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Simultaneous differential equations

1.युगपत् अवकल समीकरण का परिचय (Introduction to Simultaneous differential equations)-

युगपत् अवकल समीकरण (Simultaneous differential equations) में उन समीकरणों का अध्ययन करेंगे जिनमें दो से अधिक चर राशियां हैं।इस प्रकार के समीकरण या तो साधारण या आंशिक होंगे। साधारण समीकरणों में एक स्वतन्त्र चर राशि होती है जबकि आंशिक समीकरणों में एक से अधिक चर राशियां होती है।
युगपत् अवकल समीकरणों (Simultaneous differential equations) में उन अवकल समीकरणों का अध्ययन करेंगे जिनमें युगपत् अवकल समीकरणों (Simultaneous differential equations) की संख्या आश्रित चर राशियों की संख्या के बराबर होती है तथा समस्त समीकरण रैखिक होते हैं।इस प्रकार के समीकरण अचर गुणांकों वाले युगपत् रैखिक अवकल समीकरण (Simultaneous linear differential equations with constant co-efficients) कहलाते हैं।
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2.युगपत् अवकल समीकरणों को हल करने की विधि (Method of solving Simultaneous differential equations)-

 

(1.) प्रतीकात्मक विधि (Symbolic Method)-

युगपत अवकल समीकरणों को हल करने की विधि कुछ-कुछ उसी प्रकार की है जैसी की युगपत् बीजीय समीकरणों को हल करने के लिए काम में ली जाती है। यहां पर भी हम विलोपन की विधि से केवल एक आश्रित चर एवं इसके अवकलजों में समीकरण प्राप्त करते हैं जिनमें एक स्वतन्त्र चर होता है।इन समीकरणों को उपयुक्त विधि से हल कर इसमें प्रयुक्त दो चरों के सम्बन्ध प्राप्त करते हैं।इसके पश्चात् उपर्युक्त प्रकार से विलोपन एवं समाकलन कर या प्राप्त सम्बन्ध से दिए हुए किसी एक समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा आश्रित चर एवं स्वतन्त्र चर में सम्बन्ध प्राप्त करते हैं।

(2.)अवकलन विधि (Differential Method)-

यदि युगपत् अवकल समीकरणों (Simultaneous differential equations) में x,y, तथा विद्यमान हो तो तब हम इनका t के सापेक्ष अवकलन करके दो और समीकरण प्राप्त करते हैं जिनमें x,y \frac { dx }{ dt } तथा \frac { dy }{ dt } द्वितीय कोटि के अवकलज विद्यमान होंगे।इन चार समीकरणों में y ( या x ) तथा इनके अवकलजों का विलोपन कर x ( या y ) तथा इसके अवकलजों में एक समीकरण प्राप्त करते हैं।इस नए समीकरण को हल कर x ( या y) का मान ज्ञात करते हैं। इसके पश्चात् x ( या y ) का मान दिए हुए समीकरणों में से किसी एक में प्रतिस्थापित कर y (या x ) का मान प्राप्त करते हैं।
निम्नलिखित युगपत् अवकल समीकरणों (Simultaneous differential equations) को हल कीजिए-
Question-1. \frac { { d }^{ 2 }x }{ { dt }^{ 2 } } +{ m }^{ 2 }y=0,\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dt }^{ 2 } } -{ m }^{ 2 }y=0

Solution-\frac { { d }^{ 2 }x }{ { dt }^{ 2 } } +{ m }^{ 2 }y=0.........(1)

x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { { d }^{ 3 }x }{ { dt }^{ 3 } } +{ m }^{ 2 }\frac { dy }{ dt } =0

पुनः t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { { d }^{ 4 }x }{ { dt }^{ 4 } } +{ m }^{ 2 }\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dt }^{ 2 } } =0......(2)\\ \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dt }^{ 2 } } -{ m }^{ 2 }x=0..........(3)\\ \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dt }^{ 2 } } ={ m }^{ 2 }x........(4)

समीकरण (4) से (2) में मान रखने पर-

\frac { { d }^{ 4 }x }{ { dt }^{ 4 } } +{ m }^{ 4 }x=0\\ \left( { D }^{ 4 }+{ m }^{ 4 } \right) x=0
यह अचर गुणांकों वाला रैखिक समीकरण है।इसका सहायक समीकरण होगा-

{ M }^{ 4 }+{ m }^{ 4 }=0\\ { M }^{ 4 }+{ m }^{ 4 }+2{ M }^{ 2 }{ m }^{ 2 }-2{ M }^{ 2 }{ m }^{ 2 }=0\\ { \left( { M }^{ 2 }+{ m }^{ 2 } \right) }^{ 2 }-{ \left( \sqrt { 2 } Mm \right) }^{ 2 }=0\\ \left( { M }^{ 2 }+{ m }^{ 2 }+\sqrt { 2 } Mm \right) \left( { M }^{ 2 }+{ m }^{ 2 }-\sqrt { 2 } Mm \right) =0

either{ M }^{ 2 }+{ m }^{ 2 }-\sqrt { 2 } Mm=0\quad \quad or\quad { M }^{ 2 }+{ m }^{ 2 }+\sqrt { 2 } Mm=0\\ M=\frac { \sqrt { 2 } m\pm \sqrt { 2{ m }^{ 2 }-4\times 1\times { m }^{ 2 } } }{ 2\times 1 } \\ M=\frac { \sqrt { 2 } m\pm \sqrt { 2 } mi }{ 2 } \\ M=\frac { \sqrt { 2 } m }{ 2 } \pm \frac { \sqrt { 2 } m }{ 2 } i\\ M=\frac { m }{ \sqrt { 2 } } \pm \frac { m }{ \sqrt { 2 } } i\\ or\quad { M }^{ 2 }+{ m }^{ 2 }+\sqrt { 2 } Mm=0\\ M=\frac { -\sqrt { 2 } m\pm \sqrt { 2{ m }^{ 2 }-4\times 1\times { m }^{ 2 } } }{ 2\times 1 } \\ M=\frac { -\sqrt { 2 } m\pm \sqrt { 2 } mi }{ 2 } \\ M=-\frac { \sqrt { 2 } m }{ 2 } \pm \frac { \sqrt { 2 } m }{ 2 } i\\ M=-\frac { m }{ \sqrt { 2 } } \pm \frac { m }{ \sqrt { 2 } } i

अतः \Rightarrow P.I.={ e }^{ \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { C }_{ 1 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 2 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} \\ +{ e }^{ -\frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { C }_{ 3 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 4 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} \\ \Rightarrow x={ e }^{ \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { C }_{ 1 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 2 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} \\ +{ e }^{ -\frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { C }_{ 3 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 4 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\}

t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dx }{ dt } =\frac { m }{ \sqrt { 2 } } { e }^{ \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { C }_{ 1 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 2 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} +\frac { m }{ \sqrt { 2 } } { e }^{ \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { -C }_{ 1 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 2 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} \\ -\frac { m }{ \sqrt { 2 } } { e }^{ -\frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { C }_{ 3 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 4 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} +\frac { m }{ \sqrt { 2 } } { e }^{ -\frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ -{ C }_{ 3 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 4 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\}

पुनः t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }x }{ { dt }^{ 2 } } =\frac { { m }^{ 2 } }{ 2 } { e }^{ \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { C }_{ 1 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 2 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} +\frac { { m }^{ 2 } }{ 2 } { e }^{ \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { -C }_{ 1 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 2 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} \\ +\frac { { m }^{ 2 } }{ 2 } { e }^{ \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { -C }_{ 1 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 2 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} +\frac { { m }^{ 2 } }{ 2 } { e }^{ \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ -{ C }_{ 1 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) -{ C }_{ 2 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} \\ +\frac { { m }^{ 2 } }{ 2 } { e }^{ -\frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { C }_{ 3 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 4 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} -\frac { { m }^{ 2 } }{ 2 } { e }^{ -\frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ -{ C }_{ 3 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 4 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} \\ -\frac { { m }^{ 2 } }{ 2 } { e }^{ -\frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ -{ C }_{ 3 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 4 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} +\frac { { m }^{ 2 } }{ 2 } { e }^{ -\frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { -C }_{ 3 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) -{ C }_{ 4 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }x }{ { dt }^{ 2 } } ={ m }^{ 2 }{ e }^{ \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { -C }_{ 1 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 2 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} \\ -{ m }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ -{ C }_{ 3 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 4 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} ......(5)
समीकरण (5) से (1) में मान रखने पर-

\Rightarrow { m }^{ 2 }{ e }^{ \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { -C }_{ 1 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 2 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} \\ -{ m }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ -{ C }_{ 3 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 4 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} +{ m }^{ 2 }y=0\\ \Rightarrow y={ e }^{ \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { -C }_{ 1 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) -{ C }_{ 2 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} \\ -{ e }^{ -\frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ -{ C }_{ 3 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 4 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} \\ \Rightarrow x={ e }^{ \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { C }_{ 1 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 2 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\} \\ +{ e }^{ -\frac { mt }{ \sqrt { 2 } } }\left\{ { C }_{ 3 }\quad cos\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) +{ C }_{ 4 }\quad sin\left( \frac { mt }{ \sqrt { 2 } } \right) \right\}

Question-2. \frac { dx }{ dt } =2y,\frac { dy }{ dt } =2z,\frac { dz }{ dt } =2x
Solution-\frac { dx }{ dt } =2y........(1)\\ \frac { dy }{ dt } =2z........(2)\\ \frac { dz }{ dt } =2x........(3)

समीकरण (1) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { { d }^{ 2 }x }{ { dt }^{ 2 } } =2\frac { dy }{ dt } ..........(4)
समीकरण (2) व (4) से-

\frac { { d }^{ 2 }x }{ { dt }^{ 2 } } =2\left( 2z \right) \\ \frac { { d }^{ 2 }x }{ { dt }^{ 2 } } =4z...........(5)
पुनः समीकरण (5) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { { d }^{ 3 }x }{ { dt }^{ 3 } } =4\frac { dz }{ dt } ..........(6)
समीकरण (3) व (6) से-

\frac { { d }^{ 3 }x }{ { dt }^{ 3 } } =4\left( 2x \right) \\ \frac { { d }^{ 3 }x }{ { dt }^{ 3 } } =8x\\ \left( { D }^{ 3 }-8 \right) x=0
यह अचर गुणांकों वाला रैखिक समीकरण है।इसका सहायक समीकरण होगा-

{ m }^{ 3 }-8=0\\ \left( m-2 \right) \left( { m }^{ 2 }+2m+4 \right) =0\\ either\quad m-2=0\\ \Rightarrow m=2\\ or\quad m=\frac { -2\pm \sqrt { 4-4\times 1\times 4 } }{ 2 } \\ m=\frac { -2\pm \sqrt { -12 } }{ 2 } \\ m=\frac { -2\pm 2\sqrt { 3 } i }{ 2 } \\ m=-1\pm \sqrt { 3 } i\\ m=2,-1\pm \sqrt { 3 } i\\ P.I.={ C }_{ 1 }{ e }^{ 2t }+{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad cos\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t \right) \\ x={ C }_{ 1 }{ e }^{ 2t }+{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad cos\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t \right)
पुनः t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dx }{ dt } =2{ C }_{ 1 }{ e }^{ 2t }-{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad cos\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t \right) -\sqrt { 3 } { C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad sin\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t \right) \\ \frac { dx }{ dt } =2{ C }_{ 1 }{ e }^{ 2t }+{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad \left[ -cos\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t \right) -\sqrt { 3 } \quad sin\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t \right) \right] \\ \frac { dx }{ dt } =2{ C }_{ 1 }{ e }^{ 2t }+2{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad \left[ -\frac { 1 }{ 2 } cos\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t \right) -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \quad sin\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t \right) \right] \\ \frac { dx }{ dt } =2{ C }_{ 1 }{ e }^{ 2t }+2{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad \left[ cos\frac { 2\pi }{ 3 } \quad cos\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t \right) -sin\frac { 2\pi }{ 3 } \quad sin\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t \right) \right] \\ \frac { dx }{ dt } =2\quad \left[ { C }_{ 1 }{ e }^{ 2t }+{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad cos\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t+\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \right]
समीकरण (1) में मान रखने पर-

y=y={ C }_{ 1 }{ e }^{ 2t }+{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad cos\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t+\frac { 2\pi }{ 3 } \right)
पुनः t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dt } =2{ C }_{ 1 }{ e }^{ 2t }-{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad cos\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t+\frac { 2\pi }{ 3 } \right) -\sqrt { 3 } { C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad sin\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t+\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \\ \frac { dy }{ dt } =2{ C }_{ 1 }{ e }^{ 2t }-{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad \left[ -\frac { 1 }{ 2 } cos\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t+\frac { 2\pi }{ 3 } \right) -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } { C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad sin\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t+\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \right] \\ \frac { dy }{ dt } =2{ C }_{ 1 }{ e }^{ 2t }-{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad \left[ cos\frac { 2\pi }{ 3 } cos\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t+\frac { 2\pi }{ 3 } \right) -sin\frac { 2\pi }{ 3 } { C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad sin\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t+\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \right] \\ \frac { dy }{ dt } =2\left[ { C }_{ 1 }{ e }^{ 2t }+{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad cos\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t+\frac { 4\pi }{ 3 } \right) \right]
समीकरण (2) में मान रखने पर-z={ C }_{ 1 }{ e }^{ 2t }+{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad cos\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t+\frac { 4\pi }{ 3 } \right) \\x={ C }_{ 1 }{ e }^{ 2t }+{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad cos\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t \right) \\ y={ C }_{ 1 }{ e }^{ 2t }+{ C }_{ 2 }{ e }^{ -t }\quad cos\left( { C }_{ 3 }+\sqrt { 3 } t+\frac { 2\pi }{ 3 } \right)
इस प्रकार उक्त उदाहरणों से युगपत् अवकल समीकरणों (Simultaneous differential equations) को हल करने को समझा जा सकता है।

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