1.समघाती रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Linear DE),समघाती रैखिक डिफरेंशियल इक्वेशन्स (Homogeneous Lines Differential Equations):

Homogeneous Linear DE

समघाती रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Linear DE) का हल ज्ञात करने की विधि निम्नलिखित है:
हल ज्ञात करने की विधि (Method of Solution):
दिए हुए समघाती रैखिक अवकल समीकरण को हम एक अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण में रूपान्तरित कर सकते हैं,यदि हम स्वतन्त्र चर x को एक नए चर z में परिवर्तित कर दें जो निम्नलिखित सम्बन्ध द्वारा परिभाषित हो:

अतः \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d z} \cdot \frac{d z}{d x}=\frac{1}{x} \frac{1}{dy}\\ \Rightarrow x \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d z} \\ x \frac{d y}{d x}=D y
यहाँ D=\frac{d}{d z} आपरेटर प्रदर्शित करता है।
इसी प्रकार \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)\\ =\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \frac{d y}{d z}\right)\\ =\frac{1}{x} \frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d z}\right)-\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d z}\\ = \frac{1}{x} \frac{d}{d z}\left(\frac{d y}{d z}\right) \frac{d z}{d x}-\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d z}\\ =\frac{1}{x^{2}}\left[\frac{d^{2} y}{d z^{2}}-\frac{d y}{d z}\right] \\ \Rightarrow x^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)=\left(\frac{d^{2}}{d z^{2}}-\frac{d}{d z}\right) y\\ \Rightarrow x^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)=\left(D^{2}-D\right) y\\ =D(D-1) y \\ \frac{d^{3} y}{d x^{3}} =\frac{d}{d x}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right) \\ =\frac{d}{d x}\left[\frac{1}{x^{2}}\left(\frac{d^{2} y}{d z^{2}}-\frac{d y}{d z}\right)\right] \\ =\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d z}\left(\frac{d^{2} y}{d z^{2}}-\frac{d y}{d z}\right) \frac{d z}{d x}-\frac{2}{x^{3}} \cdot \left(\frac{d^{2} y}{d z^{2}}-\frac{d y}{d z}\right)y \\ \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d z}\left(\frac{d^{2}}{d z^{2}}-\frac{d}{d z}\right) y-\frac{2}{x^{2}}\left(\frac{d^{2}}{d z^{2}}-\frac{d}{d z}\right) y\\ \therefore x^{3}\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)=D\left(D^{2}-D\right) y-2\left(D^{2}-D\right) y\\ \Rightarrow x^{3}\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)=\left[D\left(D^{2}-D\right)-2\left(D^{2}-D\right)\right] y\\ =D(D-1)(D-2) y\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \therefore x^{n}\left(\frac{d^{n} y}{d x^{n}}\right)=D(D-1)(D-2) \cdots(D-n+1) y
अतः x^{n}\left(\frac{d^{n}}{d x^{n}}\right)=D(D-1)(D-2) \cdots(D-n+1)
स्पष्टतः दिया हुआ समीकरण निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

[\{D(D-1)(D-2) \cdots(D-n+1)\}+a_{1}\{D(D-1)(D-2) \cdots (D-n+2)\}+\cdots+a_{n}] y=Q\left(e^{z}\right) \\ \Rightarrow f(D) y=Q\left(e^{z}\right)
जो कि अचर गुणांकों वाला उच्चकोटि का रैखिक अवकल समीकरण है।अतः इसे पूर्व में बताई गई विधियों से हल किया जा सकता है।
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2.समघाती रैखिक अवकल समीकरण के साधित उदाहरण (Homogeneous Linear DE Solved Examples):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों का हल ज्ञात कीजिए:

(Solve the following differential equations):
Example:1. x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 x \frac{d y}{d x}+4 y=2 x^{2} 
Solution: x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 x \frac{d y}{d x}+4 y=2 x^{2}

माना कि  z=\log e x \Rightarrow x=e^{z}
अतः दिए हुए समीकरण को निम्नलिखित रूप में रख सकते हैं:

[D(D-1)-3 D+4] y=2 e^{2 z} \\ \left(D^{2}-4 D+4\right) y=2 e^{2 z}
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^{2}-4 m+4=0\\ \Rightarrow(m-2)^{2}=0\\ \Rightarrow m=2,2\\ \text{C.F}=\left(C_{1}+C_{2} z\right) e^{2 z}\\ \Rightarrow \text{C.F} =\left(C_{1}+C_{2} \log _{e} x\right) x^{2}\\ \text{P.I}=\frac{1}{D^{2}-4 D+4}=2 e^{2 z}\\ =2 \frac{1}{(D-2)^{2}} e^{2 z}\\ =2 \cdot \frac{z^{2}}{2 !} e^{2 z}\\ =(\log x)^{2} \cdot x^{2}\\ \Rightarrow \text{P.I}=x^{2}(\log x)^{2}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y =\left(C_{1}+C_{2} \log _{e} x\right) x^{2}+x^{2}\left(\log _{e} x\right)^{2}
Example:2. x^{2} \frac{ d^{2} y}{d x^{2}}-4 x \frac{d y}{d x}+6 y=x
Solution: x^{2} \frac{ d^{2} y}{d x^{2}}-4 x \frac{d y}{d x}+6 y=x

माना कि z=\log _{e} x \Rightarrow x=e^{z}
अतः दिए हुए समीकरण को निम्नलिखित रूप में रख सकते हैं:

[D(D-1)-4 D+6)] y=e^{z} \\ \left(D^{2}-5 D+6\right) y=e^{z}
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^{2}-5 m+6=0 \\ \Rightarrow m^{2}-3 m-2 m+6=0 \\ \Rightarrow m(m-3)-2(m-3)=0 \\ \Rightarrow (m-2)(m-3)=0 \\ \Rightarrow m=2, 3 \\ \text { C.F. }=C_{1} e^{2 z}+C_{2} e^{3 z} \\ \text { C.F. }=\frac{1}{\left(D^{2}-5 D+6\right)} e^{z} \\ =\frac{1}{(1)^{2}-5(1)+6} e^{z} \\ =\frac{1}{2} e^{z} \\ \Rightarrow \text { P.I. }=\frac{1}{2} x
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1} x^{2}+C_{2} x^{3}+\frac{1}{2} x
Example:3. x^{2} \frac{d 2 y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}-4 y=x^{2}
Solution: x^{2} \frac{d 2 y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}-4 y=x^{2}

माना कि z=\log _{e} x=x=e^{z}
अतः दिए हुए समीकरण को निम्नलिखित रूप में रख सकते हैं:

[D(D-1)+D-4] y=e^{2 z} \\ \left(D^{2}-4\right) y=e^{2 z}
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^{2}-4 =0 \Rightarrow m=\pm 2 \\ \text { C.F. } =C_{1} e^{2 z}+C_{2} e^{-2 z} \\ \Rightarrow \text { C.F. } =C_{1} x^{2}+C_{2} \frac{1}{x^{2}} \\ \text { P.I. } =\frac{1}{D^{2}-4} e^{2 z} \\ =\frac{1}{(D-2)(D+2)} e^{2 z} \\ =\frac{1}{(D-2)(D+2)} e^{2 z} \\ =\frac{1}{4} \cdot \frac{z}{1 !} e^{2 z} \\ =\frac{1}{4} z e^{2 z} \\ \Rightarrow \text { P.I. } =\frac{1}{4} x^{2}(\log x)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y =C_{1} x^{2}+C_{2} \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{4} x^{2}(\log x)
Example:4. x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 x \frac{d y}{d x}-20 y=(x+1)^{2}
Solution: x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 x \frac{d y}{d x}-20 y=(x+1)^{2}

माना कि z=\log _{e} x \Rightarrow x=e^{z}
अतः दिए हुए समीकरण को निम्नलिखित रूप में रख सकते हैं:

[D(D-1)+2 D-20] y=x^{2}+2 x+1 \\ \Rightarrow\left(D^{2}+D-20\right) y=e^{2 z}+2 e^{z}+1
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^{2}+m-20=0 \\ \Rightarrow m^{2}+5 m-4 m-20=0 \\ \Rightarrow m(m+5)-4(m+5)=0 \\ \Rightarrow (m-4)(m+5)=0 \\ \Rightarrow m=4,-5 \\ \text{C.F.}= C_{1} e^{4 z}+C_{2} e^{-5 z} \\ \Rightarrow \text{C.F.}=C_{1} x^{4}+C_{2} x^{-5} \\ \text{P.I.}= \frac{1}{\left(D^{2}+D-20\right)}\left(e^{2 z}+2 e^{z}+1\right) \\ =\frac{1}{\left(D^{2}+D-20\right)} e^{2 z}+\frac{1}{\left(D^{2}+D-20\right)} 2e^{z}+\frac{1}{\left(D^{2}+D-20\right)} e^{0 \cdot z} \\ = \frac{e^{2 z}}{2^{2}+2-20}+2e^{z} \frac{1}{\left(1^{2}+1-20\right)}+\frac{1}{\left(0^{2}+0-20\right)}\\ =-\frac{1}{14} e^{2 z}-\frac{2}{18} e^{z}-\frac{1}{20} \\ \Rightarrow \text{P.I.}=-\frac{1}{14} x^{2}-\frac{1}{9} x-\frac{1}{20}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1} x^{4}+C_{2} x^{-5}-\frac{1}{14} x^{2}-\frac{1}{9} x-\frac{1}{20}
Example:5. x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}+y=2 \log x
Solution: x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}+y=2 \log x

माना कि z=\log x \Rightarrow x=e^{z}
अतः दिए हुए समीकरण को निम्नलिखित रूप में रख सकते हैं:

[D(D-1)-D+1] y=2 z \\ \Rightarrow \left(D^{2}-2 D+1\right) y=2 z
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^{2}-2 m+1=0 \Rightarrow(m-1)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=1,1 \\ \text{C.F.} =\left(C_{1}+C_{2} z\right) e^{z} \\ \Rightarrow \text{C.F.} =\left(C_{1}+C_{2} \log x\right) x \\ \text { P.I. } =\frac{1}{D^{2}-2 D+1}(2 z) \\ =2\left(1+D^{2}-2 D\right)^{-1} z \\ =2\left[1-D^{2}+2 D+\left(D^{2}-2 D\right)^{2}-\ldots \right]z \\ =2\left[1+2 D+3 D^{2}+ \ldots\right] z \\ =2(z+2) \\ \Rightarrow \text { P.I. }=2(2+\log x)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

Homogeneous Linear DE

Example:6. x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 x \frac{d y}{d x}=\log x 
Solution: x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 x \frac{d y}{d x}=\log x 

माना कि z=\log _{e} x \Rightarrow x=e^{z}
अतः दिए हुए समीकरण को निम्नलिखित रूप में रख सकते हैं:

[D(D-1)+2 D] y=z \\\Rightarrow\left(D^{2}+D\right) y=z
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^{2}+m=0 \Rightarrow m(m+1)=0\\ \Rightarrow m=0,-1\\ \text{C.F.}=C_{1}+C_{2} e^{-Z}\\ \Rightarrow \text{C.F.}=C_{1}+C_{2} \frac{1}{x}\\ \text{P.I.}=\frac{1}{D^{2}+D} z\\ =\frac{1}{D}(1+D)^{-1} z\\ =\frac{1}{D}\left(1-D+D^{2}-D^{3}+ \ldots\right) z\\ =\left(\frac{1}{D}-1+D-D^{2}+\ldots \right) z \\ =\left(\frac{z^{2}}{2}-z+1\right) \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{2}(\log x)^{2}-\log x+1
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1}+C_{2} \cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{2}(\log x)^{2}-\log x
Example:7. x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+7 x \frac{d y}{d x}+13 y=\log x
Solution: x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+7 x \frac{d y}{d x}+13 y=\log x

माना कि z=\log _{e} x \Rightarrow x=e^{z}
अतः दिए हुए समीकरण को निम्नलिखित रूप में रख सकते हैं:

[D(D-1)+7 D+13] y=z \\ \Rightarrow\left(D^{2}+6 D+13\right) y=z
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^{2} +6 m+13=0 \\ m =\frac{-6 \pm \sqrt{(6)^{2}-4 \times 1 \times 13}}{2 \times 1} \\ =\frac{-6 \pm \sqrt{36-52}}{2} \\ =\frac{-6 \pm 4 i}{2} \\ \Rightarrow m =-3 \pm 2 i \\ \text{C.F.} =x^{-3}\left[C_{1} \cos (2 z)+c_{2} \sin (2 z)\right] \\ \Rightarrow \text{C.F.}=x^{-3}\left[C_{1} \cos (2 \log x)+C_{2} \sin (2 \log x)\right] \\ \text{P.I.} =\frac{1}{D^{2}+6 D+13} z \\ =\frac{1}{13} \frac{1}{\left(1+\frac{D^{2}}{13}+\frac{6 D}{13}\right)} z \\ =\frac{1}{13}\left(1+\frac{D^{2}}{13}+\frac{6 D}{13}\right)^{-1} z \\ =\frac{1}{13}\left[1-\frac{D^{2}}{13}-\frac{6 D}{13}+\left(\frac{D}{13}+\frac{6 D}{13}\right)^{2} \cdots\right] z \\ =\frac{1}{13}\left[1-\frac{6 D}{13}+\frac{23}{13} D^{2}+\cdots\right] z \\ =\frac{1}{13}\left(Z-\frac{6}{13}\right) \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{13}\left(\log x-\frac{6}{13}\right)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y =x^{-3}\left[C_{1} \cos (2 \log x)+C_{2} \sin (2 \log x)\right] +\frac{1}{13}\left(\log x-\frac{6}{13}\right)
Example:8. x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+3 x \frac{d y}{d x}+y=\frac{1}{(1-x)^{2}}
Solution: x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+3 x \frac{d y}{d x}+y=\frac{1}{(1-x)^{2}}

माना कि z=\log_{e} x \Rightarrow x=e^{z}
अतः दिए हुए समीकरण को निम्नलिखित रूप में रख सकते हैं:

[D(D-1)+3 D+1] y=\frac{1}{\left(1-e^{z}\right)^{2}} \\ \Rightarrow\left(D^{2}+2 D+1\right) y=\frac{1}{\left(1-e^{2}\right)^{2}}
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^{2}+2 m+1=0 \Rightarrow(m+1)^{2}=0\\ \Rightarrow m=-1,-1\\ \text{C.F.}=\left(C_{1}+ C_{2}z\right) e^{-z}\\ \Rightarrow \text{C.F.}=\left(C_{1}+C_{2} \log x\right) x^{-1}\\ \text { P.I.} =\frac{1}{\left(D^{2}+2 D+1\right)} \left(\frac{1}{1-e^{z}}\right)^{2}\\ =\frac{1}{(D+1)^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 z}\left(e^{-z}-1\right)^{2}}\\ =\frac{1}{(D+1)^{2}} \cdot \frac{e^{-z}}{e^{z}\left(e^{-z}-1\right)^{2}} \\ =e^{-z} \cdot \frac{1}{(D-1+1)^{2}} \cdot \frac{1}{e^{z}\left(e^{z}-1\right)^{2}} \\ =e^{-z} \frac{1}{D^{2}} \frac{1}{e^{z}\left(e^{-z}-1\right)^{2}} \\ =e^{-z} \frac{1}{D} \cdot\left[\frac{1}{D} \frac{e^{-z}}{\left(e^{z} -1\right)^{2}}\right] \\ =e^{-z} \frac{1}{D}\left[\frac{1}{e^{-z}-1}\right] \\ =e^{-z} \frac{1}{D}\left(\frac{e^{z}}{1-e^{z}}\right) \\ =e^{-z}\left[-\log \left(1-e^{z}\right)\right] \\ \text{P.I.}=x^{-1} \log \left(\frac{1}{1-x}\right)
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=x^{-1}\left(C_{1}+C_{2} \log x\right)+x^{-1} \log \left(\frac{1}{1-x}\right)
Example:9. x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 y=x^{2}+\frac{1}{x}
Solution: x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 y=x^{2}+\frac{1}{x}

माना कि z=\log _{e} x \Rightarrow x=e^{z}
अतः दिए हुए समीकरण को निम्नलिखित रूप में रख सकते हैं:

[D(D-1)-2] y=e^{2 z}+e^{-z} \\ \Rightarrow \left(D^{2}-D-2\right) y=e^{2 z}+e^{-z}
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^{2}-m-2=0 \\  \Rightarrow m^{2}-2 m+m-2=0 \\ \Rightarrow m(m-2)+1(m-2)=0 \\ \Rightarrow (m+1)(m-2)=0, m=2,-1 \\ \text{C.F.}= C_{1} e^{2 z}+C_{2} e^{-z} \\ \Rightarrow \text{C.F.}=C_{1} x^{2}+C_{2} x^{-1} \\ \text{P.I.} =\frac{1}{\left(D^{2}-D-2\right)}\left(e^{2 z}+e^{-z}\right) \\ = \frac{1}{(D+1)(D-2)} e^{2 z}+\frac{1}{(D+1)(D-2)} e^{-z} \\ = \frac{1}{(2+1)} \cdot \frac{1}{(D-2)} e^{2 z}+\frac{1}{(D+1)(-1-2)} e^{-z}\\ = \frac{1}{3} \cdot \frac{z}{1 !} e^{2 z}-\frac{1}{3} \cdot \frac{z}{1 !} e^{-z} \\ \Rightarrow \text{P.I.} =\frac{1}{3} x^{2}(\log x)-\frac{1}{3} x^{-1} \log x
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1} x^{2}+C_{2} x^{-1}+\frac{1}{3}\left(x^{2}-x^{-1}\right) \log x
Example:10. x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 x \frac{d y}{d x}+2 y=\frac{1}{x^{3}}+2 \log x
Solution: x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 x \frac{d y}{d x}+2 y=\frac{1}{x^{3}}+2 \log x

माना कि z=\log x \Rightarrow x=e^{z}
अतः दिए हुए समीकरण को निम्नलिखित रूप में रख सकते हैं:

[D(D-1)+4 D+2] y=e^{-3 z}+2 z \\ \left(D^{2}+3 D+2\right) y=e^{-3 z}+2 z
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^{2}+3 m+2=0 \\ m^{2}+2 m+m+2=0 \\ \Rightarrow m(m+2)+(m+2)=0 \\ \Rightarrow(m+1)(m+2)=0 \\ \Rightarrow m=-1,-2 \\ \text{C.F.}=C_{1} e^{-z}+C_{2} e^{-2 z} \\ \Rightarrow \text{C.F.}=C_{1} x^{-1}+C_{2} x^{-2} \\ \text{P.I.}=\frac{1}{\left(D^{2}+3 D+2\right)}\left(e^{-3 z}+2 z\right)\\ =\frac{1}{D^{2}+3 D+2} e^{-3 z}+\frac{1}{D^{2}+3 D+2} 2 z \\ =\frac{e^{-3 z}}{(-3)^{2}+3 \times -3+2}+\frac{1}{2} \frac{1}{\left(1+\frac{D^{2}}{2}+\frac{3 D}{2}\right)} z\\ =\frac{1}{2} e^{-3 z}+\left(1+\frac{D^{2}}{2}+\frac{3 D}{2}\right)^{-1} z\\ =\frac{1}{2} e^{-3 z}+\left[1-\frac{D^{2}}{2}-\frac{3 D}{2}+\left(\frac{D^{2}}{2}+\frac{3 D}{2}\right)^{2} \ldots\right] z\\ =\frac{1}{2} e^{-3 z}+\left(1-\frac{3 D}{2}+\frac{7 D^{2}}{4}- \cdots\right) z\\ =\frac{1}{2} e^{-3 z}+\left(z-\frac{3}{2}\right)\\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{2} x^{-3}+\log x-\frac{3}{2}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1} x^{-1}+C_{2} x^{-2}+\frac{1}{2} x^{-3}+\log x-\frac{3}{2}
Example:11. \left(x^{3} D^{3}+3 x^{2} D^{2}+x D+1\right) y=x+\log x

Solution: \left(x^{3} D^{3}+3 x^{2} D^{2}+x D+1\right) y=x+\log x

माना कि z=\log x \Rightarrow x=e^{z}
अतः दिए हुए समीकरण को निम्नलिखित रूप में रख सकते हैं:

[D(D-1)(D-2)+3 D(D-1)+D+D]=e^{z}+z \\ \Rightarrow\left(D^{3}+1\right) y=e^{z}+z
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^{3}+1=0 \Rightarrow(m+1)\left(m^{2}-m+1\right)=0\\ \Rightarrow m=-1, \quad m=\frac{1 \pm \sqrt{(-1)^{2}-4 \times 1 \times 1}}{2 \times 1} \\ \Rightarrow m=1, m=\frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} \\ \text{C.F.} =C_{1} e^{-z}+e^{\frac{z}{2}}\left[C_{1} \cos \left(\frac{\sqrt{3} z}{2}\right)+C_{2} \sin \left(\frac{\sqrt{3} z}{2}\right)\right]\\ \Rightarrow \text{C.F.} =C_{1} x^{-1}+\sqrt{x}\left[C_{1} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \log x\right)+C_{2} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \log x\right) \right] \\ \text{P.I.}= \frac{1}{D^{3}+1} \left(e^{z}+z\right) \\ =\frac{1}{D^{3}+1} e^{z}+\frac{1}{D^{3}+1} z \\ =e^{z} \frac{1}{1^{3}+1}+ \left(1+D^{3}\right)^{-1} z \\ =\frac{1}{2} e^{z}+\left(1-D^{3}+\cdots\right) z \\ =\frac{1}{2} x+z \\ \Rightarrow \text{P.I.} =\frac{1}{2} x+\log x
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1} x^{-1}+\sqrt{x}\left[C_{1} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \log x\right)+C_{2} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \log x\right) \right]+\frac{1}{2} x+\log x
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समघाती रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Linear DE),समघाती रैखिक डिफरेंशियल इक्वेशन्स (Homogeneous Lines Differential Equations) को समझ सकते हैं।

3.समघाती रैखिक अवकल समीकरण की समस्याएँ (Homogeneous Linear DE Problems):

Homogeneous Linear DE

निम्नलिखित अवकल समीकरणों का हल ज्ञात कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}-y=x^{m}

(2.) x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 x \frac{d y}{d x}+2 y=x^{-1}

(3.)\left(x^{2} D^{2}+3 x D+1\right) y=(1-x)^{2}
उत्तर (Answers): (1 .) y=C_{1} x+C_{2} x+\frac{x^{m}}{m^{2}-1}

(2.) y=C_{1} x+C_{2} x^{2}+\left(\frac{1}{6}\right) x^{-1}

(3.) y=C_{1} x^{-1}+\left[C_{2} \cos (\log x)+C_{3} \sin (\log x)\right]x+\left(\frac{1}{5}\right) x^{-1} \log x
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समघाती रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Linear DE),समघाती रैखिक डिफरेंशियल इक्वेशन्स (Homogeneous Lines Differential Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समघाती रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Linear DE),समघाती रैखिक डिफरेंशियल इक्वेशन्स (Homogeneous Lines Differential Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

समघाती रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Linear DE) का हल ज्ञात करने की विधि
निम्नलिखित है:हल ज्ञात करने की विधि (Method of Solution):दिए हुए समघाती रैखिक
अवकल समीकरण को हम एक अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण