Reducible clairaut form

क्लैरो के समीकरण के रूप में परिवर्तन का परिचय (Introduction to Reducible clairaut form):

Reducible clairaut form

• क्लैरो के समीकरण के रूप में परिवर्तन (Reducible clairaut form):क्लैरो के रूप के समीकरण में परिवर्तित करके अवकल समीकरण का व्यापक हल आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।नीचे क्लैरो के रूप में परिवर्तित करने की विधि के बारे में बताया गया है।
  
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क्लैरो के समीकरण के रूप में परिवर्तन (Reducible clairaut form):

Reducible clairaut form

• अवकल समीकरण y=px+f(p) …(1)
  को क्लैरो का समीकरण (Clairat’s Equation) कहते हैं जहाँ f(p),p का कोई फलन है।यह लैग्रान्ज के समीकरण का एक विशेष रूप है।
  इसका हल ज्ञात करने के लिए हम इसका x के सापेक्ष अवकलन (Differentiation) करते हैं तब
  p=p+x\frac{dp}{dx}+f'(p)\frac{dp}{dx}
  \Rightarrow\left[x+f'(p)\right]\frac{dp}{dx}=0
  अतः \frac{dp}{dx}=0 ….(2)
  \Rightarrow{x+f'(p)}=0….(3)
  (2) से प्राप्त होता है कि
  P=अचर=c(माना)… (4)
  (1) और (4) में से p का विलोपन करने परः
  y=cx+f(c)
  जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल (General Solution) है इस प्रकार हम देखते हैं कि क्लैरो के समीकरण का व्यापक हल अवकल समीकरणों में p के स्थान पर अचर c रखने से प्राप्त हो जाता है।
  यदि हम (1) और (3) में से p का विलोपन करें तो हमको एक दूसरा हल मिलेगा, जिसमें कोई स्वेच्छ अचर नहीं है और ना ही वह व्यापक हल की कोई विशिष्ट स्थिति है।इस प्रकार के हल को हम अवकल समीकरण का विचित्र हल (Singular Solution) कहते हैं।
• टिप्पणी:यह ध्यान रखने योग्य है कि यदि (1) का p के सापेक्ष आंशिक अवकल करें तो हमको समीकरण (3) प्राप्त होगा।यह विशेषता विचित्र हल (Singular Solution) निकालने की विधि में उपयोगी सिद्ध होती है।

Reducible clairaut form

(Differential Equation of First Order but not of First Degree)
Reducible to clairaut’s form

• उपर्युक्त आर्टिकल में क्लैरो के समीकरण के रूप में परिवर्तन (Reducible clairaut form) के बारे में बताया गया है।