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Sequence Class 11

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1 1.अनुक्रम कक्षा 11 (Sequence Class 11),गणित में अनुक्रम (Sequence in Mathematics):

1.अनुक्रम कक्षा 11 (Sequence Class 11),गणित में अनुक्रम (Sequence in Mathematics):

अनुक्रम कक्षा 11 (Sequence Class 11) का उपयोग साधारण अंग्रेजी के समान किया जाता है।जब हम कहते हैं कि समूह के अवयवों को अनुक्रम में सूचीबद्ध किया गया है तब हमारा तात्पर्य है कि समूह को इस प्रकार क्रमिक किया गया है कि हम उसके सदस्यों को प्रथम,द्वितीय,तृतीय संख्या आदि पहचान सकते हैं।
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2.अनुक्रम कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Sequence Class 11 Solved Examples):

प्रश्न 1 से 6 तक के अनुक्रमों में प्रत्येक पाँच पद लिखिए जिनका nवाँ पद दिया गया है:
Example:1. a_{n}=n(n+2)
Solution: a_{n}=n(n+2) \\ a_{1}=1(1+2)=3 \\ a_{2}=2(2+2)=8 \\ a_{3}=3(3+2)=15 \\ a_{4}=4(4+2)=24 \\ a_{5}=5(5+2)=35 
अतः प्रथम पाँच पद हैं:
3,8,15,24,35
Example:2. a_{n}=\frac{n}{n+1}
Solution: a_{n}=\frac{n}{n+1} \\ a_{1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} \\ a_{2}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3} \\ a_{3}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4} \\ a_{4}=\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5} \\ a_{5}=\frac{5}{5+1}=\frac{5}{6}
अतः प्रथम पाँच पद हैं:

\frac{1}{2}, \frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6}
Example:3. a_{n}=2^{n}
Solution: a_{n}=2^{n} \\ a_{1}=2^{1}=2 \\ a_{2}=2^{2}=4 \\ a_{3}=2^{3}=8 \\ a_{4}=2^{4}=16 \\ a_{5}=2^{5}=32
अतः प्रथम पाँच पद हैं:
2,4,8,16,32
Example:4. a_{n}=\frac{2 n-3}{6}
Solution: a_{n}=\frac{2 n-3}{6} \\ a_{1}=\frac{2 \times 1-3}{6}=\frac{2-3}{6}=-\frac{1}{6} \\ a_{2}=\frac{2 \times 2-3}{6}=\frac{4-3}{6}=\frac{1}{6} \\ a_{3}=\frac{2 \times 3-3}{6}=\frac{6-3}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \\ a_{4}=\frac{2 \times 4-3}{6}=\frac{8-3}{6}=\frac{5}{6} \\ a_{5}=\frac{2 \times 5-3}{6}=\frac{10-3}{6}=\frac{7}{6}
अतः प्रथम पाँच पद हैं:

-\frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}, \frac{5}{6}, \frac{7}{6}
Example:5. a_{n}=(-1)^{n-1} 5^{n+1}
Solution: a_{n}=(-1)^{n-1} 5^{n+1} \\ a_{1} =(-1)^{1-1} 5^{1+1} \\ a_{1} =(-1)^{0} \times 5^{2}=25 \\ a_{2} =(-1)^{2-1} \times 5^{2+1}=(-1) \times 5^{3} \\ \Rightarrow a_{2} =-125 \\ a_{3} =(-1)^{3-1} \times 5^{3+1} \\ =(-1)^{2} \times 5^{4} \\ \Rightarrow a_{3} =625 \\ a_{4} =(-1)^{4-1} \times 5^{4+1} \\ =(-1)^{3} \times 5^{5} \\ \Rightarrow a_{4} =-3125 \\ a_{5} =(-1)^{5-1} 5^{5+1} \\ =(-1)^{4} 5^{6} \\ \Rightarrow a_{5} =15625
अतः प्रथम पाँच पद हैं:
25,-125,625,-3125,15625
Example:6. a_{n}=n \frac{n^{2}+5}{4}
Solution: a_{n}=n \frac{n^{2}+5}{4} \\ a_{1}=1 \times\left(\frac{1^{2}+5}{4}\right)=\frac{1+5}{4} \\ \Rightarrow a_{1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \\ a_{2}=2 \times\left(\frac{2^{2}+5}{4}\right) \\ =2 \times \frac{4+5}{4} \\ a_{2}=\frac{9}{2} \\ a_{3}=3\left(\frac{3^{2}+5}{4}\right) =3 \times \frac{9+5}{4} \\ =\frac{3 \times 14}{4} \\ \Rightarrow a_{3}=\frac{21}{2} \\ a_{4}=4\left(\frac{4^{2}+5}{4}\right) \\ =4\left(\frac{16+5}{4}\right) \\ \Rightarrow a_{4}=21\\ a_{5}=5\left(\frac{5^{2}+5}{4}\right)\\ =5\left(\frac{25+5}{4}\right)\\ =\frac{5 \times 30}{4}\\ \Rightarrow a_{5}=\frac{75}{2}
अतः प्रथम पाँच पद हैं:

\frac{3}{2}, \frac{9}{2}, \frac{21}{2}, 21, \frac{75}{2}

निम्नलिखित 7 से 10 तक के अनुक्रमों में प्रत्येक का वांछित पद ज्ञात कीजिये जिनका nवाँ पद दिया गया है:
Example:7. a_{n}=4 n-3 ; a_{17}, a_{24}
Solution: a_{n}=4 n-3 ; a_{17}, a_{24}
n=17 रखने पर:

a_{17}=4 \times 17-3=68-3=65
n=24 रखने पर:

a_{24}=4 \times 24-3=96-3=93
अतः a_{17}=65, a_{24}=93
Example:8. a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n}} ; a_{7}
Solution: a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n}} ; a_{7}
n=7 रखने पर:

a_{7} =\frac{7^{2}}{2^{7}} \\ \Rightarrow a_{7} =\frac{49}{128}
Example:9. a_{n}=(-1)^{n-1} n^{3}; a_{9}
Solution: a_{n}=(-1)^{n-1} n^{3}; a_{9}
n=9 रखने पर:

a_{9} =(-1)^{9-1}\left(9^{3}\right) \\ =(-1)^{8} 729 \\ \Rightarrow a_{9} =729
Example:10. a_{n}=\frac{n(n-2)}{n+3} ; a_{20}
Solution: a_{n}=\frac{n(n-2)}{n+3} ; a_{20}
n=20 रखने पर:

a_{20}=\frac{20(20-2)}{20+3} \\ \Rightarrow a_{20}=\frac{20 \times 18}{23} \\ \Rightarrow a_{20}=\frac{360}{23}
प्रश्न 11 से 13 तक प्रत्येक अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए:
Example:11. a_{1}=3, a_{n}=3 a_{n-1}+2 सभी n>1 के लिए
Solution: a_{1}=3, a_{n}=3 a_{n-1}+2 \\ a_{2}=3 a_{2-1}+2 \\ a_{2}=3 a_{1}+2=3 \times 3+2=11 \\ a_{3}=3 a_{3-1}+2=3 a_{2}+2 \\ \Rightarrow a_{3}=3 \times 11+2=35 \\ a_{4}=3 a_{4-1}+2=3 a_{3}+2 \\ =3 \times 35+2 \\ \Rightarrow a_{4}=107 \\ a_{5} =3a_{5-1}+2 \\ =3 a_{4}+2 \\ =3 \times 107+2 \\ =321+2 \\ \Rightarrow a_{4}=323
अतः प्रथम पाँच पद हैं:

3,11,35,107,323
संगत श्रेणी:3+11+35+107+323+….
Example:12. a_{1}=-1, a_{n}=\frac{a_{n-1}}{n} जहाँ n \geq 2
Solution: a_{1}=-1, a_{n}=\frac{a_{n-1}}{n} जहाँ n \geq 2  \\ a_{2} =\frac{a_{2}-1}{2}=\frac{a_{1}}{2} \\ \Rightarrow a_{2} =-\frac{1}{2} \\ a_{3} =\frac{a_{3}-1}{3} \\ =\frac{a_{2}}{3}=\frac{-\frac{1}{2}}{3} \\ \Rightarrow a_{3} =-\frac{1}{6} \\ a_{4} =\frac{a_{4-1}}{4}=\frac{a_{3}}{4} \\ =\frac{-\frac{1}{6}}{4} \Rightarrow a_{4}=-\frac{1}{24} \\ a_{5} =\frac{a_{5}-1}{5}=\frac{a_{4}}{5} \\=\frac{-\frac{1}{24}}{5} \\ \Rightarrow a_{5} =\frac{-1}{120}
अतः प्रथम पाँच पद हैं:

-1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{6},-\frac{1}{24},-\frac{1}{120}
संगत श्रेणी है:

-1+\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{6}\right)+\left(-\frac{1}{24} \right)+\left(-\frac{1}{120}\right)+\cdots

Example:13. a_{1}=a_{2} =2 , a_{n}=a_{n-1}-1  जहाँ n>2
Solution: a_{1}=a_{2}=2 , a_{n}=a_{n-1}-1  जहाँ n>2

a_{3}=a_{3-1}-1=a_{2}-1\\=2-1=1\\ a_{4}=a_{4-1}-1=a_{3}-1\\ =1-1=0\\ \Rightarrow a_{4}=0\\ a_{5}=a_{5-1} -1=a_{4}-1\\ \Rightarrow a_{5}=0-1=-1
अतः प्रथम पाँच पद हैं:
2,2,1,0,-1
संगत श्रेणी है:
2+2+1+0+(-1)+…
Example:14.Fibonacci अनुक्रम निम्नलिखित रूप में परिभाषित है:
1=a_{1}=a_{2}  तथा a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}, n>2 तो \frac{a_{n+1}}{a_{n}}
ज्ञात कीजिए जबकि n=1,2,3,4,5
Solution: a_{1}=a_{2}=1, a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2} \\ a_{3} =a_{3-1}+a_{3-2} \\ =a_{2}+a_{1} \\ a_{3} =1+1 \\ \Rightarrow a_{3} =2 \\ a_{4} =a_{4-1}+a_{4-2} \\ =a_{3}+a_{2} \\ =2+1 \\ a_{4} =3 \\ a_{5} =a_{5-1}+a_{5-2} \\ =a_{4}+a_{3} \\ =3+2 \\ \Rightarrow a_{5} =5 \\ a_{6} =a_{6-1}+a_{6-2} \\ =a_{5}+a_{4} \\ =5+3 \\ \Rightarrow a_{6} =8 \\ a_{1}=a_{2} =1, a_{3}=2, a_{4}=3,a_{5}=5,a_{6}=8 \\ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}
जब n=1, \frac{a_{1+1}}{a_{1}}=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{1}{1}=1
जब n=2,\frac{a_{2+1}}{a_{2}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{2}{1}=2
जब n=3, \frac{a_{3+1}}{a_{3}}=\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{3}{2}
जब n=4,\frac{a_{4}+1}{a_{4}}=\frac{a_{5}}{a_{4}}=\frac{5}{3}
जब n=5,\frac{a_{5+1}}{a_{5}}=\frac{a_{6}}{a_{5}}=\frac{8}{5}
अतः\frac{a_{n+1}}{a_{n}} के मान जब n=1,2,3,4,5 है,निम्न है:

1,2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अनुक्रम कक्षा 11 (Sequence Class 11),गणित में अनुक्रम (Sequence in Mathematics) को समझ सकते हैं।

3.अनुक्रम कक्षा 11 के सवाल (Sequence Class 11 Questions):

(1.)निम्नलिखित प्रत्येक अनुक्रम के प्रथम तीन पद लिखिए:

(i) a_{n}=2 n+5 (ii) a_{n}=\frac{n-3}{4}
(2.) a_{n}=(n-1)(2-n)(3+n) द्वारा परिभाषित अनुक्रम का 20 वाँ पद क्या है?
(3.)माना कि अनुक्रम निम्नलिखित रूप में परिभाषित है:

a_{1}=1, a_{n}=a_{n-1}+2 for n \geq 2
तो अनुक्रम के पाँच पद ज्ञात कीजिए और संगत श्रेणी लिखिए।
उत्तर (Answers):(1)(i)a_{1}=7,a_{2}=9,a_{3}=11 (ii) a_{1}=-\frac{1}{2}, a_{2}=-\frac{1}{4}, a_{3}=0

(2)a_{20}=-7866

(3.) a_{1}=1, a_{2}=3, a_{3}=5, a_{4}=7, a_{5}=9 संगत श्रेणी 1+3+5+7+9+…है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अनुक्रम कक्षा 11 (Sequence Class 11),गणित में अनुक्रम (Sequence in Mathematics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अनुक्रम कक्षा 11 (Sequence Class 11),गणित में अनुक्रम (Sequence in Mathematics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.अनुक्रम में पद किसे कहते हैं? (What are Terms in Sequence Called?):

उत्तर:एक अनुक्रम में जो संख्याएँ आती हैं,इन्हें हम उसका पद कहते हैं।

प्रश्न:2.अनुक्रम में पदांक किसे कहते हैं? (What is Called Rank in Sequence?):

उत्तर:प्रत्येक पद के साथ लगी संख्या जिसे पदांक कहते हैं,उसका स्थान बताती है।अनुक्रम का 20 वाँ पद 20 वें स्थान को निरूपित करता है और इसे a_{20} द्वारा निरूपित करते हैं।

प्रश्न:3.अनुक्रम में व्यापक पद किसे कहते हैं? (What is Called General Term in Sequence?):

उत्तर:अनुक्रम के nवें पद को अनुक्रम का व्यापक पद कहते हैं और इसे a_{n} से निरूपित करते हैं।

प्रश्न:4.परिमित अनुक्रम किसे कहते हैं? (What is Finite Sequence Called?):

उत्तर:वे अनुक्रम जिनमें पदों की संख्या सीमित होती है उसे परिमित अनुक्रम कहते हैं।जैसे:2,4,8,16,32,…1024

प्रश्न:5.अपरिमित अनुक्रम किसे कहते हैं? (What is Infinite Sequence Called?):

उत्तर:एक अनुक्रम अपरिमित अनुक्रम कहा जाता है जिसमें पदों की संख्या सीमित नहीं होती है।जैसे:3,3.3,3.33,3.333,…

प्रश्न:6.फिबोनकी अनुक्रम किसे कहते हैं? (What is Fibonacci Sequence Called?):

उत्तर:- व्यवस्थित संख्याओं 1,1,2,3,5,8 का कोई स्पष्ट पैटर्न नहीं है किन्तु अनुक्रम की रचना पुनरावृत्ति सम्बन्ध द्वारा व्यक्त की जा सकती है। उदाहरणत:
a_{1}=a_{2}=1,a_{3}=a_{1}+a_{2} a_{n}=a_{n-2}+a_{n-1},n>2
इस अनुक्रम को Fibonacci अनुक्रम कहते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अनुक्रम कक्षा 11 (Sequence Class 11),गणित में अनुक्रम (Sequence in Mathematics) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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अनुक्रम कक्षा 11 (Sequence Class 11)

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अनुक्रम कक्षा 11 (Sequence Class 11) का उपयोग साधारण अंग्रेजी के समान किया जाता है।
जब हम कहते हैं कि समूह के अवयवों को अनुक्रम में सूचीबद्ध किया गया है

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