1.प्रतिरोध के अधीन उर्ध्वाधर गति का परिचय (Introduction to Vertical motion under resistance)-

Vertical motion under resistance

प्रतिरोध के अधीन उर्ध्वाधर गति  (Vertical motion under resistance) का अध्ययन करेंगे।यदि कोई कण निर्वात में गति करता है तो उसकी गति का प्रतिरोध नहीं होता है। परन्तु कण किसी माध्यम जैसे जल,वायु इत्यादि में गति करता है तो उसकी गति का प्रतिरोध होता है। ज्यों-ज्यों कण की गति बढ़ती जाती है त्यों-त्यों कण की गति का प्रतिरोध बढ़ता जाता है।
इससे पूर्व आर्टिकल में प्रतिरोधी माध्यम में प्रतिरोध वेग के समानुपाती का वर्णन किया गया है।इसलिए इस आर्टिकल को पढ़ने से पूर्व उस आर्टिकल को पढ़ना चाहिए।क्योंकि इस आर्टिकल में वेग के वर्ग समानुपाती के अधीन कण की उर्ध्वाधर गति का अध्ययन करेंगे।
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2.प्रतिरोध के अधीन उर्ध्वाधर गति (Vertical motion under resistance)-

(1.)एक कण विरामावस्था से गुरुत्वाकर्षण के अधीन एक ऐसे माध्यम में होकर गिरता है जिसका प्रतिरोध उसके वेग के वर्ग के समानुपाती है।इसकी गति की विवेचना करना:

(A particle is moving verically downwards from rest through a medium whose resistance varying as the square of the velocity.To discuss its motion:)

Vertical motion under resistance

माना कि कण को विरामावस्था O से उस माध्यम में गिराया जाता है जिसका प्रतिरोध वेग के वर्गानुपाती है।
यह भी माना कि t समय पर कण की P हैं जहां OP=x तथा P पर वेग  v=\frac { dx }{ dt } तथा त्वरण \frac { dv }{ dt } = \frac { { d }^{ 2 }x }{ { dt }^{ 2 } } है।अब कण पर कार्यशील बल निम्न हैं:
(i)कण का भार mg उर्ध्वाधर नीचे की ओर।
(ii) प्रतिरोधी बल mk{ v }^{ 2} उर्ध्वाधर ऊपर की ओर।
अतः t समय पर कण की गति का समीकरण होगा।

m\frac { { d }^{ 2 }x }{ { dt }^{ 2 } } =mg-mk{ v }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }x }{ { dt }^{ 2 } } =g-k{ v }^{ 2 }....(1)
यदि कण का अन्तिम वेग (Terminal Velocity) V है,तो

0=g-k{ V }^{ 2 }\\ \Rightarrow { V }^{ 2 }=\frac { g }{ k }
कण का गति का समीकरण होगा-

\frac { { d }^{ 2 }x }{ { dt }^{ 2 } } =g-\frac { g }{ { V }^{ 2 } } \\ =\frac { g }{ V^{ 2 } } \left( { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } \right) \\ \Rightarrow \frac { dv }{ dt } \quad =\frac { g }{ V^{ 2 } } \left( { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } \right)
दोनों पक्षों के चर पृथक कर समाकलन करने पर-

{ V }^{ 2 }\int { \frac { dv }{ { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } } =g\int { dt } \\ \Rightarrow { V }^{ 2 }\frac { 1 }{ 2V } \log { \frac { V+v }{ V-v } } =gt+A जहाँ A अचर है 
प्रारम्भ में v=0,t=0, \therefore A=0
अतः \log { \frac { V+v }{ V-v } } =\frac { 2gt }{ V } \\ \Rightarrow \frac { V+v }{ V-v } ={ e }^{ \frac { 2gt }{ V } }\\ \Rightarrow \frac { V+v }{ V-v } =\frac { { e }^{ \frac { gt }{ V } } }{ { e }^{ -\frac { gt }{ V } } } \\ \Rightarrow \frac { \left( V+v \right) -\left( V-v \right) }{ \left( V+v \right) +\left( V-v \right) } =\frac { { e }^{ \frac { gt }{ V } }-{ e }^{ -\frac { gt }{ V } } }{ { e }^{ \frac { gt }{ V } }+{ e }^{ -\frac { gt }{ V } } } (योगान्तरानुपात से)

\Rightarrow v=V\tan { h\left( \frac { gt }{ V } \right) } \\ \Rightarrow \frac { dx }{ dt } =V\tan { h\left( \frac { gt }{ V } \right) } ........(2)
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष समाकलन करने पर-

x=\frac { { V }^{ 2 } }{ g } \log { \cosh { \left( \frac { gt }{ V } \right) } } +B जहाँ B अचर है |
प्रारम्भ में t=0,x=0,B=0
अतः x=\frac { { V }^{ 2 } }{ g } \log { \cosh { \left( \frac { gt }{ V } \right) } }
इससे t समय पर कण के द्वारा नीचे गिरी हुई दूरी प्राप्त होती है।
पुनः समीकरण (1) से-

\frac { vdv }{ dx } =\frac { g }{ { V }^{ 2 } } \left( { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } \right) \\ \Rightarrow \int { \frac { vdv }{ { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } } =\int { \frac { g }{ { V }^{ 2 } } } dx+C

\Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \log { \left( { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } \right) } =\frac { g }{ V^{ 2 } } x+C
प्रारम्भ में v=0,x=0,C=-\frac { 1 }{ 2 } \log { V^{ 2 } }
अतः x=\frac { { V }^{ 2 } }{ 2g } \log { \frac { { V }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } } \\ \Rightarrow { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }={ V }^{ 2 }\left( { e }^{ -\frac { 2gx }{ { V }^{ 2 } } } \right) \\ \Rightarrow { v }^{ 2 }={ V }^{ 2 }\left[ 1-{ e }^{ \left( -\frac { 2gx }{ { V }^{ 2 } } \right) } \right] ......(3)

उपर्युक्त प्रतिरोध के अधीन उर्ध्वाधर गति (Vertical motion under resistance) को दर्शाता है।

(2.)एक कण को प्रतिरोधी माध्यम जिसका प्रतिरोध वेग के वर्गानुपाती है, में गुरुत्वाकर्षण के अधीन U वेग से सीधे ऊपर की ओर फेंका जाता है।कण की गति का विवेचन करना।

(A particle is projected upwards with velocity U under gravity in a resisting medium due to which resistance varies as the square of velocity.To dicuss the motion of the particle)
माना कि एक कण को बिन्दु O से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर U वेग से फेंका जाता है।यह भी माना कि समय t पर कण की स्थिति P है, जहां OP=x,बिन्दु P पर कण पर कार्यरत निम्न बल हैं-

Vertical motion under resistance

(i)कण का भार mg ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर।
(ii) प्रतिरोधी बल mk{ v }^{ 2 } उर्ध्वाधर नीचे की ओर
अतः समय t पर कण का गति समीकरण निम्न है

m\frac { { d }^{ 2 }x }{ dt2 } =-mg-mk{ v }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }x }{ { dt }^{ 2 } } =-g-k{ v }^{ 2 }\\ =-g\left( 1+\frac { k }{ g } { v }^{ 2 } \right) ........(1)\\ \Rightarrow \frac { dv }{ dt } =-g-k{ v }^{ 2 }
[यदि कण का अन्तिम वेग V हो तो { V }^{ 2 }=\frac { g }{ k } ]

\Rightarrow -\int { \frac { dv }{ g+k{ v }^{ 2 } } } =\int { dt } \\ \Rightarrow -\frac { 1 }{ \sqrt { gk } } \tan ^{ -1 }{ \left\{ v\sqrt { \frac { k }{ g } } \right\} } =t+A
प्रारम्भ में v=U,t=0,  \therefore A=-\frac { 1 }{ \sqrt { gk } } \tan ^{ -1 }{ \left\{ U\sqrt { \frac { k }{ g } } \right\} }

अतः t=\frac { 1 }{ \sqrt { gk } } \left[ \begin{matrix} \tan ^{ -1 }{ \left\{ U\sqrt { \frac { k }{ g } } \right\} } \\ -\tan ^{ -1 }{ \left\{ v\sqrt { \frac { k }{ g } } \right\} } \end{matrix} \right] ......(2)\\ t=\frac { 1 }{ \sqrt { gk } } \tan ^{ -1 }{ \frac { \left( U-v \right) \sqrt { \frac { k }{ g } } }{ 1+\frac { Uvk }{ g } } } \\ t=\frac { 1 }{ \sqrt { gk } } \tan ^{ -1 }{ \left\{ \frac { \left( U-v \right) \sqrt { gk } }{ g+kUv } \right\} } \\ \Rightarrow t=\frac { V }{ g } \left[ \tan ^{ -1 }{ \frac { \left( U-v \right) V }{ { V }^{ 2 }+Uv } } \right] .....(3)
इससे v तथा t का सम्बन्ध प्राप्त होता है।
समीकरण (2) से v का मान रखने पर-

\Rightarrow v=\frac { dx }{ dt } =\sqrt { \frac { g }{ k } } \tan { \left[ \tan ^{ -1 }{ \left\{ U\sqrt { \frac { k }{ g } } -\sqrt { gk } t \right\} } \right] }
t के सापेक्ष समाकलन करने पर-

x=-\frac { 1 }{ k } \log { \left[ sec\left\{ \begin{matrix} \tan ^{ -1 }{ U\sqrt { \left( \frac { k }{ g } \right) } } \\ -\sqrt { gk } t \end{matrix} \right\} \right] } +B
प्रारम्भ में x=0 जब t=0

\therefore B=\frac { 1 }{ k } \log { \left[ sec\left\{ \tan ^{ -1 }{ U\sqrt { \left( \frac { k }{ g } \right) } } \right\} \right] } \\ =\frac { 1 }{ k } \log { \sqrt { \left( 1+\frac { { kU }^{ 2 } }{ g } \right) } } =\frac { 1 }{ 2k } \log { \left( 1+\frac { { kU }^{ 2 } }{ g } \right) }
अतः x=\frac { 1 }{ 2k } \log { \left( 1+\frac { { kU }^{ 2 } }{ g } \right) } -\\ \frac { 1 }{ k } \log { \left[ sec\left\{ \tan ^{ -1 }{ U\sqrt { \left( \frac { k }{ g } \right) } } -\sqrt { gk } t \right\} \right] } …..(4)
इस समीकरण से x का मान t में प्राप्त होता है।
पुनः समीकरण (1) को निम्न प्रकार लिख सकते हैं-

v\frac { dv }{ dx } =-g-{ kv }^{ 2 }\\ \Rightarrow -\int { \frac { vdv }{ g+k{ v }^{ 2 } } } =\int { dx } \\ \Rightarrow -\frac { 1 }{ 2k } \log { \left( g+kv^{ 2 } \right) } =x+C
प्रारम्भ में x=0, जब v=U  \therefore C=-\frac { 1 }{ 2k } \log { \left( g+kU^{ 2 } \right) }
अतः x=\frac { 1 }{ 2k } \log { \left( \frac { g+kU^{ 2 } }{ g+kv^{ 2 } } \right) } .........(5)\\ \Rightarrow \frac { g+kU^{ 2 } }{ g+kv^{ 2 } } ={ e }^{ -2kx }\\ \Rightarrow v^{ 2 }=-\frac { g }{ k } +\frac { 1 }{ k } \left( g+kU^{ 2 } \right) { e }^{ -2kx }......(6)
इससे कण की ऊंचाई x पर वेग v प्राप्त होता है।

उपर्युक्त प्रतिरोध के अधीन उर्ध्वाधर गति (Vertical motion under resistance) को दर्शाता है।

3.प्रतिरोध के अधीन उर्ध्वाधर गति (Vertical motion under resistance) पर आधारित सवाल-

Question-1.एक कण U वेग से उर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर एक ऐसे माध्यम में फेंका जाता है जिसका प्रतिरोध,वेग के वर्ग समानुपाती है तो कण प्रक्षेप बिन्दु पर वेग v=\frac { UV }{ \sqrt { { U }^{ 2 }+{ V }^{ 2 } } } से लौटकर आएगा तथा इसको लौटने में \frac { v }{ g } \left[ \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { U }{ V } \right) } +{ tanh }^{ -1 }\left( \frac { v }{ V } \right) \right] समय लगेगा जहां V अन्तिम वेग है।
Solution-कण के ऊपर की ओर जाते समय गति का समीकरण-

mv\frac { dv }{ dx } =-mg-mk{ v }^{ 2 }.......(1)
नीचे की ओर गिरते समय कण की गति का समीकरण-

mv\frac { dv }{ dy } =mg-mk{ v }^{ 2 }........(2)
यदि V अन्तिम वेग हो तो \frac { dv }{ dy }=0 तथा v=V रखने पर-

0=mg-mk{ V }^{ 2 }\\ \Rightarrow { V }^{ 2 }=\frac { g }{ k } .....(3)
समीकरण (1) से-

v\frac { dv }{ dx } =-g\left( 1+\frac { k }{ g } { v }^{ 2 } \right) \\ =-g\left( 1+\frac { { v }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 } } \right) ....\left[ (3) \right] .....(4)\\ \Rightarrow \frac { 2vdv }{ V^{ 2 }+{ v }^{ 2 } } =-\frac { 2g }{ { V }^{ 2 } } dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-

\int { \frac { 2vdv }{ { V }^{ 2 }+v^{ 2 } } = } -\int { \frac { 2g }{ { V }^{ 2 } } dx+A } \\ \Rightarrow \log { \left( { V }^{ 2 }+v^{ 2 } \right) } =-\frac { 2gx }{ { V }^{ 2 } } +A
प्रारम्भ में x=0,v=U
तब A=\log { \left( { V }^{ 2 }+U^{ 2 } \right) } \\ \therefore \log { \left( { V }^{ 2 }+v^{ 2 } \right) } =-\frac { 2gx }{ { V }^{ 2 } } +\log { \left( { V }^{ 2 }+U^{ 2 } \right) } \\ x=\frac { { V }^{ 2 } }{ 2g } \log { \left( \frac { { V }^{ 2 }+U^{ 2 } }{ { V }^{ 2 }+v^{ 2 } } \right) } .......(5)
यदि कण द्वारा तय की गई अधिकतम ऊंचाई h हो तो x=h,v=0 रखने पर-

h=\frac { { V }^{ 2 } }{ 2g } \log { \left( \frac { { V }^{ 2 }+U^{ 2 } }{ { V }^{ 2 } } \right) } .......(6)
समीकरण (4) से-

\frac { dv }{ dt } =-\frac { g }{ { V }^{ 2 } } \left( { V }^{ 2 }+{ v }^{ 2 } \right) \\ \frac { dv }{ { V }^{ 2 }+{ v }^{ 2 } } =-\frac { g }{ { V }^{ 2 } } dt
यदि अधिकतम ऊंचाई तक जाने में समय { t }_{ 1 } लगे तो-

\int _{ U }^{ 0 }{ \frac { dv }{ { V }^{ 2 }+{ v }^{ 2 } } } =-\frac { g }{ { V }^{ 2 } } \int _{ 0 }^{ { t }_{ 1 } }{ dt } \\ \Rightarrow { \left[ \frac { 1 }{ V } \tan ^{ -1 }{ \frac { v }{ V } } \right] }_{ U }^{ 0 }=-\frac { g }{ { V }^{ 2 } } { \left[ t \right] }_{ 0 }^{ { t }_{ 1 } }\\ \Rightarrow -\frac { 1 }{ V } \tan ^{ -1 }{ \frac { U }{ V } } =-\frac { g{ t }_{ 1 } }{ { V }^{ 2 } } \\ \Rightarrow { t }_{ 1 }=\frac { V }{ g } \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { U }{ V } \right) } .....(8)
कण के नीचे की ओर गिरते समय गति का समीकरण (2) से-

v\frac { dv }{ dy } =g\left( 1-\frac { k }{ g } { v }^{ 2 } \right) \\ \Rightarrow v\frac { dv }{ dy } =g\left( 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 } } \right) \\ \Rightarrow v\frac { dv }{ dy } =\frac { g }{ { V }^{ 2 } } \left( { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } \right) ......(9)\\ \Rightarrow \frac { -2vdv }{ V^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } =-\frac { 2g }{ { V }^{ 2 } } dy
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-

\int { \frac { -2vdv }{ V^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } } =-\frac { 2g }{ { V }^{ 2 } } \int { dy } +B\\ \log { \left( V^{ 2 }-{ v }^{ 2 } \right) } =-\frac { 2gy }{ { V }^{ 2 } } +B
प्रारम्भ में y=0 (उच्चतम बिन्दु पर),v=0

B=\log { { V }^{ 2 } }

\log { \left( V^{ 2 }-{ v }^{ 2 } \right) } =-\frac { 2gy }{ { V }^{ 2 } } +\log { V^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { 2gy }{ { V }^{ 2 } } =\log { V^{ 2 } } -\log { \left( V^{ 2 }-{ v }^{ 2 } \right) } \\ \Rightarrow y=\frac { { V }^{ 2 } }{ 2g } \log { \left( \frac { V^{ 2 } }{ V^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } \right) }
लौटते समय प्रक्षेप बिन्दु पर वेग v हो तो y=h

\Rightarrow h=\frac { { V }^{ 2 } }{ 2g } \log { \left( \frac { V^{ 2 } }{ V^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } \right) } .........(10)
समीकरण (6) व (10) की तुलना करने पर-

\frac { { V }^{ 2 } }{ 2g } \log { \left( \frac { V^{ 2 }+{ U }^{ 2 } }{ V^{ 2 } } \right) } =\frac { { V }^{ 2 } }{ 2g } \log { \left( \frac { V^{ 2 } }{ V^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } \right) } \\ \Rightarrow \frac { V^{ 2 }+{ U }^{ 2 } }{ V^{ 2 } } =\frac { V^{ 2 } }{ V^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } \\ \Rightarrow { V }^{ 4 }-{ V }^{ 2 }{ v }^{ 2 }+{ U }^{ 2 }V^{ 2 }{ -U }^{ 2 }{ v }^{ 2 }={ V }^{ 4 }\\ \Rightarrow { U }^{ 2 }v^{ 2 }+{ V }^{ 2 }{ v }^{ 2 }={ U }^{ 2 }{ V }^{ 2 }\\ \Rightarrow v^{ 2 }\left( { U }^{ 2 }+{ V }^{ 2 } \right) ={ U }^{ 2 }{ V }^{ 2 }.....(11)\\ \Rightarrow v=\frac { UV }{ \sqrt { { U }^{ 2 }+{ V }^{ 2 } } }
समीकरण (9) को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है-

\frac { dv }{ dt } =\frac { g }{ { V }^{ 2 } } \left( V^{ 2 }-{ v }^{ 2 } \right) \\ dt=\frac { { v }^{ 2 } }{ g } \frac { dv }{ V^{ 2 }-{ v }^{ 2 } }
ऊपर से गिरते समय उच्चतम बिन्दु से प्रक्षेप बिन्दु तक आने में लगा समय { t }_{ 2 } हो तो-

\int _{ 0 }^{ { t }_{ 2 } }{ dt } =\frac { { V }^{ 2 } }{ g } \int _{ 0 }^{ V }{ \frac { dv }{ V^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } } \\ { \left[ t \right] }_{ 0 }^{ { t }_{ 2 } }=\frac { { V }^{ 2 } }{ g } .\frac { 1 }{ V } { \left[ { tanh }^{ -1 }\frac { v }{ V } \right] }_{ 0 }^{ V }\\ \Rightarrow { t }_{ 2 }=\frac { v }{ g } \left[ { tanh }^{ -1 }\frac { v }{ V } \right] .......(12)
समीकरण (8) व (12) को जोड़ने पर-

{ t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 }=\frac { V }{ g } \left[ \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { U }{ V } \right) } +{ tanh }^{ -1 }\left( \frac { v }{ V } \right) \right]

उपर्युक्त सवाल के हल द्वारा प्रतिरोध के अधीन उर्ध्वाधर गति (Vertical motion under resistance) को समझा जा सकता है।

Vertical motion under resistance

Question-2.एक भारी कण वेग के वर्ग समानुपाती प्रतिरोध उत्पन्न करने वाले माध्यम में उर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर फेंका जाता है।यदि अपने पथ में किसी बिन्दु पर इसकी गतिज ऊर्जा k हो तो सिद्ध करो कि जब वह अपने पथ पर नीचे गिरता हुआ उस बिन्दु से गुजरता है तो उसमें ऊर्जा का ह्रास \frac { { k }^{ 2 } }{ k+{ k }^{ \prime } } होगा जहां उसकी नीचे की ओर गिरते समय अधिकतम (अन्तिम) ऊर्जा है।
(A heavy particle projected vertically upwards in a medium the resistance of which varies as the square of the velocity.It has a kinetic energy k in its upwards path at a given position when it passes the same point on the way down.Show that the loss of K.E. is \frac { { k }^{ 2 } }{ k+{ k }^{ \prime } } ;where is the limit to which the energy approaches in the downwards course.)
Solution-कण के ऊपर की ओर जाते समय गति का समीकरण-

mv\frac { dv }{ dx } =-mg-mk{ v }^{ 2 }\\ \Rightarrow v\frac { dv }{ dx } =-g\left( 1+\frac { k }{ g } { v }^{ 2 } \right) ....(1)
कण के नीचे गिरते समय गति का समीकरण-

v\frac { dv }{ dy } =g\left( 1-\frac { k }{ g } { v }^{ 2 } \right) .....(2)
यदि अन्तिम वेग V हो तो v\frac { dv }{ dy } =0,v=V रखने पर-

1-\frac { k }{ g } { V }^{ 2 }=0\\ \Rightarrow { V }^{ 2 }=\frac { k }{ g } .....(3)
समीकरण (1) को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है-

v\frac { dv }{ dx } =-g\left( 1+\frac { { v }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 } } \right) \\ =-\frac { g }{ { V }^{ 2 } } \left( { V }^{ 2 }+{ v }^{ 2 } \right) \\ \frac { 2v }{ { V }^{ 2 }+{ v }^{ 2 } }dv =-\frac { 2g }{ { V }^{ 2 } } dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-

\int { \frac { 2v }{ { V }^{ 2 }+{ v }^{ 2 } } dv= } -\frac { 2g }{ { V }^{ 2 } } \int { dx } +A\\ \log { \left( { V }^{ 2 }+{ v }^{ 2 } \right) } =-\frac { 2gx }{ { V }^{ 2 } } +A
प्रारम्भ में x=0,जब v=u  \therefore A=\log { \left( { V }^{ 2 }+{ u }^{ 2 } \right) } \\ \therefore \log { \left( { V }^{ 2 }+{ v }^{ 2 } \right) } =-\frac { 2gx }{ { V }^{ 2 } } +\log { \left( { V }^{ 2 }+{ u }^{ 2 } \right) } \\ \Rightarrow \frac { 2gx }{ { V }^{ 2 } } =\log { \left( { V }^{ 2 }+{ u }^{ 2 } \right) } -\log { \left( { V }^{ 2 }+{ v }^{ 2 } \right) }

किसी बिंदु पर v={ v }_{ 1 }

\Rightarrow \frac { 2gx }{ { V }^{ 2 } } =\log { \left( \frac { { V }^{ 2 }+{ u }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 }+{ { v }_{ 1 } }^{ 2 } } \right) } ......(4)

उच्चतम बिन्दु पर x=h,v=0

\Rightarrow h=\frac { { V }^{ 2 } }{ 2g } \log { \left( \frac { { V }^{ 2 }+{ u }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 } } \right) } ........(5)

समीकरण (2) को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है-

v\frac { dv }{ dy } =g\left( 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 } } \right) \\ \Rightarrow -\frac { 2v }{ { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } dv=-\frac { 2g }{ { V }^{ 2 } } dy
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर-

\log { \left( { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } \right) } =-\frac { 2gy }{ { V }^{ 2 } } +B
प्रारम्भ में अर्थात् उच्चतम बिन्दु पर y=0,v=0  \therefore B=\log { { V }^{ 2 } } \\ \log { \left( { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } \right) } =-\frac { 2gy }{ { V }^{ 2 } } +\log { { V }^{ 2 } } \\ \frac { 2gy }{ { V }^{ 2 } } =\log { \frac { { V }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } } ......(6)
नीचे लौटते समय वेग v हो तो y=h-x

\frac { 2g }{ { V }^{ 2 } } \left( h-x \right) =\log { \frac { { V }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } } \\ \log { \left( \frac { { V }^{ 2 }+{ u }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 } } \right) } -\log { \left( \frac { { V }^{ 2 }+{ u }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 }+{ { v }_{ 1 } }^{ 2 } } \right) } =\log { \frac { { V }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } } \\ \Rightarrow \log { \left\{ \frac { { V }^{ 2 }+{ u }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 } } \times \frac { { V }^{ 2 }+{ { v }_{ 1 } }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 }+{ u }^{ 2 } } \right\} } =\log { \frac { { V }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } } \\ \Rightarrow \frac { { V }^{ 2 }+{ { v }_{ 1 } }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 } } =\frac { { V }^{ 2 } }{ { V }^{ 2 }-{ v }^{ 2 } } \\ \Rightarrow { V }^{ 4 }-{ V }^{ 2 }{ v }^{ 2 }+V^{ 2 }{ { v }_{ 1 } }^{ 2 }-{ { v }_{ 1 } }^{ 2 }{ v }^{ 2 }={ V }^{ 4 }\\ \Rightarrow { v }^{ 2 }\left( V^{ 2 }+{ { v }_{ 1 } }^{ 2 } \right) =V^{ 2 }{ { v }_{ 1 } }^{ 2 }\\ \Rightarrow { v }^{ 2 }=\frac { V^{ 2 }{ { v }_{ 1 } }^{ 2 } }{ V^{ 2 }+{ { v }_{ 1 } }^{ 2 } } \\ \Rightarrow { { v }_{ 1 } }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }={ { v }_{ 1 } }^{ 2 }-\frac { V^{ 2 }{ { v }_{ 1 } }^{ 2 } }{ V^{ 2 }+{ { v }_{ 1 } }^{ 2 } } \\ \Rightarrow { { v }_{ 1 } }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }=\frac { { { V^{ 2 }v }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { v }_{ 1 } }^{ 4 }-V^{ 2 }{ { v }_{ 1 } }^{ 2 } }{ V^{ 2 }+{ { v }_{ 1 } }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } m{ { V }_{ 1 } }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } m{ v }^{ 2 }=\frac { \left( \frac { 1 }{ 2 } m{ { V }_{ 1 } }^{ 2 } \right) }{ \frac { 1 }{ 2 } m{ V }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } m{ { v }_{ 1 } }^{ 2 } }

गतिज ऊर्जा में ह्रास=\frac { { k }^{ 2 } }{ k+{ k }^{ \prime } }

उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा प्रतिरोध के अधीन उर्ध्वाधर गति (Vertical motion under resistance) को समझा जा सकता है।

उपर्युक्त प्रतिरोध के अधीन उर्ध्वाधर गति (Vertical motion under resistance) को दर्शाता है।

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