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Mode of Grouped Data

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1 1.वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode of Grouped Data),समूहित डेटा के भूयिष्ठक का सूत्र (Formula for Mode of Grouped Data):

1.वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode of Grouped Data),समूहित डेटा के भूयिष्ठक का सूत्र (Formula for Mode of Grouped Data):

वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode of Grouped Data) दिए हुए प्रेक्षणों में वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है अर्थात् उस प्रेक्षण का मान जिसकी बारम्बारता अधिकतम है।
एक वर्गीकृत बारम्बारता बंटन में बारम्बारताओं को देखकर बहुलक ज्ञात करना संभव नहीं है।यहाँ हम केवल वह वर्ग (Class) ज्ञात कर सकते हैं जिसकी बारम्बारता अधिकतम है।इस वर्ग को बहुलक वर्ग (Modal Class) कहते हैं।बहुलक इस वर्ग के अन्दर कोई मान है जिसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
वर्गीकृत आंकड़ों का बहुलक सूत्र (Mode of Grouped Data Formula),समूहित आँकड़ों का बहुलक का सूत्र (Formula for Mode of Grouped Data):
बहुलक (Z)=l+\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \times h
जहाँ l=बहुलक वर्ग की निम्न (निचली) सीमा
h=वर्ग अन्तराल की माप (यह मानते हुए कि सभी अन्तराल बराबर मापों के हैं)
f_{1}=बहुलक वर्ग की बारम्बारता
f_{0}=बहुलक वर्ग से ठीक पहले वर्ग की बारम्बारता
f_{2}=बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आनेवाले वर्ग की बारम्बारता
माध्य ज्ञात करने की पद-विचलन विधि (Mean By Step Deviation Method):
पद-विचलन विधि सूत्र (Mean By Step Deviation Method Formula):

\bar{x}=a+\left(\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\right) \times h
जहाँ u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}

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2.वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक के उदाहरण (Mode of Grouped Data Examples):

Example:1.निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाता है:

आयु (वर्षों में)रोगियों की संख्या
5-156
15-2511
25-3521
35-4523
45-5514
55-655

उपर्युक्त आंकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए।दोनों केन्द्रीय प्रवृत्ति के मापों की तुलना कीजिए और उनकी व्याख्या कीजिए।
Solution:सारणी (Table)

आयु (वर्षों में)मध्य-मूल्य(x)रोगियों की संख्या(f)u_{i}=\frac{x_{i}-30} {10}f_{i}u_{i}
5-15106\frac{10-30}{10}=-2-12
15-252011\frac{20-30}{10}=-1-11
25-353021\frac{30-30}{10}=00
35-454023\frac{40-30}{10}=123
45-555014\frac{50-30}{10}=228
55-65605\frac{60-30}{10}=315
Total 80 43

समान्तर माध्य (Arithmetic Mean):

\bar{x}=a+\left(\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\right) \times h \\ \bar{x} =30+\frac{43}{80} \times 10 \\ =30+5.375 \\ \Rightarrow \bar{x} =35.375
बहुलक (Mode):
सबसे अधिक बारम्बारता 23 है अतः बहुलक वर्ग 35-45
l=35, h=45-35=10 \\ f_{0}=21, f_{1}=23, f_{2}=14
बहुलक (Mode):

Z=l+\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \times h \\ =35+\left(\frac{23-21}{2 \times 23-21-14}\right) \times 10 \\ = 35+\left(\frac{20}{46-35}\right) \\ \Rightarrow Z =35+\frac{20}{11} \\ =35+1.818 \\ \Rightarrow Z =36.818 \\ \Rightarrow z \approx 36.82
अस्पताल में भर्ती अधिकतम रोगी 36.8 वर्ष आयु (लगभग) के हैं।जबकि औसतन अस्पताल में भर्ती किए गए रोगियों की आयु 35.57 वर्ष है।
Example:2.निम्नलिखित आँकड़ें 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवनकाल (घंटों में) की सूचना देते हैं:

जीवनकाल(घंटों में)बारम्बारता
0-2010
20-4035
40-6052
60-8061
80-10038
100-12029

उपकरणों का बहुलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
Solution:सारणी (Table)

जीवनकाल (घण्टों में) बारम्बारता
0-2010
20-4035
40-6052
60-8061
80-10038
100-12029

सबसे अधिक बारम्बारता 61 है अतः बहुलक वर्ग 60-80 है।
\ell=60, h=80-60=20, \\ f_{0}=52, f_{1}=61, f_{2}=38
बहुलक
(z)=\ell+\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \times h \\ =60+\left(\frac{61-52}{2 \times 61-52-38}\right) \times 20\\ =60+\left(\frac{9 \times 20}{122-90}\right) \\ =60+\frac{180}{32} \\ =60+5.625 \\ \Rightarrow Z=65.625 घण्टे
Example:3.निम्नलिखित आँकड़ें किसी गाँव के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए।साथ ही माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए।

व्यय (रुपयों में) परिवारों की संख्या
1000-150024
1500-200040
2000-250033
2500-300028
3000-350030
3500-400022
4000-450016
4500-50007

Solution:सारणी (Table)

व्यय (रुपयों में) परिवारों की संख्या(f) मध्य-मूल्यfx
1000-150024125030000
1500-200040175070000
2000-250033225074250
2500-300028275077000
3000-350030325097500
3500-400022375082500
4000-450016425068000
4500-50007475033250
Total200 532500

बहुलक (Mode):
सबसे अधिक बारम्बारता 40 है अतः बहुलक वर्ग 1500-2000 है।
l=1500,h=2000-1500=500, f_{0}=24, f_{1}=40, f_{2}=33
बहुलक (Z)=l+\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \times h \\=1500+\left(\frac{40-24}{2 \times 40-24-33}\right) \times 500\\=1500+\frac{16}{80-57} \times 500 \\=1500+\frac{8000}{23} \\=1500+347.826 \\=1847.826 \\ Z \approx 1847.83
समान्तर माध्य प्रत्यक्ष विधि से (Mean By Shortcut Method):

\bar{x} =\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}} \\=\frac{532500}{200} \\=2662.5 \\ \Rightarrow \bar{x} =2662.5

Example:4.निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चत्तर माध्यमिक स्कूलों में,राज्यों के अनुसार, शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है।इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए।दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए।

प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्याराज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या
15-203
20-258
25-309
30-3510
35-403
40-450
45-500
50-552

Solution:

प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्याराज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या(f)मध्य-मूल्य(x)u_{i}=\frac{x_{i}-32.5} {5}f_{i}u_{i}
15-20317.5\frac{17.5-32.5}{5}=-3-9
20-25822.5\frac{22.5-32.5}{5}=-2-16
25-30927.5\frac{27.5-32.5}{5}=-1-9
30-351032.5\frac{32.5-32.5}{5}=00
35-40337.5\frac{37.5-32.5}{5}=13
40-45042.5\frac{42.5-32.5}{5}=20
45-50047.5\frac{47.5-32.5}{5}=30
50-55252.5\frac{52.5-32.5}{5}=48
Total35  -23

बहुलक (Mode):
सबसे अधिक बारम्बारता 10 है अतः बहुलक वर्ग 30-35 है।
l=30, h=35-30=5 \\ f_{0}=9, f_{1}=10, f_{2}=3
बहुलक (Z)=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times h\\ =30+\frac{10-9}{2 \times 10-9-3} \times 5 \\ =30+\frac{1}{20-12} \times 5 \\ =30+\frac{5}{8} \\= 30+0.625 \\ \Rightarrow Z=30.625
समान्तर माध्य पद विचलन विधि (Arithmetic Mean By Step Deviation Method):

\bar{x} =a+\left(\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\right) \times h \\=32.5+\left(\frac{-23}{35}\right) \times 5 \\=32.5-\frac{23}{7} \\=32.5-3.2857 \\=29.2143 \\ \bar{x} \approx 29.21
अधिकांश राज्यों/U.T.में छात्र और अध्यापक का अनुपात 30.6 है और औसतन यह अनुपात 29.2 है।
Example:5.दिया हुआ बंटन विश्व के श्रेष्ठतम बल्लेबाजों द्वारा एक दिवसीय अन्तर्राष्ट्रीय क्रिकेट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है:

बनाए गए रनबल्लेबाजों की संख्या
3000-40004
4000-500018
5000-60009
6000-70007
7000-80006
8000-90003
9000-100001
10000-110001

इन आंकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
Solution:सारणी (Table)

बनाए गए रनबल्लेबाजों की संख्या
3000-40004
4000-500018
5000-60009
6000-70007
7000-80006
8000-90003
9000-100001
10000-110001

सबसे अधिक बारम्बारता 18 है अतः बहुलक वर्ग 4000-5000 है।
l=4000, \quad h=5000-4000=1000 \\ f_{0}=4, f_{1}=18, f_{2}=9
बहुलक (Z)=l+\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \times h \\=4000+\left(\frac{18-4}{2 \times 18-4-9}\right) \times 1000 \\=4000+\frac{14 \times 1000}{36-13} \\=4000+\frac{14000}{23} \\=4000+608.695

बहुलक (Z)\approx 4608.7 रन
Example:6.एक विद्यार्थी ने सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएं नोट की और उन्हें नीचे दी हुई सारणी के रूप में व्यक्त किया।सारणी में दिया गया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अन्तराल में उस स्थान से होकर जानेवाली कारों की संख्याओं से सम्बन्धित है।ऐसे 100 अन्तरालों पर प्रेक्षण लिए गए।इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

कारों की संख्याबारम्बारता
0-107
10-2014
20-3013
30-4012
40-5020
50-6011
60-7015
70-808

Solution:सारणी (Table)

कारों की संख्याबारम्बारता
0-107
10-2014
20-3013
30-4012
40-5020
50-6011
60-7015
70-808

सबसे अधिक बारम्बारता 20 है अतः बहुलक वर्ग 40-50 है।
l=40, h=50-40=10 \\f_{0}=12, f_{1}=20, f_{2}=11
बहुलक (Z)=l+\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \times h \\=40+\frac{20-12}{2 \times 20-12-11} \times 10 \\=40+\frac{8 \times 10}{40-23} \\=40+\frac{80}{17} \\=40+4.705

बहुलक (Z) \approx 44.7 कार
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode of Grouped Data),समूहित डेटा के भूयिष्ठक का सूत्र (Formula for Mode of Grouped Data) को समझ सकते हैं।

3.वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक की समस्याएँ (Mode of Grouped Data Problems):

(1.)विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा एक मोहल्ले के 20 परिवारों पर किए गए सर्वेक्षण के परिणामस्वरूप विभिन्न परिवारों के सदस्यों की संख्या से सम्बन्धित निम्नलिखित आँकड़ें प्राप्त हुए:

परिवार माप1-33-55-77-99-11
परिवारों की संख्या78221

(2.)गणित की एक परीक्षा में 30 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का बंटन नीचे दिया गया है।इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।साथ ही बहुलक और माध्य की तुलना कीजिए और इनकी व्याख्या कीजिए।

वर्ग अन्तराल10-2525-4040-5555-7070-8585-100
विद्यार्थियों की संख्या237666

उत्तर (Answers):(2.)3.286
(2.)बहुलक अंक (Z)=52,माध्य =62
अतः अधिकतम विद्यार्थियों का अंक 52 है तथा औसत के रूप में प्रत्येक विद्यार्थी ने 62 अंक प्राप्त किए हैं।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode of Grouped Data),समूहित डेटा के भूयिष्ठक का सूत्र (Formula for Mode of Grouped Data) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode of Grouped Data),समूहित डेटा के भूयिष्ठक का सूत्र (Formula for Mode of Grouped Data) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.अवर्गीकृत आंकड़ों का बहुलक कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the Mode of ungrouped data?):

उत्तर:बहुलक दिए हुए प्रेक्षणों में वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है अर्थात् उस प्रेक्षण का मान जिसकी बारंबारता अधिकतम है।

प्रश्न:2.बहुबहुलकीय आंकड़े किसे कहते हैं? (What is multimodal data called?)

उत्तर:अवर्गीकृत आंकड़ों तथा वर्गीकृत आंकड़ों में यह संभव है कि एक से अधिक मानों की एक ही अधिकतम बारंबारता हो।ऐसी स्थितियों में आंकड़ों को बहुबहुलकीय (Multimodal) आंकड़े कहा जाता है।

प्रश्न:3.वर्गीकृत आंकड़ों का बहुलक तथा माध्य ज्ञात करने के लिए किस बात का ध्यान रखना चाहिए? (What should be taken care of to find the mode and mean of grouped data?):

उत्तर:वर्गीकृत आंकड़ों के बहुलक और माध्य का परिकलन करने के लिए सूत्र का प्रयोग करने से पहले यह सुनिश्चित किया जाना चाहिए कि वर्ग अंतराल सतत है।यदि सतत नहीं है तो उसे सतत वर्ग अंतराल में परिवर्तित कर लेना चाहिए।इसी प्रकार का प्रतिबंध का प्रयोग तोरण (Ogive) की संरचना के लिए भी करते हैं।अग्रत: तोरण (Igive) की स्थिति में प्रयुक्त पैमाना दोनों अक्षों पर समान नहीं भी हो सकता है।

प्रश्न:4.वर्गीकृत आंकड़ों के माध्य और बहुलक के सूत्र लिखो।(Write formulas of mean and mode of grouped data.)

उत्तर:वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य निम्नलिखित प्रकार से ज्ञात किया जा सकता है:
(1.)प्रत्यक्ष विधि (Direct Method):
\bar{x}=\frac{\sum f_{i }x_{i}}{\sum f_{i}}
(2.)कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method),अप्रत्यक्ष विधि (Indirect Method),लघु विधि (Shortcut Method):
\bar{x}= a+\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}}
(3.)पद-विचलन विधि (Step Deviation Method):
\bar{x}=a+\left(\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\right) \times h
इनमें यह मान लिया जाता है कि प्रत्येक वर्ग की बारंबारता उसके मध्य बिंदु अर्थात् वर्ग चिन्ह पर केंद्रित है।
वर्गीकृत आंकड़ों का बहुलक निम्नलिखित सूत्र से ज्ञात किया जाता है:
(4)बहुलक (Mode): (Z)=l+\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}- f_{0}-f_{2}}\right) \times h 
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode of Grouped Data),समूहित डेटा के भूयिष्ठक का सूत्र (Formula for Mode of Grouped Data) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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Mode of Grouped Data

वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode of Grouped Data)

Mode of Grouped Data

वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode of Grouped Data) दिए हुए प्रेक्षणों में वह मान है जो सबसे अधिक बार
आता है अर्थात् उस प्रेक्षण का मान जिसकी बारम्बारता अधिकतम है।

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