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How to Find Mean Mode and Median?

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1.माध्य, बहुलक और मध्यका कैसे ज्ञात करें? (How to Find Mean Mode and Median?),समान्तर माध्य, बहुलक और मध्यका (Arithmetic Mean Mode and Median):

माध्य, बहुलक और मध्यका कैसे ज्ञात करें? (How to Find Mean Mode and Median?):-समान्तर माध्य, बहुलक और मध्यका (Arithmetic Mean Mode and Median) सभी प्रकार के माध्यों में सबसे अधिक लोकप्रिय हैं।समान्तर माध्य ज्ञात करने की चार रीतियाँ क्रमशः प्रत्यक्ष रीति (Direct Method),लघुरीति (Short-cut Method),पद-विचलन रीति (Step Deviation Method),आकलन या योग रीति (Summation Method)हैं।इन चारों रीतियों में से किसी भी रीति द्वारा समान्तर माध्य ज्ञात किया जाए उत्तर एक समान आता है।परन्तु अधिकांशतया लघुरीति तथा पद-विचलन रीति का उपयोग किया जाता है।
अविच्छिन्न श्रेणी में वर्गान्तरों की संख्या अधिक हो, वर्ग-विस्तार समान हो तथा आवृत्तियाँ अधिक हों तो पद विचलन रीति का प्रयोग सर्वोत्तम होता है।यदि वर्ग विस्तार सरल व समान हों या विभिन्न वर्गों के विस्तार में थोड़ा ही अन्तर हो तो लघुरीति का प्रयोग करना चाहिए।इसके विपरीत यदि वर्गों के विस्तारों में काफी भिन्नता हो तो प्रत्यक्ष रीति उपयुक्त होती है।
समान्तर माध्य, बहुलक और मध्यका के सूत्र (Arithmetic Mean Mode and Median Formulas):

व्यक्तिगत श्रेणी (Individual Series)खण्डित श्रेणी (Discrete Series)सतत् श्रेणी (Continuous Series)
1.समान्तर माध्य  
प्रत्यक्ष रीति: \bar{X}=\frac{\sum X}{N}\bar{X}=\frac{\sum fX}{N}\bar{X}=\frac{\sum fX}{N}

लघुरीति: \bar{X}=A+\frac{\sum dx}{N}

\bar{X}=A+\frac{\sum f dx}{N}\bar{X}=A+\frac{\sum f dx}{N}

पद-विचलन रीति (समान वर्गान्तर)

 \bar{X}=A+\frac{\sum f d'x}{N} \times i

2.बहुलक

सबसे अधिक बार आनेवाला मूल्य

निरीक्षण द्वारा या समूहन द्वारा अधिकतम आवृत्ति का मूल्यनिरीक्षण द्वारा या समूहन द्वारा बहुलक वर्ग में
  z=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times i
  z=l_{1}+\frac{\Delta_{1}}{\Delta_{1}+\Delta_{2}} \times i
  \Delta_{1}=f_{1}-f_{0},\Delta_{2}=f_{1}-f_{2}
  z=3M-2\bar{X}
3.मध्यकासंचयी आवृत्तिसंचयी आवृत्ति
M=Size of \frac{N+1}{2} th itemM=Size of \frac{N+1}{2} th itemM=Size of \frac{N}{2} th item
  मध्यका वर्ग से:
  M=l+\frac{i}{f}\left ( \frac{N}{2}-c \right )

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2.समान्तर माध्य, बहुलक और मध्यका के उदाहरण (Arithmetic Mean Mode and Median Examples):

Example:1.विद्यार्थियों ने सांख्यिकी के तीन प्रश्न-पत्रों में निम्न अंक प्राप्त किए।कारण सहित बतलाइए कि किस प्रश्न-पत्र में विद्यार्थियों का बौद्धिक स्तर सर्वोत्तम है:
(Twelve students obtained the following marks in three papers.State with reason in which paper the level of intelligence is the highest):

A: 36,56,41,46,54,59,55,51,52,44,37,59

B:58,4,21,51,59,46,65,31,68,41,70,36

C:65,55,26,40,30,74,45,29,85,32,80,39
Solution:

S.No.ABC
136426
2372129
3413130
4443632
5464139
6514640
7525145
8545855
9555965
10566574
11596880
12597085

प्रश्न-पत्र A की मध्यका

M=Size of \frac{N+1}{2} th item

=Size of \frac{12+1}{2} th item

=Size of 6.5th item

\Rightarrow M=\frac{51+52}{2}=51.5
प्रश्न-पत्र B की मध्यका

M=Size of \frac{N+1}{2} th item

=Size of \frac{12+1}{2} th item

=Size of 6.5th item

\Rightarrow M=\frac{46+51}{2}=\frac{97}{2}=48.5

प्रश्न-पत्र C की मध्यका

M=Size of \frac{N+1}{2} th item

=Size of \frac{12+1}{2} th item

=Size of 6.5th item

\Rightarrow M=\frac{40+45}{2}=\frac{85}{2}=42.5

प्रश्न-पत्र A में स्तर सर्वोत्तम है।
Example:2.निम्न वर्णित अपूर्ण बंटन में अज्ञात आवृत्तियों के मान निकालिए:
(Locate the missing frequencies in the following incomplete distribution):

Class-interval0-1010-2020-3030-4040-50
Frequency3?2012?

मध्यका और बहुलक के मूल्य क्रमशः 27 और 26 हैं।
(Median and mode are 27 and 26 respectively.)
Solution:माना वर्गान्तर 10-20 की आवृत्ति x तथा वर्गान्तर 40-50 की आवृत्ति y है।

Class-intervalFrequencycf
0-1033
10-20x3+x
20-302023+x
30-401235+x
40-50y35+x+y
Total35+x+y 

बहुलक Z=26 है अतः बहुलक वर्ग 20-30 है।
l=20,i=30-20=10

f_{0}=x,f_{1}=20,f_{2}=12
बहुलक

z=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times i \\ 26=20+\frac{20-x}{2 \times 20-x-12} \times 10 \\ 26=20+\frac{20-x}{40-x-12} \times 10 \\ \Rightarrow  26-20=\frac{20-x}{28-x} \times 10  \\ \Rightarrow  6(28-x)=200-10x \\ \Rightarrow 16x-6x=200-168 \\ \Rightarrow 4x=32 \\ \Rightarrow  x=8
मध्यका M=27 है अतः मध्यका वर्ग 20-30 है।

\frac{N}{2}=\frac{35+x+y}{2}
l=20,i=30-20=10,f=20,c=3+x
मध्यका M=l+\frac{i}{f}\left ( \frac{N}{2}-c \right ) \\ 27=20+\frac{10}{20}\left ( \frac{35+x+y}{2}-3-x \right ) \\ \Rightarrow 27-20=\frac{10}{20}\left ( \frac{35+x+y-6-2x}{2} \right ) \\ \Rightarrow 7 \times 2 \times 2=29+y-x \\ \Rightarrow 28=29+y-x \\ \Rightarrow x-y=1
x का मान रखने पर:
8-y=1
\Rightarrow y=7
अतः x=8,y=7
Example:3.एक विशेष प्रकार की वस्तुओं को उनके भार के अनुसार वर्गीकृत किया गया।दो सप्ताह तक सुखाने के पश्चात् उन वस्तुओं को पुनः तौला गया और उसी प्रकार वर्गीकृत किया गया।प्रथम तौल का मध्यका भार 20.83 औंस तथा द्वितीय तौल का मध्यका भार 17.35 औंस आया।प्रथम तौल में a और b आवृत्तियाँ तथा द्वितीय तौल में x और y आवृत्तियाँ नहीं दी गई हैं परन्तु यह पता है कि a=\frac{1}{3}x तथा b=\frac{1}{2}y, अतः नहीं दी हुई आवृत्तियों का मूल्य बताइए:
(A number of particular articles has been classified according to their weights.After drying for two weeks the same articles have again been weighed and similarly classified.It is known that the median weight in the first weighment was 20.83 oz.while in the second weighment it was 17.35 oz.some frequencies a and b in the first weighment and x and y in the second weighment are missing.It is known that a=\frac{1}{3}x  and b=\frac{1}{2}y.Find out the values of missing frequencies.)

Class(OZ)Frequencies
First WeightmentSecond Weightment
0-5ax
5-10by
10-151140
15-205250
20-257530
25-302228

Solution:

Class(OZ)Frequencies
First Weightment(cf)Second Weightment(cf)
0-5aaxx
5-10ba+byx+y
10-151111+a+b4040+x+y
15-205263+a+b5090+x+y
20-2575138+a+b30120+x+y
25-3022160+a+b28148+x+y

प्रथम तौल की मध्यका 20.83 है।अतः मध्यका वर्ग 20-25 है।
l=20, \quad i=25-20=5 \\ f=75, \frac{N}{2}=\frac{160+a+b}{2} \\c=63+a+b \\ M =l+\frac{i}{f}\left(\frac{N}{2}-c\right) \\ 20.83=20+\frac{5}{75}\left(\frac{160+a+b}{2}-63-a-b\right) \\ \Rightarrow 20.83-20 =\frac{1}{15} \frac{(160+a+b-126-2 a-2 b)}{2} \\ \Rightarrow 0.83 \times 30=34-a-b \\ \Rightarrow 24 \cdot 9=34-a-b \\ \Rightarrow a+b=34-24.9 \\ \Rightarrow a+b=9.1 \cdots(1)
द्वितीय तौल की मध्यका 17.35 है।अतः मध्यका वर्ग 15-20 है।
l=15, i=20-15=5, f=50\\ \frac{N}{2}=\frac{148+x+y}{2}, c=40+x+y\\ 17.35=15+\frac{5}{50}\left(\frac{148+x+y}{2}-40-x-y\right)\\ \Rightarrow 2.35=\frac{1}{10}\left(\frac{148+x+y-80-2 x-2 y}{2}\right)\\ \Rightarrow 47=68-x-y \\ x+y=68-47 \\ \Rightarrow x+y=21 \\ a=\frac{1}{3} x \Rightarrow x=3a \\ b=\frac{1}{2} y \Rightarrow y=2 b \\ 3 a+2 b=21 \cdots(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करके समीकरण (2) में घटाने पर:
\begin{array}{lll} 3 a+2 b=21 \cdots(2) \\ 2 a+2 b=18.2 \cdots(3)\\ - \quad - \quad - \quad \\ \hline a=2.8 \approx 3 \end{array} \\ 3 a+2 b=2.1\\ \Rightarrow 3 \times 3+2 b=21\\ \Rightarrow b=6\\ x=3 a \Rightarrow x=3 \times 3=9\\ y=2 b \Rightarrow y=2 \times 6=12\\ a=3, b=6, x=9, y=12

Example:4.निम्न सारणी द्वारा समान्तर माध्य तथा भूयिष्ठक ज्ञात कीजिए:
(Calculate arithmetic mean and mode from the following table):

Marks(less than)8070605040302010
No. of Students50454030161073

Solution:

MarksNo. of Studentsxfx
0-103515
10-2041560
20-3032575
30-40635210
40-501445630
50-601055550
60-70565325
70-80575375
Total50 2240

समान्तर माध्य

\bar{X}=\frac{\sum fx}{\sum f}\\ =\frac{2240}{50}\\ \Rightarrow \bar{X}=44.8
सबसे अधिक बारम्बारता 14 है अतः बहुलक वर्ग=40-50
l=40, i=50-40=10 \\ f_{0}=6, f_{1}=14, f_{2}=10
बहुलक z=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times i \\ =40+\frac{14-6}{2 \times 14-6-10} \times 10 \\ z=40+\frac{8 \times 10}{28-16} \\ \Rightarrow z=40+\frac{80}{12} \\ \Rightarrow z=40+6.666 \\ \Rightarrow z=46.67 \\ \bar{X}=44.8,Z=46.67
Example:5.निम्न सारणी से माध्य, मध्यका एवं भूयिष्ठक ज्ञात कीजिए:
(From the following data calculate the arithmetic mean, median and mode):

Value(Rs.)Frequency
10-204
10-3016
10-4056
10-5097
10-60124
10-70137
10-80146
10-90150

Solution:

Value(Rs.)Frequency(f)xfxcf
10-20415604
20-30122530016
30-404035140056
40-504145184597
50-6027551485124
60-701365845137
70-80975675146
80-90485340150
Total150 4950 

संचयी आवृत्ति
माध्य \bar{X}=\frac{\sum f x}{\sum f}\\ =\frac{4950}{150}\\ \bar{x}=46.33 \\ \frac{N}{2}=\frac{150}{2}=75
मध्यका वर्ग 40-50
l=40, i=50-40=10, f=41, c=56\\ M=l+\frac{i}{f} \left(\frac{N}{2}-c\right)\\ =40+\frac{10}{41}(75-56)\\ =40+\frac{10}{11} \times 19\\ M=40+4.63=44.63
बहुलक:सबसे अधिक बारम्बारता 41 है अतः बहुलक वर्ग 40-50 है।
l=40, i=50-40=10, f_{0}=40,\\ f_{1}=41, f_{2}=27
बहुलक z=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times i \\ =40+\frac{41-40}{2 \times 41-40-27} \times 10\\ =40+\frac{10}{82-67} \\ =40+\frac{10}{15}\\ z=40+0.666 \approx 40.67
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा माध्य, बहुलक और मध्यका कैसे ज्ञात करें? (How to Find Mean Mode and Median?),समान्तर माध्य, बहुलक और मध्यका (Arithmetic Mean Mode and Median) को समझ सकते हैं।

3.समान्तर माध्य, बहुलक और मध्यका की समस्याएं (Arithmetic Mean Mode and Median Problems):

(1.)निम्न श्रेणी से समान्तर माध्य परिकलित कीजिए:
(From the following series calculate the arithmetic mean):

SizeFrequency
015
125
230
326
4-630
7-952
10-1439
15-1824
20-2411
25-3410
35-445

(2.)निम्न आंकड़ों से माध्य, मध्यका व बहुलक परिगणित कीजिए:
(Calculate mean, median and mode from the following data):

Marks30.5-39.540.5-49.550.5-59.560.5-69.570.5-79.580.5-89.5
Frequency5226374306

उत्तर (Answers):(1)\bar{X}=8.76 (2.)\bar{X}=61,M=61.35 marks,Z=62 marks
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर माध्य, बहुलक और मध्यका कैसे ज्ञात करें? (How to Find Mean Mode and Median?),समान्तर माध्य, बहुलक और मध्यका (Arithmetic Mean Mode and Median) माध्य, बहुलक और मध्यका (Arithmetic Mean Mode and Median) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.माध्य, बहुलक और मध्यका कैसे ज्ञात करें? (How to Find Mean Mode and Median?)के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.सांख्यिकी माध्य का अर्थ क्या है? (What does the mean of statistical averages?):

उत्तर:प्रत्येक समंक-श्रेणी में एक ऐसा बिंदु होता है जिसके आस-पास अन्य समंकों के केंद्रित होने की प्रवृत्ति पाई जाती है।यह मूल्य श्रेणी के लगभग केंद्र में स्थित होता है और उसके महत्त्वपूर्ण लक्षणों का प्रतिनिधित्व करता है।सांख्यिकी में संपूर्ण समंक श्रेणी की केंद्रीय प्रवृत्ति को सरल व सारांश रूप में अभिव्यक्त करने वाला प्रतिनिधि मूल्य केंद्रीय प्रवृत्ति का माप या माध्य कहलाता है।

प्रश्न:2.सांख्यिकी माध्य का महत्त्व क्या है? (What is the importance of statistical averages?):

उत्तर:सांख्यिकी में माध्यों का मूलभूत महत्त्व है। वास्तव में सांख्यिकीय विश्लेषण की अन्य बहुत सी रीतियाँ माध्यों पर ही आधारित है।यही कारण है कि साख्यिकी को माध्यों का विज्ञान (Science of Averages) कहते हैं।माध्यों की सहायता से समंक-श्रेणी के सभी मूल्यों का सार प्रकट किया जाता है।सांख्यिकी में व्यक्तिगत इकाइयों का अलग-अलग कोई महत्त्व नहीं है।माध्यों द्वारा सभी इकाइयों में सामूहिक रूप से पाए जाने वाले मुख्य लक्षण स्पष्ट हो जाते हैं तथा उनकी तुलना भी सरल हो जाती है।

प्रश्न:3.सांख्यिकीय माध्यों के उद्देश्य एवं कार्य क्या हैं? (What are the objectives and functions of statistical averages?):

उत्तर:(i)संक्षिप्त चित्र प्रस्तुत करना (Represent a Brief Picture):माध्यों द्वारा जटिल और अव्यवस्थित समंकों की मुख्य विशेषताओं का सरल,स्पष्ट एवं संक्षिप्त चित्र प्रस्तुत किया जाता है ताकि उन्हें समझने और याद करने में कठिनाई न हो।
(ii)तुलना की सुविधा प्रदान करना (To Facilitate Comparison):माध्यों की सहायता से दो समूहों के महत्त्वपूर्ण लक्षणों की सरलता से एक ही दृष्टि में तुलना की जा सकती है।उदाहरणार्थ भारत और श्रीलंका की औसत प्रति व्यक्ति आय की तुलना करके उचित परिणाम निकाले जा सकते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा माध्य, बहुलक और मध्यका कैसे ज्ञात करें? (How to Find Mean Mode and Median?),समान्तर माध्य, बहुलक और मध्यका (Arithmetic Mean Mode and Median) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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Arithmetic Mean Mode and Median

समान्तर माध्य, बहुलक और मध्यका
(Arithmetic Mean Mode and Median)

Arithmetic Mean Mode and Median

समान्तर माध्य, बहुलक और मध्यका (Arithmetic Mean Mode and Median) सभी प्रकार के माध्यों में
सबसे अधिक लोकप्रिय हैं।समान्तर माध्य ज्ञात करने की चार रीतियाँ क्रमशः प्रत्यक्ष रीति (Direct Method),
लघुरीति (Short-cut Method), पद-विचलन रीति (Step Deviation Method),आकलन या योग रीति
(Summation Method)हैं।

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