1.आव्यूह कक्षा 12 (Matrices Class 12),कक्षा 12 में आव्यूह (Matrices in Class 12):

Matrices Class 12

आव्यूह कक्षा 12 (Matrices Class 12) के अध्ययन करने की आवश्यकता गणित की विविध शाखाओं में पड़ती है।आव्यूह,गणित के सर्वाधिक शक्तिशाली साधनों में से एक है।अन्य सीधी-सादी विधियों की तुलना में यह गणितीय साधन हमारे कार्य को काफी हद तक सरल कर देता है।रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए संक्षिप्त तथा सरल विधियाँ प्राप्त करने के प्रयास के परिणामस्वरूप आव्यूह की संकल्पना का विकास हुआ।आव्यूहों को केवल रैखिक समीकरणों के निकाय के गुणांकों को प्रकट करने के लिए ही नहीं प्रयोग किया जाता है,अपितु आव्यूहों की उपयोगिता इस प्रयोग से कहीं अधिक है।
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2.आव्यूह कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Matrices Class 12):

Example:1.आव्यूह A=\left[\begin{array}{cccc}2 & 5 & 19 & -7 \\ 35 & -2 & -5 & 12 \\ \sqrt{3} & 1 & -5 & 17\end{array}\right] के लिए ज्ञात कीजिएः
(i)आव्यूह की कोटि
(ii)अवयवों की संख्या
(iii)अवयव a_{13}, a_{21}, a_{33}, a_{24}, a_{23}
Solution:A=\left[\begin{array}{cccc}2 & 5 & 19 & -7 \\ 35 & -2 & -5 & 12 \\ \sqrt{3} & 1 & -5 & 17\end{array}\right]

(i)आव्यूह की कोटि=3×4
(ii)अवयवों की संख्या=3×4=12
(iii) a_{13}=19, a_{21}=35, a_{33}=-5, a_{24}=12,a_{23}= \frac{5}{2}
Example:2.यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियां क्या हैं? यदि इसमें 13 अवयव हो तो कोटियाँ क्या होगी?
Solution:24 अवयव वाले आव्यूह की सम्भव कोटियाँ निम्न होंगीः
1×24,2×12,12×2,24×1,3×8,8×3,4×6,6×4
13 अवयव हों तो कोटियाँ 1×13,13×1 होंगी।
Example:3.यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं तो इसकी सम्भव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 5 अवयव हों तो क्या होगा?
Solution:18 अवयव वाले आव्यूह की सम्भव कोटियाँः
1×18,2×9,3×6,6×3,9×2,18×1
यदि इसमें 5 अवयव हों तो आव्यूह की कोटियाँ होंगीः
1×5,5×1
Example:4.एक 2×2 आव्यूह A=\left[a_{i j}\right] की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार के प्रदत्त हैंः
Example:4(i). a_{i j}=\frac{(i+j)^2}{2}
Solution: a_{i j}=\frac{(i+j)^2}{2} \\ a_{11}=\frac{(1+1)^2}{2}=\frac{4}{2}=2 \\ a_{12}=\frac{(1+2)^2}{2}=\frac{9}{2} \\ a_{21}=\frac{(2+1)^2}{2}=\frac{9}{2}\\ a_{22}=\frac{(2+2)^2}{2}=8
2×2 कोटि का आव्यूह \left[a_{ij}\right]=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{ll}2 & \frac{9}{2} \\ \frac{9}{2} & 8\end{array}\right]
Example:4(ii). a_{i j}=\frac{i}{j}
Solution: a_{i j}=\frac{i}{j} \\ a_{11}=\frac{1}{1}=1, \quad a_{12}=\frac{1}{2} \\ a_{21}=\frac{2}{1}=2, \quad a_{22}=\frac{2}{2}=1 \\ \left[a_{ij}\right]=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{array} \right]=\left[\begin{array}{ll}1 & \frac{1}{2} \\2 & 1\end{array}\right]
Example:4(iii). a_{i j}=\frac{(i+2 j)^2}{2} 
Solution: a_{i j}=\frac{(i+2 j)^2}{2} \\ a_{11}=\frac{(1+2 \times 1)^2}{2}=\frac{(1+2)^2}{2}=\frac{9}{2} \\ a_{21}=\frac{(2+2 \times 1)^2}{2}=\frac{(2+2)^2}{2}=\frac{16}{2}=8 \\ a_{12}=\frac{(1+2 \times 2)^2}{2}=\frac{(1+4)^2}{2}=\frac{25}{2} \\ a_{22}=\frac{(2+2 \times 2)^2}{2}=\frac{(2+4)^2}{2}=\frac{36}{2}=18
2×2 कोटि का आव्यूह a_{i j}=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{array} \right] \\ = \left[\begin{array}{ll}\frac{9}{2} & \frac{25}{2} \\ 8 & 18\end{array}\right]

Matrices Class 12

Example:5.एक 3×4 आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होते हैंः
Example:5(i). a_{ij}=\frac{1}{2} |-3 i+j|
Solution: a_{ij}=\frac{1}{2} |-3 i+j| \\ a_{11}=\frac{1}{2}|-3 \times 1+1|=\frac{1}{2}|-3+1|=\frac{1}{2} \times 2=1 \\ a_{12}=\frac{1}{2}|-3 \times 1+2|=\frac{1}{2}|-3+2|=\frac{1}{2} \times 1=\frac{1}{2} \\ a_{13} =\frac{1}{2}|-3 \times 1+3|=\frac{1}{2}|-3+3|=\frac{1}{2} \times 0=0 \\ a_{14}=\frac{1}{2}|-3 \times 1+4| =\frac{1}{2}|-3+4|=\frac{1}{2} \times 1=\frac{1}{2} \\ a_{21}=\frac{1}{2}|-3 \times 2+1|=\frac{1}{2}|-6+1| =\frac{1}{2} \times 5=\frac{5}{2} \\ a_{22}=\frac{1}{2}|-3 \times 2+2|=\frac{1}{2}|-6+2|=\frac{1}{2} \times 4=2 \\ a_{23}=\frac{1}{2}|-3 \times 2+3|=\frac{1}{2}|-6+3|=\frac{1}{2} \times 3=\frac{3}{2} \\ a_{24}=\frac{1}{2}|-3 \times 2+4|=\frac{1}{2}|-6+4|=\frac{1}{2} \times 2=1 \\ a_{24}=\frac{1}{2}|-3 \times 2+4|=\frac{1}{2}|-6+4|=\frac{1}{2} \times 2=1 \\ a_{31}=\frac{1}{2}|-3 \times 3+1|=\frac{1}{2}|-9+1|=\frac{1}{2} \times 8=4 \\ a_{32}=\frac{1}{2}|-3 \times 3+2|=\frac{1}{2}|-9+2|=\frac{1}{2} \times 7=\frac{7}{2} \\ a_{33}=\frac{1}{2}|-3 \times 3+3|=\frac{1}{2}|-9+3|=\frac{1}{2} \times 6=3 \\ a_{34}=\frac{1}{2}|-3 \times 3+4|=\frac{1}{2}|-9+4|=\frac{1}{2} \times 5=\frac{5}{2}
अतः 3×4 कोटि का आव्यूह \left[a_{i j}\right]=\left[\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{array}\right] \\ =\left[ \begin{array}{cccc}1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{5}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 1 \\ 4 & \frac{7}{2} & 3 & \frac{5}{2}\end{array}\right]
Example:5(ii). a_{i j}=2 i-j
Solution: a_{i j}=2 i-j \\ a_{11}=2 \times 1-1=2-1=1 \\ a_{12}=2 \times 1-2=0 \\ a_{13}=2 \times 1-3=2-3=-1 \\ a_{14}=2 \times 1-4=2-4=-2 \\ a_{21}=2 \times 2-1=4-1=3 \\ a_{22}=2 \times 2-2=4-2=2 \\ a_{23}=2 \times 2-3=4-3=1 \\ a_{24}=2 \times 2-4=4-4=0 \\ a_{31}=2 \times 3-1=6-1=5 \\ a_{32}=2 \times 3-2=6-2=4 \\ a_{33}=2 \times 3-3=6-3=3\\ a_{34}=2 \times 3-4=6-4=2
अतः 3×4 कोटि का आव्यूह \left[a_{i j}\right]=\left[\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\end{array}\right] \\ =\left[ \begin{array}{rrrr}1 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 2\end{array}\right]
Example:6.निम्नलिखित समीकरणों से x,y तथा z के मान ज्ञात कीजिएः
Example:6(i). \left[\begin{array}{ll}4 & 3 \\ x & 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}y & z \\ 1 & 5\end{array}\right] 
Solution: \left[\begin{array}{ll}4 & 3 \\ x & 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}y & z \\ 1 & 5\end{array}\right] 
दोनों समान आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने परः
y=4,z=3,x=1
\Rightarrow x=1,y=4,z=3
Example:6(ii). \left[\begin{array}{ll}x+y & 2 \\ 5+z & x y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}8 & 2 \\ 5 & 8\end{array}\right]
Solution: \left[\begin{array}{ll}x+y & 2 \\ 5+z & x y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}8 & 2 \\ 5 & 8\end{array}\right]
दोनों समान आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने परः
x+y=6,5+z=5 \Rightarrow z=0 
xy=8
x+y=6  … (1)
xy=8  …. (2) \Rightarrow x=\frac{8}{y}
समीकरण (1) व (2) सेः

\frac{8}{y}+y=6 \Rightarrow \frac{8}{y}+\frac{y}{1}=6 \\ \Rightarrow \frac{8+y^2}{y}=6 \Rightarrow y^2+8=6 y \\ \Rightarrow y^2-6 y+8=0 \\ \Rightarrow y^2-4 y-2 y+8=0 \\ \Rightarrow y(y-4)-2(y-4)=0 \\ \Rightarrow(y-4)(y-2)=0 \Rightarrow y=2,4
जब y=2 तो (1) से x+2=6 \Rightarrow x=4
जब y=4 तो (1) से x+4=6 \Rightarrow x=2
अतः x=4,y=2,z=0 या x=2,y=4,z=0
Example:6(iii).\left[\begin{array}{l}x+y+z \\ x+z \\ y+z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}9 \\ 5 \\ 7\end{array}\right]
Solution:\left[\begin{array}{l}x+y+z \\ x+z \\ y+z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}9 \\ 5 \\ 7\end{array}\right]
दोनों समान आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने परः
x+y+z=9  …. (1)
x+z=5  …… (2)
y+z=7 ……. (3)
(2) व (3) को जोड़ने परः
x+y+2z=12  …. (4)
(4)  में से (1) घटाने परः
z=3
z का मान समीकरण (2) व (3) में रखने परः
x+3=5 \Rightarrow x=2
y+3=7 \Rightarrow y=4
x=2,y=4,z=3
Example:7.समीकरण \left[\begin{array}{ll}a-b & 2 a+c \\ 2 a-b & 3 c+d\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}-1 & 5 \\ 0 & 13\end{array}\right] से a,b,c तथा d का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \left[\begin{array}{ll}a-b & 2 a+c \\ 2 a-b & 3 c+d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1 & 5 \\ 0 & 13\end{array}\right]
दोनों समान आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने परः
a-b=-1  …. (1)
2a-b=0 …. (2)
2a+c=5 ….. (3)
3c+d=13 ….. (4)
समीकरण (2) में से (1) घटाने परः
2a-b-(a-b)=0-(-1)
\Rightarrow 2a-b-a+b=1 \Rightarrow a=1
a का मान (1) में रखने परः
1-b=-1
\Rightarrow b=1+1=2
a का मान समीकरण (3) में रखने परः
2a+c=5
2×1+2=5
\Rightarrow 2+c=5
\Rightarrow c=5-2=3
c का मान समीकरण (4) में रखने परः
3×3+d=13
\Rightarrow 9+d=13
\Rightarrow d=13-9=4
a=1,b=2,c=3,d=4
Example:8. A=\left[a_{i j}\right]_{m \times n} एक वर्ग आव्यूह है यदि
(A)m<n  (B)m>n (C)m=n  (D)इनमें से कोई नहीं
Solution:वर्ग आव्यूह में पंक्तियों और स्तम्भों की संख्या समान होती है अतः
(C)m=n  विकल्प सही है।
Example:9.x तथा y के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं?

\left[\begin{array}{cc}3 x+7 & -5 \\ y+1 & 2-3 x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & y-2 \\ 8 & 4\end{array}\right]
(A) x=-\frac{1}{3}, y=7  (B)ज्ञात करना संभव नहीं है।

(C) y=7, x=-\frac{2}{3}  (D) x=-\frac{1}{3}, y=-\frac{2}{3}
Solution: \left[\begin{array}{cc}3 x+7 & -5 \\ y+1 & 2-3 x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & y-2 \\ 8 & 4\end{array}\right]
दोनों समान आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने परः

2 x+7=0 \Rightarrow x=-\frac{7}{3},2-3 x-4, \Rightarrow x=-\frac{2}{3} \\ y-2=5 \Rightarrow y=7, y+1=8, y \Rightarrow 7
x के मान अलग-अलग हैं जो कि समान आव्यूह में सम्भव नहीं है।अतः
विकल्प (B) सही है।
Example:10.3×3 कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल कितनी संख्या होगी जिसकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?
(A)27  (B)18  (C)81  (D)512
Solution:3×3 कोटि के कुल अवयवों की संख्या=3×3=9
0 या 1 के स्थानों को भरने की कुल विधियाँ=2^{9}=512
अतः विकल्प (D) सही है।

3.आव्यूह कक्षा 12 पर आधारित सवाल (Questions Based on Matrices Class 12):

Matrices Class 12

(1.)यदि \left[\begin{array}{cc}k+4 & -2 \\ 3 & k-6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}9 & -2 \\ 3 & -1\end{array}\right] तो a का मान लिखिए।
(2.)2×2 क्रम की मैट्रिक्स B=\left[b_{i j}\right] लिखिए जिसके अवयव b_{ij}=2i-3j
उत्तर (Answers):(1.)a=9

(2) \left[\begin{array}{rr}-1 & -4 \\ 1 & -2\end{array}\right]

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4.आव्यूह कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Matrices Class 12),कक्षा 12 में आव्यूह (Matrices in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

आव्यूह कक्षा 12 (Matrices Class 12) के अध्ययन करने की आवश्यकता गणित की विविध
शाखाओं में पड़ती है।आव्यूह,गणित के सर्वाधिक शक्तिशाली साधनों में से एक है।