1.पूरक कोण कक्षा 10 (Complementary Angles Class 10),पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Complementary Angles):

Complementary Angles Class 10

पूरक कोण कक्षा 10 (Complementary Angles Class 10) के इस आर्टिकल में पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात के बारे में अध्ययन करेंगे।ये पूरक कोण तथा इनके मान प्रथम चतुर्थांश में धनात्मक होते हैं।
पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Complementary Angles):
\triangle ABC में जिसका कोण B समकोण है तथा [katex]\angle A+\angle C=90^{\circ}  ;अतः इनसे पूरक कोणों का एक युग्म बनता है।हम जानते हैं किः

Complementary Angles Class 10

\sin A=\frac{B C}{A C} \\ \cos A=\frac{A B}{A C} \\ \operatorname{cosec} A=\frac{A C}{B C} \\ \sec A=\frac{A C}{A B} \\ \tan A=\frac{B C}{A B} \\ \cot A= \frac{A B}{B C} \cdots(1)
अब हम \angle C=90^{\circ}-\angle A के त्रिकोणमितीय अनुपात लिखें।
सुविधा के लिए हम \angle C=90^{\circ}-\angle A को 90°-A लिखेंगे।

\sin \left(90^{\circ}-A\right)=\frac{A B}{A C} \\ \cos \left(90^{\circ}-A\right)=\frac{B C}{A C} \\ \tan \left(90^{\circ}-A\right)=\frac{A B}{B C} \\ \cot (90^{\circ}-A)=\frac{B C}{A B} \\ \sec \left(90^{\circ}-A\right) =\frac{A C}{B C} \\ \operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-A\right)=\frac{A C}{A B} \cdots(2)
(1) व (2) के अनुपातों की तुलना करने परः

\sin \left(90^{\circ}-A\right)=\frac{A B}{A C}=\cos A \\ \cos \left(90^{\circ}-A\right)=\frac{B C}{A C}=\sin A \\ \tan \left(90^{\circ}-A\right)=\frac{A B}{B C}=\cot A \\ \cot \left(90^{\circ}-A\right)=\frac{B C}{A B}=\tan A \\ \sec \left(90^{\circ}-A\right)=\frac{A C}{B C}=\operatorname{cosec} A \\ \operatorname{cosec} \left(90^{\circ}-A\right) =\frac{A C}{A B}=\sec A
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2.पूरक कोण कक्षा 10 के साधित उदाहरण (Complementary Angles Class 10 Solved Examples):

Example:1.निम्नलिखित का मान निकालिएः
Example:1(i). \frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}
Solution: \frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}} \\ =\frac{\sin \left(90^{\circ}-72^{\circ}\right)}{\cos 72^{\circ}} \\ =\frac{\cos 72^{\circ}}{\cos 72^{\circ}} \\ =1
Example:1(ii). \frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}
Solution: \frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}} \\ \frac{\tan \left(90^{\circ}-64^{\circ}\right)}{\cos 64^{\circ}} \\ =\frac{\cot 64^{\circ}}{\cot 64^{\circ}} \\ =1
Example:1(iii). \cos 48^{\circ}-\sin 42^{\circ}
Solution: \cos 48^{\circ}-\sin 42^{\circ} \\ =\sin \left(90^{\circ}-48^{\circ}\right)-\sin 42^{\circ} \\ =\sin 42^{\circ}-\sin 42^{\circ} \\ =0
Example:1(iv). \operatorname{cosec} 31^{\circ}-\sec 59^{\circ}
Solution: \operatorname{cosec} 31^{\circ}-\operatorname{secs} 59^{\circ} \\ =\sec \left(90^{\circ}- 31^{\circ} \right)-\sec 59^{\circ} \\ =\sec 59^{\circ}-\sec 59^{\circ} \\ =0
Example:2.दिखाइए कि
Example:2(i). \tan 48^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ}=1
Solution: \tan 48^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ}=1 \\ \text{L.H.S.} \tan 48^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ} \\ =\tan 48^{\circ} \tan 33^{\circ} \tan \left(90^{\circ}- 48^{\circ}\right) \tan \left(90-23^{\circ}\right) \\ =\tan 48^{\circ} \tan 23^{\circ} \cot 48^{\circ} \cot 23^{\circ} \\ =\left(\tan 48^{\circ} \cot 48^{\circ}\right)\left(\tan 23^{\circ} \cot 23^{\circ}\right) \\ =(1)(1) =1
Example:2(ii). \cos 38^{\circ} \cos 52^{\circ}-\sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ}=0
Solution: \cos 38^{\circ} \cos 52^{\circ}-\sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ}=0 \\ \cos 38^{\circ} \cos 52^{\circ}-\sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ} \\ =\cos \left(90^{\circ}-52^{\circ}\right) \cos \left(90^{\circ} -38^{\circ}\right) -\sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ} \\ =\sin 52^{\circ} \sin 38^{\circ}-\sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ} \\ =0
Example:3.यदि, \tan 2 A=\cot \left(A-18^{\circ}\right) जहाँ 2A एक न्यून कोण है तो A का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \tan 2 A=\cot \left(A-18^{\circ}\right) \\ \cot \left(90^{\circ}-2 A\right)=\cot \left(A-18^{\circ} \right) \\ \Rightarrow 90^{\circ}-2 A=A-18^{\circ} \\ \Rightarrow -2 A-A=-18^{\circ}-90^{\circ} \\ \Rightarrow -3 A=-108^{\circ} \\ \Rightarrow A=\frac{108^{\circ}}{3} \\ \Rightarrow A=36^{\circ}
Example:4.यदि \tan A=\cot B तो सिद्ध कीजिए कि A+B=90°
Solution: \tan A=\cot B \\ \tan A=\tan \left(90^{\circ}-B\right) \\ \Rightarrow A=90^{\circ}-B \\ \Rightarrow A+B=90^{\circ}
Example:5.यदि जहाँ 4A एक न्यून कोण है,तो A का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \sec 4 A=\operatorname{cosec}\left(A-20^{\circ}\right) \\ \operatorname{cosec} \left(90^{\circ}-4 A\right)=\operatorname{cosec}\left(A-20^{\circ}\right) \\ \Rightarrow 90^{\circ}-4 A=A-20^{\circ} \\ \Rightarrow-4 A-A=-20^{\circ}-90^{\circ} \\ \Rightarrow-5 A=-110^{\circ} \\ \Rightarrow A=\frac{110^{\circ}}{5} \\ \Rightarrow A=22^{\circ}

Complementary Angles Class 10

Example:6.यदि A,B और C त्रिभुज ABC के अन्तःकोण हों तो दिखाइए कि \sin \left(\frac{B+C}{2}\right)=\sin \left(90^{\circ}-\frac{A}{2}\right)
Solution:A+B+C=180° (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)

\Rightarrow B+C=180^{\circ}-A \\ \Rightarrow \frac{B+C}{2}=\frac{180^{\circ}-A}{2} \\ \Rightarrow \frac{B+C}{2}=\frac{180^{\circ}}{2}-\frac{A}{2} \\ \Rightarrow \frac{B+C}{2}=90^{\circ}-\frac{A}{2} \\ \Rightarrow \sin \left(\frac{B+C}{2}\right)=\sin \left(90^{\circ}-\frac{A}{2}\right) \\ \Rightarrow \sin \left(\frac{B+C}{2}\right)=\cos \frac{A}{2}
Example:7. \sin 67^{\circ}+\cos 75^{\circ} को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
Solution: \sin 67^{\circ}+\cos 75^{\circ} \\ \Rightarrow \sin \left(90-23^{\circ}\right)+\cos \left(90^{\circ} -15^{\circ}\right) \\ \Rightarrow \cos 23^{\circ}+\sin 15^{\circ}
Example:8.निम्नलिखित समीकरण से x का मान ज्ञात कीजिएः

\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-\theta\right)+x \cos \theta \cot \left(90^{\circ}-\theta\right) =\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)
Solution: \operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-\theta\right)+x \cos \theta \cot \left(90^{\circ}-\theta\right)=\sin \left(90^{\circ}-\theta\right) \\ \Rightarrow \sec \theta+x \cos \theta \tan \theta=\cos \theta \\ \Rightarrow \frac{1}{\cos \theta}+x \cos \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\cos \theta \\ \Rightarrow \frac{1+x \cos \theta \sin \theta}{\cos \theta}=\cos \theta \\ \Rightarrow 1+x \cos \theta \sin \theta=\cos ^2 \theta \\ \Rightarrow x \cos \theta \sin \theta=\cos ^2 \theta-1 \\ \Rightarrow x \cos \theta \sin \theta=-\left(1-\cos ^2 \theta\right) \\ \Rightarrow x \cos \theta \sin \theta=-\sin ^2 \theta \\ \Rightarrow x=\frac{-\sin ^2 \theta}{\cos \theta \sin \theta} \\ \Rightarrow x=-\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\ \Rightarrow x=-\tan \theta
Example:9.सिद्ध कीजिएः

\frac{\sin \theta \cos \left(90^{\circ}-\theta\right) \cos \theta}{\sec \left(90^{\circ}-\theta\right)} +\frac{\cos \theta \sin \left(90^{\circ}-\theta\right) \sin \theta}{cosec \left(90^{\circ}-\theta\right)} =\sin \theta \cos \theta
Solution: \frac{\sin \theta \cos \left(90^{\circ}-\theta\right) \cos \theta}{\sec \left(90^{\circ}-\theta\right)} +\frac{\cos \theta \sin \left(90^{\circ}-\theta\right) \sin \theta}{cosec \left(90^{\circ}-\theta\right)} =\sin \theta \cos \theta \\ \text{L.H.S.} \quad \frac{\sin \theta \cos \left(90^{\circ}-\theta\right) \cos \theta}{\sec \left(90^{\circ}-\theta\right)}+\frac{\cos \theta \sin \left(90^{\circ}-\theta\right) \sin \theta}{cosec \left( 90^{\circ}-\theta\right)} \\ \Rightarrow \frac{\sin \theta \sin \theta \cos \theta}{\operatorname{cosec} \theta}+\frac{\cos \theta \cos \theta \sin \theta}{\sec \theta} \\ \Rightarrow \sin ^2 \theta \cos \theta \times \sin \theta+\cos ^2 \theta \sin \theta \cos \theta \\ \Rightarrow \sin ^3 \theta \cos \theta+\cos ^3 \theta \sin \theta \\ \Rightarrow \sin \theta \cos \theta\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta\right) \\ \Rightarrow \sin \theta \cos \theta(1) \\ \Rightarrow \sin \theta \cos \theta
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा पूरक कोण कक्षा 10 (Complementary Angles Class 10),पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Complementary Angles) को समझ सकते हैं।

3.पूरक कोण कक्षा 10 के सवाल (Complementary Angles Class 10 Questions):

Complementary Angles Class 10

सिद्ध कीजिएः

(1) \sec ^2 \theta-\cot ^2\left(90^{\circ}-\theta\right)=\cos ^2\left(90^{\circ}-\theta\right)+\cos ^2 \theta
(2) \frac{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right) \cos \theta}{\tan \theta}+\cos ^2\left(90^{\circ}-\theta\right)=1
(3.) \theta का मान ज्ञात कीजिए यदि \tan 2 \theta=\cot \left(\theta+6^{\circ}\right)
जहाँ 2 \theta व (\theta+6) न्यूनकोण है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर पूरक कोण कक्षा 10 (Complementary Angles Class 10),पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Complementary Angles) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.पूरक कोण कक्षा 10 (Frequently Asked Questions Related to Complementary Angles Class 10),पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Complementary Angles) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

पूरक कोण कक्षा 10 (Complementary Angles Class 10) के इस आर्टिकल में पूरक कोणों के
त्रिकोणमितीय अनुपात के बारे में अध्ययन करेंगे।ये पूरक कोण तथा इनके मान प्रथम चतुर्थांश
में धनात्मक होते हैं।