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Equation Reducible to form of Clairaut

1.क्लैरो के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरण (Equation Reducible to form of Clairaut)-

क्लैरो के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरण (Equation Reducible to form of Clairaut) से तात्पर्य है कि कुछ अवकल समीकरण उचित प्रतिस्थापन (Proper Substitutions) द्वारा क्लैरो के समीकरण में परिवर्तित हो जाते हैं।इसलिए इस आर्टिकल को पढ़ने से पूर्व आपको क्लैरो के समीकरण को पढ़ना व समझना चाहिए।
हमने क्लैरो के समीकरण से सम्बन्धित आर्टिकल पूर्व में पोस्ट किया हुआ है।इसलिए आप उसे सर्च करके पढ़ और समझ सकते हैं।
क्लैरो के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरण के लिए कोई विशेष नियम नहीं है परन्तु
(1.)यदि समीकरण का रूप निम्न है

{ y }^{ 2 }=pxy+\phi \left( p,\frac { y }{ x } \right)
तो { x }^{ 2 }=u तथा अथवा { y }^{ 2 }=v प्रतिस्थापित करने पर यह क्लैरो के समीकरण के रूप में परिवर्तित हो जाता है।
(2.)यदि समीकरण का रूप

{ e }^{ my }(n-mp)=f\left( p{ e }^{ my-nx } \right)
हो तो { e }^{ nx }=u तथा { e }^{ my }=v प्रतिस्थापित करने पर यह क्लैरो के समीकरण के रूप में परिवर्तित हो जाता है।

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2.क्लैरो के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरण के उदाहरण (Equation Reducible to form of Clairaut Examples),क्लैरो के रूप के उदाहरण (Clairaut equation example)-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations:)
Example-1.xy(y-px)=x+py
Solution-xy(y-px)=x+py\\ \Rightarrow x{ y }^{ 2 }-p{ x }^{ 2 }y=x+py\\ put\quad { x }^{ 2 }=u,{ y }^{ 2 }=v
अवकलन करने पर-

2xdx=du,2ydy=dv\\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { x }{ y } \frac { dv }{ du } \qquad \\ \Rightarrow p=\frac { x }{ y } P
दिए हुए समीकरण में p के स्थान पर यह मान रखने पर-

xv-\frac { x }{ y } Puy=x+\frac { x }{ y } Py\\ \Rightarrow xv-xuP=x+xP\\ \Rightarrow v-uP=1+P\\ \Rightarrow v=Pu+1+P
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है अतः इसका व्यापक हल होगा-

\Rightarrow v=cu+1+c\\ \Rightarrow { y }^{ 2 }=c{ x }^{ 2 }+1+c
Example-2.{ e }^{ 4x }(p-1)+{ p }^{ 2 }{ e }^{ 2y }=0
Solution-{ e }^{ 4x }(p-1)+{ p }^{ 2 }{ e }^{ 2y }=0\\ put\quad { e }^{ 2x }=u,{ e }^{ 2y }=v
अवकलन करने पर-

2{ e }^{ 2x }dx=du,2{ e }^{ 2y }dy=dv\\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { { e }^{ 2x } }{ { e }^{ 2y } } \frac { dv }{ du } \\ \Rightarrow p=\frac { u }{ v } P
दिए हुए समीकरण में p के स्थान पर यह मान रखने पर-

{ u }^{ 2 }\left( \frac { u }{ v } P-1 \right) +\frac { { u }^{ 2 } }{ { v }^{ 2 } } { P }^{ 2 }v=0\\ \Rightarrow \frac { { u }^{ 3 } }{ v } P-{ u }^{ 2 }+\frac { { u }^{ 2 }{ P }^{ 2 } }{ v } =0\\ \Rightarrow { u }^{ 3 }P-{ u }^{ 2 }v+{ u }^{ 2 }{ P }^{ 2 }=0\\ \Rightarrow uP-v+{ P }^{ 2 }=0\\ \Rightarrow v=Pu+{ P }^{ 2 }
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है अतः इसका व्यापक हल होगा-

\Rightarrow v=cu+{ c }^{ 2 }\\ \Rightarrow { e }^{ 2y }=c{ e }^{ 2x }+{ c }^{ 2 }

Example-3.{ p }^{ 2 }x(x-2)+p(2y-2xy-x+2)+{ y }^{ 2 }+y=0
Solution-{ p }^{ 2 }x(x-2)+p(2y-2xy-x+2)+{ y }^{ 2 }+y=0\\ p=\frac { \begin{matrix} -(2y-2xy-x+2)\pm \\ \sqrt { { \left( 2y-2xy-x+2 \right) }^{ 2 }-4\times x(x-2)\left( { y }^{ 2 }+y \right) } \end{matrix} }{ 2x(x-2) } \\ \Rightarrow p=\frac { \begin{matrix} 2xy+x-2y-2\pm \\ \surd { \left( 2y+2 \right) }^{ 2 }+{ \left( 2xy+x \right) }^{ 2 }-2\left( 2y+2 \right) \left( 2xy+x \right) \\ -4x\left( x{ y }^{ 2 }+xy-2{ y }^{ 2 }-2y \right) \end{matrix} }{ 2x(x-2) } \\ \Rightarrow p=\frac { \begin{matrix} 2xy+x-2y-2\pm \surd 4{ y }^{ 2 }+4+8y+4{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } \\ +{ x }^{ 2 }+4{ x }^{ 2 }y-2\left( 4x{ y }^{ 2 }+2xy+4xy+2x \right) \\ -4{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-4{ x }^{ 2 }y+8x{ y }^{ 2 }+8xy \end{matrix} }{ 2x(x-2) } \\ \Rightarrow p=\frac { \begin{matrix} 2xy+x-2y-2\pm \surd 4{ y }^{ 2 }+4+8y \\ +4{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }+{ x }^{ 2 }+4{ x }^{ 2 }y-8x{ y }^{ 2 }-4xy-8xy \\ -4x-4{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-4{ x }^{ 2 }y+8x{ y }^{ 2 }+8xy \end{matrix} }{ 2x(x-2) }

\Rightarrow p=\frac { 2xy+x-2y-2\pm \sqrt { 4{ y }^{ 2 }+4+8y+{ x }^{ 2 }-4xy-4x } }{ 2x(x-2) } \\ \Rightarrow p=\frac { 2xy+x-2y-2\pm \sqrt { 4{ y }^{ 2 }-4xy+8y+{ x }^{ 2 }-4x+4 } }{ 2x(x-2) } \\ \Rightarrow p=\frac { 2xy+x-2y-2\pm \sqrt { { \left( 2y \right) }^{ 2 }-4y(x-2)+{ \left( x-2 \right) }^{ 2 } } }{ 2x(x-2) } \\ \Rightarrow p=\frac { 2xy+x-2y-2\pm \sqrt { { \left( 2y-x+2 \right) }^{ 2 } } }{ 2x(x-2) } \\ \Rightarrow p=\frac { 2xy+x-2y-2\pm \left( 2y-x+2 \right) }{ 2x(x-2) }
धनात्मक चिन्ह लेने पर-

\Rightarrow p=\frac { 2xy+x-2y-2+2y-x+2 }{ 2x(x-2) } \\ \Rightarrow p=\frac { 2xy }{ 2x(x-2) } =\frac { y }{ (x-2) } \\ \Rightarrow p(x-2)=y\\ \Rightarrow y=p(x-2)\\ \Rightarrow y=px-2p
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है अतः इसका व्यापक हल होगा-

\Rightarrow y=cx-2c\\ \Rightarrow y-cx+2c=0..........(1)
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर-

p=\frac { 2xy+x-2y-2-2y+x-2 }{ 2x(x-2) } \\ \Rightarrow p=\frac { 2xy+2x-4yx-4 }{ 2x(x-2) } \\ \Rightarrow p=\frac { 2(xy+x-2yx-2) }{ 2x(x-2) } \\ \Rightarrow p=\frac { x(y+1)-2(y+1) }{ x(x-2) } \\ \Rightarrow p=\frac { (x-2)(y+1) }{ x(x-2) } \\ \Rightarrow p=\frac { y+1 }{ x } \\ \Rightarrow px=y+1\\ \Rightarrow y=px-1
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है अतः इसका व्यापक हल होगा-

\Rightarrow y=cx-1\\ \Rightarrow y-cx+1=0........(2)
(1) व (2) से-
(y-cx+2c)(y-cx+1)=0
Example-4.\left( p{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) (px+y)={ \left( p+1 \right) }^{ 2 }
Solution-\left( p{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) (px+y)={ \left( p+1 \right) }^{ 2 }..........(1)\\ put\quad x+y=u,xy=v
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

1+\frac { dy }{ dx } =\frac { du }{ dx } ,y+x\frac { dy }{ dx } =\frac { dv }{ dx } \\ 1+p=\frac { du }{ dx } ,y+xp=\frac { dv }{ dx } \\ \Rightarrow \frac { dv }{ du } =\frac { y+xp }{ 1+p } \\ \Rightarrow P=\frac { y+xp }{ 1+p } ..........(2)\\ p{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=(px+y)(x+y)-xy(p+1)
समीकरण (1) में रखने पर-

[(px+y)(x+y)-xy(p+1)](px+y)={ (p+1) }^{ 2 }\\ [(\frac { px+y }{ p+1 } )(x+y)-xy](\frac { px+y }{ p+1 } )=1
(2) से मान रखने पर-

[Pu-v][P]=1\\ \Rightarrow Pu-v=\frac { 1 }{ P } \\ \Rightarrow v=Pu-\frac { 1 }{ P }
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है अतः इसका व्यापक हल होगा-

\Rightarrow v=cu-\frac { 1 }{ c } \\ \Rightarrow xy=c(x+y)-\frac { 1 }{ c }
Example-5.{ x }^{ 2 }=u तथा { y }^{ 2 }=v प्रतिस्थापित करके समीकरण को हल कीजिए:

axy{ p }^{ 2 }+({ x }^{ 2 }-a{ y }^{ 2 }-b)p-xy=0
(By substituting { x }^{ 2 }=u and { y }^{ 2 }=v,solve the equation:axy{ p }^{ 2 }+({ x }^{ 2 }-a{ y }^{ 2 }-b)p-xy=0)
Solution-axy{ p }^{ 2 }+({ x }^{ 2 }-a{ y }^{ 2 }-b)p-xy=0\\ put\quad { x }^{ 2 }=u,{ y }^{ 2 }=v
अवकलन करने पर-

2xdx=du,2ydy=dv\\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { x }{ y } \frac { dv }{ du } \\ \Rightarrow p=\frac { x }{ y } P
दिए हुए समीकरण में p के स्थान पर यह मान रखने पर-

axy\frac { { x }^{ 2 } }{ { y }^{ 2 } } { P }^{ 2 }+({ x }^{ 2 }-a{ y }^{ 2 }-b)\frac { x }{ y } P-xy=0\\ \Rightarrow \frac { a{ x }^{ 3 } }{ y } { P }^{ 2 }+({ x }^{ 2 }-a{ y }^{ 2 }-b)\frac { x }{ y } P-xy=0\\ \Rightarrow a{ x }^{ 2 }{ P }^{ 2 }+({ x }^{ 2 }-a{ y }^{ 2 }-b)P-{ y }^{ 2 }=0\\ \Rightarrow au{ P }^{ 2 }+(u-av-b)P-v=0\\ \Rightarrow au{ P }^{ 2 }+uP-avP-bP-v=0\\ \Rightarrow avP+v=au{ P }^{ 2 }+uP-bP\\ \Rightarrow v(aP+1)=uP(aP+1)-bP\\ \Rightarrow v=Pu-\frac { bP }{ aP+1 }
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है अतः इसका व्यापक हल होगा-

\Rightarrow v=cu-\frac { bc }{ ac+1 } \\ \Rightarrow { y }^{ 2 }=c{ x }^{ 2 }-\frac { bc }{ ac+1 }
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा क्लैरो के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरण (Equation Reducible to form of Clairaut) को समझ सकते हैं।

3.क्लैरो के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरण की समस्याएं (Equation Reducible to form of Clairaut Problems),क्लैरो के रूप की समस्याएं (Clairaut form problems)-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations:)

(1){ e }^{ 3x }(p-1)+{ p }^{ 3 }{ e }^{ 2 }y=0\\ (2)xy{ p }^{ 2 }-({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1)p+xy=0\\ (3)y=2px+f(x{ p }^{ 2 })\\ (4){ y }^{ 2 }(y-xp)={ x }^{ 4 }{ p }^{ 2 }\\ (5){ x }^{ 4 }{ p }^{ 2 }+yp(2x+y)+{ y }^{ 2 }=0\\ (6)ay{ p }^{ 2 }+(2x-b)p-y=0

Hint:-(1){ e }^{ x }=u,{ e }^{ y }=v\\ (2){ x }^{ 2 }=u,{ y }^{ 2 }=v\\ (3)\sqrt { x } =u,y=v\\ (4)x=\frac { 1 }{ u } ,y=\frac { 1 }{ v } \\ (5)y=u,xy=v\\ (6)2x-b=u,{ y }^{ 2 }=v

Ans:-(1){ e }^{ y }=c{ e }^{ x }+{ c }^{ 3 }\\ (2){ y }^{ 2 }=c{ x }^{ 2 }+\frac { c }{ c-1 } \\ (3)y=2\sqrt { cx } +f(c)\\ (4)x=cy+xy{ c }^{ 2 }\\ (5)xy=cy+{ c }^{ 2 }\\ (6)a{ c }^{ 2 }+(2x-b)c-{ y }^{ 2 }=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर क्लैरो के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरण (Equation Reducible to form of Clairaut) को ओर ठीक से समझा जा सकता है।

4.क्लैरो समीकरण (Clairaut equation),क्लैरो समीकरण लिखो (Write clairaut equation)-

क्लैरो का समीकरण, गणित में, फॉर्म y=x(\frac { dy }{ dx } )+f(\frac { dy }{ dx } ) जहां f(\frac { dy }{ dx } ) का एक अवकल समीकरण केवल \frac { dy }{ dx } का एक फ़ंक्शन है।समीकरण का नाम 18 वीं शताब्दी के फ्रांसीसी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी एलेक्सिस-क्लाउड क्लैरो के लिए रखा गया है, जिन्होंने इसे समर्पित किया था।

5.क्लैरो समीकरण का व्यापक हल कैसे ज्ञात करें? (How to find general solution of clairaut equation)-

y=2(2p+\frac { C }{ { p }^{ 2 } } )p-3{ p }^{ 2 }=4{ p }^{ 2 }+\frac { 2C }{ p } -3{ P }^{ 2 }={ P }^{ 2 }+\frac { 2C }{ p } ।इस प्रकार, पैरामीट्रिक रूप में व्यापक हल समीकरणों की प्रणाली द्वारा परिभाषित किया गया है: x(p)=2p+\frac { C }{ { p }^{ 2 } } ,y(p)={ p }^{ 2 }+\frac { 2C }{ p } इसके अलावा,लग्रांज समीकरण में एक विचित्र हल हो सकता है।

6.क्लैरो समीकरण और विचित्र हल (Clairaut equations and singular solutions)-

क्लैरो समीकरण: y = x p + f (p)। विचित्र हल Σc(F)=Σπ(F) है और विविक्तिकर सेट DF पूर्ण हल y = xc + f (c) का अन्वालोप है।

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