Properties of Triangles Class 10
1.त्रिभुजों के गुणधर्म कक्षा 10 (Properties of Triangles Class 10):
त्रिभुजों के गुणधर्म कक्षा 10 (Properties of Triangles Class 10) में आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय),त्रिभुजों की समरूपता के लिए कसौटियाँ,समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल तथा पाइथागोरस प्रमेय का अध्ययन कर चुके हैं।इस आर्टिकल में इस पर आधारित कुछ विशिष्ट उदाहरणों का अध्ययन करेंगे।
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2.त्रिभुजों के गुणधर्म कक्षा 10 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Properties of Triangles Class 10):
Example:1.आकृति में PS कोण QPR का समद्विभाजक है।सिद्ध कीजिए कि \frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R} है।
Solution:दिया है (Given): \triangle P Q R में \angle Q P S=\angle R P S
सिद्ध करना है (To Prove): \frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}
रचना (Construction):PS \| TR रेखा खींची जो QP को आगे बढ़ाने पर T पर मिलती है।
उपपत्ति (Proof): PS \| TR तथा तिर्यक रेखा QT इनको काटती है अतः
\angle 2=\angle 3 (एकान्तर कोण)…..(1)
\angle 1=\angle 4 (संगत कोण)…..(2)
परन्तु \angle 1=\angle 2 (दिया है)…..(3)
(2) व (3) सेः
\angle 2=\angle 4 \cdots(4)
(1) व (4) सेः
\angle 3=\angle 4 \cdots(5) \\ \triangle QRT में
\angle 3=\angle 4 (सिद्ध किया है)
PR=PT (बराबर कोण की अभिमुख भुजाएँ)
\triangle PQR में
P S \| R T \\ \frac{P Q}{P T}=\frac{Q S}{S R} (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
\frac{P Q}{P R}=\frac{Q S}{S R} [(6) से]
Example:2.आकृति में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है जबकि B D \perp A C तथा D M \perp B C और D N \perp A B है सिद्ध कीजिए कि
(i) D M^2=D N \cdot M C
(ii) D N^2=D M \cdot A N
Solution:दिया है (Given): \triangle A B C में B D \perp A C, D M \perp B C तथा D N \perp A B
सिद्ध करना है (To Prove): (i) D M^2=D N \cdot M C
(ii) D N^2=D M \cdot A N
उपपत्ति (Proof): \triangle ABC में
D M \perp B C तथा D N \perp A B
अतः MBND एक आयत है फलतः
DM=BM, BN=ND तथा \angle C B N=\angle M D C=90^{\circ} \cdots(1)
(i)समकोण \triangle B M D में
\angle M B D+\angle B D M=90^{\circ} \cdots(2)
समकोण \triangle C B D[/katex] में
\angle C D M+\angle B D M=90^{\circ} \cdots(3)
(2) व (3) सेः
\angle M B D+\angle B D M=\angle C D M+\angle B D M \\ \Rightarrow \angle M B D=\angle C D M \cdots(4) \\ \triangle DMC तथा \triangle BMD में
\angle CDM=\angle MBD [(4) से]
\angle C M D=\angle B M D=90^{\circ} (दिया है)
AA समरूपता कसौटी से
\triangle D M C \sim \triangle B M D \\ \frac{D M}{B M}=\frac{C M}{D M} (समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपाती होती हैं)
\Rightarrow D M^2=B M \cdot MC \\ \Rightarrow D M^2=D N \cdot M C [(1) से BM=DN]
(ii) समकोण \triangle DNB में
\angle D B N+\angle BDN=90 \cdots(5)
समकोण \triangle ADB में
\angle DBN+\angle A=90^{\circ} \cdots(6)
(5) व (6) सेः
\angle D B N+\angle B D N=\angle D B N+\angle A \\ \angle B D N=\angle A \cdots(7) \\ \triangle D B N तथा \triangle A D N में
\angle B D N=\angle A [(7) से]
\angle D N B=\angle A N D=90^{\circ} (दिया है)
AA समरूपता कसौटी से
\triangle D B N \sim \triangle A D N \\ \frac{D N}{A N}=\frac{B N}{D N} (समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपाती होती है)
\Rightarrow D N^2=B N \cdot A N \\ \Rightarrow D N^2=D M \cdot AN [(1) से BN=DM]
Example:3.आकृति में ABC एक त्रिभुज \angle A B C>90^{\circ} है जिसमें है तथा A D \perp C B है सिद्ध कीजिए कि A C^2=A B^2+B C^2+2 B C \cdot B D
Solution:दिया है (Given): \triangle A B C में \angle A B C>90^{\circ} तथा AD \perp CB
सिद्ध करना है (To Prove): A C^2=A B^2+B C^2+2 B C \cdot BD
उपपत्ति (Proof):समकोण \triangle ADB में
AB^2=AD^2+DB^2 (पाइथागोरस प्रमेय से)
समकोण \triangle ADC मे
AC^2=AD^2+DC^2 (पाइथागोरस प्रमेय से)
=AD^2+(DB+BC)^2 \\ =AD^2+DB^2+BC^2+2 BC \cdot B D \\ \Rightarrow A C^2=A B^2+B C^2+2 B C \cdot B D [(1) से]
Example:4.आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें \angle A B C < 90^{\circ} है तथा A D \perp B C है।सिद्ध कीजिए कि A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot BD है।
Solution:दिया है (Given): \triangle ABC में \angle A B C<90^{\circ} तथा A D \perp BC
सिद्ध करना है (To Prove): A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot BD
उपपत्ति (Proof):समकोण \triangle ADB में
A B^2=A D^2+B D^2 (पाइथागोरस प्रमेय से)
समकोण \triangle ADC में
A C^2=A D^2+DC^{2} (पाइथागोरस प्रमेय से)
=A D^2+(B C-B D)^2 [DC=BC-BD]
=A D^2+B D^2+B C^2-2 B C \cdot B D \\ =A B^2+B C^2-2 BC \cdot B D [(1) से]
\Rightarrow A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D
Example:5.आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM \perp BC है।सिद्ध कीजिए कि
(i) A C^2=A D^2+B C \cdot D M+\left(\frac{B C}{2}\right)^2
(ii) A B^2=A D^2-B C \cdot D M+\left(\frac{B C}{2}\right)^2
(iii) A C^2+A B^2=2 A D^2+\frac{1}{2} B C^2
Solution:दिया है (Given):\triangle A B C में AD माध्यिका है अर्थात् B D=D C=\frac{1}{2} B C तथा AM \perp BC है।
सिद्ध करना है (To Prove):(i) A C^2=A D^2+B C \cdot D M+\left(\frac{B C}{2}\right)^2
(ii) A B^2=A D^2-B C \cdot D M+\left(\frac{B C}{2}\right)^2
(iii) A C^2+A B^2=2 A D^2+\frac{1}{2} B C^2
उपपत्ति (Proof):(i)समकोण \triangle AMD में
A D^2=A M^2+M D^2 (पाइथागोरस प्रमेय से)
समकोण \triangle A M C में
A C^2 =A M^2+M C^2 \\ =A M^2+(M D+D C)^2 \quad\left[ \because MC=MD+DC \right] \\ =A M^2+M D^2+2 D C \cdot MD+D C^2 \\=A D^2+2\left(\frac{B C}{2}\right) \cdot D M+\left(\frac{B C}{2}\right)^2
[दिया है DC=\frac{BC}{2} तथा (1) से]
\Rightarrow AC^{2}=A D^2+BC \cdot D M+\left(\frac{B C}{2}\right)^2 \cdots(2)
(ii)समकोण \triangle AMB में
A B^2=A M^2+B M^2 (पाइथागोरस प्रमेय से)
=A M^2+(B D - M D)^2 \left[ \because BM=BD-MD \right] \\=A M^2+M D^2-2 B D \cdot M D+B D^2 \\ =A D^2-2 \cdot\left(\frac{B C}{2}\right) \cdot M D+\left(\frac{B C}{2}\right)^2
[दिया है B D=\frac{B C}{2} तथा (1) से]
=A D^2-B C \cdot D M+\left(\frac{B C}{2}\right)^2 \\ \Rightarrow A B^2=A D^2-B C \cdot D M+\left(\frac{B C}{2}\right)^2 \cdots(3)
(iii)(2) व (3) को जोड़ने परः
A C^2+A B^2=A D^2+B C \cdot D M+\left(\frac{B C}{2}\right)^2+A D^2-BC \cdot D M+\left(\frac{B C}{2}\right)^{2} \\ \Rightarrow A C^2+A B^2=2 A D^2+\frac{1}{2}(B C)^2
Example:6.सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
Solution:दिया है (Given):समान्तर चतुर्भुज ABCD तथा AC व BD विकर्ण हैं।
सिद्ध करना है (To Prove): A C^2+B D^2=A B^2+B C^2+C D^2+D A^2
रचना (Construction): \therefore DL \perp A B व C M \perp B M खींचा।
उपपत्ति (Proof): \triangle D L A तथा \triangle C M B में
DL=CM (समान्तर भुजाओं के बीच की दूरी)
\angle D L A=\angle C M B=90^{\circ} (रचना से)
AD=BC (स. च. की सम्मुख भुजाएँ)
RHS सर्वांगसमता कसौटी से
\triangle D L A \cong \triangle CMB
AL=BM (CPCT) …. (1)
समकोण \triangle BMC में
B C^2=B M^2+C M^2 (पाइथागोरस प्रमेय से)…..(2)
समकोण \triangle ACM में
A C^2=A M^2+C M^2 (पाइथागोरस प्रमेय से)
=(A B+B M)^2+C M^2 \left [ \because A M=A B+B M \right ] \\ =A B^2+2 A B \cdot B M+B M^2+C M^2 \\ \Rightarrow A C^2 =A B^2+2 A B \cdot A L+B C^2 [(1) तथा (2) से]…..(3)
समकोण \triangle A L D में
A D^2=A L^2+D L^2 (पाइथागोरस प्रमेय से)
समकोण \triangle B L D में
BD^2=D L^2+B L^2 \\ =(A B-A L)^2+D L^2[\because B L=A B-A L] \\ =A B^2-2 A B \cdot A L+A L^2+D L^2 \\ =A B^2-2 A B \cdot A L+A D^2 [(4) से]
\Rightarrow B D^2 =C D^2-2 A B \cdot A L+A D^2 [\because AD=DC स.च. की सम्मुख भुजाएँ]
(3) व (5) को जोड़ने परः
A C^2+B D^2= A B^2+2 A B \cdot A L+B C^2+C D^2-2 A B \cdot A L+A D^2 \\ \Rightarrow A C^2+B D^2=A B^2+B C^2+C D^2+D A^2
Example:7.आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।सिद्ध कीजिए कि
(i)\triangle A P C \sim \triangle D P B
(ii) AP.PB=CP.DP
Solution:दिया है (Given): एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है (To Prove):(i)\triangle A P C \sim \triangle D P B
(ii)AP. PB=CP. DP
उपपत्ति (Proof):(i) \triangle A P C तथा \triangle DP B में
\angle A P C=\angle D P B (सम्मुख कोण)
\angle P A C=\angle P D B (एक ही वृत्तखण्ड के कोण)
AA समरूपता कसौटी से
\triangle APC \sim \triangle DPB
(ii) \triangle APC \sim \triangle DPB \\ \frac{A P}{D P} =\frac{C P}{P B} (समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपाती होती है)
\Rightarrow AP. PB=CP. DP
Example:8.आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करती हैं।सिद्ध कीजिए कि
(i) \triangle P A C \sim \triangle P D B
(ii) PA .PB=PC.PD
Solution:दिया है (Given):एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है (To Prove):(i) \triangle P A C \sim \triangle P D B
(ii) PA .PB=PC.PD
उपपत्ति (Proof):(i)\triangle P A C तथा \triangle P D B में
\angle P=\angle P (उभयनिष्ठ है)
\angle P A C=\angle P D B (चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण अन्तराभिमुख कोण के बराबर होता है)
AA समरूपता कसौटी से
\triangle PAC \sim \triangle PDB \cdots(1)
(ii) \triangle PAC \sim \triangle PDB \cdots(1) [(1) से]
\frac{P A}{P D}=\frac{P C}{P B} (समरूप त्रिभुज की भुजाएँ समानुपाती होती हैं)
\Rightarrow PA. PB=PC. PD
Example:9.आकृति में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि \frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C} है।सिद्ध कीजिए कि AD कोण BAC का समद्विभाजक है।
Solution:दिया है (Given): \triangle ABC की भुजा BC पर बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि \frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C}
सिद्ध करना है (To Prove): \angle B A D=\angle C A D
रचना (Construction): C E \| D A खींची तथा BA को बढ़ाने पर E पर BA मिलती है।
उपपत्ति (Proof): \triangle B C E में
D A \| C E \\ \frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A E} (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C} (दिया है)…..(2)
(1) व (2) सेः
AC=AE
\triangle ACE में AC=AE
\Rightarrow \angle 3=\angle 4 (बराबर भुजाओं के अभिमुख कोण)… (3)
DA \| CE तथा तिर्यक रेखा BE इनको काटती है।
\angle 1=\angle 3 (संगत कोण)……(4)
(3) व (4) सेः
\angle 1=\angle 4 \\ \angle 2=\angle 4 (एकान्तर कोण)…..(6)
(5) व (6) सेः
\angle 1=\angle 2
अतः \angle BAD=\angle CAD
Example:10.नाजिमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है।उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाजिमा से दूरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दूरी 2.4 m है।यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है (देखिए आकृति)? यदि वह डोरी को 5cm/s की दर से अन्दर खींचे तो 12 सेकण्ड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?
Solution:समकोण \triangle ABC में
A C^2=A B^2+B C^2 (पाइथागोरस प्रमेय से)
=(1.8)^2+(2.4)^2 [AB=1.8,BC=2.4]
=3.24+5.76=9
\Rightarrow A C=\sqrt{9}=3 मीटर
अतः पानी के बाहर डोरी की लम्बाई=3 मीटर
12 सेकण्ड में 5cm/s के वेग से अन्दर खींची गई डोरी की लम्बाई=वेग×समय=5×12=60 सेमी=0.6 मीटर
शेष बची डोरी की लम्बाई=3-0.6 मीटर=2.4 मीटर
कांटे की छड़ के ठीक नीचे तक की दूरी (PB):
P B^2 =P A^2 -P A^2 \\ =(2.4)^2-(1.8)^2 \\ \Rightarrow P B =\sqrt{2.52}=1.587 \\ \Rightarrow PB \approx 1.59 मीटर
अतः 12 सेकण्ड बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी=1.59+1.2=2.79 मीटर
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिभुजों के गुणधर्म कक्षा 10 (Properties of Triangles Class 10),कक्षा 10 में त्रिभुजों के गुणधर्म (Properties of Triangles in Class 10) को समझ सकते हैं।
3.त्रिभुजों के गुणधर्म कक्षा 10 के सवाल (Properties of Triangles Class 10 Questions):
(1.)एक समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजा CD के मध्य बिन्दु M से रेखा BM खींची गई जो कि विकर्ण AC को L पर और बढ़ी हुई AD को E पर प्रतिच्छेदित करती है।सिद्ध कीजिए कि EL=2BL
(2.) \triangle A B C में AB=AC है तथा भुजा AC पर बिन्दु D इस प्रकार है कि B C^2=A C \times C D सिद्ध कीजिए कि (i) \triangle ABC \sim \triangle BDC (ii)BD=DC
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिभुजों के गुणधर्म कक्षा 10 (Properties of Triangles Class 10),कक्षा 10 में त्रिभुजों के गुणधर्म (Properties of Triangles in Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.त्रिभुजों के गुणधर्म कक्षा 10 (Frequently Asked Questions Related to Properties of Triangles Class 10),कक्षा 10 में त्रिभुजों के गुणधर्म (Properties of Triangles in Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.दूरस्थ वस्तुओं की दूरीयाँ कैसे ज्ञात करते हैं? (How to Find Distances of Long Distant Objects?):
उत्तर:दूरस्थ वस्तुओं की ऊँचाई और दूरियों को अप्रत्यक्ष मापन (indirect measurement) की अवधारणा का प्रयोग करते हुए ज्ञात किया जाता है जो आकृतियों की समरूपता के सिद्धान्त पर आधारित है।
प्रश्न:2.समरूप आकृतियों को उदाहरण द्वारा समझाओ। (Explain Similar Figures by Example):
उत्तर:दो समरूप आकृतियों के आकार समान होते हैं।दो (या अधिक) वर्गों के बारे में अथवा दो (या अधिक) समबाहु त्रिभुजों के बारे में कह सकते हैं कि वे समरूप होते हैं।
प्रश्न:3.स्केल गुणक किसे कहते हैं? (What is a Scale Factor?):
उत्तर:बहुभुजों के लिए संगत भुजाओं के इस एक ही अनुपात को स्केल गुणक (Scale Factor) [अथवा प्रतिनिधित्व भिन्न (Representative Fraction)] कहा जाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिभुजों के गुणधर्म कक्षा 10 (Properties of Triangles Class 10),कक्षा 10 में त्रिभुजों के गुणधर्म (Properties of Triangles in Class 10) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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त्रिभुजों के गुणधर्म कक्षा 10
(Properties of Triangles Class 10)
Properties of Triangles Class 10
त्रिभुजों के गुणधर्म कक्षा 10 (Properties of Triangles Class 10) में आधारभूत आनुपातिकता
प्रमेय (थेल्स प्रमेय),त्रिभुजों की समरूपता के लिए कसौटियाँ,समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल तथा
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
