1.दो चरों वाले रैखिक समीकरण कक्षा 9 (Linear Equations in Two Variables 9th),कक्षा 9 में दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variables in Class 9):

Linear Equations in Two Variables 9th

दो चरों वाले रैखिक समीकरण कक्षा 9 (Linear Equations in Two Variables 9th) के इस आर्टिकल में विलोपन विधि,प्रतिस्थापन विधि,वज्र-गुणन विधि तथा दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग पर आधारित सवालों को हल करेंगे। 

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2.दो चरों वाले रैखिक समीकरण कक्षा 9 के उदाहरण (Linear Equations in Two Variables 9th Examples):

सही उत्तर को चुनिए:
Example:1.यदि y=2x-3 तथा y=5 हो तो x का मान होगा:
(A)1  (B)2  (C)3  (D)4
Solution:y=2x-3,y=5
तब 5=2x-3
\Rightarrow 2x=5+3 \\ \Rightarrow x=\frac{8}{2}=4
उत्तर:सही विकल्प (D) है।
Example:2.यदि 2x+y=6 हो तो इसको सन्तुष्ट करने वाला युग्म है:
(A)(1,2)  (B)(2,1)  (C)(2,2)  (D)(1,1)
Solution:2x+y=6
2×2+2=6
\Rightarrow 6=6
अतः सही विकल्प (C) है। 
Example:3.यदि \frac{4}{x}+5 y=7 तथा x=-\frac{4}{3} हो तो y का मान होगा:

(A) \frac{37}{15} (B) 2 (C) \frac{1}{2}  (D) \frac{1}{3}
Solution: \frac{4}{x}+5 y=7 \\ x=-\frac{4}{3}
तब \Rightarrow \frac{4}{-\frac{4}{3}}+5 y=7 \\ \Rightarrow -3+5 y=7 \\ \Rightarrow 5 y=7+3 \\ \Rightarrow 5 y=10 \\ \Rightarrow y=\frac{10}{5}=2
अतः सही विकल्प (B) है। 
Example:4.यदि \frac{3}{x}+4 y=5 तथा y=1 हो तो x का मान होगा:

(A) 3 (B) \frac{1}{3} (C)-3 (D) –\frac{1}{3}
Solution: \frac{3}{x}+4 y=5 \\ y=1 
तब  \Rightarrow \frac{3}{x}+4 \times 1=5 \\ \Rightarrow \frac{3}{x}=5-4 \\ \Rightarrow \frac{3}{x}=1 \Rightarrow x=3
अतः सही विकल्प (A) है। 
Example:5.यदि x=1 हो तो समीकरण \frac{4}{x}+\frac{3}{y}=5 में y का मान है:

(A)1 (B)\frac{1}{3} (C) 3 (D) -3
Solution: \frac{4}{x}+\frac{3}{y}=5 \\ x=1 तब
\Rightarrow \frac{4}{1}+\frac{3}{y}=5 \\ \Rightarrow \frac{3}{y}=5-4 \\ \Rightarrow \frac{3}{y}=1 \\ \Rightarrow y=3
अतः सही विकल्प (C) है। 
Example:6.यदि किसी संख्या के इकाई तथा दहाई के स्थान पर क्रमशः y तथा x हो तो संख्या होगी:
(A)10x+y  (B)10y+x  (C)x+y  (D)xy
Solution:इकाई व दहाई के स्थान पर अंक क्रमशः y तथा x हो तो संख्या होगी:
10x+y
अतः सही विकल्प (A) है। 
Example:7.एक लड़के की आयु अभी अपनी माता की आयु की एक तिहाई है।यदि माता की वर्तमान आयु x वर्ष है तो 12 वर्ष पश्चात लड़के की आयु होगी:

(A)\frac{x}{3}+12  (B)\frac{x+12}{3}  (C)x+y  (D)\frac{x}{3}-12
Solution:माता की वर्तमान आयु=x
लड़के की वर्तमान आयु=\frac{x}{3}
12 वर्ष पश्चात लड़के की आयु=\frac{x}{3}+12
अतः सही विकल्प (A) है। 
Example:8.x-अक्ष पर बिन्दु है:
(A)(2,3)  (B)(2,0)  (C)(0,2)  (C)(2,2)
Solution:x-अक्ष पर बिन्दु (2,0) है। 
अतः सही विकल्प (B) है। 
Example:9.मूलबिन्दु के निर्देशांक है
(A)(0,0)  (B)(0,1)  (C)(1,0)  (D)(1,1)
Solution:मूलबिन्दु के निर्देशांक (0,0) है। 
अतः सही विकल्प (A) है। 
Example:10.बिन्दु (3,-4) किस पाद में विद्यमान है:
(A)प्रथम  (B)द्वितीय  (C)तृतीय (D)चतुर्थ 
Solution:बिन्दु (3,-4) चतुर्थ पाद में है। 
अतः सही विकल्प (D) है। 
Example:11.5y-3x-10=0 में y को x के रूप में व्यक्त कीजिए।वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जहाँ समीकरण 5y-3x-10=0 द्वारा रेखा y-अक्ष को काटती है। 
Solution: 5 y-3 x-10=0 \\ \Rightarrow 5 y=3 x+10 \\ \Rightarrow y=\frac{3 x+10}{5}
y-अक्ष पर x=0

y=\frac{3 \times 0+10}{5} \\ \Rightarrow y =\frac{10}{5} \\ \Rightarrow y=2
अतः बिन्दु (0,2) है। 

Linear Equations in Two Variables 9th

Example:12.निम्नलिखित युगपत समीकरणों को हल कीजिए:
0.5x+0.6y=2.3;0.2x+0.7y=2.3
Solution:0.5x+0.6y=2.3
0.2x+0.7y=2.3
वज्र-गुणन विधि से:

\frac{x}{\begin{array}{rr} 0.6 & -2.3 \\ 0.7 & -2.3 \end{array}}=\frac{y}{\begin{array}{rr} 0.5 & -2.3 \\ 0.2 & -2.3 \end{array}}=\frac{y}{\begin{array}{rr} 0.5 & 0.6 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}} \\ \Rightarrow \frac{x}{0.6 \times-2.3-(0.7)(-2.3)}=\frac{y}{-0.5 \times (-2.3)+(-2.3) \times 0.2} =\frac{1}{0.5 \times 0.7-0.6 \times 0.2} \\ \Rightarrow \frac{x}{-1.38+1.61} =\frac{y}{-1.15+0.46}=\frac{1}{0.35-0.42} \\ \Rightarrow \frac{x}{0.23}=\frac{y}{0.69}=\frac{1}{0.23} \\ \Rightarrow \frac{x}{0.23}=\frac{1}{0.23} \\ \Rightarrow x=\frac{0.23}{0.23}=\frac{1}{0.23} \\ \Rightarrow \frac{y}{0.69}=\frac{1}{0.23} \\ \Rightarrow y =\frac{0.69}{0.23} \\ y =3 \\ x=1, y=3
Example:13.समीकरण निकाय 2x+3y=9,3x+4y=5 का हल ज्ञात कीजिए। 
Solution: 2 x+3 y=9 \cdots(1)\\ 3 x+4 y=5 \\ \Rightarrow 3 x=5-4 y \\ \Rightarrow x=\frac{5-4 y}{3} \cdots(2)
x का मान समीकरण (2) से समीकरण (1) में रखने पर:

2\left(\frac{5-4 y}{3}\right)+3 y=9 \\ \Rightarrow \frac{10-8 y+9 y}{3}=9 \\ \Rightarrow 10+y=27 \\ \Rightarrow y=27-10 \\ \Rightarrow y=17
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:
x=\frac{5-4 \times 17}{3} \\=\frac{5-68}{3} \\ =\frac{-63}{3} \\ \Rightarrow x=-21 \\ x=-21, y=17
Example:14.समीकरण निकाय \frac{1}{2 x}-\frac{1}{y}=-1 ; \frac{1}{x}+\frac{1}{2 y}=8 ; x \neq 0, y \neq 0 का हल ज्ञात कीजिए। 
Solution: \frac{1}{2 x}-\frac{1}{y}+1=0 \cdots(1) \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{2y}-8=0 \cdots(2) \\ \frac{1}{x}=u तथा \frac{1}{y}=v रखने पर:

\frac{u}{2}-v+1=0 \Rightarrow u-2 v+2=0 \cdots(3)\\ u+\frac{1}{2} v-8=0 \Rightarrow 2 u+v-16=0 \cdots(4)
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{u}{\begin{array}{rr} -2 & 2 \\ 1 & -16 \end{array}}=\frac{v}{\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & -16 \end{array}}=\frac{1}{\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{array}}\\ \Rightarrow \frac{u}{-2 \times -16-2 \times 1}=\frac{v}{2 \times 2-1 \times-16}=\frac{1}{1 \times 1-2 \times -2} \\ \Rightarrow \frac{u}{32-2}= \frac{v}{4+16}=\frac{1}{1+4} \\ \Rightarrow \frac{u}{30}=\frac{v}{20}=\frac{1}{5} \\ \Rightarrow \frac{u}{30}=\frac{1}{5} \Rightarrow u=\frac{30}{5}=6 \\ \frac{1}{x}=u=6 \Rightarrow x=\frac{1}{6} \\ \frac{v}{20}=\frac{1}{5} \Rightarrow v=\frac{20}{5}=4 \\ \frac{1}{y}=v=4 \Rightarrow y=\frac{1}{4} \\ x=\frac{1}{6}, y=\frac{1}{4}
Example:15.दो संख्याएँ इस प्रकार की है कि यदि छोटी संख्या में 7 जोड़ दिया जाय तो योग बड़ी संख्या से दुगुना हो जाता है तथा यदि बड़ी संख्या में 4 जोड़ दिया जाय तो योग छोटी संख्या से तिगुना हो जाता है।दोनों संख्याओं को ज्ञात कीजिए। 
Solution:माना छोटी संख्या x तथा बड़ी संख्या y है। 
प्रश्नानुसार:
x+7=2 y \\ \Rightarrow x-2 y=-7 \cdots(1) \\ 3 x=y+4 \\ x=\frac{y+y}{3} \cdots(2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

\frac{y+4}{3}-2 y=-7 \\ \Rightarrow \frac{y+4-6 y}{3}=-7 \\ \Rightarrow -5 y+4=-21 \\ -5 y=-21-4 \\ \Rightarrow y=\frac{-25}{-5} \\ \Rightarrow y=5
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:

x=\frac{5+4}{3}=\frac{9}{3}=3
छोटी संख्या=3,बड़ी संख्या=5
Example:16.किसी भिन्न का अंश,हर से 4 कम है।यदि अंश में से 2 घटा दिया जाए तथा हर में 1 जोड़ दिया जाए तो हर,अंश का 8 गुणा हो जाता है।भिन्न ज्ञात कीजिए। 
Solution:माना भिन्न का अंश x तथा हर y है
x+4=y
\Rightarrow x-y+4=0 …. (1)
8(x-2)=y+1
\Rightarrow 8x-16=y+1
\Rightarrow 8x-y-17=0  ….. (2)
(1) और (2) को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{array}{rr} -1 & 4 \\ -1 & -17 \end{array}}=\frac{y}{\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 8 & -17 \end{array}}=\frac{1}{\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 8 & -1 \end{array}} \\ \frac{x}{(-1)(-17)-4\times (-1)} =\frac{y}{-1 \times -17+4 \times 8}=\frac{1}{1 \times -1-8 \times -1} \\ \Rightarrow \frac{x}{17+4}= \frac{y}{17+32}=\frac{1}{-1+8} \\ \Rightarrow \frac{x}{21}=\frac{y}{49}=\frac{1}{7} \\ \Rightarrow \frac{x}{21}= \frac{1}{7} \Rightarrow x=\frac{21}{7}=3 \\ \frac{y}{49}=\frac{1}{7} \Rightarrow y=\frac{49}{7} \Rightarrow 7
भिन्न =\frac{x}{y}=\frac{3}{7}
Example:17.5 पुस्तकों तथा 7 कलमों का कुल मूल्य 79 रुपये है जबकि 7 पुस्तकों तथा 5 कलमों का कुल मूल्य 77 रुपये है।1 पुस्तक तथा 2 कलमों का कुल मूल्य ज्ञात कीजिए। 
Solution:माना एक पुस्तक का मूल्य x रुपये तथा 1 कलम का मूल्य y रुपये है। 
5 x+7 y =79 \cdots(1) \\ 7 x+5 y=77 \\ \Rightarrow \quad 5 y =77-7 x \\ \Rightarrow \quad y =\frac{77-7 x}{5} \cdots(2)
समीकरण (2) से y का मान समीकरण (1) में रखने पर:

5 x+7(\frac{77-7 x}{5})=79 \\ \Rightarrow 25 x+539-49 x=79 \\ \Rightarrow -24 x+539=395 \\ \Rightarrow -24 x=-539+395 \\ \Rightarrow -24 x=-144 \\ \Rightarrow x=\frac{144}{24}=6
x का मान समीकरण (2) में रखने पर:

y =\frac{77-7 \times 6}{5}=\frac{7-42}{5} \\ \Rightarrow y =\frac{35}{5}=7
1 पुस्तक व 2 कलम का मूल्य=6+2×7=20
Example:18.दो अंकों की एक संख्या इस प्रकार की है कि जब इसे 9 से गुणा किया जाए तो वह उस संख्या की दुगुनी हो जाएगी जो मूल संख्या के अंकों के परस्पर स्थान बदलने से बनती है।यदि संख्या के दोनों अंकों का अन्तर 7 हो, तो संख्या ज्ञात कीजिए। 
Solution:माना इकाई का अंक x तथा दहाई का अंक y है। 
संख्या=10 y+x \\ 9(10 y+x)=2(10 x+y) \\ \Rightarrow 90 y+9 x=20 x+2 y \\ \Rightarrow 20 x-9 x=90 y-2 y \\ \Rightarrow 11 x=88 y \\ \Rightarrow x=8 y \cdots(1) \\ x-y=7 \Rightarrow x=y+7 \cdots(2)
x का मान समीकरण (2) से (1) में रखने पर:
8y=(y+7) \\ \Rightarrow 8 y-y=7 \\ \Rightarrow 7 y=7 \\ \Rightarrow y=1
y का मान समीकरण (2) में रखने पर:
x=1+7=8
इकाई का अंक=8,दहाई का अंक=1
संख्या=18
Example:19.एक त्रिभुज में \angle A=x^{\circ}, \angle B =3 x^{\circ} तथा \angle C=y^{\circ} है।यदि 5x-3y+30=0 हो तो सिद्ध कीजिए कि यह समकोण त्रिभुज है।
Solution: \angle A+\angle B+\angle C=180 (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग) 
x°+3x°+y°=180°
4x+y-180=0  …….. (1)
5x-3y+30=0 ……… (2)

वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
\frac{x}{\begin{array}{rr} 1 & -180 \\ -3 & 30 \end{array}}=\frac{y}{\begin{array}{rr} 4 & -180 \\ 5 & 30 \end{array}}=\frac{1}{\begin{array}{rr} 4 & 1 \\ 5 & -3 \end{array}} \\ \frac{x}{1 \times 30-(-3)(-180)}= \frac{y}{-4 \times 30+5 \times-180}=\frac{1}{4 \times-3-1 \times 5} \\ \Rightarrow \frac{x}{30-540}=\frac{y}{-300-120}=\frac{1}{-12-5} \\ \Rightarrow \frac{x}{30-540}=\frac{y}{-300-120}=\frac{1}{-12-5} \\ \Rightarrow \frac{x}{-510}=\frac{y}{-1020}=\frac{1}{-17} \\ \Rightarrow \frac{x}{-50}=\frac{1}{77} \Rightarrow x=\frac{-510}{-17} \\ \Rightarrow x=30^{\circ} \\ \frac{y}{1020}=\frac{1}{-17} \Rightarrow y=\frac{-1020}{-17} \\ \Rightarrow y=60^{\circ} \\ x=30^{\circ}, y=60^{\circ} \\ \angle B=3 x^{\circ}=3 \times 30 =90^{\circ}
अतः \triangle ABC समकोण त्रिभुज है। 

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा दो चरों वाले रैखिक समीकरण कक्षा 9 (Linear Equations in Two Variables 9th),कक्षा 9 में दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variables in Class 9) को समझ सकते हैं। 

3.दो चरों वाले रैखिक समीकरण कक्षा 9 के सवाल (Linear Equations in Two Variables 9th Questions):

Linear Equations in Two Variables 9th

(1.)दो अंकों की एक संख्या में इकाई का अंक दहाई के अंक का दुगुना है।यदि संख्या में 27 जोड़ दिए जाय तो अंक अपने स्थान परस्पर बदल लेते हैं।संख्या ज्ञात कीजिए। 

(2.)5 वर्ष पूर्व मेरी आयु पुत्र की आयु की तिगुनी थी तथा 10 वर्ष पश्चात मेरी आयु पुत्र की आयु से दुगुनी होगी।हमारी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। 

उत्तर (Answers):(1.)36 (2.)मेरी वर्तमान आयु=50 वर्ष,पुत्र की वर्तमान आयु=20 वर्ष 

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर दो चरों वाले रैखिक समीकरण कक्षा 9 (Linear Equations in Two Variables 9th),कक्षा 9 में दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variables in Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.दो चरों वाले रैखिक समीकरण कक्षा 9 (Frequently Asked Questions Related to Linear Equations in Two Variables 9th),कक्षा 9 में दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variables in Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

दो चरों वाले रैखिक समीकरण कक्षा 9 (Linear Equations in Two Variables 9th) के इस
आर्टिकल में विलोपन विधि,प्रतिस्थापन विधि,वज्र-गुणन विधि तथा दो चरों वाले रैखिक समीकरणों
के अनुप्रयोग पर आधारित सवालों को हल करेंगे।