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Derivative of parametric functions

1.फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज का परिचय (Introduction to Derivative of parametric functions)-

फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज (Derivative of parametric functions) को जानने के लिए यह जानना आवश्यक है कि प्राचल तथा प्राचलिक समीकरण किसे कहते हैं?यदि चरों x तथा y दोनों चर एक-दूसरे से सम्बन्धित न होकर एक तीसरे चर t से सम्बन्धित हों तो t को प्राचल कहते हैं तथा x व y को t के पदों में व्यक्त करने को प्राचलिक समीकरण कहते हैं।
जैसे x=f(t) , y=\phi \left( t \right) तब चर राशि t को प्राचल कहते हैं तथा इस प्रकार की समीकरण को प्राचलिक समीकरण कहते हैं।यदि दी गई प्राचलिक समीकरण से प्राचल का विलोपन कठिन हो तो अवकल गुणांक\frac { dy }{ dx } निम्न प्रकार ज्ञात किया जाता है।

\frac { dy }{ dx } =\frac { { dy }/{ dt } }{ { dx }/{ dt } }
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2.फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज ( Derivative of parametric functions)-

निम्नलिखित प्रश्नों की सहायता से फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज (Derivative of parametric functions) को समझा जा सकता है।
Question-1. x=\frac { { sin }^{ 3 }t }{ \sqrt { cos2t } } ,y=\frac { { cos }^{ 3 }t }{ \sqrt { cos2t } } तो \frac { dy }{ dx } ज्ञात कीजिए।
Solution-x=\frac { { sin }^{ 3 }t }{ \sqrt { cos2t } }
t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dx }{ dt } =\frac { \sqrt { cos2t } .3{ sin }^{ 2 }t\quad cost-{ sin }^{ 3 }t.\frac { 1 }{ 2\sqrt { cos2t } } (-2sin2t) }{ cos2t } \\ \frac { dx }{ dt } =\frac { 3{ sin }^{ 2 }t\quad cost\quad cos2t\quad +\quad { sin }^{ 3 }t.sin2t }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \\ \frac { dx }{ dt } =\frac { 3{ sin }^{ 2 }t\quad cost\left( 1-2{ sin }^{ 2 }t \right) +{ sin }^{ 3 }t.sin2t }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \\ \frac { dx }{ dt } =\frac { 3{ sin }^{ 2 }t\quad cost-4{ sin }^{ 4 }t.cost }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \\ \frac { dx }{ dt } =\frac { { sin }^{ 2 }t\quad cost\left( 3-4{ sin }^{ 2 }t \right) }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } .........(1)\\ y=\frac { { cos }^{ 3 }t }{ \sqrt { cos2t } } \\ \frac { dy }{ dt } =\frac { \sqrt { cos2t } .3{ cos }^{ 2 }t\left( -sint \right) -{ cos }^{ 3 }t.\frac { 1 }{ 2\sqrt { cos2t } } (-2sin2t) }{ cos2t } \\ \frac { dy }{ dt } =\frac { -3{ cos }^{ 2 }t\quad sint\quad cos2t\quad +\quad { cos }^{ 3 }t.sin2t }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \\ \frac { dy }{ dt } =\frac { -3{ cos }^{ 2 }t\quad sint\left( 2{ cos }^{ 2 }t-1 \right) +{ cos }^{ 3 }t.2sintcost }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \\ \frac { dy }{ dt } =\frac { -6{ cos }^{ 4 }t\quad sint+3{ cos }^{ 2 }tsint+2{ cos }^{ 4 }t\quad sint }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \\ \frac { dy }{ dt } =\frac { -4{ cos }^{ 4 }t\quad sint+3{ cos }^{ 2 }t\quad sint }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \\ \frac { dy }{ dt } =\frac { -{ cos }^{ 2 }t\quad sint\left( { 4cos }^{ 2 }t-3 \right) }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } ........(2)\\ \frac { dy }{ dx } =\frac { { dy }/{ dt } }{ { dx }/{ dt } }

समीकरण (1) व (2) से मान रखने पर-

\frac { dy }{ dx } =\frac { -{ cos }^{ 2 }t\quad sint\left( { 4cos }^{ 2 }t-3 \right) }{ { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \times \frac { { \left( cos2t \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { sin }^{ 2 }t\quad cost\left( 3-4{ sin }^{ 2 }t \right) } \\ \frac { dy }{ dx } =-\frac { cost\left( { 4cos }^{ 2 }t-3 \right) }{ sint\left( 3-4{ sin }^{ 2 }t \right) } \\ \frac { dy }{ dx } =-\frac { \left( { 4cos }^{ 3 }t-3cost \right) }{ \left( 3sint-4{ sin }^{ 3 }t \right) } \\ \frac { dy }{ dx } =-\frac { cos3t }{ sin3t } \\ \frac { dy }{ dx } =-cot3t

Question-2.यदि { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }=t-\frac { 1 }{ t }  \quad तथा\quad { x }^{ 6 }+{ y }^{ 6 }={ t }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } तब सिद्ध कीजिए कि{ x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }\left( \frac { dy }{ dx } \right) =1
Solution-{ x }^{ 6 }+{ y }^{ 6 }={ t }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } -2+2\\ { x }^{ 6 }+{ y }^{ 6 }={ \left( t-\frac { 1 }{ t } \right) }^{ 2 }+2\\ { x }^{ 6 }+{ y }^{ 6 }={ \left( { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 } \right) }^{ 2 }+2\\ \left[ \because { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }=t-\frac { 1 }{ t } \right] \\ { x }^{ 6 }+{ y }^{ 6 }={ x }^{ 6 }+{ y }^{ 6 }+2{ x }^{ 3 }{ y }^{ 3 }+2\\ 2{ x }^{ 3 }{ y }^{ 3 }+2=0\\ { x }^{ 3 }{ y }^{ 3 }+1=0......(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

3{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }+3{ x }^{ 3 }{ y }^{ 2 }\left( \frac { dy }{ dx } \right) =0\\ { x }^{ 3 }{ y }^{ 2 }\left( \frac { dy }{ dx } \right) =-{ x }^{ 2 }{ y }^{ 3 }
दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर-

{ x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }\left( \frac { dy }{ dx } \right) =-{ x }^{ 3 }{ y }^{ 3 }

समीकरण (1) से मान रखने पर-

{ x }^{ 4 }{ y }^{ 2 }\left( \frac { dy }{ dx } \right) =1
Question-3. \frac { dy }{ dx } ज्ञात कीजिए जबकि x=a\left( cost+\log { tan\frac { t }{ 2 } } \right) ,y=asint

Solution-x=a\left( cost+\log { tan\frac { t }{ 2 } } \right)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dx }{ dt } =a\left[ -sint+\frac { 1 }{ tan\frac { t }{ 2 } } { sec }^{ 2 }\frac { t }{ 2 } .\frac { 1 }{ 2 } \right] \\ \frac { dx }{ dt } =a\left[ -sint+\frac { { sec }^{ 2 }\frac { t }{ 2 } }{ 2tan\frac { t }{ 2 } } \right] \\ \frac { dx }{ dt } =a\left[ -sint+\frac { 1 }{ 2sin\frac { t }{ 2 } cos\frac { t }{ 2 } } \right] \\ \frac { dx }{ dt } =a\left[ -sint+\frac { 1 }{ sint } \right] \\ \frac { dx }{ dt } =a\left[ \frac { -{ sin }^{ 2 }t+1 }{ sint } \right] \\ \frac { dx }{ dt } =a\left[ \frac { cos^{ 2 }t }{ sint } \right] .......(1)\\ y=asint
t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dt } =a\quad cost.......(2)\\ \frac { dy }{ dx } =\frac { { dy }/{ dt } }{ { dx }/{ dt } }
समीकरण (1) व (2) से मान रखने पर-

\frac { dy }{ dx } =\frac { a\quad cost }{ a\left[ \frac { cos^{ 2 }t }{ sint } \right] } \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { sint }{ cost } \\ \frac { dy }{ dx } =tant
इस प्रकार उपर्युक्त उदाहरणों की सहायता से फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज (Derivative of parametric functions) को समझा जा सकता है।

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