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Zeroes of Quadratic Polynomial

1.द्विघात बहुपदों के शून्यक (Zeroes of Quadratic Polynomial):

द्विघात बहुपदों के शून्यक (Zeroes of Quadratic Polynomials) को ज्ञात करनेवाले के लिए द्विघात,द्विघात बहुपद को जानना आवश्यक है।
(1.)द्विघात (Quadratic):द्विघात का शाब्दिक अर्थ वर्ग (Square) है तथा द्विघात शब्द का अर्थ वर्ग के समान से है।अतः बहुपद जिसमें अज्ञात राशि (चर) की उच्चतम घातक (Index) 2 हो, द्विघात अथवा वर्ग बहुपद कहलाता है।
(2.)द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial):घात 2 के बहुपद को द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial) कहते हैं।द्विघात शब्द (Quadratic) शब्द क्वाड्रेट (Quadrate) शब्द से बना है जिसका अर्थ है ‘वर्ग’।
(3.)द्विघात बहुपद के प्रकार (Types of Quadratic Polynomial):
(i)शुद्ध द्विघात बहुपद (Pure Quadratic Polynomial):जिस द्विघात बहुपद में चर केवल 2 घात में हो शुद्ध द्विघात बहुपद कहलाता है।बहुपद ax^{2}+c,a \neq 0 इसका व्यापक रूप है।
(ii)मिश्र द्विघात बहुपद (Mixed Quadratic Polynomial):जिस द्विघात बहुपद में चर एक घात तथा दो घात में विद्यमान हों मिश्र द्विघात बहुपद कहलाता है।मिश्र द्विघात बहुपद का व्यापक रूप अर्थात् मानक रूप (Standard form) हैः
ax^{2}+b x+c जहाँ a,b,c वास्तविक संख्याएं हैं और a \neq 0 है।
(4.)द्विघात बहुपद के शून्यक (Zeroes of Quadratic Polynomial):दिए गए बहुपद के शून्यक x के वे मान होते हैं जिनसे f(x)=0 सन्तुष्ट होता है।दूसरे शब्दों में x=\alpha बहुपद का शून्यक कहलाएगा यदि f(\alpha)=0 जहाँ f(\alpha) उस बहुपद का मान होता है जो f(x) में रखने पर आता है।
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2.द्विघात बहुपदों के शून्यक के उदाहरण (Zeroes of Quadratic Polynomial Examples):

निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
Example:1. 4 x^{2}+8 x
Solution:शून्यकों को ज्ञात करने के लिए 4 x^{2}+8 x=0
\Rightarrow 4 x(x+2)=0 \Rightarrow x=0,-2 अतः शून्यक 0 और -2 हैं।
शून्यकों का योग =0-2=-2=-\frac{x \text{ का गुणांक }}{x^{2} \text{ का गुणांक }}
शून्यकों का गुणनफल=0(-2)=0=\frac{\text{ अचर पद}}{x^{2} \text{ का गुणांक }}
Example:2.4 x^{2}-4 x+1
Solution:शून्यकों को ज्ञात करने के लिए 4 x^{2}-4 x+1=0 \\ \Rightarrow 4 x^{2}-2 x-2 x+1=0 \\ \Rightarrow 2 x(2 x-1)-1(2 x-1)=0 \\ \Rightarrow(2 x-1)(2 x-1)=0 \\ \Rightarrow(2 x-1)^{2}=0 \\ \Rightarrow x=\frac{1}{2},\frac{1}{2}
अतः शून्यक \frac{1}{2} और \frac{1}{2} हैं।
शून्यकों का योग =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1=-\frac{x \text{ का गुणांक }}{x^{2} \text{ का गुणांक }}
शून्यकों का गुणनफल=\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}=\frac{\text{ अचर पद}}{x^{2} \text{ का गुणांक }}
Example:3.6 x^{2}-x-2
Solution: 6 x^{2}-x-2

शून्यकों को ज्ञात करने के लिए 

6 x^{2}-x-2=0 \\ \Rightarrow 6 x^{2}-4 x+3 x-2=0 \\ \Rightarrow 2 x(3x-2)+1(3x-2)=0 \\ \Rightarrow (3 x-2)(2 x+1)=0 \\ \Rightarrow 3 x-2=0,2 x+1=0 \\ \Rightarrow 3 x=2,2 x=-1 \\ \Rightarrow x=\frac{2}{3}, x=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{2}{3},-\frac{1}{2}
अतः शून्यक \frac{2}{3} और  -\frac{1}{2} हैं।
शून्यकों का योग =\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{4-3}{6}=\frac{1}{6} =-\frac{x \text{ का गुणांक }}{x^{2} \text{ का गुणांक }}
शून्यकों का गुणनफल=\left ( \frac{2}{3} \right )\left ( -\frac{1}{2} \right )=-\frac{1}{3}=\frac{\text{ अचर पद}}{x^{2} \text{ का गुणांक }}
Example:4.x^{2}-15
Solution:x^{2}-15

शून्यकों को ज्ञात करने के लिए

x^{2}-15=0 \\ \Rightarrow x^{2}=15 \\ \Rightarrow x=\pm \sqrt{15} \\ \Rightarrow x=\pm \sqrt{15},-\sqrt{15}
अतः शून्यक  \sqrt{15} और -\sqrt{15}  हैं।
शून्यकों का योग =\sqrt{15}-\sqrt{15}=0=-\frac{x \text{ का गुणांक }}{x^{2} \text{ का गुणांक }}
शून्यकों का गुणनफल=\left (\sqrt{15} \right ) \left (-\sqrt{15} \right )=-15=\frac{\text{ अचर पद}}{x^{2} \text{ का गुणांक }}
Example:5. x^{2}-(\sqrt{3}+1) x+\sqrt{3}
Solution:x^{2}-(\sqrt{3}+1) x+\sqrt{3}

शून्यकों को ज्ञात करने के लिए

x^{2}-\sqrt{3} x-x+\sqrt{3}=0 \\ \Rightarrow x(x-\sqrt{3})-1(x-\sqrt{3})=0 \\ \Rightarrow(x-\sqrt{3})(x-1)=0 \\ \Rightarrow x=\sqrt{3}, 1 
अतः शून्यक \sqrt{3} और 1 हैं।
शून्यकों का योग =(\sqrt{3}+1) = -\frac{x \text{ का गुणांक }}{x^{2} \text{ का गुणांक }}
शून्यकों का गुणनफल=\left ( \sqrt{3} \right )\left ( 1 \right ) =\left ( \sqrt{3} \right )= \frac{\text{ अचर पद}}{x^{2} \text{ का गुणांक }}
Example:6.3 x^{2}-x-4
Solution:3 x^{2}-x-4

शून्यकों को ज्ञात करने के लिए

3 x^{2}-x-4=0 \\ \Rightarrow 3 x^{2}-4 x+3 x-4=0 \\ \Rightarrow x(3 x-4)+1(3 x-4)=0 \\ \Rightarrow(3 x-4)(x+1)=0 \\ \Rightarrow x=\frac{4}{3},-1
अतः शून्यक \frac{4}{3} और -1 हैं।
शून्यकों का योग =\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}= -\frac{x \text{ का गुणांक }}{x^{2} \text{ का गुणांक }}
शून्यकों का गुणनफल=\left ( \frac{4}{3} \right )\left ( -1 \right )=-\frac{4}{3}=\frac{\text{ अचर पद}}{x^{2} \text{ का गुणांक }}
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल दी गई संख्याएं हैं:
Example:7.-3,2
Solution:शून्यकों का योग (\alpha+\beta)=-3
शून्यकों का गुणनफल (\alpha \beta)=2
a=1,b=-3,c=2
द्विघात बहुपद x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta \\ \Rightarrow x^{2}-(-3) x+2 \\ \Rightarrow x^{2}+3 x+2
Example:8. \sqrt{2}, \frac{1}{3}
Solution:शून्यकों का योग (\alpha+\beta)=\sqrt{2}
शून्यकों का गुणनफल (\alpha \beta)=\frac{1}{3}

\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=\sqrt{2}=\frac{3 \sqrt{2}}{3} \\ \alpha \beta=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}
अतः a=3,b=-3 \sqrt{2},c=1
द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c \\ \Rightarrow 3 x^{2}-3 \sqrt{2} x+1
Example:9. -\frac{1}{4}, \frac{1}{4}
Solution:शून्यकों का योग \alpha+\beta=-\frac{1}{4}
शून्यकों का गुणनफल \alpha \beta=\frac{1}{4} \\ \alpha+\beta=-\frac{1}{4}=\frac{-b}{a} \\ \alpha \beta=\frac{1}{4}=\frac{c}{a}
अतःa=4,b=1,c=1
द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c \\ \Rightarrow 4 x^{2}+x+1
Example:10. 0, \sqrt{5}
Solution:शून्यकों का योग (\alpha+\beta)=0 \\ (\alpha+\beta)=\frac{0}{1}=\frac{-b}{a}
शून्यकों का गुणनफल \alpha \beta=\sqrt{5}\\ \alpha \beta=\frac{\sqrt{5}}{1}=\frac{c}{a}
अतः a=1,b=0,c=\sqrt{5}
द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c \\ \Rightarrow x^{2}+\sqrt{5}
Example:11.4,1
Solution:शून्यकों का योग \left ( \alpha+\beta \right )=4 \\ \alpha+\beta=\frac{4}{1}=-\frac{b}{a}
शून्यकों का गुणनफल (\alpha \beta)=1 \\ (\alpha \beta)=\frac{1}{1}=\frac{c}{a}
अतःa=1,b=-4,c=1
द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c \\ \Rightarrow x^{2}-4 x+1

Example:12.1,1
Solution:शून्यकों का योग (\alpha+\beta)=1 \\ (\alpha+\beta)=\frac{1}{1}=\frac{-b}{a}
शून्यकों का गुणनफल \left(\alpha \beta \right)=1 \\ \left(\alpha \beta\right)=\frac{1}{1}=\frac{c}{a}
अतः a=1,b=-1,c=1
द्विघात बहुपद a x^{2}+b x+c \\ \Rightarrow x^{2}-x+1
Example:13.यदि द्विघात बहुपद f(x)=x^{2}-8 x+k के शून्यकों के वर्गो का योग 40 हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: f(x)=x^{2}-8 x+k
माना बहुपद के शून्यक \alpha, \beta हैं।

\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=\frac{-(-8)}{1}=8 \\ \alpha \beta=\frac{c}{a}=\frac{k}{1}=k
प्रश्नानुसार \alpha^{2}+\beta^{2} \equiv 40 \\ \Rightarrow(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta=40 \\ \Rightarrow(8)^{2}-2(K)=40 \\ \Rightarrow 64-2 K=40 \\ \Rightarrow 2 k=64-40 \Rightarrow k=\frac{24}{2}=12
Example:14.यदि बहुपद f(x)=5 x^{2}+13 x+k का एक शून्यक दूसरे का व्युत्क्रम हो तो k का मान होगा।
Solution:f(x)=5 x^{2}+13 x+k

माना बहुपद के शून्यक \alpha,\frac{1}{\alpha} हैं।

\alpha+\frac{1}{\alpha}=-\frac{b}{a}=-\frac{13}{5} \\ (\alpha)\left(\frac{1}{\alpha}\right)=\frac{c}{a}=\frac{k}{5} \\ \Rightarrow 1=\frac{k}{5} \Rightarrow k=5
Example:15.बहुपद x^{2}-x-6 के शून्यक हैं।
Solution:x^{2}-x-6
शून्यकों को ज्ञात करने के लिए:

x^{2}-x-6=0 \\ \Rightarrow x^{2}-3 x+2 x-6=6 \\ \Rightarrow x(x-3)+2(x-3)=0 \\ \Rightarrow(x+2)(x-3)=0 \\ \Rightarrow x=-2,3
Example:16.यदि बहुपद 2 x^{2}+x+k का एक शून्यक 3 है तो k का मान होगा।
Solution: 2 x^{2}+x+k का एक शून्यक 3 है अतः x=3 रखने पर:

2(3)^{2}+3+k=0 \\ \Rightarrow 18+3+k=0 \\ \Rightarrow k=-21
Example:17.यदि \alpha,\beta बहुपद के x^{2}-p(x+1)-c शून्यक इस प्रकार हैं कि (\alpha+1)(\beta+1)=0  है तो c का मान होगा।
Solution: x^{2}-p(x+1)-c \\ \Rightarrow x^{2}-p x-p-c

\alpha,\beta दिए गए बहुपद के शून्यक हैं अतः

\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=\frac{p}{1}=p \cdots(1) \\ \alpha \beta=\frac{c}{a}=\frac{-p-c}{1}=-p-c \cdots(2) \\ (\alpha+1)(\beta+1)=0 \\ \alpha \beta+\alpha+\beta+1=0\\ -p-c+p+1=0\\ \Rightarrow c=+1
Example:18.यदि x=1 समीकरण a x^{2}+a x+3=0 तथा x^{2}+x+b का एक मूल उभयनिष्ठ है तो ab का मान होगा।
Solution: a x^{2}+a x+3=0 तथा x^{2}+x+b
x=1 दोनों समीकरणों में रखने पर:

a x^{2}+a x+3=0 x^{2}+x+b=0 \\ a(1)^{2}+a(1)+3=0 \\ \Rightarrow a+a+3=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2} \\ \Rightarrow x^{2}+(1)+b=0 \\ \Rightarrow b=-2 \\ (a b)=\left(-\frac{3}{2}\right)(-2) \\ \Rightarrow a b=3
Example:19.द्विघात बहुपद 2 x^{2}-8 x+6 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों एवं गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
Solution:शून्यक ज्ञात करनेवाले के लिए:

2 x^{2}-8 x+6=0 \\ \Rightarrow 2 x^{2}-6 x-2 x+6=0 \\ \Rightarrow 2 x(x-3)-2(x-3)=0 \\ \Rightarrow(x-3)(2 x-2)=0 \\ \Rightarrow x=3,1
अत: शून्यक 1,3 हैं।
a=2,b=-8,c=6
शून्यकों का योग= -\frac{b}{a} \\ \Rightarrow 1+3 =-\frac{(-8)}{2} \\ \Rightarrow 4=4

शून्यकों का गुणनफल=\frac{c}{a} \\ \Rightarrow(3)(1)=\frac{6}{2} \Rightarrow 3=3
Example:20.यदि और द्विघात बहुपद f(x)=x^{2}-p x+q के शून्यक हैं तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:

(i) \alpha^{2}+\beta^{2} \quad (ii) \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}
Solution:f(x)=x^{2}-p x+q \\ \alpha+\beta=-\frac{b}{a}=\frac{-\left ( -p \right )}{a}=p \\ \alpha \beta=\frac{c}{a}=\frac{q}{1}=q \\ \text { (i) } (\alpha+\beta)^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}+2 \alpha \beta \\ \Rightarrow p^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}+2(q) \\ \Rightarrow \alpha^{2}+\beta^{2}=p^{2}-2 q \\ \text { (ii) } \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \\ \Rightarrow \frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta} \\ \Rightarrow \frac{p}{q} \\ \Rightarrow \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{p}{q}
Example:21.यदि बहुपद x^{4}-6 x^{3}+16 x^{2}-25 x+10 को एक अन्य बहुपद x^{2}-2 x+k से भाग दिया जाता है और शेषफल x+a है तो k और a का मान ज्ञात कीजिए।

Solution:-अब भागविधि से:

 x^{2}-4 x+(8-k)
x^{2}-2 x+kx^{4}-6 x^{3}+16 x^{2}-25 x+10 \\ x^{4}-2 x^{2}+k x^{2} \\ - \quad + \quad -
 -4 x^{3}+(16-k) x^{2}-25 x+10 \\ -4 x^{3}+8 x^{2}-4 k x \\ + \quad - \quad +
 (8-k) x^{2}+(4 k-25) x+10 \\ (8-k) x^{2}-(16-2 k) x+8 k-k^{2} \\ - \quad + \quad -
शेषफल(2k-9) x+k^{2}-8 K+10

अतः शेषफल =(2k-9) x+k^{2}-8 K+10
प्रश्नानुसार शेषफल=x+a
अतः शेषफलों की तुलना करने पर: (2 k-9) x+k^{2}-8 k+10=x+a
समान गुणांकों की तुलना करने पर: 2 k-9=1 \\ \Rightarrow 2 k=10 \Rightarrow k=5 \\ a=k^{2}-8 k+10 \\ \Rightarrow a=(5)^{2}-8(5)+10 \\ \Rightarrow a=25-40+10 \\ \Rightarrow a=35-40 \\ \Rightarrow a=-5
अत: k=5,a=-5
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विघात बहुपदों के शून्यक (Zeroes of Quadratic Polynomial) को समझ सकते हैं।

3.द्विघात बहुपदों के शून्यक की समस्याएं (Zeroes of Quadratic Polynomial Examples):

(1.)द्विघात बहुपद x^{2}+7 x+10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
(2.)बहुपद x^{2}-3 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
(3.)एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः -3 और 2 हैं।
(4.)जाँच कीजिए की त्रिघात बहुपद P(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3 के शून्यक 3,-1 और -\frac{1}{3} हैं।इसके पश्चात् शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.) -2,-5 \\ (2.) \sqrt{3},-\sqrt{3} \\ (3.) x^{2}+3 x+2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विघात बहुपदों के शून्यक (Zeroes of Quadratic Polynomial) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.मुख्य बिन्दु (HIGHLIGHTS):

(1.)चर x बहुपद p(x) में x की उच्चतम घात (power) बहुपद की घात (degree) कहलाती है।उदाहरण के लिए 4x+2 में घात एक का बहुपद है।
(2.)घात तीन का बहुपद त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial) कहलाता हैं।
(3.)घात दो के बहुपद को द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial) कहते हैं।
(4.)घात तीन का बहुपद त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial) कहलाता है।
(5.)द्विघात बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ का तात्पर्य है कि किसी द्विघात बहुपद के दो भिन्न शून्यक या दो बराबर शून्यक (अर्थात् एक शून्यक) या कोई भी शून्यक नहीं हो सकता है।इसका अर्थ यह भी है कि घात दो के किसी बहुपद के अधिकतम दो शून्यक हो सकते हैं।

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5.द्विघात बहुपदों के शून्यक (Zeroes of Quadratic Polynomial) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.बहुपद किसे कहते हैं?(Which says polynomial?):

उत्तर:एक से अधिक पदों के बीजगणितीय व्यंजक बहुपद कहलाते हैं।यदि इसके पदों में किसी भी पद में चर की घात ऋणात्मक नहीं हो।

प्रश्न:2.बहुपद का शून्यक क्या होता है? (What is zero of polynomial?):

उत्तर:एक वास्तविक संख्या a किसी बहुपद f(x) का शून्यक कहलाएगी यदि f(a)=0 हो अर्थात् चर का मान जिससे बहुपद का मान शून्य हो जाए।

प्रश्न:3.बहुपद की घात और शून्य में क्या संबंध है? (What is relation between power and zero of polynomial?):

उत्तर:बहुपद के शून्यकों की संख्या इसकी उच्चतम घात के बराबर होती है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा द्विघात बहुपदों के शून्यक (Zeroes of Quadratic Polynomial) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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Zeroes of Quadratic Polynomials

द्विघात बहुपदों के शून्यक
(Zeroes of Quadratic Polynomials)

Zeroes of Quadratic Polynomials

द्विघात बहुपदों के शून्यक (Zeroes of Quadratic Polynomials) को ज्ञात करनेवाले
के लिए द्विघात,द्विघात बहुपद को जानना आवश्यक है।

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