1.उर्ध्वाधर प्रत्यास्थ डोरी में गति (Motion in vertical elastic string,Rectillinear motion in vertical elastic string)-

Motion in vertical elastic string

उर्ध्वाधर प्रत्यास्थ डोरी में गति  (Motion in vertical elastic string,Rectillinear motion in vertical elastic string)के बारे में इस आर्टिकल में अध्ययन करेंगे। इससे पूर्व आर्टिकल में हम सरल आवर्त गति,प्रत्यास्थ डोरियों के लिए हुक्स नियम,क्षैतिज प्रत्यास्थ डोरी में गति के बारे में पढ़ चुके हैं।
एक प्राकृत लम्बाई एवं \lambda प्रत्यास्थ स्थिरांक की हल्की प्रत्यास्थ डोरी एक सिरे से लटकी हुई है तथा इसके दूसरे सिरे पर m द्रव्यमान का एक कण बांधा गया है,कण की गति की विवेचना करना:
(A light elastic string of natural length l and modulus of elasticity \lambda ,is hung by one end and to the other end,is tied a particle of mass m.To discuss the motion.)

Motion in vertical elastic string

माना कि AB=l प्राकृत (स्वाभाविक) लम्बाई की एक डोरी है जो कि A सिरे से लटकी है।
जब एक m संहति का कण B सिरे से लटकाया जाता है,तब संतुलनावस्था में मान लो कण की स्थिति O है।माना BO=b,इसी स्थिति में मान लो डोरी में तनाव { T }_{ 0 }
है,तब

mg={ T }_{ 0 }=\lambda \frac { b }{ l } ....(1)
अब कण को O से C तक खींचकर छोड़ दिया जाता है तो कण की गति C से ऊपर की ओर होगी (मान लो OC=c)।मान लो t समय पर कण की स्थिति P है और OP=x ,यदि इस स्थिति डोरी मे तनाव T हो ,तब 

T=\lambda \frac { BO+OP }{ AB } =\lambda (\frac { b+x }{ l } )...(2)

t समय पर कण की गति का समीकरण होगा-

m\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =mg-T\\ \Rightarrow m\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =mg-\lambda (\frac { b+x }{ l } )\\ \therefore \frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =-\frac { gx }{ b } ...(3)\qquad [\because(1) से \frac { \lambda b }{ l } =mg,\frac { \lambda }{ l } =\frac { mg }{ b } ]

जो यह प्रदर्शित करता है कि कण की गति O के सापेक्ष सरल आवर्त गति है।
इस सरल आवर्त गति का आवर्तकाल-

T=2\pi \sqrt { (\frac { b }{ g } ) }

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2.उर्ध्वाधर प्रत्यास्थ डोरी में गति (Motion in vertical string,Rectillinear motion in vertical elastic string) पर आधारित सवाल-

Question-1.एक भारहीन प्रत्यास्थ डोरी जिसकी स्वाभाविक लम्बाई l है,एक सिरे से लटकाई जाती है तथा दूसरे सिरे से दो विभिन्न कण जिनकी संहति{ m }_{ 1 }
तथा { m }_{ 2 }है,बांधे गए हैं।यदि इनके संगत आवर्तकाल { t }_{ 1 } तथा { t }_{ 2 }हों तथा { c }_{ 1 },{ c }_{ 2 } इनके लिए स्थैतिक विस्तार हों तो सिद्ध कीजिए कि

g({ t }_{ 1 }^{ 2 }-{ t }_{ 2 }^{ 2 })=4{ \pi }^{ 2 }({ c }_{ 1 }-{ c }_{ 2 })
(A light elastic string of natural length is l is hung by one end and to the other end tied successively paricles of masses { m }_{ 1 }
and{ m }_{ 2 }.If { t }_{ 1 } and{ t }_{ 2 } be the period and{ c }_{ 1 } and { c }_{ 2 } the statical extensions corresponding to these two weights prove that

g({ t }_{ 1 }^{ 2 }-{ t }_{ 2 }^{ 2 })=4{ \pi }^{ 2 }({ c }_{ 1 }-{ c }_{ 2 })
Solution-B पर कण की स्थिति में स्थैतिक विस्तार { c }_{ 1 }  तथा तनाव { T }_{ 0 }, { m }_{ 1 }g   के द्वारा संतुलित है

Motion in vertical elastic string

\therefore { T }_{ 0 }={ m }_{ 1 }g\\ या\quad \lambda \frac { { c }_{ 1 } }{ l } ={ m }_{ 1 }g\quad .......(1)
इसी प्रकार \lambda \frac { { c }_{ 2 } }{ l } ={ m }_{ 2 }g\quad .........(2)
अब कण को नीचे की ओर खींचकर छोड़ दिया जाता है।माना t समय बाद कण की स्थिति संतुलन बिन्दु B से x है।अब डोरी में कुल विस्तार { c }_{ 1 }+x
गति का समीकरण-
{ m }_{ 1 }\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =mg-T\\ ={ m }_{ 1 }g-\frac { \lambda }{ l } ({ c }_{ 1 }+x)\\ \Rightarrow { m }_{ 1 }\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } ={ m }_{ 1 }g-\frac { \lambda }{ l } { c }_{ 1 }-\frac { \lambda }{ l } x\\ \Rightarrow { m }_{ 1 }\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =-\frac { \lambda }{ l } x [(1) से]

\Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =-\frac { \lambda }{ l{ m }_{ 1 } } x=-\frac { g }{ { c }_{ 1 } } x=-\mu x[(1) से]

गति,सरल आवर्त गति है और \mu =\frac { g }{ { c }_{ 1 } }
आवर्तकाल { t }_{ 1 }=\frac { 2\pi }{ \sqrt { \mu } } \\ { t }_{ 1 }=2\pi \sqrt { \frac { { c }_{ 1 } }{ g } } ...(3)
इसी प्रकार { t }_{ 2 }=2\pi \sqrt { \frac { { c }_{ 2 } }{ g } } ...(4)
समीकरण (3) के वर्ग में (4) का वर्ग घटाने पर-

[katex]{ t }_{ 1 }^{ 2 }-{ t }_{ 2 }^{ 2 }=4{ \pi }^{ 2 }(\frac { { c }_{ 1 }-{ c }_{ 2 } }{ g } )\\ g=\frac { 4{ \pi }^{ 2 }({ c }_{ 1 }-{ c }_{ 2 }) }{ { t }_{ 1 }^{ 2 }-{ t }_{ 2 }^{ 2 } } \Rightarrow g({ t }_{ 1 }^{ 2 }-{ t }_{ 2 })=4{ \pi }^{ 2 }({ c }_{ 1 }-{ c }_{ 2 })[/katex]
Question-2.एक प्रत्यास्थ डोरी AB जिसकी लम्बाई l है,उसका सिरा A स्थिर है तथा इसके सिरे B पर भार \frac { 1 }{ 4 } w बांधा हुआ है तब डोरी की लम्बाई 2l हो जाती है।यदि एक भार,B से बांधा जाए तथा A के तल से डाला जाए तो सिद्ध कीजिए कि
(1.)सरल आवर्त गति का आयाम \frac { 3l }{ 4 } है।
(2.)यह 2l दूरी तक गिरता है।
(3.) आवर्तकाल \sqrt { \frac { l }{ 4g } } [4\sqrt { 2 } +\pi +2\sin ^{ -1 }{ (\frac { 1 }{ 3 } ) } ] है।

जब w डोरी के बांधा जाता है तब विस्तार 2l-l=l है तब

\lambda \frac { l }{ l } =\lambda
संतुलन में T=W

\Rightarrow \lambda =4mg
अब \frac { w }{ 4 } =mg डोरी के बांधा जाता है तथा विस्तार b हो तो

Motion in vertical elastic string

संतुलन में { T }_{ 0 }=mg\\ \Rightarrow \lambda \frac { b }{ l } =mg\\ \Rightarrow 4mg.\frac { b }{ l } =mg\\ \Rightarrow b=\frac { l }{ 4 } ......(2)

माना O मूलबिन्दु है तथा कण की t समय पश्चात् स्थिति OP=x है।अब डोरी में कुल मिलाकर विस्तार b+x और संगत तनाव

T=\frac { \lambda }{ l } (b+x)\\ \Rightarrow T=\frac { 4mg }{ l } (\frac { l }{ 4 } +x) [(2) से]

=mg+\frac { 4mg }{ l } x

गति का समीकरण

m\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =mg-T\\ =mg-mg-\frac { 4mg }{ l } x\\ \frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =-\frac { 4g }{ l } x=-\mu x...(3)

जहां \mu =\frac { 4g }{ l }
(1.) गति,सरल आवर्त गति है।सरल आवर्त गति में दूरी व वेग सम्बन्ध-
{ v }^{ 2 }=\mu ({ a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }) [BC के लिए]
{ v }^{ 2 }=2glतथा x=-b=-\frac { 1 }{ 4 } l
[(2) से]

तथा \mu =(\frac { 4g }{ l } )[(3) से]

2gl=\frac { 4g }{ l } ({ a }^{ 2 }-\frac { { l }^{ 2 } }{ 16 } )\\ \therefore { a }^{ 2 }=\frac { { l }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { l }^{ 2 } }{ 16 } \\ \Rightarrow { a }^{ 2 }=\frac { 9{ l }^{ 2 } }{ 16 } \\ a=\frac { { 3l } }{ 4 }
अतः आयाम a=BC=\frac { { 3l } }{ 4 }
(2.)AC=AB+BO+OC

=l+\frac { { l } }{ 4 } +\frac { { 3l } }{ 4 } \\ AC=2l

(3.)कण की गति B से नीचे सरल आवर्त गति है।OC,OB से अधिक है अतः कण गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति करता है तब वेग v=\sqrt { 2gl } है।
गुरुत्वाकर्षण के अधीन उर्ध्वाधर गति की ऊंचाई है-

\frac { { v }^{ 2 } }{ 2g } =l
अर्थात् कण A पर आता है और वापिस गिरता है।
समय=A से C तक का समय तथा वापिस C से A तक का समय
=2[Time for A to C ]
=2(Time for A to B +Time for B to O +Time for O to C )

=2({ t }_{ 1 }+{ t }_{ 2 }+{ t }_{ 3 })\\ { t }_{ 3 }=\frac { 1 }{ 4 } of periodic Time

{ t }_{ 3 }=\frac { 1 }{ 4 } .\frac { 2\pi }{ \sqrt { \mu } } =\frac { \pi }{ 4 } \sqrt { \frac { l }{ g } } [(3) से]

{ t }_{ 1 } के लिए v=u+gt\\ \Rightarrow 0=u-gt\\ \Rightarrow { t }_{ 1 }=\frac { u }{ g } \\ \Rightarrow { t }_{ 1 }=\frac { \sqrt { 2gl } }{ g } \\ \Rightarrow { t }_{ 1 }=\sqrt { \frac { 2l }{ g } }

{ t }_{ 2 } के लिए x=a\sin { \sqrt { \mu } t } \\ \Rightarrow { t }_{ 2 }=\frac { 1 }{ \sqrt { \mu } } \sin ^{ -1 }{ (\frac { x }{ a } ) }
अब x=OB=b=\frac { 1 }{ 4 } l
तथा आयाम \frac { 3 }{ 4 } l,\sqrt { \mu } =2\sqrt { \frac { g }{ l } } \\ { t }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \frac { l }{ g } } \sin ^{ -1 }{ (\frac { \frac { l }{ 4 } }{ \frac { 3l }{ 4 } } ) } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \frac { l }{ g } } \sin ^{ -1 }{ (\frac { 1 }{ 3 } ) } \\ T=2[\sqrt { \frac { 2l }{ g } } +\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \frac { l }{ g } } \sin ^{ -1 }{ (\frac { 1 }{ 3 } ) } +\frac { \pi }{ 4 } \sqrt { \frac { l }{ g } } ]\\ =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \frac { l }{ g } } [4\sqrt { 2 } +\pi +2\sin ^{ -1 }{ (\frac { 1 }{ 3 } ) } ]
Question-3.एक भारी कण विस्तरणीय डोरी द्वारा एक स्थिर बिन्दु से बंधा है जहां से उसे निर्बाध गिरने दिया जाता है।जब कण निम्नतम स्थिति में है तो डोरी की लम्बाई उसकी स्वाभाविक लम्बाई की दुगुनी होती है।सिद्ध कीजिए कि प्रत्यास्थ गुणांक कण के भार का चार गुणा है तथा वह अवधि ज्ञात कीजिए कि प्रत्यास्थ गुणांक कि जिसमें डोरी अपनी स्वाभाविक लम्बाई से खिंची रहती है।
(A heavy particle is attached by an extensible string to a fixed point, from which the particle is allowed to fall freely.When the paricle is in its lowest position, the string is twice its natural length.Prove that the modulus of elasticity is four times the weight of the particle.Also find the time during which the string is extended beyond its natural length.)
Solution-माना कि डोरी की स्वाभाविक लम्बाई l तथा डोरी के कण बांधने पर विस्तार b है। अतः सन्तुलन की अवस्था में 

Motion in vertical elastic string

{ T }_{ 0 }=mg या \lambda \frac { b }{ l } =mg..(1)
मूलबिन्दु O सन्तुलन की अवस्था है।माना कि t समय पश्चात् कण की स्थिति OP=x है।अब डोरी में विस्तार b+x तथा तनाव
T=\lambda (\frac { b+x }{ l } )\\ =\lambda \frac { b }{ l } +\frac { \lambda x }{ l } \\ =mg+\frac { \lambda x }{ l } [(1)से ]
गति का समीकरण-

m\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =mg-T\\ =mg-mg-\frac { \lambda x }{ l } \\ =-\frac { \lambda x }{ l } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =-\frac { \lambda }{ lm } x=-\frac { g }{ b } x[(1) से]

\Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } =-\frac { g }{ b } x=-\mu x …(2)
गति,सरल आवर्त गति है। अतः वेग व दूरी का सम्बन्ध

{ v }^{ 2 }=\mu \left( { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } \right) ...(3)[BC के लिए]
जब कण B पर l दूरी गिरता है तो { v }^{ 2 }=2gl
x=OB=-b तथा H=\frac { g }{ b } ,a=आयाम=OC=BC-BO=l-b
AC=2l तथा AB=l
उपर्युक्त मान समीकरण (3) में रखने पर-

2gl=\left( \frac { g }{ b } \right) \left\{ { (l-b) }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } \right\} \\ \Rightarrow 2lb={ l }^{ 2 }-2lb\Rightarrow b=\frac { 1 }{ 4 } l..(4)
[(1) से ] \lambda =\frac { lmg }{ b } =4mg[(4) से ]…(5)
आयाम =a=OC=l-b=l-\frac { 1 }{ 4 } l=\frac { 3l }{ 4 } ...(6)
तथा \sqrt { \mu } =\sqrt { (\frac { g }{ b } ) } =2\sqrt { (\frac { g }{ l } ) } ...(7)
अब हमें डोरी की स्वाभाविक लम्बाई से विस्तार करने का समय ज्ञात करना है।यदि यह समय T है तो
T=Time for B to O+Time for O to C
Time for O to C=\frac { 1 }{ 4 } time of one complete oscillation
=\frac { 1 }{ 4 } .\frac { 2\pi }{ \sqrt { \mu } } =\frac { \pi }{ 2\sqrt { \mu } } \\ =\frac { \pi }{ 4 } \sqrt { (\frac { l }{ g } ) } [(7) से]
पुनः O से B तक का समय

x=a\sin { \sqrt { \mu } t } \Rightarrow t=\frac { 1 }{ \sqrt { \mu } } \sin ^{ -1 }{ (\frac { x }{ a } ) }

a ,का मान (6) व (7) से रखने पर तथा x=OB=b=\frac { l }{ 4 } [(4) से]

t=\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { (\frac { l }{ g } ) } \sin ^{ -1 }{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \right) }
पूछा गया समय= \frac { \pi }{ 4 } \sqrt { (\frac { l }{ g } ) } +\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { (\frac { l }{ g } ) } \sin ^{ -1 }{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \right) } \\ =\frac { 1 }{ 4 } \sqrt { (\frac { l }{ g } ) } [\pi +2\sin ^{ -1 }{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \right) } ]
उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा उर्ध्वाधर प्रत्यास्थ डोरी में गति (Motion in vertical elastic string,Rectillinear motion in vertical elastic string) को समझा जा सकता है।

3.क्षैतिज प्रत्यास्थ स्ट्रिंग (Horizontal elastic string)-

प्रत्यास्थ डोरी वह होती हैं जो एक निश्चित लंबाई नहीं होती हैं (उन्हें बढ़ाया जा सकता है)।कुछ डोरी दूसरों की तुलना में अधिक खिंचाव वाले होते हैं और मापांक (या प्रत्यास्थ के मापांक) स्थिरांक होता है।
इसके लिए अलग से आर्टिकल पोस्ट किया हुआ है अतः इसके बारे में जानकारी के लिए उस आर्टिकल को देखें।

4.आगे यांत्रिकी प्रत्यास्थ डोरी और स्प्रिंग्स (Further mechanics elastic strings and springs)-

यदि प्रत्यास्थ स्ट्रिंग या स्प्रिंग के अंत से जुड़ा एक द्रव्यमान विस्तार का उत्पादन कर रहा है, तो न्यूटन के तीसरे नियम द्वारा, प्रत्यास्थ स्ट्रिंग या स्प्रिंग बड़े पैमाने पर एक बल बढ़ाता है और इसके तनाव की दिशा में विपरीत होता है।

5.प्रत्यास्थ स्ट्रिंग में तनाव(Tension in elastic string)-

Motion in vertical elastic string

हूक के नियम में कहा गया है कि एक प्रत्यास्थ स्ट्रिंग (या स्प्रिंग), T में तनाव निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हुए पाया जाता है:
T (तनाव)=(प्रत्यास्थ मापांक×डोरी में विस्तार)/डोरी की स्वाभाविक लम्बाई
जहाँ l स्ट्रिंग की प्रत्यास्थ का मापांक है, x स्ट्रिंग का विस्तार है और l डोरी की प्राकृतिक लंबाई है।मापांक (प्रत्यास्थ का) 10 एन के साथ एक स्ट्रिंग की प्राकृतिक लंबाई 2 मी है।

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