Applications of Determinants Class 12
1.सारणिकों के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Applications of Determinants Class 12),सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Applications of Determinants and Matrices Class 12):
सारणिकों के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Applications of Determinants Class 12) के इस आर्टिकल में हम दो या तीन राशियों के रैखिक समीकरण निकाय के हल और रैखिक समीकरणों की संगतता की जाँच में सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोग का वर्णन करेंगे।
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2.सारणिकों के अनुप्रयोग कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Applications of Determinants Class 12):
निम्नलिखित प्रश्नों 1 से 6 तक दी गई समीकरण निकायों का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए:
Example:1.x+2y=2,2x+3y=3
Solution:x+2y=2,2x+3y=3
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय का रूप
A X=B \\ A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}\right| \\ =1 \times 3-2 \times 2 \\ \Rightarrow|A| =3-4=-1 \neq 0
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत (consistent) है।
Example:2.2x-y=5,x+y=4
Solution:2x-y=5,x+y=4
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय का रूप
AX=B \\ A=\left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l} 5 \\ 4 \end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right| \\ =2 \times 1-1 \times-1 \\ =2+1 \\ |A|=3 \neq 0
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत (consistent) है।
Example:3.x+3y=5,2x+6y=8
Solution:3.x+3y=5,2x+6y=8
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय का रूप
AX=B \\ A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l} 5 \\ 8 \end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{array}\right| \\ =1 \times 6-2 \times 3 \\ \Rightarrow |A|=6-6=0
अतः आव्यूह A अव्युत्क्रमणीय है।फलतः दिया गया समीकरण निकाय असंगत (inconsistent) है।
Example:4.x+y+z=1
2x+3y+2z=1+2
ax+ay+2az=4
Solution:x+y+z=1
2x+3y+2z=1+2
ax+ay+2az=4
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय का रूप
A X=B \\ A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ a & a & 2 a \end{array}\right], X= \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ a & a & 2 a \end{array}\right| \\ =1 \left|\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ a & 2a \end{array}\right|-1\left|\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ a & 2a \end{array}\right| +1\left|\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ a & a \end{array}\right| \\ =1(3 \times 2 a-2 \times a)-(2 \times 2 a-2 \times a)+(2 \times a-3 \times a) \\ =6 a-2 a-(4 a-2 a)+(2 a-3 a) \\ =4 a-2 a-a \\ \Rightarrow |A|=a \neq 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है फलतः दिया गया समीकरण निकाय संगत (consistent) है।
Example:5.3x-y-2z=2
2y-z=-1
3x-5y=3
Solution:5.3x-y-2z=2
2y-z=-1
3x-5y=3
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय का रूप
A X=B \\ A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{array}\right], X= \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{ccc} 3 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{array}\right| \\ R_2 के अनुसार प्रसरण करने पर:
=0\left|\begin{array}{cc} -1 & -2 \\ -5 & 0 \end{array}\right|+2\left|\begin{array}{cc} 3 & -2 \\ 3 & 0 \end{array}\right|+1\left|\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 3 & -5 \end{array}\right| \\ =2(3 \times 0-3 \times-2)+1(3 \times-5-3 \times-1) \\ =2 \times 6+(-15+3) \\ =12-12 \\ \Rightarrow|A|=0
अतः दिया गया समीकरण निकाय असंगत (inconsistent) है।
Example:6.5x-y+4z=5
2x+3y+5z=2
5x-2y+6z=-1
Solution:5x-y+4z=5
2x+3y+5z=2
5x-2y+6z=-1
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय का रूप
AX=B \\ A=\left[\begin{array}{ccc} 5 & -1 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 5 & -2 & 6 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l} 5 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{ccc} 5 & -1 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 5 & -2 & 6 \end{array}\right| \\=5\left|\begin{array}{cc} 3 & 5 \\ -2 & 6 \end{array}\right|+1\left|\begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 5 & 6 \end{array}\right| +4 \left|\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right| \\ =5(3 \times 6-5 \times-2)+1(2 \times 6-5 \times 5)+4(2 \times-2-3 \times 5) \\=5(18+10)+1(12-25)+4(-4-15) \\=5 \times 28-13+4 \times-19 \\=140-13-76 \\=51 \\ \Rightarrow |A| =51 \neq 0
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत (consistent) है।
निम्नलिखित प्रश्न 7 से 14 तक प्रत्येक समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए:
Example:7.5x+2y=4,7x+3y=5
Solution:5x+2y=4,7x+3y=5
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय का रूप
A X=B \\ A=\left[\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l} 4 \\ 5 \end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{array}\right| \\ =5 \times 3-2 \times 7=15-14 \\ |A|=1 \neq 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है फलतः A^{-1} का अस्तित्व है।
A_{11}=(-1)^{1+3}=3 \\ A_{12}=(-1)^{1+2} 7=-7 \\ A_{21}=(-1)^{2+1} 2=-2 \\ A_{22}=(-1)^{2+2} 5=5 \\ \operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{cc} 3 & -7 \\ -2 & 5 \end{array}\right]^{\prime} \\ \Rightarrow \operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{cc} 3 & -2 \\ -7 & 5\end{array}\right] \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A \\ =\frac{1}{1}\left[\begin{array}{cc} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{array}\right] \\ \Rightarrow A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3 & -2 \\ -7 & 5 \end{array}\right] \\ A X =B \\ \Rightarrow X =A^{-1} B \\ \left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 4 \\ 5 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c} 3 \times 4-2 \times 5 \\ -7 \times 4+5 \times 5 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c} 12-10 \\ -28+25 \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array}\right] \\ x=2, y=-3
Example:8.2x-y=-2,3x+4y=3
Solution:2x-y=-2,3x+4y=3
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय का रूप
AX=B \\ A=\left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{c} -2 \\ 3 \end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{array}\right| \\ =2 \times 4-3 \times-1=8+3 \\ \Rightarrow|A| =11 \neq 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है फलतः A^{-1} का अस्तित्व है।
A_{11}=(-1)^{1+1} 4=4 \\ A_{12}=(-1)^{1+2} 3=-3 \\ A_{21}=(-1)^{2+1}(-1)=1 \\ A_{22}=(-1)^{2+2} 2=2 \\ \operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{cc} 4 & -3 \\ 1 & 2 \end{array}\right]^{\prime} \\ \Rightarrow \operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{cc} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{array}\right] \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A \\ \Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{11}\left[\begin{array}{cc} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{array} \right] \\ A X=B \\ \Rightarrow X=A^{-1} B \\ \left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array} \right]= \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-2 \\ 3 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{11}\left[\begin{array}{c} 4 \times-2+1 \times 3 \\ -3 \times-2+2 \times 3 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{11}\left[\begin{array}{c} -8+3 \\ 6+6 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{11} \left[\begin{array}{c} -5 \\ 12 \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \frac{-5}{11} \\ \frac{12}{11} \end{array}\right] \\ x=-\frac{5}{11}, y=\frac{12}{11}
Example:9.4x-3y=3,3x-5y=7
Solution:4x-3y=3,3x-5y=7
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय का रूप
A X=B \\ A=\left[\begin{array}{ll} 4 & -3 \\ 3 & -5 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 7 \end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{ll} 4 & -3 \\ 3 & -5 \end{array}\right| \\ =4 \times-5-3 \times-3 \\ \Rightarrow |A| =-20+9=-11 \neq 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है फलतः का अस्तित्व है।
A_1=(-1)^{1+1}(-5)=-5 \\ A 12=(-1)^{1+2}(3)=-3 \\ A 21=(-1)^{2+1}(-3)=3 \\ A_{22}=(-1)^{2+2} 4=4 \\ \operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{cc} -5 & -3 \\ 3 & 4 \end{array}\right]^{\prime} \\ =\left[\begin{array}{ll} -5 & 3 \\ -3 & 4 \end{array}\right] \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A \\ =\frac{1}{-11}\left[\begin{array}{ll} -5 & 3 \\ -3 & 4 \end{array}\right] \\ A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B \\ \left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=1\left[\begin{array}{ll} -5 & 3 \\ -3 & 4 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} 3 \\ 7 \end{array}\right] \\ =-\frac{1}{11}\left[\begin{array}{l} -5 \times 3+3 \times 7 \\ -3 \times 3+4 \times 7 \end{array}\right] \\ =-\frac{1}{11}\left[\begin{array}{l} -15+21 \\ -9+28 \end{array} \right] \\ =-\frac{1}{11}\left[\begin{array}{c} 6 \\ 19 \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -\frac{6}{11} \\ -\frac{19}{11} \end{array}\right] \\ x=-\frac{6}{11}, y=\frac{-19}{11}
Example:10.5x+2y=3,3x+2y=5
Solution:5x+2y=3,3x+2y=5
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय का रूप
A X=B \\ A=\left[\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 5 \end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}\right| \\ =5 \times 2-2 \times 3 \\ =10-6=4 \\ |A|=4 \neq 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है फलतः का अस्तित्व है।
A_{11}=(-1)^{1+1} 2=2 \\ A_{12}=(-1)^{1+2} 3=-3 \\ A_{21}=(-1)^{2+1} 2=-2 \\ A_{22}=(-1)^{2+2} 5=5 \\ \operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -2 & 5 \end{array}\right]^{\prime} \\ \Rightarrow \operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{cc} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{array}\right] \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A \\ =\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{array}\right] \\ A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B \\ \left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] =\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ -3 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 3 \\ 5 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{4} \left[\begin{array}{c} 2 \times 3-2 \times 5 \\ -3 \times 3+5 \times 5 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{4}\left[\begin{array}{c} 6-10 \\ -9+25 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{4}\left[\begin{array}{c} -4 \\ 16 \end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] =\left[\begin{array}{c} -1 \\ 4 \end{array}\right] \\ x=-1, y =4
Example:11. 2 x+y+z =1
x-2 y-z=\frac{3}{2}
3 y-5 z =9
Solution: 2 x+y+z =1
x-2 y-z=\frac{3}{2}
3 y-5 z =9
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय का रूप
AX=B \\ A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & -5 \end{array}\right] ,X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l} 1 \\ \frac{3}{2} \\ 9 \end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\1 & -2 & -1 \\0 & 3 & -5 \end{array}\right| \\ =2\left|\begin{array}{rr} -2 & -1 \\ 3 & -5 \end{array}\right|-1\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & -5 \end{array}\right| +0\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{array}\right| \\ =2(-2 \times 5-3 \times-1)-1(1 \times-5-1 \times 3) \\=2(+10+3)-1(-5-3) \\=2 \times 13-1 \times-8 \\ =26+8 \\ \Rightarrow|A|=34 \neq 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है फलतः का अस्तित्व है।
A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{rr} -2 & -1 \\ 3 & -5 \end{array}\right|=-2 \times-5-3 \times-1 \\ \Rightarrow A_{11}=13 \\ A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 0 & -5 \end{array}\right|=-(1 \times-5-0 \times-1) \\ \Rightarrow A_{12}=5 \\ A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ll} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{array}\right|=(1 \times 3-0 \times-2) \\ \Rightarrow A_{13}=3 \\ A_{21}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & -5 \end{array}\right|=-(1 \times-5-1 \times 3) \\ \Rightarrow A_{21}=-(-5-3)=8 \\ A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 0 & -5 \end{array}\right|=(2 \times-5-1 \times 0) \\ \Rightarrow A_{22}=-10 \\ \Rightarrow A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{array}\right|=-(2 \times 3-0 \times 1) \\ \Rightarrow A_{23}=-6 \\ A_{31}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{array}\right|=(1 \times-1-1 \times-2) \\ =(-1+2) \\ \Rightarrow A_{31}=1 \\ A_{32}=(-1)^{3+2} \left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right|=-(2 \times-1-1 \times 1) \\ =-(-2-1) \\ \Rightarrow A_{32}=3 \\ A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{array}\right|=(2 \times-2-1 \times 1) \\ =-4-1=-5 \\ \Rightarrow A_{33}=-5 \\ \operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{cccc} 13 & 5 & 3 \\ 8 & -10 & -6 \\ 1 & 3 & -5 \end{array}\right]^{\prime} \\ \Rightarrow \operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{ccc} 13 & 8 & 1 \\ 5 & -10 & 3 \\ 3 & -6 & -5 \end{array}\right] \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A \\ =\frac{1}{34}\left[\begin{array}{ccc} 13 & 8 & 1 \\ 5 & -10 & 3 \\ 3 & -6 & -5 \end{array}\right] \\ A X=B \Rightarrow X=A^{-1}B \\ \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right] =\frac{1}{34}\left[\begin{array}{ccc} 13 & 8 & 1 \\5 & -10 & 3 \\ 3 & -6 & -5 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 1 \\ \frac{3}{2} \\ 9 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{34}\left[\begin{array}{r} 13 \times 1+8 \times \frac{3}{2}+1 \times 9 \\ 5 \times 1-10 \times \frac{3}{2}+3 \times 9 \\ 3 \times 1-6 \times \frac{3}{2}-5 \times 9 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{34}\left[\begin{array}{c} 13+12+9 \\ 5-15+27 \\ 3-9-45 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{34} \left[\begin{array}{c} 34 \\ 17 \\ -51 \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right] =\left[\begin{array}{c} 1 \\ \frac{1}{2} \\ -\frac{3}{2} \end{array}\right] \\ \Rightarrow x =1, y=\frac{1}{2}, z=-\frac{3}{2}
Example:12.x-y+z=4
2x+y-3z=0
x+y+z=2
Solution:x-y+z=4
2x+y-3z=0
x+y+z=2
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय का रूप
AX=B \\ A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\1 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| \\= 1\left|\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 1 & 1\end{array}\right|+1 \left| \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{array}\right| +1\left| \begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right| \\ =1(1 \times 1-1 \times-3)+1(2 \times 1-1 \times-3)+1(2 \times 1-1 \times 1) \\ \Rightarrow |A| =1+3+2+3+2-1=10 \neq 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है फलतः का अस्तित्व है।
A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 1 & 1 \end{array}\right|=(1 \times 1-1 \times-3) \\ \Rightarrow A_{11}=1+3=4 \\ A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{array}\right|=-(2 \times 1-1 \times-3) \\ \Rightarrow A_{12}=-(2+3)=-5 \\ A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right|=2 \times 1-1 \times 1 \\ \Rightarrow A_{13}=2-1=1 \\A_{21}=(-1)^{2+1} \left|\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right|=-(-1 \times 1-1 \times 1) \\ \Rightarrow A_{21}=-(-1-1)=2 \\ A_{22}=(-1)^{2+2} \left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right|=(1 \times 1-1 \times 1) \\ \Rightarrow A_{22}=0 \\ A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right|=(-1)^5(1 \times 1-1 \times -1) \\ \Rightarrow A_{23}=-(1+1)=-2 \\ A_{31}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ 1 & -3 \end{array}\right|=(-1 \times -3-1 \times 1) \\ \Rightarrow A_{31}=3-1=2 \\ A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{array}\right|=-(1 \times-3-1 \times 2) \\ \Rightarrow A_{32}=-(-3-2)=5 \\ A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array}\right|=(1 \times 1-2 \times-1) \\ \Rightarrow A_{33}=1+2=3 \\ \operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{ccc} 4 & -5 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & 5 & 3 \end{array}\right]^{\prime} \\ \Rightarrow \operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 2 \\-5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{array}\right] \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A \\ =\frac{1}{10}\left[\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\1 & -2 & 3 \end{array}\right] \\ A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B \\ \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right] =\frac{1}{10}\left[\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right] \\ =\frac{1}{10}\left[\begin{array}{c} 4 \times 4+2 \times 0+2 \times 2 \\ -5 \times 4+0 \times 0+5 \times 2 \\ 1 \times 4-2 \times 0+3 \times 2 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{10}\left[\begin{array}{c} 16+4 \\ -20+10 \\ 4+6 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{10}\left[\begin{array}{c} 20 \\ -10 \\ 10 \end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right] \\ x=2, y=-1, z=1
Example:13.2x+3y+3z=5
x-2y+z=-4
3x-y-2z=3
Solution:2x+3y+3z=5
x-2y+z=-4
3x-y-2z=3
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय का रूप
AX=B \\ A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{c} 5 \\ -4 \\ 3 \end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{ccc}2 & 3 & 3 \\1 & -2 & 1 \\3 & -1 & -2\end{array}\right| \\=2\left|\begin{array}{cc}-2 & 1 \\-1 & -2\end{array}\right|-3\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\3 & -2\end{array}\right| +3\left|\begin{array}{cc}1 & -2 \\3 & -1\end{array}\right| \\ =2(-2 \times-2-1 \times-1)-3(1 \times-2-1 \times 3)+3(1 \times-1-3 \times-2) \\ =2(4+1)-3(-2-3)+3(-1+6) \\ |A|=10+15+15=40 \neq 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है फलतः का अस्तित्व है।
A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ -1 & -2 \end{array}\right|=(-2 \times-2-1 \times-1) \\ \Rightarrow A_{11}=4+1=5 \\ A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & -2 \end{array}\right|=-(1 \times-2-1 \times 3) \\ \Rightarrow A_{12}=-(-2-3)=5 \\ A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & -1\end{array} \right|=(1 \times-1-3 \times -2) \\ \Rightarrow A_{13}=(-1+6)=5 \\ A_{21}=(-1)^{2+1} \left|\begin{array}{cc} 3 & 3 \\ -1 & -2\end{array}\right|=-(3 \times -2 -3 \times -1) \\ \Rightarrow A_{21}=-(-6+3)=3 \\ A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 3 & -2 \end{array}\right|=(2 \times-2-3 \times 3) \\ \Rightarrow A_{22}=(-4-9)=-13 \\ A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 3 & -1 \end{array} \right|=-(2 \times-1 -3 \times 3) \\ \Rightarrow A_{23}=-(-2-9)=11 \\A _{31} =(-1)^{3+1} \left|\begin{array}{cc} 3 & 3 \\ -2 & 1 \end{array}\right|=3 \times 1-3 \times-2 \\ \Rightarrow A_{31} =3+6=9 \\ A_{32} =(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{array}\right|=-(2 \times 1-3 \times 1) \\ \Rightarrow A_{32} =-(2-3)=1 \\ A_{33}=(-1)^{3+3} \left|\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{array}\right|=(2 \times-2-3 \times 1) \\\Rightarrow A_{33} =(-4-3)=-7 \\ \operatorname{adj} A =\left[\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 5 \\ 3 & -13 & 1 \\ 9 & 1 & -7 \end{array}\right]^{\prime} \\ \Rightarrow \operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{ccc} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{array}\right] \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A \\ \Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{40}\left[\begin{array}{ccc} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{array}\right] \\ A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B \\ \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right] =\frac{1}{40}\left[\begin{array}{ccc} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} 5 \\ -4 \\ 3 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{40}\left[\begin{array}{c} 5 \times 5+3 \times-4+9 \times 3 \\ 5 \times 5-13 \times-4+1 \times 3 \\ 5 \times 5+11 \times-4-7 \times 3 \end{array} \right] \\ =\frac{1}{40}\left[\begin{array}{c} 25-12+27 \\ 25+52+3 \\ 25-44-21 \end{array}\right] \\=\frac{1}{40}\left[\begin{array}{c} 40 \\ 80 \\ -40 \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right] \\ \Rightarrow x=1, y=2, z=-1
Example:14.x-y+2z=7
3x+4y-5z=-5
2x-y+3z=12
Solution:x-y+2z=7
3x+4y-5z=-5
2x-y+3z=12
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय का रूप
AX=B \\ A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & -5 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{c} 7 \\ -5 \\ 12 \end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & -5 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right| \\ =1\left|\begin{array}{cc} 4 & -5 \\ -1 & 3 \end{array}\right|+1\left|\begin{array}{cc} 3 & -5 \\ 2 & 3 \end{array}\right| +2\left|\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 2 & -1 \end{array}\right| \\ =(4 \times 3-(-5)(-1))+(3 \times 3-2 \times-5)+2(3 \times-1-4 \times) \\ =(12-5)+(9+10)+2(-3-8) \\ =7+19-22 \\ \Rightarrow|A|=4 \neq 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है फलतः का अस्तित्व है।
A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{cc} 4 & -5 \\ -1 & 3 \end{array}\right|=(4 \times 3-(-5)(-1)) \\ \Rightarrow A_{11}=(12-5)=7 \\ A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{cc} 3 & 5 \\2 & 3 \end{array}\right|=-(3 \times 3-2 \times-5) \\ \Rightarrow A_{12}=-(9+10)=-19 \\ A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 2 & -1 \end{array}\right|=(3 \times-1-4 \times 2) \\ \Rightarrow A_{13}=(-3-8)=-11 \\ A_{21}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{ll} -1 & 2 \\ -1 & 3 \end{array}\right|=-(-1 \times 3-2 \times-1) \\ \Rightarrow A_{21}=-(-3+2)=1 \\ A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}\right|=(1 \times 3-2 \times 2) \\ \Rightarrow A_{22}=(3-4)=-1 \\ A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{array}\right|=-(1 \times-1-2 \times-1) \\ \Rightarrow A_{23}=-(-1+2)=-1 \\ A_{31}=(-1)^{3+1} \left|\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 4 & -5 \end{array}\right|=(-1 \times-5-2 \times 4) \\ \Rightarrow A_{31}=(5-8)=-3 \\ A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & -5 \end{array}\right|=-(1 \times-5-2 \times 3) \\ \Rightarrow A_{32}=-(-5-6)=11 \\ A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 3 & 4 \end{array}\right|=(1 \times 4-3 \times-1) \\ \Rightarrow A_{33}=4+3 =7 \\ \Rightarrow \operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{ccc} 7 & -19 & -11 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 11 & 7 \end{array}\right]^{\prime} \\ \Rightarrow \operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{ccc} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{array}\right] \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \\ \Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{array}\right] \\ A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B \\ \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right] =\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 7 \\ -5 \\ 12 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{4}\left[\begin{array}{c} 7 \times 7+1 \times-5-3 \times 12 \\ -19 \times 7-1 \times-5+11 \times 12 \\ -11 \times 7-1 \times-5+7 \times 12 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{4} \left[\begin{array}{c} 49-5-36 \\ -133+5+132 \\ -77+5+84 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{4} \left[\begin{array}{c} 8 \\ 4 \\ 12 \end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z\end{array}\right] =\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right] \\ x=2, y=1,2=3
Example:15.यदि A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right] है तो ज्ञात कीजिए। A^{-1} का प्रयोग करके निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए।
2x-3y+5z=11
3x+2y-4z=-5
x+y-2z=-3
Solution: A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right| \\ =2\left|\begin{array}{cc} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{array}\right|+3\left|\begin{array}{ll} 3 & -4 \\ 1 & -2 \end{array}\right| +5\left|\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right| \\ =2(2 \times-2-1 \times-4)+3(3 x-2-1 \times-4)+5(3 \times-2 \times 1) \\ \Rightarrow|A|=-6(-4+4)+3(-6+4)+5(3-2) \\ =-6+5=-1 \neq 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है फलतः का अस्तित्व है।
A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ll} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{array}\right|=(2 \times-2-1 \times-4) \\ \Rightarrow A_{11}=-4+4=0 \\ A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ll} 3 & -4 \\ 1 & -2 \end{array}\right|=-(3 \times-2-1 \times-4) \\ \Rightarrow A_{12}=-(-6+4)=2 \\ A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right|=(3 \times 1-2 \times 1) \\ \Rightarrow A_{13}=1 \\ A_{21}=(-1)^{2+1} \left|\begin{array}{ll} -3 & 5 \\ 1 & -2 \end{array}\right|=-(-3 \times-2-5 \times 1) \\ \Rightarrow A_{21}=-(6-5)=-1 \\ A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{cc} 2 & 5 \\ 1 & -2 \end{array}\right|=(2 \times-2-5 \times 1) \\ A_{22}=-4-5=-9 \\ A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{array}\right|=-(2 \times 1-1 \times-3) \\ \Rightarrow A_{23}=-(2+3)=-5 \\ A_{31}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{cc} -3 & 5 \\ 2 & -4 \end{array}\right|=(-3 \times-4-5 \times 2) \\ \Rightarrow A_{31}=(12-10)=2 \\ A_{32}=(-1)^{3+2} \left|\begin{array}{ll} 2 & 5 \\ 3 & -4 \end{array}\right|=-(2 \times-4-5 \times 3) \\ \Rightarrow A_{32}=-(-8-15)=23 \\ A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 3 & 2 \end{array}\right|=(2 \times 2-3 \times-3) \\ \Rightarrow A_{33}=(4+9)=13 \\ \operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1 \\ -1 & -9 & -5 \\ 2 & 23 & 13 \end{array}\right]^{\prime} \\ \Rightarrow \operatorname{adj} A= \left[\begin{array}{lll} 0 & -1 & 2 \\ 2 & -9 & 23 \\ 1 & -5 & 13 \end{array}\right] \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A \\ =\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 2 \\ 2 & -9 & 23 \\ 1 & -5 & 13 \end{array}\right] \\ \Rightarrow A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13 \end{array}\right]
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय का रूप
A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B \\ \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 11 \\ -5 \\ -3 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c} 0 \times 11+1 \times-5-2 \times-3 \\ -2 \times 11+9 \times-5-23 \times-3 \\ -1 \times 11+5 \times-5-13 \times-3 \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll} 0-5+6 \\ -22-45+69 \\-11-25+39 \end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\2 \\ 3 \end{array}\right] \\ x=1, y=2, z=3
Example:16.4 kg प्याज,3 kg गेहूँ और 2 kg चावल का मूल्य Rs 60 है।2 kg प्याज,4 kg गेहूँ और 6 kg चावल का मूल्य Rs 90 है।6 kg प्याज,2 kg गेहूँ और 3 kg चावल का मूल्य Rs 70 है।आव्यूह विधि द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति kg ज्ञात कीजिए।
Solution:माना एक किग्रा प्याज का मूल्य x रुपए,एक किग्रा गेहूँ का मूल्य y रुपए तथा एक किग्रा चावल का मूल्य z रुपए है।
प्रश्नानुसार:
4x+3y+2z=60
2x+4y+6z=90
6x+2y+3z=70
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय का रूप
AX=B \\ A=\left[\begin{array}{lll} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \\z \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l} 60 \\ 90 \\ 70\end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{lll}4 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\6 & 2 & 3\end{array}\right| \\ =4\left|\begin{array}{ll}4 & 6 \\2 & 3\end{array}\right|-3\left|\begin{array}{ll}2 & 6 \\6 & 3\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{ll}2 & 4 \\6 & 2\end{array}\right| \\ =4(4 \times 3-2 \times 6)-3(9 \times 3-6 \times 6)+2(2 \times 2-4 \times 6) \\ |A| =4(12-12)-3(6-36)+2(4-24) \\=90-40=50 \neq 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है फलतः का अस्तित्व है।
A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ll}4 & 6 \\2 & 3\end{array}\right|=4 \times 3-6 \times 2 \\\Rightarrow A_{11}=12-12=0 \\ A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ll}2 & 6\end{array}\right|=-(2 \times 3-6 \times 6) \\ \Rightarrow A_{12}=-(6-36)=30 \\A_{13}=(-1) 1+3\left|\begin{array}{ll}2 & 4 \\6 & 2\end{array}\right|=(2 \times 2-4 \times 6) \\ \Rightarrow A_{13}=4-24=-20 \\A_{21}=(-1)^{2+1} \left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\2 & 3\end{array}\right|=-(3 \times 3-2 \times 2) \\ \Rightarrow A_{21}=-(9-4)=-5 \\A_{22}=(-1)^{2+2} \left|\begin{array}{ll}4 & 2 \\6 & 3\end{array}\right|=4 \times 3-2 \times 6 \\ \Rightarrow A_{22} =12-12=0 \\ A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{ll}4 & 3 \\6 & 2\end{array}\right|=-(4 \times 2-3 \times 6) \\ \Rightarrow A_{23} =-(8-18)=10 \\ A_{31} =(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\4 & 6\end{array}\right|=(3 \times 6-2 \times 4) \\ \Rightarrow A_{31} =18-8=10 \\ A_{32} =(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{ll}4 & 2 \\2 & 6\end{array}\right|=-(4 \times 6-2 \times 2) \\ \Rightarrow A_{32} =-(24-4)=-20 \\ A_{33} =(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{ll} 4 & 3 \\ 2 & 4 \end{array}\right|=4 \times 4-3 \times 2 \\ \Rightarrow A_{33} =16-6=10 \\ \operatorname{adj} A =\left[\begin{array}{ccc} 0 & 30 & -20 \\ -5 & 0 & 10 \\ 10 & -20 & 10 \end{array}\right] \\ A^{-1}=\frac{1}{\mid A}+\operatorname{adj} A \\ \Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{50}\left[\begin{array}{ccc} 0 & -5 & 10 \\30 & 0 & -20 \\-20 & 10 & 10\end{array}\right] \\ A X=B \Rightarrow X=A^{-1} B \\ \left[\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right] =\frac{1}{50} \left[\begin{array}{ccc}0 & -5 & 10 \\30 & 0 & -20 \\-20 & 10 & 10\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}60 \\90 \\70\end{array}\right] \\ =\frac{1}{50}\left[\begin{array}{l}0 \times 60-5 \times 90+10 \times 70 \\30 \times 60+0 \times 90-20 \times 70 \\-20 \times 60+10 \times 90+10 \times 70\end{array}\right] \\ =\frac{1}{50}\left[\begin{array}{l}0-450+700 \\1800+0-1400 \\-1200+960+700 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{50}\left[\begin{array}{lll} 250 \\ 400 \\ 400 \end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 5 \\ 8 \\ 8 \end{array}\right]
अतः एक किग्रा प्याज का मूल्य=5 रुपए,एक किग्रा गेहूँ का मूल्य=8 रुपए तथा एक किग्रा चावल का मूल्य=8 रुपए है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सारणिकों के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Applications of Determinants Class 12),सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Applications of Determinants and Matrices Class 12) को समझ सकते हैं।
3.सारणिकों के अनुप्रयोग कक्षा 12 पर आधारित सवाल (Questions Based on Applications of Determinants Class 12):
प्रत्येक समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए:
(1.)5x-y=-7
2x+3y=1
3y-z=5
(2.)x+2y-3z=-4
2x+3y+2z=2
3x-3y-4z=11
उत्तर (Answers):(1.)x=-1,y=2,z=1
(2.)x=3,y=-2,z=1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सारणिकों के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Applications of Determinants Class 12),सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Applications of Determinants and Matrices Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also Read This Article:- Adjoint and Inverse of Matrix Class 12
4.सारणिकों के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Applications of Determinants Class 12),सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Applications of Determinants and Matrices Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.समीकरणों का एक निकाय कब संगत होता है? (When is a System of Equations Consistent?):
उत्तर:निकाय संगत कहलाता है यदि इसके हलों (एक या अधिक) का अस्तित्व होता है।
यदि आव्यूह व्युत्क्रमणीय हो अर्थात् |A| \neq 0 पर संगत तथा अव्युत्क्रमणीय होने पर अर्थात |A|=0 होने (adjA)B=0 होने निकाय संगत या असंगत होगी।
प्रश्न:2.सारणिकों का एक निकाय कब असंगत होता है? (When is a System of Equations Inconsistent?):
उत्तर:अव्युत्क्रमणीय आव्यूह अर्थात् होने तथा (\operatorname{adj} A) B \neq 0 होने पर निकाय असंगत होता है।
प्रश्न:3.आव्यूह समीकरण के अस्तित्व व संगत होने की क्या शर्त है? (What is Condition for Existence and Consistency of Matrix Equation?):
उत्तर:आव्यूह समीकरण AX=B में एक वर्ग आव्यूह A के लिए
(1.)यदि |A| \neq 0 तो अद्वितीय हल का अस्तित्व है।
(2.)यदि |A|=0 और (\operatorname{adj} A) B \neq 0 हो,किसी हल का अस्तित्व नहीं है।
(3.)यदि |A|=0 और (adj A)B=0 तो निकाय संगत या असंगत होती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सारणिकों के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Applications of Determinants Class 12),सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Applications of Determinants and Matrices Class 12) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Applications of Determinants Class 12
सारणिकों के अनुप्रयोग कक्षा 12
(Applications of Determinants Class 12)
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सारणिकों के अनुप्रयोग कक्षा 12 (Applications of Determinants Class 12) के इस
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समीकरणों की संगतता की जाँच में सारणिकों और
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Lekhak Ke Baare Mein (About the Author)
**Satyam Narain Kumawat**
**Website Name:Satyam Mathematics**
*Owner:satyamcoachingcentre.in*
*Sthan:Manoharpur,Jaipur (Rajasthan)*
**Teaching Mathematics aur Anya Anubhav**
***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan
***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav
***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan*
****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 23 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
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