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To find value of definite integrals

1.निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात करना (To find value of definite integrals)-

निश्चित समाकलनों  का मान ज्ञात करने (To find value of definite integrals) के लिए अनिश्चित समाकलन में प्रयुक्त विधियों का प्रयोग करते हुए हम निश्चित समाकल का मान ज्ञात कर (To find value of definite integrals) सकते हैं।अनिश्चित समाकलन में सामान्यतः निम्न विधियों का प्रयोग किया जाता है-
(1.)मानक सूत्रों तथा उनमें रूपान्तरण करके
(2.) प्रतिस्थापन विधि से
(3.)आंशिक भिन्नों में वियोजन करके
(4.)खण्डश: समाकलन द्वारा
किसी निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात करने (To find value of definite integrals) के लिए पहले उस फलन का उपर्युक्त विधियों से अनिश्चित समाकलन निकाला जाता है फिर परिणाम में चर के स्थान पर उच्च सीमा और निम्न सीमा रखकर उसका मान निकाल लिया जाता है।इन दोनों मानों के अन्तर को ही निश्चित समाकलन का मान कहते हैं।
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2.निश्चित समाकल की परिभाषा (Definition of Integral)-

यदि f(x) अन्तराल [a,b] में परिभाषित एक वास्तविक मानों का संतत फलन हो तथा f(x) का प्रतिअवकलज F(x) हो तो

\int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } ={ \left[ f\left( x \right) \right] }_{ a }^{ b }=f\left( b \right) -f\left( a \right)
जहां a व b निश्चित समाकर की क्रमशः निम्न व उच्च सीमाएं हैं तथा अन्तराल [a,b] को समाकलन का परिसर कहते हैं।इस निश्चित समाकल को “f(x) का a से b तक समाकल ” पढ़ते हैं। निश्चित समाकल का मान निश्चित होने के कारण समाकलन करने के बाद अचर c इसमें नहीं आएगा।

3.निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात करने (To find value of definite integrals) के लिए उदाहरण-

निम्नलिखित निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात (To find value of definite integrals) कीजिए-
निश्चित समाकल की समस्याएं और समाधान (definite integral problems and solutions)
Example-1.\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { sinx }{ 1+{ cos }^{ 2 }x } dx }

Solution-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { sinx }{ 1+{ cos }^{ 2 }x } dx }

Put cosx=t\\ -sinxdx=dt\\ sinxdx=-dt
जब x=0 तो t=cos0=1
जब x=\frac { \pi }{ 2 } तो t=cos\frac { \pi }{ 2 } =0\\ \therefore I=\int _{ 1 }^{ 0 }{ \frac { -dt }{ 1+{ t }^{ 2 } } } \\ =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { dt }{ 1+{ t }^{ 2 } } } \\ ={ \left[ \tan ^{ -1 }{ x } \right] }_{ 0 }^{ 1 }\\ =\tan ^{ -1 }{ \left( 1 \right) } \\ =\frac { \pi }{ 4 }

Example-2.\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { sinx+cosx }{ 9+16sin2x } } dx
Solution-I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { sinx+cosx }{ 9+16sin2x } } dx\\ =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { sinx+cosx }{ 9-16\left( -sin2x \right) } } dx\\ =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { sinx+cosx }{ 9-16\left( 1-2sinxcosx-1 \right) } } dx\\ =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { sinx+cosx }{ 9+16-16\left( { sin }^{ 2 }x+cos^{ 2 }x-2sinxcosx \right) } } dx\\ =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { sinx+cosx }{ 25-16{ \left( sinx-cosx \right) }^{ 2 } } } dx\\ =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { sinx+cosx }{ 16\left[ \frac { 25 }{ 16 } -{ \left( sinx-cosx \right) }^{ 2 } \right] } } dx\\ =\frac { 1 }{ 16 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { sinx+cosx }{ \left[ \frac { 25 }{ 16 } -{ \left( sinx-cosx \right) }^{ 2 } \right] } } dx\\ =\frac { 1 }{ 16 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { sinx+cosx }{ \left[ { \left( \frac { 5 }{ 4 } \right) }^{ 2 }-{ \left( sinx-cosx \right) }^{ 2 } \right] } } dx
Put sinx-cosx=t\\ \left( cosx+sinx \right) dx=dt
जब x=0 तो t=sin0-cos0=-1

जब x=\frac { \pi }{ 4 } तो t=\sin { \frac { \pi }{ 4 } } -cos\frac { \pi }{ 4 } =0\\I=\frac { 1 }{ 16 } \int _{ -1 }^{ 0 }{ \frac { dt }{ \left[ { \left( \frac { 5 }{ 4 } \right) }^{ 2 }-{ \left( t \right) }^{ 2 } \right] } } \\ =\frac { 1 }{ 16 } .\frac { 1 }{ 2\left( \frac { 5 }{ 4 } \right) } { \left[ \log { \left( \frac { \frac { 5 }{ 4 } +t }{ \frac { 5 }{ 4 } -t } \right) } \right] }_{ -1 }^{ 0 }\\ =\frac { 1 }{ 40 } \left[ \log { 1 } -\log { \left( \frac { \frac { 5 }{ 4 } -1 }{ \frac { 5 }{ 4 } +1 } \right) } \right] \\ =\frac { 1 }{ 40 } \left[ 0-\log { \frac { 1 }{ 9 } } \right] \\ =\frac { 1 }{ 40 } \log { { 3 }^{ 2 } } \\ =\frac { 1 }{ 20 } \log { 3 }

Example-3.\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { dx }{ { sin }^{ 2 }x+cos^{ 2 }x } } dx

Solution-I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { dx }{ { 4sin }^{ 2 }x+5cos^{ 2 }x } } \\ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { dx }{ cos^{ 2 }x\left( { 5+4tan }^{ 2 }x \right) } } \\ I=\frac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { sec^{ 2 }xdx }{ \left( { \frac { 5 }{ 4 } +{ tan }^{ 2 }x } \right) } } dx

Put tanx=t\\ sec^{ 2 }xdx=dt
जब x=0 तो t=0
जब x=\frac { \pi }{ 4 } तो t=1

I=\frac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { sec^{ 2 }xdx }{ \left( { { \left( \frac { \sqrt { 5 } }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ t }^{ 2 } } \right) } } dx\\ I=\frac { 1 }{ 4 } .\frac { 1 }{ \frac { \sqrt { 5 } }{ 2 } } { \left[ \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { t }{ \frac { \sqrt { 5 } }{ 2 } } \right) } \right] }_{ 0 }^{ 1 }\\ I=\frac { 1 }{ 2\sqrt { 5 } } { \left[ \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 1 }{ \frac { \sqrt { 5 } }{ 2 } } \right) -\tan ^{ -1 }{ \left( 0 \right) } } \right] }\\ I=\frac { 1 }{ 2\sqrt { 5 } } \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { 2 }{ \sqrt { 5 } } \right) }

आप भिन्न का निश्चित समाकल कैसे ज्ञात कर सकते हैं?(How do you find the definite integral of a fraction?) इसके लिए निम्न उदाहरणों का अवलोकन कीजिए-
Example-4.\int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { { x }^{ 2 }dx }{ \left( { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) \left( { x }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) } }

Solution-I=\int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { { x }^{ 2 }dx }{ \left( { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) \left( { x }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) } }

Put { x }^{ 2 }=y\\ \frac { y }{ \left( y+{ a }^{ 2 } \right) \left( y+{ b }^{ 2 } \right) } =\frac { A }{ \left( y+{ a }^{ 2 } \right) } +\frac { B }{ \left( y+{ b }^{ 2 } \right) } \\ y=A\left( y+{ a }^{ 2 } \right) +B\left( y+{ b }^{ 2 } \right)

Put y=-{ b }^{ 2 }\quad \Rightarrow B=-\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }

Put  y=-{ a }^{ 2 }\quad \Rightarrow A=-\frac { { a }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \\ I=\int _{ 0 }^{ \infty }{ \left[ \frac { { a }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } .\frac { 1 }{ \left( { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) } -\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } .\frac { 1 }{ \left( { x }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) } \right] dx } \\ =\frac { { a }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { dx }{ \left( { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) } } -\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { dx }{ \left( { x }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) } } \\ =\frac { { a }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \left( \frac { 1 }{ a } \right) { \left[ \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { x }{ a } \right) } \right] }_{ 0 }^{ \infty }-\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \left( \frac { 1 }{ b } \right) { \left[ \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { x }{ b } \right) } \right] }_{ 0 }^{ \infty }\\ =\frac { { a } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \left[ \tan ^{ -1 }{ \infty } -\tan ^{ -1 }{ 0 } \right] -\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \left[ \tan ^{ -1 }{ \infty } -\tan ^{ -1 }{ 0 } \right] \\ =\frac { { a } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } .\frac { \pi }{ 2 } -\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } .\frac { \pi }{ 2 } \\ =\left( \frac { { a-b } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \right) \frac { \pi }{ 2 } \\ =\frac { \pi }{ 2\left( a+b \right) }

Example-5.\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { sinxcosxdx }{ cos^{ 2 }x+3cosx+2 } }
Solution-I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { sinxcosxdx }{ cos^{ 2 }x+3cosx+2 } }
Put cos^{ 2 }x={ t }^{ 2 }\\ \Rightarrow -2cosxsinxdx=2tdt\\ \Rightarrow cosxsinxdx=-tdt

जब x=0 तो t=1
जब x=\frac { \pi }{ 2 } तो t=0

I=\int _{ 1 }^{ 0 }{ \frac { -tdt }{ t^{ 2 }+3t+2 } } \\ I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { tdt }{ \left( t+1 \right) \left( t+2 \right) } } \\ \frac { tdt }{ \left( t+1 \right) \left( t+2 \right) } =\frac { A }{ \left( t+1 \right) } +\frac { B }{ \left( t+2 \right) } \\ t=A\left( t+2 \right) +B\left( t+1 \right)

put t=-2 then B=2

put t=-1 then A=-1

I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left[ \frac { 2 }{ \left( t+2 \right) } -\frac { 1 }{ \left( t+1 \right) } \right] dt } \\ =2\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { dt }{ \left( t+2 \right) } } -\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { dt }{ \left( t+1 \right) } } \\ =2{ \left[ \log { \left( t+2 \right) } \right] }_{ 0 }^{ 1 }-{ \left[ \log { \left( t+1 \right) } \right] }_{ 0 }^{ 1 }\\ I=2\left[ log3-log2 \right] -\left[ log2-log1 \right] \\ =2log3-2log2-log2\\ =\log { { 3 }^{ 2 } } -3log2\\ =log9-\log { { 2 }^{ 3 } } \\ =log9-log8\\ I=\log { \left( \frac { 9 }{ 8 } \right) }

Example-6.\int _{ \frac { 4 }{ \pi } }^{ \frac { 2 }{ \pi } }{ \left( -\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) cos\left( \frac { 1 }{ x } \right) dx }
SolutionI=\int _{ \frac { 4 }{ \pi } }^{ \frac { 2 }{ \pi } }{ \left( -\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) cos\left( \frac { 1 }{ x } \right) dx }
Put \frac { 1 }{ x } =t\\ \left( -\frac { 1 }{ x^{ 2 } } \right) dx=dt
जब x=\frac { 2 }{ \pi }  तो t=\frac { \pi }{ 4 }  
जब x=\frac { 4 }{ \pi } तो t=\frac { \pi }{ 2 } \\ I=\int _{ \frac { \pi }{ 4 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ tcost\quad dt } \\ I=t\int _{ \frac { \pi }{ 4 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ cost\quad dx } -\int _{ \frac { 4 }{ \pi } }^{ \frac { 2 }{ \pi } }{ \left( \frac { d }{ dt } \left( t \right) \int { cost\quad dt } \right) \quad dt } \\ I={ \left[ t\quad sint \right] }_{ \frac { \pi }{ 4 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }+{ \left[ cost \right] }_{ \frac { \pi }{ 4 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }\\ =\frac { \pi }{ 2 } \sin { \frac { \pi }{ 2 } } -\frac { \pi }{ 4 } \sin { \frac { \pi }{ 4 } } +\cos { \frac { \pi }{ 2 } } -\cos { \frac { \pi }{ 4 } } \\ =\frac { \pi }{ 2 } \left( 1 \right) -\frac { \pi }{ 4 } .\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +0-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \\ =\frac { \pi }{ 2 } -\frac { \pi }{ 4\sqrt { 2 } } -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }
उपर्युक्त निश्चित समाकल की समस्याओं और हल के द्वारा निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात करने (To find value of definite integrals) को समझा जा सकता।

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