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Separation of Variables Method

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1 1.चरों के पृथक्करण की विधि (Separation of Variables Method),चरों का पृथक्करण (Separation of Variables),अवकल समीकरणों में चरों का पृथक्करण (Separation of Variables in Differential Equations)-

1.चरों के पृथक्करण की विधि (Separation of Variables Method),चरों का पृथक्करण (Separation of Variables),अवकल समीकरणों में चरों का पृथक्करण (Separation of Variables in Differential Equations)-

चरों के पृथक्करण की विधि (Separation of Variables Method)-समीकरण जिनमें चर पृथक किए जा सकें,वे समीकरण हैं जो ऐसे रूप में प्रदर्शित किए जा सकें,जिनमें dx का गुणांक (Coefficient of dx) केवल चर x का फलन तथा dy का गुणांक (Coefficient of dy) केवल चर y का फलन हो।ऐसे समीकरणों का व्यापक रूप होगा-

f_{1}(x) \cdot d x+f_{2}(y) d y=0 \ldots \ldots(1)
इसको हल करने के लिए हम इसे निम्न प्रकार लिख सकते हैं-

f_{1}(x)+f_{2}(y) \frac{d y}{d x}=0
इसका x के सापेक्ष समाकलन करने पर

\int f_{1}(x) d x+\int f_{2}(y) \frac{d y}{d x} \cdot d x=c
या \int f_{1}(x) d x+\int f_{2}(y) d y=c \cdots(2)
जहां C स्वेच्छ चर (arbitrary constant) है।सम्बन्ध (2),समीकरण (1) का व्यापक हल है।
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2.चरों के पृथक्करण की विधि के उदाहरण (Separation of Variables Method Examples)-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example-1.\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}
Solution\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}} \\ \Rightarrow \int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\int \frac{1}{1+y^{2}} d y \\ \Rightarrow \tan ^{-1} x=\tan ^{-1} y+\tan ^{-1} c \\ \Rightarrow \tan ^{-1} x-\tan ^{-1} y=\tan ^{-1} c \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+x y}\right)=\tan ^{-1} c \\ \Rightarrow\left(\frac{x-y}{1+x y}\right)=c \\ \Rightarrow(x-y)=c(1+x y)
Example-2.(1-x)dy-(3+y)dx=0
Solution(1-x) d y-(3+y) d x=6 \\ \int \frac{d y}{(3+y)}=\int \frac{d x}{1-x} \\ \Rightarrow \log (3+y)=-\log (1-x)+\log C_{1} \\ \Rightarrow \log \left(\frac{3+y}{1}\right)(1-x)=\log c_{1} \\ \Rightarrow 3-3 x+y-x y=c_{1} \\ \Rightarrow y-3 x-x y=c
Example-3.x \cos ^{2} y d x-y \cos ^{2} x d y=0
Solutionx \cos ^{2} y d x-y \cos ^{2} x d y=0 \\ \Rightarrow x \cos ^{2} y d x=y \cos ^{2} x d y \\ \Rightarrow \int \frac{x d x}{\cos ^{2} x}=\int \frac{y}{\cos ^{2} y} d y \\ \Rightarrow \int x \sec ^{2} x d x=\int y \sec ^{2} y d y \\ \Rightarrow x \int \sec ^{2} x d x-\int\left[\frac{d}{d x}(x) \int \sec ^{2} x d x\right] d x=y \int \sec^{2} y d y-\int \left[\frac{d}{d y}(y) \int \sec ^{2} y\right] dy \\ \Rightarrow x \tan x-\int \tan x d x=y \tan y-\int \tan y d y+c \\ \Rightarrow x \tan x-\log (\sec x)=y \tan y-\log (\sec y)+c
Example-4.a\left(x \frac{d y}{d x}+2 y\right)=x y \frac{d y}{d x}
Solutiona\left(x \frac{d y}{d x}+2 y\right)=x y\left(\frac{d y}{d x}\right) \\ \Rightarrow d x \frac{d y}{d x}+2 a y=x y\left(\frac{d y}{d x}\right) \\ \Rightarrow a x d y+2 a y d x=x y d y \\ \Rightarrow 2ay d x=x y d y-a x d y \\ \Rightarrow 2 a y d x=x(y-a) d y \\ \Rightarrow \int \frac{2 a}{x} dx=\int\left(\frac{y-a}{y} \right) d y \\ \Rightarrow 2 a \log x=\int 1 d y-a \int \frac{1}{y} d y \\ \Rightarrow 2 a \log x=y-a \log y+\log c_{1} \\ \Rightarrow \log \left(x^{2 a}\right)+a \log y-\log c_{1}=y \\ \Rightarrow \log \left(\frac{x^{2a} \cdot y^{a}}{c_{1}}\right)=y \\ \Rightarrow x^{2 a} y^{a}=c_{1} e^{y} \\ \Rightarrow x^{2} y=c e^{\frac{y}{a}}
Example-5.\frac{d y}{d x}+\sqrt{\left(\frac{1-y^{2}}{1-x^{2}}\right)}=0
Solution\frac{d y}{d x}+\sqrt{\left(\frac{1-y^{2}}{1-x^{2}}\right)}=0 \\ \Rightarrow \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{d y}{\sqrt{1-y^{2}}}=0 \\ \Rightarrow \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\int \frac{d y}{\sqrt{1-y^{2}}}=0 \\ \Rightarrow \sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y=c

Example-6. \frac{d y}{d x}=\frac{x y+y}{x y+x}
Solution \frac{d y}{d x}=\frac{x y+y}{x y+x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y(x+1)}{x(y+1)} \\ \Rightarrow \frac{(x+1) d x}{x}=\int \frac{y+1}{y} d y \\ \Rightarrow \int\left(1+\frac{1}{x}\right) d x=\int\left(1+\frac{1}{y}\right) d y \\ \Rightarrow x+\log x=y+\log y+\log c_{1} \\ \Rightarrow y-x=\log x-\log y+\log c \\ \Rightarrow y-x=\log \left(\frac{c x}{y}\right)
Example-7.\frac{d y}{d x} =e^{x+y}+x^{2} e^{y}
Solution\frac{d y}{d x} =e^{x+y}+x^{2} e^{y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=e^{y}\left(e^{x}+x^{2}\right) \\ \Rightarrow \left(e^{x}+x^{2}\right) d x=e^{-y} d y \\ \Rightarrow \int e^{x} d x+\int x^{2} d x=\int e^{y} d y \\ \Rightarrow e^{x}+\frac{1}{3} x^{3}=-e^{-y}+c \\ \Rightarrow e^{x}+\frac{1}{3} x^{3}+e^{-y}=c
Example-8.y-x \cdot \frac{d y}{d x}=3\left(1+x^{2} \frac{d y}{d x}\right)
Solution-y-x \frac{d y}{d x}=3\left(1+x^{2} \frac{d y}{d x}\right) \\ \Rightarrow y-x \frac{d y}{d x}=3+3 x^{2} \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow\left(x+3 x^{2}\right) \frac{d y}{d x}=y-3 \\ \Rightarrow \int \frac{d x}{x+3 x^{2}}=\int \frac{1}{y-3} d y \\ \Rightarrow \int \frac{1}{x(x+3 x)} d x=\int \frac{1}{y-3} d y \\ \Rightarrow \int\left(\frac{1}{x}-\frac{3}{1+3 x}\right) d x=\log (y-3)+\log c \\ \Rightarrow \log x-\log (1+3 x)=\log (y-3) c \\ \Rightarrow \log \left(\frac{x}{1+3 x}\right)=\log c(y-3) \\ \Rightarrow x=(1+3 x)(y-3) c
Example-9.\left(2 a x+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}=a^{2}+2 a x
Solution\left(2 a x+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}=a^{2}+2 a x \\ \Rightarrow \int\left(\frac{a^{2}+2 a x}{2 a x+x^{2}}\right) d x=\int d y \\ \Rightarrow \int a\left(\frac{a+2 x}{x(2 a+x)}\right) d x=\int d y \\ \Rightarrow \int \frac{a+2 x}{x(2 a+x)} d x=\frac{1}{a} \int d y \\ \Rightarrow \int\left[\frac{1}{2 x}+\frac{3}{2(2 a+x)}\right] d x=\frac{1}{a} \int d y \\ \Rightarrow \int\left[\frac{1}{2 x}+\frac{3}{2(2 a+x)}\right] d x=\frac{1}{a} \int d y \\ \Rightarrow \int \frac{1}{x} d x+3 \int\left(\frac{1}{2 a+x}\right) d x=\frac{2}{a} \int d y \\ \Rightarrow \log x+3 \log (2 a+x)=\frac{2}{a} y+\log c \\ \Rightarrow \log \frac{x(2 a+x)^{3}}{a}=\frac{2 y}{a} \\ \Rightarrow x(2 a+x)^{3}=c e^{\frac{2y}{a}}
Example-10.यदि \frac{d y}{d x}=e^{x+y} तथा यह दिया हुआ है कि x=1 के लिए y=1 तो y का मान ज्ञात कीजिए जबकि x=-1
(If \frac{d y}{d x}=e^{x+y} and it is given that for x=1,y=1 then find y when x=-1):
Solution\frac{d y}{d x}=e^{x+y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=e^{x} \cdot e^{y} \\ \Rightarrow e^{x} d x=e^{-y} d y \\ \Rightarrow e^{x} d x=\int e^{-y} d y \\ \Rightarrow e^{x} =-e^{-y}+c \cdots (1)
जब x=1,y=1 तो

\Rightarrow e=-e^{-1}+c \\ \Rightarrow c=e+e^{-1}
समीकरण (1) में C का मान रखने पर-

\Rightarrow e^{x}=-e^{-y}+e+e^{-1}
जब x=-1

\Rightarrow e^{-1}=-e^{-y}+e+ e^{-1} \\ \Rightarrow e^{-y}=e \\ \Rightarrow y=-1
Example-11.हल कीजिए (Solve):

y-x \frac{d y}{d x}=a\left(y^{2}+\frac{d y}{d x}\right)
Solutiony-x \frac{d y}{d x}=a\left(y^{2}+\frac{d y}{d x}\right) \\ \Rightarrow y-x \frac{d y}{d x}=a\left(y^{2} +\frac{d y}{d x}\right) \\ \Rightarrow y-x \frac{d y}{d x}=a y^{2}+a d y \\ \Rightarrow y-a y^{2}=x \frac{d y}{d x}+a \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow y(1-a y)=(x+a) \frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow \int \frac{d x}{x+a}=\int \frac{d y}{y(1-a y)} \\ \frac{1}{y(1-a y)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{1-a y} \\ \Rightarrow \frac{1}{y(1-a y)}=\frac{A(1-a y)+B y}{y(1-a y)} \\ \Rightarrow 1=A-A a y+B y \\ \Rightarrow 1=A+y(-A a+B)
दोनों पक्षों की तुलना करने पर-

A=1, -Aa+B=0 \\ \Rightarrow -a+B=0 \Rightarrow B=a \\ \Rightarrow \int \frac{1}{x+a} d x=\int\left(\frac{1}{y}+\frac{a}{1-a y}\right) d y \\ \Rightarrow \log (x+a)=\log y-\log (1-a y)+\log c \\ \Rightarrow \log (x+a)=\log \left(\frac{c y}{1-a y}\right) \\ \Rightarrow(x+a)=\frac{c y}{(1-a y)} \\ \Rightarrow(x+a)(1-a y)=c y

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा चरों के पृथक्करण की विधि (Separation of Variables Method),चरों का पृथक्करण (Separation of Variables) को समझ सकते हैं।

3.चरों के पृथक्करण की विधि की समस्याएं (Separation of Variables Method Problems)-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
\text { (1.) }(x+y)(d x-d y)=d x+d y \\ \text { (2.) }\left(x y^{2}+x\right) d x+\left(y x^{2}+y\right) d y=0 \\ \text { (3.) } \frac{d y}{d x}=e^{x-y}+x^{2} e^{-y} \\ \text { (4.) }\left(e^{y}+1\right) \cos x d x+e^{y} \sin x d y=0 \\ \text { (5.) } \sec ^{2} x \tan y d x+\sec ^{2} y \cdot \tan x d y=0 \\ \text { (6) } 3 e^{x} \tan y d x+\left(1-e^{x}\right) \cdot \sec ^{2} y d y=0
उत्तर (Answers): \text { (1.) } c(x+y)=e^{x-y} \\ \text { (2.) }\left(x^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)=c \\ \text { (3.) } e^{y}=e^{x}+\frac{x^{3}}{3}+c \\ \text { (4.) }\left(1+e^{y}\right) \sin x=c \\ \text { (5) } \tan x \tan y=c \\ \text { (6.) } y=\tan ^{-1}\left[c\left(1-e^{x}\right)^{3}\right]
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ‌चरों के पृथक्करण की विधि (Separation of Variables Method),चरों का पृथक्करण (Separation of Variables) को ठीक से समझा जा सकता है।

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4.चरों के पृथक्करण की विधि (Separation of Variables Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न-

प्रश्न:1.आपको कैसे पता चलेगा कि कोई समीकरण पृथक्करणीय है? (How do you know if an equation is separable?)

उत्तर-अवकल समीकरण जिन्हें चरों के पृथक्करण का उपयोग करके हल किया जा सकता है,पृथक्करण समीकरण कहलाते हैं।
एक अवकल समीकरण को वियोज्य कहा जाता है यदि चर को अलग किया जा सकता है।अर्थात्,एक वियोज्य समीकरण वह होता है जिसे f में लिखा जा सकता है।

प्रश्न:2.आप एक चरों के पृथक्करण अवकल समीकरण की पहचान कैसे करते हैं? (How do you identify a variable separable differential equation?)

उत्तर-यदि किसी अवकल समीकरण के सभी y पदों को समीकरण एक तरफ रखा जा सकता है और सभी x पदों को समीकरण के दूसरे पक्ष में रखा जा सकता है तब इसे वेरीएबल सिपरेबल कहा जाता है।प्रत्येक पक्ष को समाकलन करें। एक व्यापक हल प्राप्त करने के लिए y को हल करें।

प्रश्न:3.चरों का पृथक्करण क्या है? (What is variable separable?)

उत्तर-पहला ऑर्डर डिफरेंशियल इक्वेशन y’=f(x, y) को एक पृथक्करण समीकरण कहा जाता है यदि फंक्शन f(x, y) को x और y के दो फंक्शन्स के प्रोडक्ट में फैक्टर किया जा सकता है: f(x, y) = p(x) h(y), जहां p(x) और h(y) संतत फलन हैं।

प्रश्न:4.आप चरों के पृथक्करण को कैसे हल करते हैं? (How do you solve variables separable?)

उत्तर-सर्वप्रथम एक ही प्रकार के चरों को समीकरण के एक पक्ष में रखते हैं तथा दूसरे प्रकार के सभी चरों को समीकरण के दूसरे पक्ष में रखते हैं।इसके पश्चात् दोनों पक्षों का समाकलन करके व्यापक हल ज्ञात कर लेते हैं।

प्रश्न:5.नाॅन सिपरेबल अवकल समीकरण (Non separable differential equations)

उत्तर-जब किसी अवकल समीकरण के एक ही प्रकार के चरों को अलग तथा दूसरे प्रकार के चरों को पृथक नहीं किया जा सकता है ऐसे अवकल समीकरण को अपृथक्करणीय अवकल समीकरण कहते हैं।
इस प्रकार के अवकल समीकरणों को निम्नलिखित में से किसी विधि से हल करते हैं-
(1.)समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Equations)
(2.) समीकरण जिनका समघात अवकल समीकरण में समानयन किया जा सकता है।
(3.)बरनौली के अवकल समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Bernoulli’s differential equations reducible to the linear form)
(4.)यथार्थ अवकल समीकरण (Exact differential equations)
(5.) समीकरण जिनका यथार्थ अवकल समीकरण में समानयन किया जा सके (Equation Reducible to an Exact Differential Equation)

प्रश्न:6.पृथक्करण अवकल समीकरण की प्रारंभिक शर्त (Separable differential equations with initial conditions)-

उत्तर-समीकरण जिनमें चर पृथक किए जा सकें,वे समीकरण हैं जो ऐसे रूप में प्रदर्शित किए जा सकें, जिनमें dx का गुणांक (Coefficient of dx) केवल चर x का फलन तथा dy का गुणांक (Coefficient of dy) केवल चर y का फलन हो।यही पृथक्करणीय अवकल समीकरण की प्रारम्भिक शर्त है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा चरों के पृथक्करण की विधि (Separation of Variables Method),चरों का पृथक्करण (Separation of Variables),अवकल समीकरणों में चरों का पृथक्करण (Separation of Variables in Differential Equations) को समझ सकते हैं।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा चरों के पृथक्करण की विधि (Separation of Variables Method),चरों का पृथक्करण (Separation of Variables),अवकल समीकरणों में चरों का पृथक्करण (Separation of Variables in Differential Equations) को समझ सकते हैं।

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