sqrt{2}\left[\frac{1}{2} \left(x+\frac{3}{4}\right) \sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}+\frac{23}{16}}+\frac{23}{32} \sinh^{-1} \left(\frac{4(x+\frac{3}{4})}{\sqrt{23}}\right)\right]+c\\ =\sqrt{2}\left[\frac{1}{8}(4 x+3) \sqrt{x^{2}+\frac{3 x}{2}+\frac{9}{16}+\frac{23}{16}}+\frac{23}{32} \sinh^{-1} \left(\frac{4 x+3}{\sqrt{23}}\right)\right]+c\\ =\frac{1}{8}(4 x+3) \sqrt{2 x^{2}+3 x+\frac{9}{8}+\frac{23}{8}}+\frac{23}{16 \sqrt{2}} \sinh^{-1} \left(\frac{4 x+3}{\sqrt{23}}\right)+c \\ I=\frac{1}{8}(4 x+3) \sqrt{\left(2 x^{2}+3 x+4\right)}+\frac{23}{16 \sqrt{2}} \sinh^{-1}\left(\frac{4 x+3}{\sqrt{23}}\right)+C
Example:8.\sqrt{\left(4+8 x-5 x^{2}\right)}
Solution:\sqrt{\left(4+8 x-5 x^{2}\right)} \\ I =\int \sqrt{\left(4+8 x-5 x^{2}\right)} d x \\ =\sqrt{5} \int \sqrt{\frac{4}{5}+\frac{8}{5} x-x^{2}} d x \\ =\sqrt{5} \int \sqrt{\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+\frac{8}{5} x-x^{2}} d x \\ =\sqrt{5} \int \sqrt{\frac{4}{5}+\frac{16}{25}-\left[\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-\frac{8}{5} x+x^{2}\right] }d x \\ =\sqrt{5} \int \sqrt{\frac{36}{25}-\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}} d x \\ \text { put } x-\frac{4}{5}=t \Rightarrow d x=d t \\ I=\sqrt{5} \int \sqrt{\left(\frac{6}{5}\right)^{2}-t^{2}} d t \\ I=\sqrt{5}\left[\frac{t}{2} \sqrt{\left(\frac{6}{5}\right)^{2}-t^{2}}+\frac{36}{50} \sin ^{-1}\left(\frac{t}{6 / 5}\right)\right]+c \\ =\sqrt{5}\left[\frac{1}{2}\left(x-\frac{4}{5}\right) \sqrt{\frac{36}{25}-(x-\frac{4}{5})^{2}}+\frac{18}{25} \sin^{-1} \frac{5(x-\frac{4}{5})}{6} \right]+c\\= \sqrt{5}\left[\frac{5 x-4}{10} \sqrt{\frac{36}{25}-x^{2}+\frac{8 x}{5}-\frac{16}{25}}+\frac{18}{25} \sin ^{-1}\left(\frac{5 x-4}{6}\right)\right]+c \\=\frac{5 x-4}{10} \left[ \sqrt{\frac{36}{5}-5x^{2}+8 x-\frac{16}{5}}+\frac{18}{5 \sqrt{5}} \sin ^{-1}\left(\frac{5 x-4}{6}\right)\right]+c \\ I=\frac{5 x-4}{10} \sqrt{\left(4+8 x-5 x^{2}\right)}+\frac{18}{5 \sqrt{5}} \sin ^{-1}\left(\frac{5 x-4}{6}\right)+c

Example:9.\frac{2 x+5}{\sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}}

Solution:-\frac{2 x+5}{\sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}} \\ I=\int \frac{2 x+5}{\sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}} d x \\ 2 x+5=A \frac{d}{d x}\left(x^{2}+3 x+1\right)+B \\ \Rightarrow 2 x+5=A(2 x+3)+B \\ \Rightarrow 2 x+5=2 A x+3 A+B \\ \Rightarrow 2 A=2 \Rightarrow A=1 \\ 3 A+B=5 \Rightarrow 3+B=5 \Rightarrow B=2  \\ I=\int \frac{2 x+3}{\sqrt{x^{2}+3 x+1}} d x+\int \frac{2}{\sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}} d x \\ I=I_{1}+I_{2} \\ I_{1}=\int \frac{2 x+3}{\sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}} d x \\ \text { Put } x^{2}+3 x+1=t \\ (2 x+3) d x=d t \\ I_{1}=\int \frac{1}{\sqrt{t}} d t \\ =2 \sqrt{t} \\ I_{1}=2 \sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)} \\ I_{2}=\int \frac{2}{\sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}} d x \\ =2 \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+3 x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2} -\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+1}} \\ I_{2}=2 \int \frac{d x}{\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+1-\frac{9}{4}}} \\ =2 \int \frac{d x}{\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{5}{4}}} \\ \text { put } x+\frac{3}{2}=u \Rightarrow \quad d x=d u \\ I_{2}=2 \int \frac{d u}{\sqrt{u^{2}-\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}}} \\ =2 \log \left\{u+\sqrt{u^{2}-\frac{5}{4}}\right\} \\ =2 \log \left\{x+\frac{3}{2}+\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{5}{4} d x}\right\}\\ I_{2} =2 \log \left\{x+\frac{3}{2}+\sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}\right\}\\ I= 2 \sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}+2 \log \left\{x+\frac{3}{2}+\sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}\right\}+c
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अपरिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions Examples),अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Algebraic Functions Examples) को समझ सकते हैं।

3.अपरिमेय बीजीय फलन का समाकलन की समस्याएं (Integration of Irrational Functions Problems):

Integration of Irrational Functions Examples

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए:
(Integrate the following functions with respect to x):

\text { (1.) } \frac{1}{\sqrt{\left(4 x^{2}-5 x+1\right)}} \\ \text { (2.) } \sqrt{\left(1+x-2 x^{2}\right)} \\ \text { (3).) } \frac{x+2}{\sqrt{\left(x^{2}-2 x+4\right)}} \\ \text { (4.) }(3 x-2) \sqrt{\left(x^{2}+x+1\right)}

Answer:-\text { (1.) } \frac{1}{2} \cosh ^{-1}\left(\frac{8 x-5}{3}\right)+c \\ \text { (2.) } \frac{1}{8}(4 x-1) \cdot \sqrt{\left(1+x-2 x^{2}\right)}+\frac{9}{16 \sqrt{2}} \sin ^{-1}\left(\frac{4 x-1}{3}\right)+c \\ \text { (3) }) \sqrt{\left(x^{2}-2 x+4\right)}+3 \sinh^{-1}\left(\frac{x-1}{\sqrt{3}}\right)+c \\ \text { (4) })\left(x^{2}+x+1\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{7}{8}(2 x+1) \sqrt{\left(x^{2}+x+1\right)}-\frac{21}{16} \sinh ^{-1}\left(\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}\right)+c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अपरिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions Examples),अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Algebraic Functions Examples) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अपरिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions Examples),अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Algebraic Functions Examples) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Integration of Irrational Functions Examples

उपर्युक्त प्रश्नों के द्वारा अपरिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions Examples),अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Algebraic Functions Examples) को समझ सकते हैं।