खण्डशः समाकलन का नियम का परिचय (Introduction to Rule of Integration by Parts),फलनों के गुणनफल का समाकलन (Integration of Product of Functions):

Rule of Integration by Parts

• खण्डशः समाकलन का नियम (Rule of Integration by Parts):खण्डशः समाकलन की विधि की सफलता प्रथम व द्वितीय फलन के सही चयन पर निर्भर करती है। फलनों का चयन इस प्रकार करना चाहिए कि द्वितीय फलन से आसानी से समाकलन ज्ञात किया जा सक। यद्यपि फलनों के चयन का कोई व्यापक नियम नहीं है फिर भी कुछ बातों का ध्यान रखना चाहिए।
  
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खण्डशः समाकलन का नियम (Rule of Integration by Parts):

• सूत्र:\int{u.v}dx=u\left(\int{v}dx\right)-\int{\left[\frac{du}{dx}\int{v}dx\right]}dx
  Proof:किन्हीं दो फलनों f(x) व g(x) हेतु
  \frac{d}{dx}\left\{f(x) g(x)\right\}=\int{\left[f(x)\frac{d}{dx}g(x)+g(x)\frac{d}{dx}f(x)\right]}dx
• दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर:
  f(x) g(x)=\int{\left[f(x)\frac{d}{dx}g(x)+g(x)\frac{d}{dx}f(x)\right]}dx
  \Rightarrow \int{\left[f(x)\frac{d}{dx}g{x}\right]}dx=f(x)g(x)-\int{\left[g(x)\frac{d}{dx}f{x}\right]}dx… (1)
  अब माना f(x)=u,\frac{d}{dx}\left[g(x)\right]=v\Rightarrow g(x)=\int{v}dx
  उपर्युक्त मान (1) में रखने पर:
  \int{u.v}dx=u\left(\int{v}dx\right)-\int{\left[\frac{du}{dx}\int{v}dx\right]}dx
  इसमें u प्रथम फलन तथा v द्वितीय फलन है।प्रथम व द्वितीय फलन का चयन करते समय निम्न बातों का ध्यान रखना चाहिए।
• (i) यदि समाकल्य चर x की घात तथा चरघातांकी या त्रिकोणमितीय फलनों का गुणनफल हो तो चरघातांकी या त्रिकोणमितीय फलन को द्वितीय फलन लेना चाहिए।
• (ii)अकेले त्रिकोणमितीय फलन या लघुगणकीय फलनों के समाकलन हेतु इकाई 1 को द्वितीय फलन लेकर समाकलन करना चाहिए।
• (iii)खण्डशः समाकलन करते समय दायीं ओर समाकलन मूल रूप में लौटकर आ जाता है ऐसी स्थिति में पक्षान्तरण कर समाकलन करना चाहिए।
• (iv)आवश्यकतानुसार खण्डशः समाकलन का सूत्र एक से अधिक बार प्रयोग में लिया जा सकता है।

Rule of Integration by Parts

• Rule of integration by parts or integration of product of  functions

Rule of Integration by Parts

• खण्डशः समाकलन का नियम (Rule of Integration by Parts)

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• उपर्युक्त आर्टिकल में खण्डशः समाकलन का नियम (Rule of Integration by Parts) के बारे में बताया गया है।