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Integration of Irrational Functions

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1 1.अपरिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions),अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Algebraic Functions):
1.2 3.अपरिमेय बीजीय फलन का समाकलन की समस्याएं (Integration of Irrational Functions Problems):

1.अपरिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions),अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Algebraic Functions):

अपरिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions):यदि किसी फलन में चर की घात भिन्नात्मक हो तो उसे अपरिमेय फलन कहते हैं।
अपरिमेय बीजीय फलन का समाकलन करने के लिए जिसमें केवल एक अपरिमेय व्यंजक होता हो तो हम प्रतिस्थापन की विधि का ‌प्रयोग करते हैं।यदि एक अपरिमेय फलन में x की एक से अधिक परिमेय घात है तो पूर्ण वर्ग विधि का प्रयोग करके पूर्ण वर्ग बनाते हैं फिर प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करके समाकलन करते हैं।
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2.अपरिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions Examples),अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Algebraic Functions Examples),परिमेय और अपरिमेय फलनों के उदाहरण (Rational and Irrational Functions Examples):

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए:
(Integrate the following functions with respect to x):
Example:1.\frac{1}{x^{2}+2 x+10}
Solution:\frac{1}{x^{2}+2 x+10} \\ I= \int \frac{1}{x^{2}+2 x+10} d x \\ =\int \frac{1}{x^{2}+2 x+1+9} d x \\ =\int \frac{1}{(x+1)^{2}+3^{2}} d x \\ \text { put } x+1=t \Rightarrow d x=d t \\ I=\int \frac{1}{t^{2}+3^{2}} d t \\ I=\frac{1}{3} \tan^{-1} \left(\frac{t}{3}\right)+c \\ I=\frac{1}{3} \tan ^{-1}\left(\frac{x+1}{3}\right)+c
Example:2.\frac{1}{2 x^{2}+x-1}
Solution:\frac{1}{2 x^{2}+x-1} \\ I=\int \frac{1}{2 x^{2}+x-1} \\ I =\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{2}} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}+\frac{x}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{3}{4}} d x \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} \\ \text { Put } x+\frac{1}{2}=t \Rightarrow d x=d t \\ I= \frac{1}{2} \int \frac{d x}{t^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} \log \left(\frac{t-\frac{\sqrt{3}}{2}}{t+\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)+c \\ I= \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log \left[\frac{x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}\right]+c \\ I= \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log \left[\frac{2 x+1-\sqrt{3}}{2 x+1+\sqrt{3}}\right]+c
Example:3.\frac{1}{\sqrt{\left(x^{2}-8 x+15\right)}}
Solution:\frac{1}{\sqrt{\left(x^{2}-8 x+15\right)}} \\ I =\int \frac{1}{\left.\sqrt{\left(x^{2}-8 x+15\right.}\right)} d x \\ =\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-8 x+4^{2}-4^{2}+15}} \\ I=\int \frac{d x}{\sqrt{(x-4)^{2}-16+15}} \\ =\int \frac{d x}{\sqrt{(x-4)^{2}-1^{2}}} \\ \text { Put } x-4=t \Rightarrow d x=d t \\ I =\int \frac{1}{\sqrt{t^{2}-1^{2}}} \\ =\log \left[t+\sqrt{t^{2}-1}\right]+C \\ =\log \left[x-4+\sqrt{(c-4)^{2}-1} \right]+C\\I =\log \left[x-4+\sqrt{x^{2}-8 x+15}\right]+c
Example:4.\frac{1}{\sqrt{1+3 x-4 x^{2}}}
Solution:-\frac{1}{\sqrt{1+3 x-4 x^{2}}} \\ I= \int \frac{d x}{\sqrt{1+3 x-4 x^{2}}} \\ =\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4} x-x^{2}}} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\sqrt{\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}-\left(\frac{3}{8}\right)^{2}+\frac{3}{4} x-x^{2}}} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\sqrt{\frac{16+9}{64}-\left\{\left(\frac{3}{8}\right)^{2}-\frac{3}{4} x+x^{2}\right\}}} \\ =\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\sqrt{\frac{25}{64}-\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}} \\ \text { Put } x-\frac{3}{8}=t \\ \Rightarrow d x=d t \\ I=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\sqrt{\left(\frac{5}{8}\right)^{2}-t^{2}}} \\ =\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{t}{\frac{5}{8}}\right)+c \\ I=\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{8\left(x-\frac{3}{8}\right)}{5}\right)+c \\I=\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{8 x-3}{5}\right)+c

Example:5.\sqrt{\left(x^{2}-8 x+7\right)}
Solution:-\sqrt{\left(x^{2}-8 x+7\right)} \\ I =\int \sqrt{\left(x^{2}-8 x+7\right)} d x \\ =\int \sqrt{\left(x^{2}-8 x+4^{2}-4^{2}+7\right)} d x \\ =\int \sqrt{(x-4)^{2}-16+7 }dx \\=\int \frac{1}{\sqrt{(x-4)^{2}-9}} d x \\ =\int \frac{1}{\sqrt{(x-4)^{2}-3^{2}}} d x \\ \text { put } x-4=t \Rightarrow d x=d t \\ I =\int \frac{1}{\sqrt{t^{2}-3^{2}}} d t \\ =\frac{t}{2} \sqrt{t^{2}-9}-\frac{9}{2} \log \left(t+\sqrt{t^{2}-9}\right)+c \\ I=\frac{x-4}{2} \sqrt{(x-4)^{2}-9}-\frac{9}{2} \log \left[x-4+\sqrt{(x-4)^{2}-9}\right]+C \\ =\frac{x-4}{2} \sqrt{x^{2}-8 x+7}-\frac{9}{2} \log \left[x-4+\sqrt{x^{2}-8 x+7}\right]+C
Example:6.\sqrt{x^{2}+2 x+5}
Solution:-\sqrt{x^{2}+2 x+5} \\ I =\int \sqrt{x^{2}+2 x+5} d x \\ =\int \sqrt{x^{2}+2 x+1+4} d x \\=\sqrt{(x+1)^{2}+2^{2}} d x \\ \text { put } x+1=t \Rightarrow d x=d t \\ I=\int \sqrt{t^{2}+2^{2}} d t \\=\frac{t}{2} \sqrt{t^{2}+4}+\frac{4}{2} \log \left[t+\sqrt{t^{2}+4}\right]+c \\ I=\frac{x+1}{2} \sqrt{x^{2}+2 x+5}+2 \log \left[x+1+\sqrt{x^{2}+2 x+5}\right]+C
Example:7.\sqrt{\left(2 x^{2}+3 x+4\right)}
Solution:\sqrt{\left(2 x^{2}+3 x+4\right)} \\ =\int \sqrt{2 x^{2}+3 x+4} d x \\ =\sqrt{2} \int \sqrt{\left(x^{2}+\frac{3}{2} x+2\right)} d x \\ =\sqrt{2} \int \sqrt{x^{2}+\frac{3}{2} x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+2} d x \\ =\sqrt{2} \sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{9}{16}+\frac{2}{1} d x} \\ =\sqrt{2} \int \sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}+\frac{32-9}{16}} d x \\ I=\sqrt{2} \int \sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{23}}{4}\right)^{2}} d x \\ \text { put } x+\frac{3}{4}=t \Rightarrow d x=d t \\ I=\sqrt{2} \int \sqrt{t^{2}+\left(\frac{\sqrt{23}}{4}\right)^{2}} d t \\ =\sqrt{2}\left[\frac{t}{2} \sqrt{t^{2}+\frac{23}{16}}+\frac{23}{32} \sinh ^{-1}\left(\frac{t}{\frac{\sqrt{23}}{4}}\right)\right]+c \\ =\sqrt{2}\left[\frac{1}{2} \left(x+\frac{3}{4}\right) \sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}+\frac{23}{16}}+\frac{23}{32} \sinh^{-1} \left(\frac{4(x+\frac{3}{4})}{\sqrt{23}}\right)\right]+c\\ =\sqrt{2}\left[\frac{1}{8}(4 x+3) \sqrt{x^{2}+\frac{3 x}{2}+\frac{9}{16}+\frac{23}{16}}+\frac{23}{32} \sinh^{-1} \left(\frac{4 x+3}{\sqrt{23}}\right)\right]+c\\ =\frac{1}{8}(4 x+3) \sqrt{2 x^{2}+3 x+\frac{9}{8}+\frac{23}{8}}+\frac{23}{16 \sqrt{2}} \sinh^{-1} \left(\frac{4 x+3}{\sqrt{23}}\right)+c \\ I=\frac{1}{8}(4 x+3) \sqrt{\left(2 x^{2}+3 x+4\right)}+\frac{23}{16 \sqrt{2}} \sinh^{-1}\left(\frac{4 x+3}{\sqrt{23}}\right)+C
Example:8.\sqrt{\left(4+8 x-5 x^{2}\right)}
Solution:\sqrt{\left(4+8 x-5 x^{2}\right)} \\ I =\int \sqrt{\left(4+8 x-5 x^{2}\right)} d x \\ =\sqrt{5} \int \sqrt{\frac{4}{5}+\frac{8}{5} x-x^{2}} d x \\ =\sqrt{5} \int \sqrt{\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+\frac{8}{5} x-x^{2}} d x \\ =\sqrt{5} \int \sqrt{\frac{4}{5}+\frac{16}{25}-\left[\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-\frac{8}{5} x+x^{2}\right] }d x \\ =\sqrt{5} \int \sqrt{\frac{36}{25}-\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}} d x \\ \text { put } x-\frac{4}{5}=t \Rightarrow d x=d t \\ I=\sqrt{5} \int \sqrt{\left(\frac{6}{5}\right)^{2}-t^{2}} d t \\ I=\sqrt{5}\left[\frac{t}{2} \sqrt{\left(\frac{6}{5}\right)^{2}-t^{2}}+\frac{36}{50} \sin ^{-1}\left(\frac{t}{6 / 5}\right)\right]+c \\ =\sqrt{5}\left[\frac{1}{2}\left(x-\frac{4}{5}\right) \sqrt{\frac{36}{25}-(x-\frac{4}{5})^{2}}+\frac{18}{25} \sin^{-1} \frac{5(x-\frac{4}{5})}{6} \right]+c\\= \sqrt{5}\left[\frac{5 x-4}{10} \sqrt{\frac{36}{25}-x^{2}+\frac{8 x}{5}-\frac{16}{25}}+\frac{18}{25} \sin ^{-1}\left(\frac{5 x-4}{6}\right)\right]+c \\=\frac{5 x-4}{10} \left[ \sqrt{\frac{36}{5}-5x^{2}+8 x-\frac{16}{5}}+\frac{18}{5 \sqrt{5}} \sin ^{-1}\left(\frac{5 x-4}{6}\right)\right]+c \\ I=\frac{5 x-4}{10} \sqrt{\left(4+8 x-5 x^{2}\right)}+\frac{18}{5 \sqrt{5}} \sin ^{-1}\left(\frac{5 x-4}{6}\right)+c

Example:9.\frac{2 x+5}{\sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}}

Solution:-\frac{2 x+5}{\sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}} \\ I=\int \frac{2 x+5}{\sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}} d x \\ 2 x+5=A \frac{d}{d x}\left(x^{2}+3 x+1\right)+B \\ \Rightarrow 2 x+5=A(2 x+3)+B \\ \Rightarrow 2 x+5=2 A x+3 A+B \\ \Rightarrow 2 A=2 \Rightarrow A=1 \\ 3 A+B=5 \Rightarrow 3+B=5 \Rightarrow B=2  \\ I=\int \frac{2 x+3}{\sqrt{x^{2}+3 x+1}} d x+\int \frac{2}{\sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}} d x \\ I=I_{1}+I_{2} \\ I_{1}=\int \frac{2 x+3}{\sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}} d x \\ \text { Put } x^{2}+3 x+1=t \\ (2 x+3) d x=d t \\ I_{1}=\int \frac{1}{\sqrt{t}} d t \\ =2 \sqrt{t} \\ I_{1}=2 \sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)} \\ I_{2}=\int \frac{2}{\sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}} d x \\ =2 \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+3 x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2} -\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+1}} \\ I_{2}=2 \int \frac{d x}{\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+1-\frac{9}{4}}} \\ =2 \int \frac{d x}{\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{5}{4}}} \\ \text { put } x+\frac{3}{2}=u \Rightarrow \quad d x=d u \\ I_{2}=2 \int \frac{d u}{\sqrt{u^{2}-\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}}} \\ =2 \log \left\{u+\sqrt{u^{2}-\frac{5}{4}}\right\} \\ =2 \log \left\{x+\frac{3}{2}+\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{5}{4} d x}\right\}\\ I_{2} =2 \log \left\{x+\frac{3}{2}+\sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}\right\}\\ I= 2 \sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}+2 \log \left\{x+\frac{3}{2}+\sqrt{\left(x^{2}+3 x+1\right)}\right\}+c
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अपरिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions Examples),अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Algebraic Functions Examples) को समझ सकते हैं।

3.अपरिमेय बीजीय फलन का समाकलन की समस्याएं (Integration of Irrational Functions Problems):

निम्नलिखित फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए:
(Integrate the following functions with respect to x):

\text { (1.) } \frac{1}{\sqrt{\left(4 x^{2}-5 x+1\right)}} \\ \text { (2.) } \sqrt{\left(1+x-2 x^{2}\right)} \\ \text { (3).) } \frac{x+2}{\sqrt{\left(x^{2}-2 x+4\right)}} \\ \text { (4.) }(3 x-2) \sqrt{\left(x^{2}+x+1\right)}

Answer:-\text { (1.) } \frac{1}{2} \cosh ^{-1}\left(\frac{8 x-5}{3}\right)+c \\ \text { (2.) } \frac{1}{8}(4 x-1) \cdot \sqrt{\left(1+x-2 x^{2}\right)}+\frac{9}{16 \sqrt{2}} \sin ^{-1}\left(\frac{4 x-1}{3}\right)+c \\ \text { (3) }) \sqrt{\left(x^{2}-2 x+4\right)}+3 \sinh^{-1}\left(\frac{x-1}{\sqrt{3}}\right)+c \\ \text { (4) })\left(x^{2}+x+1\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{7}{8}(2 x+1) \sqrt{\left(x^{2}+x+1\right)}-\frac{21}{16} \sinh ^{-1}\left(\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}\right)+c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अपरिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions Examples),अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Algebraic Functions Examples) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अपरिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions Examples),अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Algebraic Functions Examples) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.एक अपरिमेय बीजीय फलन क्या है? (What is an irrational algebraic function?):

उत्तर:एक बीजीय फलन जिसमें बहुपदों के एक या अधिक मूलक शामिल होते हैं,अपरिमेय फलन कहलाते हैं।अपरिमेय फलनों के इंटीग्रल में आमतौर पर रेडिकल साइन के तहत रैखिक,द्विघात या रैखिक भिन्नात्मक रूप से व्यक्त होते हैं।

प्रश्न:2.अपरिमेय फलन क्या हैं? (What are irrational functions?):

उत्तर:एक अपरिमेय फलन एक ऐसा फलन है जिसके विश्लेषणात्मक व्यंजक में मूल चिह्न के नीचे स्वतंत्र चर होता है।यदि मूल का सूचकांक विषम है,तो किसी भी वास्तविक संख्या के मान की गणना करना संभव है,यदि व्यंजक एक वास्तविक संख्या है।

प्रश्न:3.समाकलन फलन क्या हैं? (What are integration functions?):

उत्तर:समाकलन का उपयोग क्षेत्रफलों,आयतन,केंद्रीय बिंदुओं और कई उपयोगी चीजों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।इसका उपयोग अक्सर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ और x-अक्ष के नीचे के क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
Common Functions/Function Integral
Variable \int x dx=\frac{x^{2}}{2} + C
Square \int x^{2}dx=\frac{x^{3}}{3} + C
Reciprocal \int \frac{1}{x}dx =ln|x| + C
Exponential \int e^{x} dx=e^{x} + C

प्रश्न:4.क्या आप किसी फ़ंक्शन को समाकलन कर सकते हैं? (Can you integrate any function?):

उत्तर:प्रत्येक फ़ंक्शन को समाकलन नहीं किया जा सकता है।कुछ सरल फलनों में एंटी-डेरिवेटिव होते हैं जिन्हें उन फलनों का उपयोग करके व्यक्त नहीं किया जा सकता है जो हम आमतौर पर काम करते हैं।

प्रश्न:5.अपरिमेय फलनों का समाकलन जेईई (Integration of irrational functions JEE):

उत्तर:बीजीय अपरिमेय व्यंजकों के कुछ प्रकार के समाकलों को चर के उपयुक्त परिवर्तन द्वारा परिमेय फलनों के समाकलों में समानयन किया जा सकता है।समाकल के इस तरह के परिवर्तन को इसका परिमेयकरण कहा जाता है।

प्रश्न:6.परिमेय फलनों का समाकलन (Integration of rational functions):

उत्तर:परिमेय फलनों का एकीकरण। इस भाग में हम परिमेय भिन्नों के समाकलों के मूल्यांकन में आंशिक भिन्न अपघटनों के उपयोग पर अधिक विस्तार से विचार करेंगे।
\int \frac{A}{ax+b} dx=A ln|ax+b|
\int A dx(ax+b)^{k}=Aa(1−k)(ax+b)^{k−1}
इरेड्यूसेबल द्विघात हर वाले आंशिक भिन्नों के लिए, हम पहले वर्ग को पूरा करते हैं:
\int t dt (t^{2}+m^{2})=\frac{1}{2} ln(t^{2}+m^{2})
\int (t^{2}+m^{2})dt=\frac{1}{m} \tan^{-1}(\frac{t}{m})

प्रश्न:7.अपरिमेय फलन समीकरण (Irrational function equation):

उत्तर:n बीजीय फलन जिसमें बहुपदों के एक या अधिक मूलक शामिल होते हैं,अपरिमेय फलन कहलाते हैं।अपरिमेय फलनों के इंटीग्रल में आमतौर पर रेडिकल साइन के तहत रैखिक, द्विघात या रैखिक भिन्नात्मक रूप व्यक्त होते हैं।

प्रश्न:8.फलन का समाकलन (Integrating the function):

उत्तर:समाकलों को खोजने की प्रक्रिया को समाकलन कहते हैं।अवकलन के साथ,समाकलन,कैलकुलस का एक मौलिक,आवश्यक संचालन है और एक उपकरण के रूप में कार्य करता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के द्वारा अपरिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions Examples),अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Algebraic Functions Examples) को समझ सकते हैं।

उपर्युक्त प्रश्नों के द्वारा अपरिमेय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Functions Examples),अपरिमेय बीजीय फलनों का समाकलन (Integration of Irrational Algebraic Functions Examples) को समझ सकते हैं।

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