1.शेषफल प्रमेय के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Important Example of Remainder Theorem),शेषफल प्रमेय कक्षा 9 (Remainder Theorem Class 9):

Important Example of Remainder Theorem

शेषफल प्रमेय के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Example of Remainder Theorem) के इस आर्टिकल में व्यंजक से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने से सम्बन्धित सवालों को हल करके शेषफल प्रमेय को समझने का प्रयास करेंगे। आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

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2.शेषफल प्रमेय के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Example of Remainder Theorem):

Example:1.प्रत्येक स्थिति में शेषफल ज्ञात कीजिए यदि f(x)=x^3-3 x^2+4 x-1 को निम्न व्यंजकों से विभाजित किया जाए।
Example:1(i).x-2
Solution: x-2 \\ x-2 =0 \Rightarrow x=2 \\ f(x) =x^3-3 x^2+4 x-1 \\ f(2) =(2)^3-3(2)^2+4 \times 2-1 \\ =8-12+8-1 \\ \Rightarrow f(2)=3
Example:1(ii).x+2
Solution: x+2 \\ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \\ f(x)=x^3-3 x^2+4 x-1 \\ \Rightarrow f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+4(-2)-1 \\ =-8-12-8-1 \\ \Rightarrow f(2)=-29
Example:1(iii). x+\frac{1}{2}
Solution: x+\frac{1}{2} \\ x+\frac{1}{2}=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \\ f(x)=x^3-3 x^2+4 x-1 \\ f\left(-\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2}\right)^3-3\left(-\frac{1}{2}\right)^2+4\left(-\frac{1}{2}\right)-1 \\ =-\frac{1}{8}-\frac{3}{4}-\frac{4}{2}-1 \\ =\frac{-1-6-16-8}{8} \\ \Rightarrow f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{31}{8}
Example:2.नीचे दिये गये प्रश्नों में भाग की सामान्य विधि से तथा शेषफल प्रमेय विधि से शेषफल ज्ञात कीजिए जबकि f(x) में g(x) का भाग दिया जाए।इसकी भी जाँच कीजिए कि दोनों विधियों से प्राप्त शेषफल समान होते हैं।
Example:2(i). f(x)=4 x^3-3 x^2+2 x-1 , g(x)=x+2
Solution: f(x)=4 x^3-3 x^2+2 x-1, g(x)=x+2
सामान्य विधि

शेषफल=-49
शेषफल प्रमेय से: x+2=0 \Rightarrow x=-2 \\ f(x) =4 x^3-3 x^2+2 x-1 \\ f(-2) =4(-2)^3-3(-2)^2 +2(-2)-1 \\ =-32-12-4-1 \\ \Rightarrow f(-2)=-49
अतः शेषफल -49 दोनों विधियों से समान हैं।
Example:2(ii). f(x)=8 x^3+4 x^2-2 x-15 ; g(x)=2 x-1
Solution: f(x)=8 x^3+4 x^2-2 x-15 ; g(x)=2 x-1
सामान्य विधि

शेषफल=-14
शेषफल प्रमेय से: 2 x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \\ f(x) =8 x^3+4 x^2-2 x-15 \\ \Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right) =8 \left(\frac{1}{2}\right)^3+4\left(\frac{1}{2}\right)^2-2 \times \frac{1}{2}-15 \\ =8 \times \frac{1}{8}+4 \times \frac{1}{4}-1-15 \\ =1+1-1-15 \\ \Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right)=-14
Example:3.भाग की क्रिया सम्पन्न किए बिना ही सिद्ध कीजिए कि:
Example:3(i). x^2+(a-3)x-3 a,(x+a) से पूर्णतः विभाजित होता है।
Solution:माना f(x)=x^2+(a-3) x-3 a \\ x+a=0 \Rightarrow x=-a रखने पर:
\Rightarrow f(-a)= (-a)^2+(a-3)(-a)-3 a \\ =a^2-a^2+3 a-3 a \\ \Rightarrow f(-a)=0
अतः x+a से पूर्णतः विभाजित है।

Important Example of Remainder Theorem

Example:3(ii). 3 x^3+11 x^2+x-15 ,प्रत्येक व्यंजक (x-1) से पूर्णतः विभाजित होता है।
Solution:माना f(x)=3 x^3+11 x^2+x-15 \\ x-1 =0 \\ f(1) =3(1)^3+11(1)^2+1-15 \\ =3+11+1-15 \\ \Rightarrow f(1)=0
अतः x-1 से पूर्णतः विभाजित है।
Example:4.a के किस मान के लिए बहुपद x^3+2 x^2-3 a x-8 में व्यंजक (x-4) का पूरा-पूरा भाग जाता है।
Solution:माना f(x)=x^3+2 x^2-3 a x-8 \\ x-4=0 \Rightarrow x=4 \\ f(4)=4^3+2(4)^2-3 a(4)-8=0 \\ \Rightarrow 64+32-12 a-8=0 \\ \Rightarrow 96-12 a-8=0 \\ -12 a=-88 \\ \Rightarrow a=\frac{88}{12} \\ \Rightarrow a=\frac{22}{3}
Example:5.p का वह मान ज्ञात कीजिए जिससे कि बहुपद 2 x^4+3 x^3+2 p x^2 +3 x+6 व्यंजक (x+2) से पूर्णतः विभाजित हो जाए।
Solution:माना f(x)=2 x^4+3 x^3+2 p x^2+3 x+6 \\ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \\ f(-2)= 2(-2)^4+3(-2)^3+2 p(-2)^2+3(-2)+6=0 \\ \Rightarrow 32-24+8 p-6+6=0 \\ \Rightarrow 8+8 p=0 \Rightarrow p=-\frac{8}{8} \\ \Rightarrow p=-1
Example:6.a तथा b के उन मानों को ज्ञात कीजिए,जिससे कि बहुपद x^3+10 x^2+a x+b व्यंजकों (x-1) तथा (x+2) से पूर्णतः विभाजित हो जाए।
Solution:माना f(x)=x^3+10 x^2+a x+b \\ x-1 =0 \Rightarrow x=1 \\ \Rightarrow f(1) =(1)^2+10(1)^2+a(1)+b=0 \\ \Rightarrow 1+10+a+b=0 \\ \Rightarrow a+b=-11 \cdots(1)\\ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \\ f(-2)=(-2)^3+10(-2)^2+a(-2)+b=0 \\ \Rightarrow -8+40-2 a+b=0 \\ \begin{array}{c} \Rightarrow -2 a+b=-32 \cdots(2) \\ -a+b=-11 \cdots(1) \\ + \quad \quad - \quad \quad  \text{ घटाने पर } \\ \hline \end{array} \\ -3 a=-21 \\ \Rightarrow a=\frac{21}{3}=7
a का मान समीकरण (1) में रखने पर:
7+b=-11 \\ \Rightarrow b=-11-7 \\ \Rightarrow b=-18 \\ \Rightarrow a=7,b=-18
Example:7.सिद्ध कीजिए कि बहुपद x^2+2 x+3 के शून्य विद्यमान नहीं है।
Solution:माना कि f(x)=x^2+2 x+3 \\ \Rightarrow f(x)=\left(x^2+2 x+1\right)+3 \\ \Rightarrow f(x)=(x+1)^2+3
यहाँ हम देखते हैं कि x के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए (x+1)^2 कभी भी ऋणात्मक मान ग्रहण नहीं कर सकता।अतः (x+1)^2 का मान सदैव शून्य से सदैव बड़ा ही होगा।परिणामस्वरूप f(x) का मान भी 3 या उससे अधिक होगा।
इसलिए f(x) का कोई शून्य विद्यमान नहीं है।
Example:8.बहुपद 2 x^3+3 x^2-8 x-12 के पूर्णांक शून्य (integral zero) ज्ञात कीजिए।
Solution:माना कि f(x)=2 x^3+3 x^2-8 x-12
x=-2 रखने पर:
f(-2)=2(-2)^3+3(-2)^2-8(-2)-12 \\ \Rightarrow f(-2)=-16+12+16+12 \\ \Rightarrow f(-2)=0
f(x) का एक गुणनखण्ड x+2 है।

अब भाग कि क्रिया से 

अतः पूर्णांक शून्य x+2=0 \Rightarrow x=-2 \\ x-2=0 \Rightarrow x=2
उत्तर 2,-2
Example:9.यदि (x+1) तथा (x-2) बहुपद x^3+k x^2+h x+6 के गुणनखण्ड हों तो h तथा k के मान ज्ञात कीजिए।
Solution:माना f(x)=x^3+k x^2+h x+6 \\ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \\ f(-1)=(-1)^3+k(-1)^2+h(-1)+6=0 \\ \Rightarrow-1+k-h+6=0 \\ \Rightarrow k-h=-5 \cdots(1) \\ x-2=0 \Rightarrow x=2 \\ f(2)=(2)^3+k(2)^2+h(2)+6=0 \\ \Rightarrow 8+4 k+2 h+6=0 \Rightarrow 4 k+2 h=-14 \\ \begin{array}{c} \Rightarrow 2 k+h=-7 \ldots(2) \\ k-h=-5 \cdots(1) \\ \\ \text{ जोड़ने पर } \\ \hline \end{array} \\ 3 k=-12 \Rightarrow k=-4
k का मान समीकरण (1) में रखने पर:
-4-h=-5 \Rightarrow-h=-5+4 \\ \Rightarrow-h=-1 \Rightarrow h=1, k=-4
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा शेषफल प्रमेय के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Example of Remainder Theorem),शेषफल प्रमेय कक्षा 9 (Remainder Theorem Class 9) को समझ सकते हैं।

3.शेषफल प्रमेय के महत्त्वपूर्ण उदाहरण की समस्याएँ (Important Example of Remainder Theorem Problems):

Important Example of Remainder Theorem

(1.)सिद्ध कीजिए कि (x-3) बहुपद x^3+x^2-17x+15 का एक गुणनखण्ड है।
(2.)सिद्ध कीजिए कि x^2+6x+15 का कोई शून्य नहीं होता।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर शेषफल प्रमेय के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Example of Remainder Theorem),शेषफल प्रमेय कक्षा 9 (Remainder Theorem Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.शेषफल प्रमेय के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related toImportant Example of Remainder Theorem),शेषफल प्रमेय कक्षा 9 (Remainder Theorem Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

शेषफल प्रमेय के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Example of Remainder Theorem) के
इस आर्टिकल में व्यंजक से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने से सम्बन्धित सवालों को
हल करके शेषफल प्रमेय को समझने का प्रयास करेंगे।