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Surface Area of Cube and Cuboid

1.घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Cube and Cuboid)-

  • घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Cube and Cuboid) में ठोस आकृतियां जैसे ईंट,माचिस,चाक का डिब्बा,सन्दूक,कमरा,पुस्तक इत्यादि का ज्ञात करना सीखेंगे।
  • इन सभी वस्तुओं का आकार और आयतन निश्चित होता है।ये सभी आकृतियां त्रिविमीय ठोस आकृतियां हैं अर्थात् इनकी लम्बाई,चौड़ाई और ऊंचाई होती है।
  • किसी ठोस आकृति के पृष्ठीय क्षेत्रफल से तात्पर्य समस्त पृष्ठों के क्षेत्रफल के योग से है तथा किसी ठोस द्वारा जितना स्थान घेरा जाता है वह उसका आयतन कहलाता है। क्षेत्रफल को वर्ग ईकाई और आयतन को घन इकाई में मापा जाता है।
    (1.)घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Cuboid),आप एक घन और घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल को कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the surface area of a cube and cuboid?)-
  • कागज के आयताकार पत्रों (शीटों) को एक के ऊपर एक रखकर जो बण्डल बनता है उससे जो आकृति दिखाई देती है उसे घनाभ कहते हैं।इसका प्रत्येक फलक आयताकार होता है इसलिए घनाभ को आयतफलकी ठोस भी कहते हैं।
  • घनाभ में छ: पृष्ठ (फलक),8 शीर्ष व 12 कोरे होती है।जैसे कमरा,सन्दूक,ईंट आदि।घनाभ के आमने-सामने के फलक परस्पर समान होते हैं।घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इसके छ: फलकों का क्षेत्रफल निकालना होता है।
  • घनाभ के फलक ABCD का क्षेत्रफल=फलक AB’C’D का क्षेत्रफल=लम्बाई×चौड़ाई
  • घनाभ के फलक ADD’A’ का क्षेत्रफल=फलक BCC’B’ का क्षेत्रफल=चौड़ाई×ऊंचाई
  • घनाभ के फलक ABB’A का क्षेत्रफल=फलक DCC’D’ का क्षेत्रफल=ऊंचाई×लम्बाई
  • अतः घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल(Total Surface Area of Cuboid)=2[लम्बाई×चौड़ाई+चौड़ाई×ऊंचाई+ऊंचाई×लम्बाई] वर्ग इकाई
  • घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय (Total Surface Area of Cuboid)=2(lb+bh+lh)
    (2.)घनाभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है? (What is the curved surface area of cuboid?),घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved surface area of cuboid),घनाभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral surface area of cuboid),घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र (Curved surface area of cuboid formula)-
  • घनाभ की चारों दीवारों का क्षेत्रफल (The area of ​​the four walls of the cuboid),घनाभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved surface area of cuboid)
    =2 ऊंचाई (लम्बाई+चौड़ाई)
  • घनाभ की चारों दीवारों का क्षेत्रफल (The area of ​​the four walls of the cuboid),घनाभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved surface area of cuboid)
    =2 ऊंचाई (लम्बाई+चौड़ाई)=2h(l+b)
    (3.)घन (Surface Area of Cube),घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए सूत्र क्या है? (What is the formula for total surface area of cube?)-
  • यदि घनाभ का प्रत्येक फलक वर्गाकार हो अर्थात् लम्बाई,चौड़ाई और ऊंचाई बराबर हो तो इसे घन कहते हैं।घन का प्रत्येक पृष्ठ वर्गाकार होता है।
    इसलिए घन के एक पृष्ठ का क्षेत्रफल=भुजा^{2}=l^{2}
  • घन के छ: पृष्ठों का क्षेत्रफल=6 भुजा^{2}=6l^{2}
    अतः घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area of Cube)=6 भुजा^{2} वर्ग इकाई=6l^{2}

4.घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved surface area of cube)-

  • घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved surface area of cube)=4 भुजा^{2}
  • घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved surface area of cube)=4 l^{2}

(4.)घन और घनाभ के विकर्ण (Diagonal of Cube and Cuboid)-

  • घन या घनाभ के समान्तर फलक के दो सम्मुख शीर्षों को मिलाने वाली रेखा विकर्ण कहलाती है। अतः घन एवं घनाभ में 4 विकर्ण होते हैं।
    घनाभ के विकर्ण की लम्बाई (Length of diagonal of cuboid)=\sqrt{लम्बाई^{2} +चौड़ाई^{2} +ऊंचाई^{2}} इकाई\\ =\sqrt{l^{2} +b^{2} +h^{2}}इकाई
  • घन के विकर्ण की लम्बाई (Length of diagonal of Cube)=\sqrt{3} भुजा इकाई=\sqrt{3} l इकाई
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2.घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल उदाहरण (Surface Area of Cube and Cuboid Examples)-

Example-1.एक बन्द लकड़ी के बक्से की लम्बाई 1मीटर,चौड़ाई 60सेमी एवं ऊंचाई 40 सेमी है तो बक्से का बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution– घनाभ की लम्बाई (l)=1मीटर
घनाभ की चौड़ाई (b)=60सेमी=0.60मीटर
घनाभ की ऊंचाई (h)=40सेमी=0.40मीटर
घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=2(lb+bh+lh)
=2(1×0.60+0.60×0.40+1×0.40)
=(0.60+0.24+040)
=2(1.24)
=2.48 वर्ग मीटर

Example-2.एक सन्दूक की माप क्रमशः 40सेमी,30सेमी एवं 20सेमी है।सन्दूक का कवर बनाने में कितने वर्ग सेमी की आवश्यकता होगी।
Solution– सन्दूक की लम्बाई (l)=40सेमी
सन्दूक की चौड़ाई (b)=30सेमी
सन्दूक की ऊंचाई (h)=20सेमी
सन्दूक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=2(lb+bh+lh)
=2(40×30+30×20+40×20)
=2(1200+600+800)
=2(2600)
=5200 वर्ग सेमी

Example-3. एक कमरे की लम्बाई 5मीटर,चौड़ाई 3.5मीटर व ऊंचाई 4मीटर है।15 रुपए प्रति वर्ग मीटर की दर से छत व चारों दीवारों पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Solution– कमरे की लम्बाई (l)=5 मीटर
कमरे की चौड़ाई (b)=3.5 मीटर
कमरे की चौड़ाई (h)=4 मीटर
कमरे की छत का क्षेत्रफल=lb=5×35=175 वर्ग मीटर
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल=2h(l+b)
=2×4(5+3.5)
=8×8.5=68 वर्ग मीटर
छत व चारों दीवारों का क्षेत्रफल=17.5+68=85.5
छत व चारों दीवारों पर सफेदी कराने का व्यय=क्षेत्रफल×सफेदी कराने की दर
=85.5×15
=1282.50 रुपए

Example-4.एक घनाकार चौक के डिब्बे की भुजा 4 सेमी है तो चौक के डिब्बे का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution-घनाकार चौक के डिब्बे की भुजा (l)=4 सेमी
घनाकार चौक के डिब्बे का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=6l^{2}
=6(16)
=96 वर्ग सेमी
वर्ग के विकर्ण की लम्बाई=\sqrt{3} l \\ =\sqrt{3} \times 4 \\ =4 \sqrt{3}सेमी

Example-5. एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1014 वर्ग मीटर है,घन की भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution– घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=6l^{2}=1014 \\ l^{2}= \frac{1014}{6} \\ l^{2}=169 \\ l=\sqrt{169}
भुजा (l)=13 मीटर

Example-6.ढक्कनदार एक सन्दूक 2.5 सेमी मोटी लकड़ी का बना है सन्दूक के अन्दर की लम्बाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः 1 मीटर,65 सेमी एवं 55 सेमी है।इसके बाहर के सम्पूर्ण पृष्ठ पर 15 रुपए प्रति वर्ग मीटर की दर से रंग कराने का खर्चा ज्ञात कीजिए।
Solution-सन्दूक के अन्दर की लम्बाई=1 मीटर
सन्दूक के अन्दर की चौड़ाई=65 सेमी=0.65 मीटर
सन्दूक के अन्दर की ऊंचाई=55 सेमी=0.55 मीटर
सन्दूक के बाहर की लम्बाई (l)=1 मीटर+2×2.5 सेमी
=1 मीटर+5 सेमी
=1 मीटर+0.05 मीटर
=1.05 मीटर
सन्दूक के बाहर की चौड़ाई (l)=0.65 मीटर+2×2.5 सेमी
=0.65 मीटर+5 सेमी
=0.65 मीटर+0.05 मीटर
=0.70 मीटर
सन्दूक के बाहर की ऊंचाई (h)=0.55 मीटर+2×2.5 सेमी
=0.55 मीटर+5 सेमी
=0.55 मीटर+0.05 मीटर
=0.60 मीटर
सन्दूक के बाहर का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=2(lb+bh+lh)
=2(1.05×0.70+0.70×0.60+1.05=0.60) =2(0.735+0.420+0.630)
=2×1.785
=3.57 वर्ग मीटर
सन्दूक के बाहर पृष्ठ पर रंग कराने का खर्चा=क्षेत्रफल×रंग कराने की दर
=3.57×15
=53.55 रुपए

Example-7.एक घन का प्रत्येक पृष्ठ 100 वर्ग सेमी है।यदि आधार के समान्तर समतल द्वारा घन को काटकर दो बराबर भागों में बांट दिया थे जाए तो प्रत्येक समान भाग का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution– घन के पृष्ठ का क्षेत्रफल= l^{2}=100 वर्ग सेमी
भुजा (l)=10 सेमी
आधार के समान्तर समतल द्वारा दो समान भाग करने पर घनाभ की लम्बाई (l)=10 सेमी
घनाभ की चौड़ाई (b)=10 सेमी
घनाभ की ऊंचाई (h)=5 सेमी
घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=2(lb+bh+lh)
=2(10×10+10×5+10×5)
=2(100+50+50)
=2(200)
=400 वर्ग सेमी

Example-8. एक बगैर ढक्कन का एक सन्दूक 3 सेमी मोटी लकड़ी का बना है उसकी बाहरी लम्बाई,चौड़ाई एवं ऊंचाई क्रमशः 146 सेमी,116 सेमी एवं 83 सेमी है उसके अन्दर का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution-सन्दूक की बाहरी लम्बाई=146 सेमी
सन्दूक की बाहरी चौड़ाई=116 सेमी
सन्दूक की बाहरी ऊंचाई=83 सेमी
सन्दूक के अन्दर की लम्बाई=146 सेमी-2×3सेमी
=146 सेमी-6 सेमी=140 सेमी
सन्दूक के अन्दर की चौड़ाई=116सेमी-2×3 सेमी
=116 सेमी-6 सेमी=110 सेमी
सन्दूक के अन्दर की ऊंचाई=83 सेमी-3 सेमी=80 सेमी
सन्दूक के अन्दर का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=lb+2h(l+b)
=140×110+2×80(140+110)
=15400+160×250
=15400+40000
=55400 वर्ग सेमी

Example-9.दो घनाकार पासों की कोर 2 सेमी है।इन पासों के एक पृष्ठ को आपस में चिपकाकर एक ठोस बनाया गया है।ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करो।
Solution– घनाकार पासे की भुजा=2 सेमी
दो घनाकार पासों को चिपकाने पर घनाभ की लम्बाई (l) =2सेमी+2सेमी=4सेमी
घनाभ की चौड़ाई (b)=2 सेमी
घनाभ की ऊंचाई (h)=2 सेमी
घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=2(lb+bh+lh)
=2(4×2+2×2+4×2)
=2(8+4+8)
=2×20=40 वर्ग सेमी

Example-10. एक आयताकार चबूतरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः 6.5 मीटर,5मीटर,1.5 मीटर है।इसके सभी ओर सीमेन्ट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए जबकि मजदूरी सहित कुल खर्च 18 रुपए प्रति वर्ग मीटर हो।
Solution-आयताकार चबूतरे की लम्बाई (l)=6.5 मीटर
आयताकार चबूतरे की चौड़ाई (b)=5 मीटर
आयताकार चबूतरे की ऊंचाई (h)=1.5 मीटर
चबूतरे पर सीमेन्ट कराने वाले भाग का क्षेत्रफल=lb+2h(l+b)
=8.5×5+2×1.5(6.5+5)
=32.5+3×11.5
=32.5+34.5
=67 वर्ग मीटर
चबूतरे पर सीमेन्ट कराने का व्यय=चबूतरे का पृष्ठीय क्षेत्रफल×मजदूरी सहित खर्च की दर
=67×18
=1206 रुपए
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Cube and Cuboid) को समझ सकते हैं।

3.घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल की समस्याएं (Surface Area of Cube and Cuboid Problems)-

(1.)एक कमरे की लम्बाई 5 मीटर,चौड़ाई 3.5 मीटर तथा ऊंचाई 4 मीटर है तो कमरे का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(2.)12 मीटर लम्बे,9 मीटर चौड़े तथा 8 मीटर ऊंचे कमरे में अधिक से अधिक कितनी लम्बी छड़ रखी जा सकती है।
(3.)एक घन की भुजा 12 सेमी है तो घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(4.)एक सन्दूक 1 मीटर लम्बा,60 सेमी चौड़ा,40 सेमी ऊंचा है।इसके पैंदे को छोड़कर बाहर की ओर सभी पृष्ठों पर 20 रुपए प्रति वर्ग मीटर की दर से रंग कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
(5.)एक टिन के बक्से की लम्बाई, चौड़ाई एवं ऊंचाई क्रमशः 15 सेमी,10 सेमी एवं 8 सेमी है।ऐसे 20 बक्से बनाने हैं।इसमें लगने वाले टिन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।यदि टिन का मूल्य 50 रुपए प्रति वर्ग मीटर हो तो बक्सों में लगने वाले टिन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(6.)एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः 4 मीटर,3 मीटर और 2 मीटर है तो घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा।
(7.)8 मीटर×7 मीटर×6 मीटर माप वाले घनाभ का विकर्ण है।
(8.)एक घन की भुजा 5 सेमी है।घन का विकर्ण है।
उत्तर (Answer)-(1.)103 वर्ग सेमी
(2.)17 मीटर
(3.)864 वर्ग सेमी
(4.)37.60 रुपए
(5.)700 वर्ग सेमी
(6.)52 वर्ग सेमी
(7.)12.2 मीटर
(8.) सेमी

  • उपर्युक्त सवालों को हल करने पर घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Cube and Cuboid) ठीक से समझ में आ सकता है।

4.घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है? (What is surface area of cuboid?)-

  • एक घनाभ में 6 आयताकार फलक होते हैं।एक घनाभ की पृष्ठीय क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए, सभी 6 फलकों के क्षेत्रफलों को जोड़ें।हम घनाभ की लंबाई (l), चौड़ाई (b), और ऊंचाई (h) को भी लेबल कर सकते हैं और पृष्ठीय क्षेत्रफल का पता लगाने के लिए सूत्र, SA=2(lb+lh +hb) का उपयोग कर सकते हैं।

5.घन और घनाभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है? (what is the lateral surface area of cube and cuboid)-

  • घनाभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved surface area of cuboid)
    =2 ऊंचाई (लम्बाई+चौड़ाई)=2h(l+b)
  • घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved surface area of cube)=4 भुजा^{2}
  • उपर्युक्त उदाहरणों,प्रश्नों के उत्तर तथा सवालों को हल करने पर घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Cube and Cuboid) को भली-भांति समझ सकते हैं।

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