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Median of Grouped Data

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1.वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक (Median of Grouped Data),वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode of Grouped):

वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक (Median of Grouped Data) केंद्रीय प्रवृत्ति का ऐसा मापक है जो आंकड़ों में सबसे बीच के प्रेक्षण का मान देता है।अवर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक ज्ञात करने के लिए पहले हम प्रेक्षणों के मानों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं।अब यदि n विषम है तो माध्यक \left ( \frac{n+1}{2} \right ) वें यदि n विषम है तो माध्यक \left ( \frac{n}{2} \right ) वें और \left ( \frac{n}{2}+1 \right ) वेंवें प्रेक्षणों के मानों का औसत (माध्य) होता है।
वर्गीकृत आँकड़ों के सबसे मध्य के प्रेक्षण को हम केवल संचयी बारंबारता देखकर ही नहीं ज्ञात कर सकते क्योंकि सबसे मध्य का प्रेक्षण किसी अंतराल में होगा।अतः यह आवश्यक है कि माध्यक को उस वर्ग अंतराल में खोजा जाए जो आँकड़ों को दो बराबर भागों में विभक्त करता है।इस अंतराल को ज्ञात करने के लिए हम सभी वर्गों की संचयी बारंबारताएँ और \left ( \frac{n}{2} \right ) ज्ञात करते हैं।अब हम वह वर्ग खोजते हैं जिसकी संचयी बारंबारता \left ( \frac{n}{2} \right ) से अधिक और उसके निकटतम है।इस वर्ग को माध्यक वर्ग (Median Class) कहते हैं।माध्यक वर्ग ज्ञात करने के बाद हम निम्नलिखित का प्रयोग करके माध्यक ज्ञात करते हैं:वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक( Median of Grouprd Data Formula):-

माध्यक  (m)=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right) \times h
जहाँ l=माध्यक वर्ग की निम्न सीमा
n=प्रेक्षणों की संख्या
cf=माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता
f=माध्यक वर्ग की बारम्बारता
h=वर्ग माप (यह मानते हुए कि वर्ग माप बराबर है)
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2.वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक के साधित उदाहरण (Median of Grouped Data Solved Examples):

Example:1.निम्नलिखित बारम्बारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है।इन आँकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए।

मासिक खपत (इकाइयों में)उपभोक्ताओं की संख्या
65-854
85-1055
105-12513
125-14520
145-16514
165-1858
185-2054

Solution:माध्यक,माध्य और बहुलक परिकलन सारणी (a=135)

वर्ग अन्तराल बारम्बारता(f)मध्य-मूल्य(x)cfd=x-afd
65-85475475-135=-60-240
85-105595995-135=-40-200
105-1251311522115-135=-20-260
125-1452013542135-135=00
145-1651415556155-135=20280
165-185817564175-135=40320
185-205419568195-135=60240
Total68   140

यहाँ n=68 है।अतः \frac{n}{2}=\frac{68}{2}=34  है।यह प्रेक्षण अन्तराल 125-145 में आता है।अतः l=125,माध्यक वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf)=22,माध्यक वर्ग की बारम्बारता (f)=20 तथा वर्ग माप h=145-125=20 है।
माध्यक (M)=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right) \times h \\=125+\left(\frac{34-22}{20}\right) \times 20 \\=125+12 \\M=137
लघुरीति से माध्य (Mean By Short-cut Method):

\bar{X} =a+\frac{\sum f d}{\sum f} \\=135+\frac{140}{68} \\=135+2.058 \\=137.058 \\ \Rightarrow \bar{X} \approx 137.06
सबसे अधिक बारम्बारता 20 है अतः बहुलक वर्ग 125-145 है।

f_{0}=13, f_{1}=20, f_{2}=14, h=145-125= 20 ,l=125
बहुलक (Z)=l+\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \times h \\ =125+\frac{20-13}{2 \times 20-13-14} \times 20 \\ Z =125+\frac{7}{40-27} \times 20 \\=125+\frac{140}{13} \\=125+10.769 \\=135.769 \\ z \approx 135.77
Example:2.नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए:

वर्ग अन्तराल बारम्बारता
0-105
10-20x
20-3020
30-4015
40-50y
50-605
Total60

Solution:माध्यक परिकलन सारणी

वर्ग अन्तरालबारम्बारता(f)संचयी बारम्बारता(cf)
0-1055
10-20x5+x
20-302025+x
30-401540+x
40-50y40+x+y
50-60545+x+y
Total60 

वर्ग अन्तराल बारम्बारता 
यहाँ n=60 तथा माध्यक 28.5 है।अतः माध्यक वर्ग 20-30 है। l=20,h=30-20=10, \frac{n}{2}=\frac{60}{2}=30 माध्यक वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf)=5+x,माध्यक वर्ग की बारम्बारता (f)=20 है।
माध्यक (M)=1+\left(\frac{\frac{n}{2}-cf}{f}\right) \times h \\ 28.5=20+\left(\frac{30-5-x}{20}\right) \times 10 \\ \Rightarrow 28.5-20=\frac{25-x}{2} \\ \Rightarrow 8.5 \times 2=25-x \\ \Rightarrow 17=25-x \\ \Rightarrow x=25-17 \\ \Rightarrow x=8 \\ 45+x+y=60 \\ \Rightarrow x+y=60-45 \\ \Rightarrow x+y=15 \\ \Rightarrow 8+y=15 \\ \Rightarrow y=15-8 \\ \Rightarrow y=7
अतः x=8,y=7
Example:3.एक जीवन बीमा एजेन्ट 100 पाॅलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़ें ज्ञात करता है।माध्यक आयु परिकलित कीजिए यदि पाॅलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो परन्तु 60 वर्ष से कम हो।

आयु वर्षों मेंपाॅलिसी धारकों की संख्या
20 से कम2
25 से कम6
30 से कम24
35 से कम45
40 से कम78
45 से कम89
50 से कम92
55 से कम98
60 से कम100

Solution:माध्यक आयु परिकलन सारणी

वर्ग अन्तरालबारम्बारता(f)संचयी बारम्बारता(cf)
15-2022
20-2546
25-301824
30-352145
35-403378
40-451189
45-50392
50-55698
55-602100
Total100 

यहाँ n=100 है।अतः\frac{n}{2}=\frac{100}{2}=50 है।यह प्रेक्षण अन्तराल 35-40 में आता है।अतः माध्यक वर्ग 35-40 है।l=35,माध्यक वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf)=45,माध्यक वर्ग की बारम्बारता (f)=33 है तथा वर्ग माप h=40-35=5 है।
माध्यक (M) =l+\left(\frac{\frac{n}{2}-cf}{f}\right) \times h \\=35+\left(\frac{50-45}{33}\right) \times 5 \\=35+\frac{5 \times 5}{33} \\=35+\frac{25}{33} \\=35+0.757 \\ =35.757\\ M \approx 35.76
Example:4.एक पौधे की 40 पत्तियों की लम्बाईयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है:

लम्बाई (mm में) पत्तियों की संख्या
118-1263
127-1355
136-1449
145-15312
154-1625
163-1714
172-1802

पत्तियों की माध्यक लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution:सारणी समावेशी है अतः माध्यक ज्ञात करने के लिए अपवर्जी श्रेणी में परिवर्तित करना होगा।
माध्यक परिकलन सारणी

वर्ग अन्तराल बारम्बारता(f)संचयी बारम्बारता(cf)
117.5-126.533
126.6-135.658
135.5-144.5917
144.5-153.51229
153.5-162.5534
162.5-171.5438
171.5-180.5240
Total40 

यहाँ n=40 है।अतः है।यह प्रेक्षण अन्तराल 144.5-153.5 में आता है।अतः \frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20 माध्यक वर्ग 144.5-153.5 है।l=144.5,माध्यक वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf)=17,माध्यक वर्ग की बारम्बारता (f)=12 है तथा वर्ग माप h=153.5-144.5=9 है।
माध्यक (M) =l+\left(\frac{\frac{n}{2}-cf}{f}\right) \times h \\=144.5+\left(\frac{20-17}{12}\right) \times 9 \\=144.5+\frac{3 \times 9}{12} \\=144.5+2.25 \\=146.75 \\ M \approx 146.75 mm

Example:5.निम्नलिखित सारणी 400 नियाॅन लैंपों के जीवन कालों (Life Time) को प्रदर्शित करती है:

जीवनकाल (घंटों में) लैंपों की संख्या
1500-200014
2000-250056
2500-300060
3000-350086
3500-400074
4000-450062
4500-500048

एक लैंप का माध्यक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
Solution:माध्यक परिकलन सारणी

वर्ग अन्तरालबारम्बारता(f)संचयी बारम्बारता(cf)
1500-20001414
2000-25005670
2500-300060130
3000-350086216
3500-400074290
4000-450062352
4500-500048400
Total400 

यहाँ n=400 है।अतः है।यह प्रेक्षण अन्तराल 3000-3500 में आता है।अतः \frac{n}{2}=\frac{400}{2}=200 माध्यक वर्ग 3000-3500 है।l=3000,माध्यक वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf)=130,माध्यक वर्ग की बारम्बारता (f)=86 है तथा वर्ग माप h=3500-3000=500 है।
माध्यक (M) =l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right) \times h \\=3000+\left(\frac{200-130}{86}\right) \times 500 \\=3000+\frac{70 \times 500}{86} \\=3000+406.976 \\ M \approx 3406.98  घण्टे
Example:6.एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (Surnames) लिए गए और उनमें प्रयुक्त अँग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारम्बारता बंटन प्राप्त हुआ:

अक्षरों की संख्या1-44-77-1010-1313-1616-19
कुलनामों की संख्या630401644

कुलनामों में माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए।कुलनामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए।साथ ही कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
Solution:माध्यक,माध्य तथा बहुलक परिकलन सारणी(a=8.5)

वर्ग अन्तरालबारम्बारता(f)संचयी बारम्बारता(cf)मध्य-मूल्य(x)d=x-afd
1-4662.52.5-8.5=-6-36
4-730365.55.5-8.5=-3-90
7-1040768.58.5-8.5=00
10-13169211.511.5-8.5=348
13-1649614.514.5-8.5=624
16-19410017.517.5-8.5=936
Total    -18

यहाँ n=100 है।अतः है।यह प्रेक्षण अन्तराल 7-10 में आता है।अतः \frac{n}{2}=\frac{100}{2}=50 माध्यक वर्ग 7-10 है।l=7,माध्यक वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf)=36,माध्यक वर्ग की बारम्बारता (f)=40 है तथा वर्ग माप h=10-7=3 है।
माध्यक (M)=l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right) \times h \\=7+\left(\frac{50-36}{40}\right) \times 3 \\=7+\frac{14 \times 3}{40} \\=7+\frac{42}{40} \\=7+1.05 \\=8.05 \\ M =8.05
समान्तर माध्य लघुरीति (Arithmetic Mean By Short-cut Method):

\bar{X}=a+\frac{\sum f d}{\sum f} \\ \bar{X} =8.5-\frac{18}{100} \\=8.5-0.18 \\ \Rightarrow \bar{X} =8.32
सबसे अधिक बारम्बारता 40 है अतः बहुलक वर्ग 7-10 है।अतः l=7,h=10-7 =3, f_{0}=30, f_{1}=40, f_{2}=16 
बहुलक (Z)=l+\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}- f_{2}}\right) \times h \\=7+\frac{40-30}{2 \times 40-30-16} \times 3 \\=7+\frac{10}{80-46} \times 3 \\=7+\frac{30}{34} \\=7+0.882 \\=7.882 \\ Z \approx 7.88
Example:7.नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 10 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है।विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए।

भार (किलोग्राम में)विद्यार्थियों की संख्या
40-452
45-503
50-558
55-606
60-656
65-703
70-752

Solution:माध्यक परिकलन सारणी

वर्ग अन्तराल बारम्बारता(f)संचयी बारम्बारता(cf)
40-4522
45-5035
50-55813
55-60619
60-65625
65-70328
70-75230
योग30 

यहाँ n=30 है।अतः \frac{n}{2}=\frac{30}{2}=15 है।यह प्रेक्षण अन्तराल 55-60 में आता है।अतः माध्यक वर्ग 55-60 है।l=55,माध्यक वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf)=13,माध्यक वर्ग की बारम्बारता (f)=6 है तथा वर्ग माप h=60-55=5 है।
माध्यक (M)=\ell+\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right) \\ =55+\left(\frac{15-13}{6}\right) \times 5 \\=55+\frac{2 \times 5}{6} \\=55+1.666 \\=56.666 \\ M \approx 56.67 kg
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक (Median of Grouped Data),वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode of Grouped Data) को समझ सकते हैं।

3.वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक के सवाल (Median of Grouped Data Questions):

(1.)किसी स्कूल की कक्षा X की 51 लड़कियों की ऊँचाइयों का एक सर्वेक्षण किया गया और निम्नलिखित आँकड़ें प्राप्त किए गए:

ऊँचाई (cm में) लड़कियों की संख्या
140 से कम4
145 से कम11
150 से कम29
155 से कम40
160 से कम46
165 से कम51

माध्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
(2.)निम्नलिखित आँकड़ों का माध्यक 525 है।यदि बारम्बारताओं का योग 100 है तो x और y का मान ज्ञात करो।

वर्ग अन्तरालबारम्बारता
0-1002
100-2005
200-300x
300-40012
400-50017
500-60020
600-700y
700-8009
800-9007
900-10004

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक (Median of Grouped Data),वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode of Grouped Data) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक (Median of Grouped Data),वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode of Grouped Data) के संबंध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.केंद्रीय प्रवृत्ति का कौनसा माप अधिक प्रयोग होता है? (Which measure of central tendency is more commonly used?)

उत्तर:केंद्रीय प्रवृत्ति का अधिकतर प्रयोग होने वाला मापक माध्य है क्योंकि यह सभी प्रेक्षणों पर आधारित होता है तथा दोनों चरम मानों के बीच में स्थित होता है।अर्थात् यह संपूर्ण आंकड़ों में सबसे बड़े और सबसे छोटे प्रेक्षणों के बीच में स्थित होता है।यह हमें दो या अधिक दिए हुए बंटनों की तुलना करने में सहायक है।उदाहरणार्थ किसी परीक्षा में विभिन्न स्कूलों के विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किए गए अंकों के औसत (माध्य) की तुलना करके हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी स्कूल का प्रदर्शन बेहतर रहा।

प्रश्न:2.माध्यक का प्रयोग करना कब उपयुक्त होता है? (When is it advisable to use a median?):

उत्तर:उन समस्याओं में जहां व्यक्तिगत प्रेक्षण महत्त्वपूर्ण नहीं होते और हम प्रतीकात्मक (Typical) प्रेक्षण ज्ञात करना चाहते हैं तो माध्यक उपयुक्त रहता है।उदाहरणार्थ किसी राष्ट्र के श्रमिकों की प्रतीकात्मक उत्पादकता दर,औसत मजदूरी इत्यादि के लिए माध्यक एक उपयुक्त मापक रहता है।ये ऐसी स्थिति है जिसमें चरम (अर्थात् बहुत बड़े या बहुत छोटे मान) से संबद्ध हो सकते हैं।अतः इन स्थितियों में हम माध्य के स्थान पर केंद्रीय प्रवृत्ति का मापक माध्यक लेते हैं।

प्रश्न:3.बहुलक का प्रयोग करना कब उपयुक्त होता है? (When is it advisable to use mode?):

उत्तर:ऐसी स्थितियों में जहाँ अधिकतर आने वाला मान स्थापित करना हो या सबसे अधिक लोकप्रिय वस्तु का पता करना हो तो बहुलक सबसे अधिक विकल्प होता है।उदाहरणार्थ सबसे अधिक देखे जाने वाला लोकप्रिय टीवी प्रोग्राम ज्ञात करने,उस उपभोक्ता वस्तु को ज्ञात करने की मांग सबसे अधिक है,लोगों द्वारा सबसे अधिक पसंद किए जाने वाला रंग ज्ञात करने इत्यादि में वह बहुलक उपयुक्त मापक है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक (Median of Grouped Data),वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode of Grouped Data) को ठीक से समझ सकते हैं।

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Median of Grouped Data

वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक
(Median of Grouped Data)

Median of Grouped Data

वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक (Median of Grouped Data) केंद्रीय प्रवृत्ति का ऐसा मापक है जो आंकड़ों में
सबसे बीच के प्रेक्षण का मान देता है।अवर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक ज्ञात करने के लिए पहले हम प्रेक्षणों के
मानों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं।

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