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Sets Class 11

1.समुच्चय कक्षा 11 (Sets Class 11),गणित में समुच्चय (Sets in Maths):

समुच्चय कक्षा 11(Sets Class 11):वर्तमान समय में गणित के अध्ययन में समुच्चय की परिकल्पना आधारभूत है।आजकल इस परिकल्पना का प्रयोग गणित की प्राय: सभी शाखाओं में होता है।समुच्चय का प्रयोग संबंध एवं फलन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।ज्यामिति,अनुक्रम,प्रायिकता आदि के अध्ययन में समुच्चय के ज्ञान की आवश्यकता पड़ती है।
समुच्चय सिद्धांत का विकास जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर (Georg Cantor 1845-1918) द्वारा किया गया था।त्रिकोणमितीय श्रेणी के प्रश्नों को सरल करते समय उनका समुच्चय से पहली बार परिचय हुआ था।
(1.)समुच्चय और उनका निरूपण (Sets and Their Representions):
दैनिक जीवन में हम बहुधा वस्तुओं के संग्रह की चर्चा करते हैं जैसे ताश की गड्डी,व्यक्तियों की भीड़, क्रिकेट टीम आदि।गणित में भी हम विभिन्न संग्रहों की चर्चा करते हैं उदाहरणार्थ प्राकृत संख्याओं का संग्रह,बिंदुओं का संग्रह,अभाज्य संख्याओं का संग्रह आदि।विशेषत: हम निम्नलिखित संग्रह पर विचार करेंगे:
(i)10 से कम विषम प्राकृत संख्याएं अर्थात् 1,3,5,7,9
(ii)भारत की नदियां
(iii)अंग्रेजी वर्णमाला के स्वर यानी a,e,i,o,u

(iv)विभिन्न प्रकार के त्रिभुज
(v)संख्या 210 के अभाज्य गुणनखंड अर्थात् 2,3,5 तथा 7
(vi)समीकरण x^{2}-5x+6=0 के मूल अर्थात् 2 तथा 3
उपर्युक्त प्रत्येक उदाहरणों में से वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह इस अर्थ में है कि किसी वस्तु के संबंध में हम यह निर्णय निश्चित रूप से ले सकते हैं कि वह वस्तु एक प्रदत्त संग्रह में है अथवा नहीं है। उदाहरणत:हम यह निश्चित रूप से कह सकते हैं कि “नील नदी भारत की नदियों के संग्रह में नहीं है”। इसके विपरीत गंगा नदी इस संग्रह में निश्चित रूप से है।नीचे समुच्चय के कुछ ओर उदाहरण हैं जिनका प्रयोग गणित में विशेष रूप से किया जाता है;
N:प्राकृत संख्याओं का समुच्चय
Z:पूर्णांकों का समुच्चय
Q:परिमेय संख्याओं का समुच्चय
R:वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
Z^{+}:धन पूर्णांकों का समुच्चय
Q^{+}:धन परिमेय संख्याओं का समुच्चय
R^{+}:धन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
इसके अतिरिक्त विश्व के 5 सर्वाधिक विख्यात गणितज्ञों का संग्रह एक सुपरिभाषित समुच्चय नहीं है क्योंकि सर्वाधिक विख्यात गणितज्ञों के निर्णय करने का मापदंड एक व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति के लिए भिन्न-भिन्न हो सकता है।अतः यह एक सुपरिभाषित संग्रह नहीं है।
परिभाषा (Definition):’वस्तुओं के सुपरिभाषित संग्रह’ को एक समुच्चय कहते हैं।
यहां पर निम्नलिखित बिंदुओं पर ध्यान देना है:
(i)समुच्चय के लिए वस्तुएं,अवयव तथा सदस्य पर्यायवाची शब्द हैं।
(ii)समुच्चय को प्राय: अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षरों से निरूपित करते हैं जैसे A,B,C,X,Y,Z आदि।
(iii)समुच्चय के अवयवों को अंग्रेजी वर्णमाला के छोटे अक्षरों द्वारा प्रदर्शित करते हैं जैसे a,b,c,x,y,z आदि।
यदि a,समुच्चय A का एक अवयव है तो हम कहते हैं कि ‘a समुच्चय A में है’।वाक्यांश ‘अवयव है’ ‘सदस्य है’ या ‘में है’ को सूचित करने के लिए यूनानी प्रतीक “\in(epsilon)” का प्रयोग किया जाता है।अतः हम ‘a \in A‘ लिखते हैं।यदि b,समुच्चय A का अवयव नहीं है तो हम ‘b \notin A‘ लिखते हैं और इससे “b समुच्चय A में नहीं है” पढ़ते हैं।
इस प्रकार अंग्रेजी वर्णमाला के स्वरों के समुच्चय V के संबंध में a \in V किंतु b \notin V।इसी प्रकार संख्या 30 के अभाज्य गुणनखंडों P के लिए 3 \in P किंतु 15 \notin P
(2.)समुच्चय को निरूपित करने की दो विधियां हैं:
(i)रोस्टर या सारणीबद्ध रूप (Roster or Tabular Method)
(ii)समुच्चय निर्माण रूप (Set Builder Method)
(i)रोस्टर या सारणीबद्ध रूप (Roster or Tabular Method):
रोस्टर रूप में समुच्चय के सभी अवयवों को सूचीबद्ध किया जाता है,अवयवों को एक दूसरे से अर्धविराम द्वारा पृथक किया जाता है और उन सभी अवयवों को एक मझले कोष्ठक के भीतर लिखते हैं। उदाहरण 7 से कम सभी सम पूर्णांकों के समुच्चय का वर्णन रोस्टर रूप में {2,4,6} द्वारा किया जाता है।इसी प्रकार
(a)W={0,1,2,3,4,…}
(b)सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय {2,4,6,…}
अंत के बिंदु जिनकी संख्या तीन होती है,यह बतलाते हैं कि इन संस्थाओं की सूची अंतहीन है।
टिप्पणी:यह ध्यान रखना चाहिए कि समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखते समय किसी अवयव को सामान्यत: दोबारा नहीं लिखते हैं अर्थात् प्रत्येक अवयव दूसरे से भिन्न होता है।उदाहरण के लिए शब्द ,’COOK’ में प्रयुक्त अक्षरों का समुच्चय {C,O,K} है।साथ ही रोस्टर रूप में अवयवों को सूचीबद्ध करने में उनके क्रम का महत्त्व नहीं होता है।जैसे {2,3,5,6} को {3,6,2,5} द्वारा भी लिखा जा सकता है।
(ii)समुच्चय निर्माण रूप (Set Builder Method):
समुच्चय निर्माण रूप में,किसी समुच्चय के सभी अवयवों में एक सर्वनिष्ठ गुणधर्म होता है जो समुच्चय के बाहर के किसी अवयव में नहीं होता है। उदाहरणार्थ समुच्चय (a,e,I,o,u} के सभी अवयवों में सर्वनिष्ठ गुणधर्म है कि इसमें प्रत्येक अवयव अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है और इस गुणधर्म वाला कोई अन्य अक्षर नहीं है।इस समुच्चय को V से निरूपित करते हुए हम लिखते हैं
V={x:x अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है}
किसी समुच्चय के अवयवों का वर्णन करने के लिए हम ‘x’ का प्रयोग करते हैं,(x के स्थान पर किसी अन्य प्रतीक का भी प्रयोग किया जा सकता है,जैसे y,z आदि।) जिसके उपरांत कोलन का चिन्ह “:” लिखते हैं।कोलन चिन्ह के बाद समुच्चय के अवयवों के विशिष्ट गुणधर्म को लिखते हैं और फिर संपूर्ण कथन को मझले कोष्ठक {} के भीतर लिखते हैं।समुच्चय V के उपर्युक्त वर्णन को निम्नलिखित प्रकार से पढ़ा जाता है,”सभी x का समुच्चय जहां x अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है।”
इस वर्णन में कोष्ठक का प्रयोग “सभी x का समुच्चय” के लिए और कोलन का प्रयोग ‘जहां x’ के लिए किया जाता है।उदाहरण के लिए A={x:x एक प्राकृत संख्या है और 3<x<10} को निम्नलिखित प्रकार पढ़ते हैं:
“सभी x का समुच्चय,जहां x एक प्राकृत संख्या है और x,3 और 10 के बीच में है।
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2.समुच्चय कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Sets Class 11 Solved Examples):

Example:1.निम्नलिखित में कौन से समुच्चय हैं? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
(i)J अक्षर से प्रारंभ होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह।
Solution:{January,June,July} समुच्चय है। क्योंकि J से प्रारंभ होने वाले महीनों के बारे में निश्चित रूप से कह सकते हैं।
(ii)भारत के 10 सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों का संग्रह।
Solution:समुच्चय नहीं है।क्योंकि सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों के निर्णय करने का मापदंड एक व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति के लिए भिन्न-भिन्न हो सकता है।
(iii)विश्व के सर्वश्रेष्ठ बल्लेबाजों का संग्रह।
Solution:समुच्चय नहीं है।क्योंकि विश्व के सर्वश्रेष्ठ बल्लेबाजों का मापदंड एक व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति के लिए भिन्न-भिन्न हो सकता है।
(iv)आपकी कक्षा के सभी बालकों का संग्रह।
Solution:समुच्चय है।क्योंकि किसी भी कक्षा के बालकों का संग्रह सुनिश्चित है।
(v)100 से कम सभी प्राकृत संख्याओं का संग्रह।
Solution:समुच्चय है।100 से कम सभी प्राकृत संख्याएं सुनिश्चित है।
(vi)लेखक प्रेमचंद द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह।
Solution:समुच्चय है।क्योंकि लेखक प्रेमचंद द्वारा लिखित पुस्तकें सुनिश्चित है।
(vii)सभी सम पूर्णांकों का संग्रह।
Solution:समुच्चय है।क्योंकि सभी सम पूर्णांक सुनिश्चित हैं।
(viii)इस अध्याय में आने वाले प्रश्नों का संग्रह।
Solution:समुच्चय है।क्योंकि इस अध्याय के सभी प्रश्न निश्चित है।
(ix)विश्व के सबसे अधिक खतरनाक जानवरों का संग्रह।
Solution:समुच्चय नहीं है।क्योंकि विश्व के सबसे अधिक खतरनाक जानवरों का मापदंड एक व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति के लिए भिन्न-भिन्न हो सकता है।
Example:2.मान लीजिए A={1,2,3,4,5,6} रिक्त स्थानों में उपयुक्त प्रतीक \in अथवा \notin भरिए।
(i)5. ..A
Solution:5 \in A 
(ii)8…A
Solution:8 \notin A

(iii)0…A
Solution:0 \notin A 
(iv)4…A
Solution:4 \in A
(v)2…A
Solution:2 \in A
(vi)10…A
Solution:10 \notin A
Example:3.निम्नलिखित समुच्चयों को रोस्टर रूप में लिखिए:
(i)A={x:x एक पूर्णांक है और -3<x<7}
Solution:A={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}
(ii)B={x:x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है}
Solution:B={1,2,3,4,5}
(iii)C={x:x दो अंकों की ऐसी प्राकृत संख्या है जिसके अंकों का योगफल 8 है}
Solution:C={17,26,35,44,53,62,71,80}
(iv)D={x:x एक अभाज्य संख्या 60 की भाजक है}
Solution:D={2,3,5}
(v)E={TRIGONOMETRY शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय}
Solution:E={T,R,I,G,O,N,M,E,Y}
(vi)F=BETTER शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय
Solution:F={B,E,T,R}

Example:4.निम्नलिखित समुच्चयों को समुच्चय निर्माण रूप में व्यक्त कीजिए:
(i){3,6,9,12}
Solution: {x:x=3n,n \in N और 1 \leq n \leq 4}
(ii){2,4,8,16,32}
Solution:{x : x=2^{n},n \in N और 1 \leq n \leq 5}
(iii){5,25,125,625}
Solution:{x: x=5^{n},n \in N और 1 \leq n \leq 4}
(iv){2,4,6…}
Solution:{x:x एक सम प्राकृत संख्या}
(v){1,4,9,…,100}
Solution:{x: x=n^{2},n \in N और 1 \leq n \leq 10}
Example:5.निम्नलिखित समुच्चयों के सभी अवयवों को (सदस्यों) को सूचीबद्ध कीजिए:
(i)A={x:x एक विषम प्राकृत संख्या है}
Solution:A={1,3,5,…}
(ii)B={x:x एक पूर्णांक है, -\frac{1}{2}<x<\frac{9}{2}}
Solution:{0,1,2,3,4}
(iii)C={x:x एक पूर्णांक है, x^{2} \leq 4}
Solution:C={-2,-1,0,1,2}
(iv)D={x:x,LOYAL शब्द का एक अक्षर है}
Solution:D={L,O,Y,A}
(v)E={x:x वर्ष का एक ऐसा महीना है,जिसमें 31 दिन होते हैं}
Solution:E={फरवरी,अप्रैल,जून,सितम्बर,नवम्बर}
(vi)F={x:x अंग्रेजी वर्णमाला का एक व्यंजन है,जो k से पहले आता है}
Solution:F={b,c,d,f,g,h,i,j}
Example:6.बाईं ओर रोस्टर रूप में लिखित और दाई ओर समुच्चय निर्माण रूप में वर्णित समुच्चयों का सही मिलान कीजिए:

(i){1,2,3,6} (a){x:x एक अभाज्य संख्या है और 6 की भाजक है}
(ii){2,3}(b){x:x संख्या 10 से कम एक विषम प्राकृत संख्या है}
(iii){M,A,T,H,E,I,C,S} (c){x:x एक प्राकृत संख्या है और 6 की भाजक है}
(iv){1,3,5,7,9}(d){x:x MATHEMATICS शब्द का एक अक्षर है}

Solution:

(i){1,2,3,6} (c){x:x एक प्राकृत संख्या है और 6 की भाजक है}
(ii){2,3}(a){x:x एक अभाज्य संख्या है और 6 की भाजक है}
(iii){M,A,T,H,E,I,C,S} (d){x:x MATHEMATICS शब्द का एक अक्षर है}
(iv){1,3,5,7,9}(b){x:x संख्या 10 से कम एक विषम प्राकृत संख्या है}

3.समुच्चय कक्षा 11 की समस्याएं (Sets Class 11 Problems):

(1.)समुच्चय x^{2}+x-2=0 का हल समुच्चय रोस्टर रूप में लिखिए।
(2.)समुच्चय \{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\frac{6}{7}\} को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए।
उत्तर (Answers):(1.){1,-2}
(2.)x : x=\frac{n}{n+1} एक प्राकृत संख्या है और 1 \leq n \leq 6

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4.समुच्चय कक्षा 11 (Sets Class 11),गणित में समुच्चय (Sets in Maths) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.समुच्चय किसे कहते हैं? (What is a set called?):

उत्तर:वस्तुओं के सुपरिभाषित संग्रह को समुच्चय कहते हैं।

प्रश्न:2.समुच्चय को निरूपित करने की विधियाँ कौनसी है? (What are the methods of denoting the set?):

उत्तर:समुच्चय को निरूपित करने की दो विधियाँ प्रयोग में लायी जाती हैं:
(i)सारणीबद्ध या रोस्टर रूप (Tabular or Roster Method):अवयवों को अर्धविराम द्वारा पृथक करते हुए बिना पुनरावृति के मझले कोष्ठक में लिखकर प्रकट किया जाता है।
(ii)समुच्चय निर्माण रूप (Set Builder Method):अवयवों के गुणधर्म को मझले कोष्ठक में लिखकर प्रकट किया जाता है।

प्रश्न:3.समुच्चय सिद्धान्त का जन्मदाता कौन है? (Who is the father of set theory?):

उत्तर:जर्मन गणितज्ञ जाॅर्ज केन्टर (Georg Canter 1845-1918) को आधुनिक समुच्चय सिद्धान्त के अधिकांश भाग का जन्मदाता माना जाता है।समुच्चय सिद्धान्त पर उनके शोधपत्र 1847 ईस्वी से 1897 ईस्वी के बीच के किसी समय में प्रकाश में आए।उनका समुच्चय सिद्धान्त अध्ययन उस समय हुआ जब वे a_{1} \sin x+ a_{2} \sin 2x +a_{2} \sin 3x+..... के रूप की त्रिकोणमितीय श्रेणी का अध्ययन कर रहे थे।
1847 ईस्वी में अपने एक शोध पत्र में यह प्रकाशित किया कि वास्तविक संख्याओं को पूर्णांकों के साथ एक-एक संगतता में नहीं रखा जा सकता।1897 ईस्वी के उत्तरार्ध में अमूर्त समुच्चयों के विभिन्न गुणधर्मों को दर्शाने वाले उनके अनेक शोध पत्र प्रकाशित हुए।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समुच्चय कक्षा 11 (Sets Class 11),गणित में समुच्चय (Sets in Maths) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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समुच्चय कक्षा 11(Sets Class 11)

Sets Class 11

समुच्चय कक्षा 11(Sets Class 11):वर्तमान समय में गणित के अध्ययन में समुच्चय की परिकल्पना
आधारभूत है।आजकल इस परिकल्पना का प्रयोग गणित की प्राय: सभी शाखाओं में होता है।

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