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Trigonometrical Equations

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1 1.त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations):-
1.2 3.त्रिकोणमितीय समीकरण की समस्याएं (Trigonometrical Equations Problems):

1.त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations):-

त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations):एक ऐसा समीकरण जो एक या एक से अधिक अज्ञात कोण या कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों से सम्बन्धित हो त्रिकोणमितीय समीकरण कहलाता है।जैसे: 4 \sin ^{2} \theta-8 \cos \theta+1=0
त्रिकोणमितीय समीकरण के हल से अभिप्राय एक ऐसा व्यापक व्यंजक प्राप्त करने से होता है जो समीकरण में अज्ञात कोण के प्रत्येक मान के लिए दिए हुए समीकरण को सन्तुष्ट करता है।इस अज्ञात कोण के प्राप्त मान या मानों को त्रिकोणमितीय समीकरण के मूल या हल कहते हैं।
प्रमेय (Theorem):1.किन्हीं वास्तविक संख्याओं x तथा y के लिए \sin x=\sin y तो x=n \pi+(-1)^{n}y जहाँ x \in z 
से प्राप्त होता है।
प्रमाण (Proof):यदि \sin x=\sin y तो

\sin x-\sin y=0 \Rightarrow 2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow \cos \frac{x+y}{2} या \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)=0
इसलिए \left(\frac{x+y}{2}\right)=(2 n+1) \frac{\pi}{2} या \frac{x-y}{2}=n \pi जहाँ n \in z
अर्थात् x=(2 n+1) \pi-y या x=2n \pi +y  जहाँ n \in z
अतः x=(2 n+1) \pi +(-1)^{2 n+1} y या x=2 n \pi+(-1)^{2n} y जहाँ n \in z
उपर्युक्त दोनों परिणामों को मिलाने पर: x=n \pi+(-1)^{n} y  जहाँ n \in z
प्रमेय (Theorem):2.किन्हीं वास्तविक संख्याओं x तथा y के लिए \cos x=\cos y से x=2 n \pi \pm y , जहाँ n \in z से प्राप्त होता है।
प्रमाण (Proof):यदि \cos x=\cos y तो
\cos x=\cos y=0 अर्थात् -2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)=0
इस प्रकार \sin \left(\frac{x+y}{2}\right)=0 या \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)=0
इसलिए \frac{x+y}{2}=n \pi या \frac{x-y}{2}=n \pi जहाँ n \in z
अर्थात् x=2 n \pi + y या x=2 n \pi - y जहाँ n \in z
अतः x=2 n \pi \pm y  जहाँ n \in z
प्रमेय (Theorem):3.सिद्ध कीजिए कि यदि x तथा y का \frac{\pi}{2} विषम गुणज नहीं है तो \tan x=\tan y से x=n \pi+y जहाँ n \in z प्राप्त होता है।
प्रमाण (Proof):यदि \tan x=\tan y तो \tan x-\tan y=0 \\ \Rightarrow \frac{\sin x \cdot \cos y-\cos x \cdot \sin y}{\cos x \cos y}=0 \\ \Rightarrow \sin (x-y)=0
इसलिए x-y=n \pi अर्थात् x=n \pi+y जहाँ n \in z
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2.त्रिकोणमितीय समीकरण के उदाहरण (Trigonometrical Equations Examples):-

निम्नलिखित समीकरणों के मुख्य तथा व्यापक हल ज्ञात कीजिए:
Example:1.\tan x=\sqrt{3}
Solution:\tan x=\sqrt{3} \\ \tan x=\tan \left(\frac{\pi}{3}\right), \tan \left(\frac{4 \pi}{3}\right) 
अतः मुख्य हल:=\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}
व्यापक हल=x=n \pi+\frac{\pi}{3}, \quad n \in z
Example:2.\sec x=2 
Solution:\sec x=2 \\ \sec x=\sec \frac{\pi}{3}, \quad \sec \left(\frac{5 \pi}{3}\right)
अतः मुख्य हल:=\frac{\pi}{3} , \frac{5 \pi}{3} 
व्यापक हल:=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in z
Example:3.\cot x=-\sqrt{3}
Solution:\cot x=-\sqrt{3} \\ \Rightarrow \tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \tan x=\tan \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right),\quad \tan \left(2 \pi -\frac{\pi}{6}\right) \\ \Rightarrow \tan x=\tan \left(\frac{5 \pi}{6}\right), \tan \left(\frac{11 \pi}{6}\right) \\ =\frac{5 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}
अतः मुख्य हल=\frac{5 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}
व्यापक हल:=n \pi+\frac{5 \pi}{6}, n \in z
Example:4.Cosec x=-2 
Solution:\operatorname{cosec} x=-2 \\ \sin x=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \sin x=-\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \\ \Rightarrow \sin x=\sin \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right), \sin \left(2 \pi-\frac{\pi}{6}\right) \\ \Rightarrow \sin x=\sin \left(\frac{7 \pi}{6}\right), \sin \left(\frac{11 \pi}{6}\right)
अतः मुख्य हल:=\frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}
व्यापक हल:=n \pi+(-1)^{n}+\frac{7 \pi}{6}, n \in z
निम्नलिखित समीकरणों के व्यापक हल ज्ञात कीजिए:
Example:5.\cos 4 x=\cos 2 x
Solution:\cos 4 x=\cos 2 x \\ \cos 4 x-\cos 2 x=0 \\ 2 \sin \left(\frac{4 x+2 x}{2}\right) \sin \left(\frac{2 x-4 x}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow 2 \sin 3 x \sin (-x)=0 \\ \sin 3 x=0 या \sin x=0 \\ 3 x=n \pi+0, \sin x=n \pi  
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल: \Rightarrow x=\frac{n \pi}{3}, x=n \pi, \quad n \in z
Example:6 \cos 3 x+\cos x-\cos 2 x=0
Solution:\cos 3 x+\cos x-\cos 2 x=0 \\ \Rightarrow 2 \cos \left(\frac{3 x+x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x-x}{2}\right)-\cos 2 x=0 \\ \Rightarrow 2 \cos 2 x \cos x-\cos 2 x=0 \\ \Rightarrow \cos 2 x[2 \cos x-1]=0 \\ \Rightarrow \cos 2 x\left[4 \cos ^{2} \frac{x}{2}-3\right]=0 \\ \Rightarrow \cos 2 x=0 या 4 \cos ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)-3=0 \\ \Rightarrow \cos 2 x=\cos \pi \\ \Rightarrow \cos 2 x=\cos \frac{ \pi}{2} \\ \Rightarrow 2 x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow x=(2 n+1) \frac{\pi}{4} \\4 \cos ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)-3=0 \\ \Rightarrow 4 \cos ^{2}\left(\frac{x}{2}\right) - 3=0 \\ \Rightarrow \cos ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{3}{4} \\ \Rightarrow \cos \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow \cos \frac{x}{2}=\cos \frac{\pi}{6} \\ x=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल: x=(2 n+1) \frac{\pi}{4} \quad, x=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in z
Example:7.\sin 2 x+\cos x=0
Solution:\sin 2 x+\cos x=0 \\ \Rightarrow 2 \sin x \cos x+\cos x=0 \\ \Rightarrow \cos x(2 \sin x+1)=0 \\ \Rightarrow \cos x=0 या 2 \sin x+1=0 \\ \Rightarrow \cos x=\cos \frac{\pi}{2} , \quad \sin x=-\frac{1}{2} \\ x=\left(2 n+1\right) \frac{\pi}{2} \\ \sin x=\frac{-1}{2} \\ \Rightarrow \sin x=\sin (\pi-\frac{\pi}{6}) \\ \Rightarrow \sin x=\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right) \\ \Rightarrow x=n \pi+(-1)^{n} \frac{5 \pi}{6}
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल: x=(2n+1) \frac{\pi}{2},x=n \pi+(-1)^{n} \frac{5 \pi }{6}, n \in z
Example:8.\sec ^{2} 2 x=1-\tan 2 x
Solution:\sec ^{2} 2 x=1-\tan 2 x \\ \Rightarrow 1+\tan ^{2} 2 x=1-\tan 2 x \\ \Rightarrow \tan ^{2} 2 x+\tan 2 x=0 \\ \Rightarrow \tan 2 x(\tan 2 x+1)=0 \\ \Rightarrow \tan 2 x=0, \tan 2 x+1=0 \\ \Rightarrow \tan 2 x=\tan 0 \\ \Rightarrow 2 x=n \pi+0 \\ \Rightarrow x=\frac{n \pi}{2} \\ \Rightarrow \tan 2 x+1=0 \\ \Rightarrow \tan 2 x=-1 \\ \tan 2 x=-\tan \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \tan 2 x=\tan \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right) \\ \Rightarrow \tan 2 x=\tan \left(\frac{3 \pi}{4}\right) \\ \Rightarrow 2 x=n \pi+\frac{3 \pi}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{n \pi}{2}+\frac{3 \pi}{8}  
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल:\Rightarrow x=\frac{n \pi}{2}, x=\frac{n \pi}{2}+\frac{3 \pi}{8}, n \in z

Example:9. \sin x+\sin 3 x+\sin 5 x=0
Solution:\sin x+\sin 3 x+\sin 5 x=0 \\ \Rightarrow \sin x+2 \sin \left(\frac{3 x+5 x}{2}\right) \cos \left(\frac{5 x-3 x}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow \sin x+2 \sin 4 x \cos x=0 \\ \Rightarrow \sin x+4 \sin 2 x \cos 2x \cos x=0 \\ \Rightarrow \sin x+8 \sin x \cos ^{2} x \cos 2 x=0 \\ \Rightarrow \sin x\left(1+8 \cos ^{2} x \cos 2 x\right)=0 \\ \Rightarrow \sin x=0 \\ \Rightarrow x=n \pi \\ 1+8 \cos ^{2} x \cos 2 x=0 \\ \Rightarrow 8 \cos ^{2} x\left(2 \cos ^{2} x-1\right)+1=0 \\ \Rightarrow 16 \cos ^{4} x-8 \cos ^{2} x+1=0 \\ \Rightarrow\left(4 \cos ^{2} x-1\right)^{2}=0 \\ \Rightarrow 4 \cos ^{2} x-1=0 \\ \Rightarrow 4 \cos ^{2} x=1 \\ \Rightarrow \cos ^{2} x=\frac{1}{4} \\ \Rightarrow \cos x=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \cos x=\cos \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow x=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल:x=n \pi, x=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in z
Example:10 \cot \theta+\tan \theta-\sqrt{2} \operatorname{cosec} \theta=0 
Solution:\cot \theta+\tan \theta-\sqrt{2} \operatorname{cosec} \theta=0 \\ \Rightarrow \cot \theta+\tan \theta=\sqrt{2} \operatorname{cosec} \theta \\ \Rightarrow \frac{\cos \theta}{\sin \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{\sqrt{2}}{\sin \theta} \\ \Rightarrow \frac{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}= \frac{\sqrt{2}}{\sin \theta} \\ \Rightarrow \sqrt{2} \sin \theta \cos \theta=\sin \theta \\ \Rightarrow \sqrt{2} \sin \theta \cos \theta-\sin \theta=0 \\ \Rightarrow \sin \theta(\sqrt{2} \cos \theta-1)=0 \\ \Rightarrow \sin \theta=0, \sqrt{2} \cos \theta-1=0 \\ \sin \theta=\sin 0 \\ \theta=n \pi \\ \Rightarrow \sqrt{2} \cos \theta-1=0 \\ \Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \cos \theta=\cos \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=n \pi, \theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{4}, n \in z
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल: \theta=n \pi, \theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{4}, n \in z
Example:11.4 \cos \theta-3 \sec \theta=2 \tan \theta
Solution:4 \cos \theta-3 \sec \theta=2 \tan \theta \\ \Rightarrow 4 \cos \theta-\frac{3}{\cos \theta}=\frac{2 \sin \theta}{\cos \theta} \\ \Rightarrow \frac{4 \cos ^{2} \theta-3}{\cos \theta}=\frac{2 \sin \theta}{\cos \theta} \\ \Rightarrow 4\left(1-\sin ^{2} \theta\right)-3=2 \sin \theta \\ \Rightarrow 4-4 \sin ^{2} \theta-3=2 \sin \theta \\ \Rightarrow 1-4 \sin ^{2} \theta=2 \sin \theta \\ \Rightarrow 4 \sin ^{2} \theta+2 \sin \theta-1=0 \\ \sin \theta=\frac{-2 \pm \sqrt{4-4 \times 4 \times(-1)}}{8} \\ \Rightarrow \sin \theta=\frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8}=\frac{-2 \pm 2 \sqrt{5}}{8} \\ \Rightarrow \sin \theta=\frac{\pm \sqrt{5}-1}{4} \\ \sin \theta=\frac{\sqrt{5}-1}{4} और \sin \theta=-\frac{(\sqrt{5}+1)}{4}
यदि \sin \theta=\frac{\sqrt{5}-1}{4}=\sin 18^{\circ}=\sin \frac{\pi}{10} \\ \Rightarrow \theta=n \pi+(-1)^{n} \frac{\pi}{10}, n \in z
पुनः यदि \sin \theta=-\frac{\sqrt{5}+1}{4}=-\sin 54^{\circ} \\ \sin \left(-\frac{3 \pi}{10}\right) \\ \theta=n \pi-(-1)^{n} \frac{3 \pi}{10}, n \in z
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल: \theta=n \pi+(-1)^{n} \frac{\pi}{10}, n \pi-(-1)^{n} \frac{3 \pi}{10} \forall n \in z
Example:12.3 \cos ^{2} \theta-2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta=3 \sin ^{2} \theta
Solution:3 \cos ^{2} \theta-2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta=3 \sin ^{2} \theta \\ \Rightarrow 3 \cos ^{2} \theta-2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta-3 \sin ^{2} \theta=0 \\ \Rightarrow 3 \cos ^{2} \theta-3 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta \cos \theta-3 \sin ^{2} \theta=0 \\\Rightarrow 3 \cos \theta(\cos \theta-\sqrt{3} \sin \theta)+\sqrt{3} \sin \theta(\cos \theta-\sqrt{3} \sin \theta)=0 \\ \Rightarrow (\cos \theta-\sqrt{3} \sin \theta)(3 \cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta)=0 \\ \Rightarrow \cos \theta-\sqrt{3} \sin \theta=0 \\ \Rightarrow \sqrt{3} \sin \theta=\cos \theta \\ \Rightarrow \tan \theta=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \tan \theta=\tan \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \theta=n \pi+ \frac{\pi}{6} \\ n \pi+\frac{\pi}{6}, n \in Z \\3 \cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta=0 \\ \Rightarrow \sqrt{3} \sin \theta= -3 \cos \theta \\ \Rightarrow \tan \theta=-\sqrt{3} \\ \Rightarrow \tan \theta=-\tan \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \tan \theta=\tan (\pi- \frac{\pi}{3}) \\ \Rightarrow \tan \theta=\tan \left(\frac{2 \pi}{3}\right) \\ \Rightarrow \theta=n \pi+\frac{2 \pi}{3} \\ \theta =n \pi+\frac{\pi}{6}, n \pi+\frac{2 \pi}{3} n \in z
Example:13.4 \sin \theta \sin 2 \theta \sin 4 \theta=\sin 3 \theta
Solution:4 \sin \theta \sin 2 \theta \sin 4 \theta=\sin 3 \theta \\ 2 \sin \theta\left[2 \sin 2 \theta \sin 4 \theta\right]=\sin 3 \theta \\ \Rightarrow 2 \sin \theta\left [ \cos 2 \theta-\cos 6 \theta \right ] =\sin 3 \theta \\ \Rightarrow 2 \sin \theta \cos 2 \theta-2 \sin \theta \cos 6 \theta=\sin 3 \theta \\ \Rightarrow \sin 3 \theta-\sin \theta-\sin 7 \theta+\sin 5 \theta=\sin 3 \theta \\ \Rightarrow \sin 5 \theta=\sin \theta+\sin 7 \theta \\ \Rightarrow \sin 5 \theta- \sin 7 \theta=\sin \theta \\ \Rightarrow 2 \sin \left(\frac{5 \theta-7 \theta}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{5 \theta+7 \theta}{2}\right)=\sin \theta \\ \Rightarrow 2 \sin (-\theta) \cos 6 \theta-\sin \theta=0 \\ \Rightarrow \sin \theta(2 \cos 6 \theta+1)=0 \\ \Rightarrow -\sin \theta=0,2 \cos 6 \theta+1=0 \\ \sin \theta=0 \\ \Rightarrow \sin \theta=\sin 0 \\ \theta=n \pi
यदि पुनः यदि 2 \cos 6 \theta+1=0 \\ \Rightarrow 2 \cdot \cos 6 \theta=-1 \\ \Rightarrow \cos 6 \theta=-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \cos 6 \theta=-\cos \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \cos 6 \theta=\cos (\pi- \frac{\pi}{3}) \\ =2 \cos 6 \theta =\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right) \\ \Rightarrow 6 \theta=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=\frac{2 n \pi}{6} \pm \frac{2 \pi}{18} \\\Rightarrow \theta=\frac{n \pi}{3} \pm \frac{\pi}{9}
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल: \theta=n \pi, \frac{n \pi}{3} \pm \frac{\pi}{9}, \quad \forall n \in z
Example:14.3 \tan \left(\theta-15^{\circ}\right)=\tan (\theta+15^{\circ})
Solution:3 \tan \left(\theta-15^{\circ}\right)=\tan (\theta+15^{\circ}) \\ \Rightarrow \frac{\tan (\theta+15)}{\tan (\theta-15)}=\frac{3}{1} \\ \Rightarrow \frac{\sin (\theta+15) \cos (\theta-15)}{\sin (\theta-15) \cos (\theta+15)}=\frac{3}{1}
योगान्तरानुपात लगाने पर:

\Rightarrow \frac{\sin (\theta+15) \cos (\theta-15)+\sin (\theta-15) \cos (\theta+15)}{\sin (\theta+15) \cos (\theta-15)-\sin (\theta-15) \cos (\theta+15)}=\frac{3+1}{3-1} \\ \Rightarrow \frac{\sin (\theta+15+\theta-15)}{\sin \{(\theta+15)-(\theta-15)\}}=\frac{4}{2} \\ \Rightarrow \frac{\sin 2 \theta}{\sin 30^{\circ}}=2 \\ \Rightarrow \sin 2 \theta=2 \sin 30^{\circ} \\ \Rightarrow \sin 2 \theta=2 \times \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \sin 2 \theta=1 \\ \Rightarrow \sin 2 \theta=\sin \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow 2 \theta=n \pi+(-1)^{n} \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \theta=\frac{n \pi}{2}+(-1)^{n} \frac{\pi}{4}, n \in z
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल: \theta=\frac{n \pi}{2}+(-1)^{n} \frac{\pi}{4}, n \in z
Example:15.\tan \theta+\tan \left ( \theta+\frac{\pi}{3} \right )+\tan \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)=3
Solution:\tan \theta+\tan \left ( \theta+\frac{\pi}{3} \right )+\tan \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)=3 \\ \Rightarrow \tan \theta+\tan (\theta+\frac{\pi}{3})+\tan \left\{\pi+(\theta-\frac{\pi}{3})\right\}=3 \\ \Rightarrow \tan \theta+\tan (\theta+\frac{\pi}{3})+\tan (\theta-\frac{\pi}{3})=3 \\ \Rightarrow \tan \theta+\frac{\tan \theta+\tan \frac{\pi}{3}}{1-\tan \theta \tan \frac{\pi}{3}}+\frac{\tan \theta-\tan \frac{\pi}{3}}{1+\tan \theta \tan \frac{\pi}{3}}=3 \\ \Rightarrow \tan \theta+\frac{\tan \theta+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} \tan \theta}+\frac{\tan \theta-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3} \tan \theta}=3 \\ \Rightarrow \frac{\tan \theta(1-\sqrt{3} \tan \theta)(1+\sqrt{3} \tan \theta)+(\tan \theta+\sqrt{3})(1+\sqrt{3} \tan \theta)+(\tan \theta-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3} \tan \theta)(1+\sqrt{3} \tan \theta)}=3 \\ \Rightarrow \frac{\tan \theta\left(1-3 \tan ^{2} \theta\right)+(\tan \theta+\sqrt{3})(1+\sqrt{3} \tan \theta)+(\tan \theta-\sqrt{3})(1-\sqrt{3} \tan \theta)}{\left(1-3 \tan ^{2} \theta\right)}=3 \\ \Rightarrow \tan \theta-3 \tan ^{3} \theta+\tan \theta+\sqrt{3} \tan ^{2} \theta+\sqrt{3}+3 \tan \theta+\tan \theta- \sqrt{3} \tan ^{2} \theta-\sqrt{3}+3 \tan \theta=3\left(1-3 \tan ^{2} \theta\right) \\ \Rightarrow-3 \tan ^{3} \theta+9 \tan \theta=3-9 \tan ^{2} \theta \\ \Rightarrow 3 \tan ^{3} \theta-9 \tan ^{2} \theta -9 \tan \theta+3=0 \\ \Rightarrow \tan ^{3} \theta-3 \tan ^{2} \theta-3 \tan \theta+3=0 \\ \Rightarrow \tan ^{3} \theta+\tan ^{2} \theta-4 \tan ^{2} \theta-4 \tan \theta+\tan \theta+1=0 \\ \Rightarrow \tan ^{2} \theta(\tan \theta+1)-4 \tan \theta (\tan \theta+1)+(\tan \theta+1)=0 \\ \Rightarrow(\tan \theta+1)\left(\tan ^{2} \theta-4 \tan \theta+1\right)=0 \\ \Rightarrow \tan \theta+1 =0, \tan ^{2} \theta-4 \tan \theta+1=0 \\ \Rightarrow \tan \theta=\tan (-\frac{\pi}{4})\\ \Rightarrow \theta=n \pi \pm(-\frac{\pi}{4}) \\ \Rightarrow \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{4}, n \in z \\ \tan ^{2}-4 \tan \theta+1=0 \\ \Rightarrow \tan \theta=\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow 2 \pm \sqrt{3} \\ \Rightarrow \tan \theta=\tan \frac{\pi}{12} \\ \theta=n \pi+\frac{\pi}{12}, n \in Z
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल:\theta=n \pi \pm \frac{\pi}{4},\theta=n \pi+\frac{\pi}{12}, n \in Z
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations) को समझ सकते है ।

3.त्रिकोणमितीय समीकरण की समस्याएं (Trigonometrical Equations Problems):

निम्नलिखित समीकरणों के व्यापक हल ज्ञात कीजिए:

(1.) \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ (2) \tan 2 x=-\cot (x+\frac{\pi}{3}) \\ (3) \sin 2 x-\sin 4 x+\sin 6 x=0 \\ (4) 2 \cos ^{2} x+3 \sin x=0
उत्तर (Answers): (1.) x=n \pi+(-1)^{n} \frac{4 \pi}{3}, n \in z \\ (2.) x=n \pi+\frac{5 \pi}{6}, n \in z \\ (3.) x=\frac{n \pi}{4}, x=n \pi \pm \frac{\pi}{6}, n \in z \\ (4) x=n \pi+(-1)^{n}(\frac{7 \pi}{6}), n \in z
उपर्युक्त सवालों के द्वारा त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations) को ठीक से समझ सकते है.

4.मुख्य बिन्दु (HIGHLIGHTS):-

(1.)त्रिकोणमितीय समीकरण ऐसे हल जहां 0 \leq x<2 \pi होता है,मुख्य हल (Principal Solutions) कहलाते हैं।
(2.)व्यापक व्यंजन (General Expression): किसी त्रिकोणमितीय समीकरण के मूल का व्यापक व्यंजक से तात्पर्य ऐसे व्यंजक से है जिसके द्वारा उस समीकरण के सभी अनंत मूल व्यक्त किए जा सकते हैं।साधारणत: त्रिकोणमितीय समीकरण का हल ज्ञात करने का अर्थ है मूल का व्यापक व्यंजक ज्ञात करना ही होता है।
(3.)एक कोण के युगपत समीकरण को हल करने की विधि :
(i)0 से 2π रेडियन अथवा 0° से 360° के बीच के \theta वे मान ज्ञात करते हैं जो दोनों समीकरणों को अलग-अलग संतुष्ट करते हैं।
(ii)\theta का उभयनिष्ठ मान ज्ञात करते हैं।
(iii)यदि उभयनिष्ठ मान डिग्री में हो तो रेडियन में परिवर्तित करते हैं।
(iv)इस मान में 2nπ जोड़ते हैं।
(4.)एक से अधिक त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले समीकरण (Equation involving more than one trigonometrical ratios):
ऐसे समीकरणों को हल करने की विधि जिनमें एक ही कोण के विभिन्न त्रिकोणमितीय अनुपात विद्यमान हों:
(i)सर्वप्रथम दिए हुए समीकरण का एक त्रिकोणमिति अनुपात के रूप में रूपांतरण करते हैं।साधारणतया ऐसे त्रिकोणमिति अनुपात में रूपांतरण करना सुविधाजनक रहता है जिसके प्रथम घात के पद समीकरण में विद्यमान होंउ।
(ii)इसके पश्चात दिए गए समीकरण को बीजीय समीकरण की तरह हल करते हैं।
(iii)हल करने पर प्राप्त त्रिकोणमिति अनुपात के मान की सहायता से अज्ञात कोणों का व्यापक मान ज्ञात करते हैं।

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5.त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:-

प्रश्न:1.समीकरण \sec ^{2} \theta=2 का व्यापक हल क्या होगा? (What will be general solution of equation? \sec ^{2} \theta=2 ):

\text { (a) } 2 n \pi \pm \frac{ \pi}{4} \text { (b) } n \pi+(-1)^{n} \frac{\pi}{4} \text { (c) } n \pi+\frac{ \pi}{2} \text { (d) } n \pi \pm \frac{ \pi}{4}
उत्तर:(d)

प्रश्न:2.समीकरण \tan 2 \theta=\frac{1}{\sqrt{3}} का व्यापक हल क्या होगा? (What will be general solution of equation? \tan 2 \theta=\frac{1}{\sqrt{3}} ):

\text { (a.) } \frac{n \pi}{2} - \frac{\pi}{12} \text { (b.) } \frac{n \pi}{2}+\frac{\pi}{12} \text { (c) } 2 n \pi \pm \frac{\pi}{12} \text { (d.) } n \pi+(-1)^{n} \frac{\pi}{12}
उत्तर:(a)

प्रश्न:3.समीकरण \tan 3 \theta=\tan \theta का व्यापक हल क्या होगा? (What will be general solution of equation? \tan 3 \theta=\tan \theta ):

\text { (a.) } \frac{n \pi}{3} \text { (b) } \frac{n \pi}{4} \text { (c.) } \frac{2 n \pi}{3} \text { (d) } \frac{n \pi}{4}
उत्तर:(d)

प्रश्न:4.त्रिकोणमितीय समीकरण की परिभाषा क्या है? (What is the definition of trigonometrical equation?):

उत्तर:एक ऐसा समीकरण जो एक या एक से अधिक अज्ञात कोण या कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों से सम्बन्धित हो त्रिकोणमितीय समीकरण कहलाता है।

प्रश्न:5.त्रिकोणमितीय समीकरण के हल से क्या अभिप्राय है? (What is mean by solution of trigonometrical equation?):

उत्तर:त्रिकोणमितीय समीकरण के हल से अभिप्राय एक ऐसा व्यापक व्यंजक प्राप्त करने से होता है जो समीकरण में अज्ञात कोण के प्रत्येक मान के लिए दिए हुए समीकरण को सन्तुष्ट करता है।

प्रश्न:6.व्यापक व्यंजक क्या है? (What is general expression?):

उत्तर: किसी त्रिकोणमितीय संविधान के मूल का व्यापक व्यंजक से तात्पर्य ऐसे व्यंजक से है जिसके द्वारा उस समीकरण के सभी अनंत मूल व्यक्त किए जा सकते हैं।साधारणतया त्रिकोणमितीय समीकरण का हल करने का अर्थ मूल का व्यापक व्यंजक ज्ञात करना ही होता है।

प्रश्न:7.त्रिकोणमितीय समीकरण सूत्र (Trigonometric equations formula):

उत्तर:निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सूत्र हैं:
यदि \sin x=\sin y तो x=n \pi+(-1)^{n} y  जहाँ n \in z
यदि \cos x=\cos y तो x=2 n \pi \pm y जहाँ n \in z
यदि \tan x=\tan y तो x=n \pi+y जहाँ n \in z
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर के द्वारा त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations) को ओर अधिक समझ सकते है.

 

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Trigonometrical Equations

त्रिकोणमितीय समीकरण
(Trigonometrical Equations)

Trigonometrical Equations

त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equations):एक ऐसा समीकरण जो एक या एक से अधिक
अज्ञात कोण या कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों से सम्बन्धित हो त्रिकोणमितीय समीकरण कहलाता है।

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