1.अवकल समीकरण का CF और PI (CF and PI of Differential Equation),अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करना (To find out Particular Integral of Differential Equation):

अवकल समीकरण का CF और PI (CF and PI of Differential Equation)ज्ञात करने की कई विधियां हैं। इस समीकरण में विशिष्ट समाकल ज्ञात करने की एक ओर विधि का अध्ययन करेंगे।
\frac{1}{f(D)} e^{a x} v का मान ज्ञात करना जहाँ V,x का फलन है।
( Evaluate \frac{1}{f(D)} e^{a x} v, where V is a function of x)
उत्तरोत्तर अवकलन (Successive Differentiation) से हम देखते हैं कि

D\left(e^{a x} v\right) =e^{a x} D v+a e^{a x} v=e^{a x}(D+a) v \\ D^{2}\left(e^{a x} V\right) =e^{a x} D(D+a) v+a e^{a x}(D+a) v \\ =e^{a x}(D+a)^{2} v \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ D^{n}\left(e^{a x} V\right)=e^{a x}(D+a)^{n} v
अत:व्यापक रूप से:

\frac{1}{f(D)}\left(e^{a x} v\right)=e^{a x} \frac{1}{f(D+a)} v \cdots(2)
इससे हम अर्थ निकाल सकते हैं कि
यह देखने के लिए कि उपर्युक्त परिणाम सत्य है, हम इस पर f(D) की संक्रिया (operate) करते हैं तो दाहिने पक्ष का मान होगा
f(D) \cdot\left[e^{a x}\left\{\frac{1}{f(D+a)}\right\}\right]=e^{a x} f(D+a)\left\{\frac{1}{f(D+a)}\right\} V [(1) की सहायता से]
=e^{a x} V, चूँकि f(D+a) तथा \frac{1}{f(D+a)}  अनुलोम संक्रिया है।यह वही है जो वाम पक्ष पर f(D) से आॅपरेट करने पर प्राप्त होता है।अतः परिणाम (2) सत्य है।
टिप्पणी:इस विधि से [f(D)]^{-1} का मान जब f(A)=0,ज्ञात कर सकते हैं।क्योंकि

\frac{1}{f(D)} e^{a x}=e^{a x} \frac{1}{f(D+a)}
तत्पश्चात [f(D+1)]^{-1} का प्रसार कर 1 पर संक्रिया करके मान ज्ञात किया जा सकता है।

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2.अवकल समीकरण का CF और PI के साधित उदाहरण (CF and PI of Differential Equation Solved Examples):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:

(Solve the following differential equations):
Example:1.\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+y=x^{2} e^{3 x}
Solution:\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+y=x^{2} e^{3 x}
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(D^{2}-2 D+1\right) y=x^{2} e^{3 x}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{2}-2 m+1=0\\ (m-1)^{2}=0\\ \Rightarrow m=1,1

C.F.=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{x}

P.I.=\frac{1}{(D-1)^{2}} x^{2} e^{3 x}\\ =e^{3 x} \frac{1}{(D+3-1)^{2}} x^{2} \\ =e^{3 x} \frac{1}{\left(D+2\right)^{2}}x^{2} \\ =e^{3 x} \frac{1}{4}\left(\frac{D}{2}+1\right)^{-2} x^{2} \\ =e^{3 x}\left(\frac{1}{4}\right)\left[1-2\left(\frac{D}{2}\right)+3\left(\frac{D^{2}}{4}\right)-4\left(\frac{D^{3}}{8}\right)+\cdots\right] x^{2} \\ =\frac{e^{3 x}}{4}\left(x^{2}-2 x+\frac{3}{2}\right) \\ \Rightarrow \text { P.I. }=\frac{1}{8} e^{3 x}\left(2 x^{2}-4 x+3\right)
अत:दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y =(C_{1}+C_{2} x) e^{x}+\frac{1}{8} e^{3 x}\left(2x^{2}-4 x+3\right)
Example:2. \left(D^{2}-4 D+1\right) y=e^{2 x} \sin 2 x
Solution: \left(D^{2}-4 D+1\right) y=e^{2 x} \sin 2 x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{2}-4 m+1=0 \\ \Rightarrow m=\frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2}-4 \times 1 \times 1}}{2} \\ \Rightarrow m=\frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} \\ \Rightarrow m=\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow m= 2 \pm \sqrt{3}

C.F.=e^{2 x} \left(C_{1}e^{\sqrt{3} x}+C_{2} e^{-\sqrt{3} x}\right)

P.I.=\frac{1}{D^{2}-4 D+1} e^{2 x} \cdot \sin 2 x \\ =e^{2 x} \frac{1}{(D+2)^{2}-4(D+2)+1} \sin 2 x \\ =e^{2 x}\frac{1}{D^{2}+4 D+4-4 D-8+1} \sin 2x \\ =e^{2 x} \frac{1}{D^{2}-3} \sin 2 x\\ =e^{2 x} \frac{1}{(2 i)^{2}-3} \sin 2 x\\ =e^{2 x} \frac{1}{4 i^{2}-3} \sin 2x \\ =e^{2x} \frac{1}{-4+3} \sin 2x\\ =\frac{e^{2x}}{(-7)} \sin 2x \\ \Rightarrow P.I.=-\frac{1}{7} e^{2 x} \sin 2 x
अत:दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=e^{2 x}\left(C_{1} e^{\sqrt{3} x}+C_{2} e^{-\sqrt{3} x}\right)-\frac{1}{7} e^{2 x} \sin 2x
Example:3. \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 \frac{d y}{d x}+4 y=e^{x} \cos 2 x
Solution: \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 \frac{d y}{d x}+4 y=e^{x} \cos 2 x
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(D^{2}-4 D+4\right) y=e^{x} \cos 2 x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{2}-4 m+4=0\\ \Rightarrow(m-2)^{2}=0 \Rightarrow m=2,2

C.F.=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{2 x}\\ P.I.=\frac{1}{(D-2)^{2}} e^{x} \cos 2 x\\ =e^{x} \frac{1}{(D+1-2)^{2}} \cos 2 x\\ =e^{x} \frac{1}{(D-1)^{2}} \cos 2 x\\ =e^{x} \frac{1}{D^{2}-2 D+1} \cos 2 x\\ =e^{x} \frac{1}{(2 i)^{2}-2D+1} \cos 2 x \\ =e^{x} \frac{1}{4 i^{2}-2D+1} \cos 2 x \\ =e^{x} \frac{1}{-4-2 D+1} \cos 2 x \\ =-e^{x} \frac{2 D-3}{4 D^{2}-9} \cos 2 x \\ =-e^{x} \frac{(-4 \sin 2 x-3 \cos 2 x)}{4(2 i)^{2}-9} \\ =\frac{e^{x}(4 \sin 2 x+3 \cos 2 x)}{16 i^{2}-9} \\ =\frac{e^{x}(4 \sin 2 x+3 \cos 2 x)}{-16-9} \\ \Rightarrow \text{P.I}=-\frac{1}{25} e^{x}(4 \sin 2 x+3 \cos 2 x)
अत:दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y =(C_{1}+C_{2} x) e^{2 x} \frac{1}{25} e^{x}(4 \sin 2x +3 \cos 2 x)
Example:4. \frac{d^{3} y}{d x^{3}}-7 \frac{d y}{d x}-6 y=e^{2 x}(1+x)
Solution: \frac{d^{3} y}{d x^{3}}-7 \frac{d y}{d x}-6 y=e^{2 x}(1+x)
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(D^{3}-7 D-6\right) y=e^{2 x}(1+x)
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{3}-7 m-6=0 \\ \Rightarrow m^{3}+m^{2}-m^{2}+m-6 m-6=0 \\ \Rightarrow m^{2}(m+1)-m(m+1) -6(m+1)=0 \\ \Rightarrow (m+1)\left(m^{2}-m-6\right)=0 \\ \Rightarrow (m+1)\left[m^{2}-3 m+2 m-6\right]=0 \\ \Rightarrow (m+1)[m(m-3)+2(m-3)]=0 \\ \Rightarrow (m+1)(m+2)(m-3)=0 \\ \Rightarrow m=-1,-2,3

C.F.= C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{-2 x}+C_{3} e^{3 x}

P.I.=\frac{1}{D^{3}-7 D-6} e^{2 x}(1+x) \\ = \frac{1}{D^{3}-7 D-6} e^{2 x}+\frac{1}{D^{3}-7 D-6} e^{2 x} \cdot x \\ =\frac{e^{2 x}}{(2)^{3}-7 \times 2-6}+\frac{e^{2 x}}{(D+2)^{3}-7(D+2)-6} x\\ =\frac{e^{2 x}}{8-14-6}+e^{2 x} \frac{1}{D^{3}+6 D^{2}+12 D+8-7D-14-6} x \\ =-\frac{1}{12} e^{2 x}+e^{2 x} \cdot \frac{1}{D^{3}+6 D^{2}+5D-12} x \\ =-\frac{1}{12} e^{2 x}-\frac{e^{2 x}}{12}\left(1-\frac{D^{3}+6 D^{2}+5D}{12}\right)^{-1} x \\ =-\frac{1}{12} e^{2 x}-\frac{e^{2 x}}{12}\left(1+\frac{D^{3}+6 D^{2}+5 D}{12}- \cdots\right) x \\ =-\frac{1}{12} e^{2 x}-\frac{e^{2 x}}{12}\left(x+\frac{5}{12}\right) \\ P.I.=-\frac{1}{12} e^{2 x}\left(x+\frac{17}{12}\right)
अत:दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{-2 x}+C_{3} e^{3 x}-\frac{1}{12} e^{2 x}\left(x+\frac{17}{12}\right)
Example:5. \left(D^{2}-3 D+2\right) y=x e^{x}
Solution: \left(D^{2}-3 D+2\right) y=x e^{x}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{2}-3 m+2=0 \\ \Rightarrow m^{3}-2 m-m+2=0 \\ \Rightarrow m(m-2)-1(m-2)=0 \\ \Rightarrow (m-1)(m-2)=0 \\ \Rightarrow m=1,2

C.F=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{2 x}

P.I=\frac{1}{D^{2}-3 D+2} x e^{x} \\ =e^{x} \frac{1}{(D+1)^{2}-3(D+1)+2} x \\ =e^{x} \frac{1}{D^{2}+2 D+1-3 D-3+2} x \\ =e^{x} \frac{1}{D^{2}-D} x \\ =e^{x} \frac{1}{D(D-1)} x \\ =e^{x}\left(-\frac{1}{D}\right)(1-D)^{-1} x \\ =e^{x}\left(-\frac{1}{D}\right)\left(1+D+D^{2}+\cdots\right) x \\ =e^{x}\left(-\frac{1}{D}-1-D+\cdots\right) x \\ =e^{x}\left(-\frac{x^{2}}{2}-x-1\right)

P.I.=-\frac{1}{2} e^{x}\left(x^{2}+2 x+2\right)
अत:दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y =C_{1} e^{x}+C_{2} e^{2 x}-\frac{1}{2} x e^{x}(x+2)
Example:6. \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=x e^{2 x}
Solution: \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=x e^{2 x}
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(D^{2}+1\right) y=x e^{2 x}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{2}+1 =0 \\ \Rightarrow m =\pm i

C.F.=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x

P.I.=\frac{1}{D^{2}+1} x e^{2 x} \\ =e^{2 x} \frac{1}{(D+2)^{2}+1} x \\ =e^{2 x} \frac{1}{D^{2}+4 D+4+1} x \\ =e^{2 x} \frac{1}{D^{2}+4 D+5} x \\ =\frac{e^{2 x}}{5}\left(1+\frac{D^{2}+4 D}{5}\right)^{-1} x \\ =\frac{e^{2 x}}{5}\left(1-\frac{D^{2}+4 D}{5}+\left(\frac{D^{2}+4 D}{5}\right)^{2}-\cdots\right) x \\ =\frac{e^{2 x}}{25}\left(x-\frac{4}{5}\right)

P.I.= \frac{e^{2 x}}{25}(5 x-4)
अत:दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x+\frac{1}{25} \cdot e^{2 x}(5 x-4)
Example:7. \left(D^{2}-2 D+5\right) y=e^{2 x} \cos x
Solution: \left(D^{2}-2 D+5\right) y=e^{2 x} \cos x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{2}-2 m+5=0 \\ m=\frac{2 \pm \sqrt{(-2)^{2}-4 \times 1 \times 5}}{2 \times 1} \\ m=\frac{2 \pm \sqrt{4-20}}{2}\\=\frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} \\ \Rightarrow m=\frac{2 \pm 4 i}{2}=1 \pm 2 i

C.F.=e^{x}\left(C_{1} \cos 2 x+C_{2} \sin 2 x\right)

P.I.=\frac{1}{D^{2}-2 D+5} e^{2 x} \cos x \\ = e^{2 x} \cdot \frac{1}{(D+2)^{2}-2(D+2)+5} \cos x \\ = e^{2 x} \cdot \frac{1}{D^{2}+4 D+4-2 D-4+5} \cos x \\ = e^{2 x} \cdot \frac{1}{D^{2}+2 D+5 } \cos x\\ =e^{2 x} \frac{1}{D^{2}+2 D+5} \cos x\\ =e^{2 x} \frac{1}{(i)^{2}+2 D+5} \cos x\\ =e^{2 x} \frac{1}{-1+2 D+5} \cos x \\  =e^{2 x} \frac{2 D-4}{4 D^{2}-16} \cos x\\ =e^{2 x} \frac{-2 \sin x-4 \cos x}{4 i^{2}-16}

P.I.=\frac{e^{2 x}}{20}(2 \sin x+4 \cos x) \\ \Rightarrow P \cdot I=\frac{e^{2 x}}{10}(\sin x+2 \cos x)
अत:दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=e^{x}\left(C_{1} \cos 2 x+C_{2} \sin 2 x\right)+\frac{1}{10} e^{2 x}(\sin x +2 \cos x)

Example:8. \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+5 y=e^{2 x} \sin x
Solution: \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+5 y=e^{2 x} \sin x
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(D^{2}-2 D+5\right) y=e^{2 x} \sin x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{2}-2 m+5 =0 \\ \Rightarrow m=\frac{2 \pm \sqrt{(-2)^{2}-4 \times 1 \times 5}}{2 \times 1} \\ =\frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{2 \pm 4 i}{2} \\ \Rightarrow m =1 \pm 2 i

C.F.=e^{x}(C_{1} \cos 2 x+ C_{2} \sin 2 x)

P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}-2 D+5\right)} e^{2 x} \sin x \\ =e^{2 x} \frac{1}{(D+2)^{2}-2(D+2)+5} \sin x \\ =e^{2 x} \cdot \frac{1}{D^{2}+4 D+4-2 D-4+5} \sin x \\ =e^{2 x} \cdot \frac{1}{D^{2}+2 D+5} \sin x \\ =e^{2 x} \frac{1}{i^{2}+2 D+5} \sin ^{2 x} \\ =e^{2 x} \cdot \frac{1}{D^{3}+4 D+4-2 D-4+5} \sin x \\ =e^{2 x}+\frac{1}{D^{2}+2 D+5} \sin x\\ =e^{2 x} \frac{1}{i^{2}+2 D+5} \sin x\\ =e^{2 x} \frac{1}{-1+2 D+5} \sin x\\ =e^{2 x} \frac{2 D-4}{4 D^{2}-16} \sin x\\ =2 e^{2 x} \frac{(D-2) \sin x}{4 D^{2}-16}\\ =2 e^{2 x} \frac{\cos x-2 \sin x}{4 i^{2}-16} \\ =2 e^{2 x} \frac{\cos x-2 \sin x}{-20}

\Rightarrow P.I=-\frac{1}{10} e^{2 x}(\cos x-2 \sin x)

अत:दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=e^{x}\left(C_{1} \cos 2 x+C_{2} \sin 2 x\right)-\frac{1}{10} e^{2 x}(\cos x-2 \sin x)
Example:9. \frac{d^{3} y}{d x^{3}}-3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+3 \frac{d y}{d x}-y=x e^{x}+e^{x}
Solution:\frac{d^{3} y}{d x^{3}}-3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+3 \frac{d y}{d x}-y=x e^{x}+e^{x}
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(D^{3}-3 D^{2}+3 x-1\right) y=x e^{x}+e^{x}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{3}-3 m^{2}+3 m-1=0 \\ \Rightarrow (m-1)^{3}=0 \\ \Rightarrow m=1,1,1

C.F. =\left(C_{1}+C_{2} x+C_{3} x^{2}\right) e^{x}

P.I. =\frac{1}{(D-1)^{3}}\left(x e^{x}+e^{x}\right) \\ =\frac{1}{(D-1)^{3}} x e^{x}+\frac{1}{(D-1)^{3}} e^{x} \\ =e^{x} \frac{1}{(D+1-1)^{3}} x+\frac{x^{3}}{3 !} e^{x} \\ =e^{x}-\frac{1}{D^{3}} x+\frac{x^{3}}{6} e^{x} \\ =\frac{x^{4} e^{x}}{24}+\frac{x^{3}}{6} e^{x}

\Rightarrow P.I. =e^{x}\left(\frac{x^{4}}{24}+\frac{x^{3}}{6}\right)
अत:दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y =\left(C_{1}+C_{2} x+C_{3} x^{2}\right) e^{x}+e^{x}\left(\frac{1}{24} x^{4}+\frac{1}{6} x^{3}\right) \\ \Rightarrow y =e^{x}\left[C_{1}+C_{2} x+C_{3} x^{2}+\left(\frac{1}{6}\right) x^{3}+\left(\frac{1}{24}\right) x^{4}\right]
Example:10.\left(D^{2}+3 D+2\right) y=\cosh 2 x \cdot \sin x
Solution:\left(D^{2}+3 D+2\right) y=\cosh 2 x \cdot \sin x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{2}+3 m+2=0\\ \Rightarrow m^{2}+2 m+m+2=0\\ \Rightarrow m(m+2)+1(m+2)=0\\ \Rightarrow(m+1)(m+2)=0\\ \Rightarrow m=-1,-2

C.F.=C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{-2 x}

P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}+3 D+2\right)} \cdot \cosh 2 x \sin x

P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}+3 D+2\right)} \cdot \cosh 2 x \sin x \\ =\frac{1}{\left(D^{2}+3 D+2\right)} \left(\frac{e^{2 x}+e^{-2 x}}{2}\right) \sin x\\ =\frac{1}{2\left(D^{2}+3 D+2\right)} e^{2 x \sin x} +\frac{1}{2\left(D^{2}+3 D+2\right)} e^{-2 x} \sin x\\ =\frac{e^{2 x}}{2} \cdot \frac{1}{(D+2)^{2}+3(D+2)+2} \sin x+\frac{e^{-2 x}}{2} \frac{1}{\left[(D-2)^{2}+3(D-2)+2\right]}\sin x\\ =\frac{e^{2 x}}{2} \cdot \frac{1}{D^{2}+7 D+12} \sin x+\frac{e^{-2 x}}{2} \frac{1}{\left(D^{2}-D\right)} \sin x\\ =\frac{e^{2 x}}{2 } \frac{1}{i^{2}+7 D+2} \sin x+\frac{e^{2 x}}{2} \frac{1}{i^{2}-D} \sin x \\ =\frac{e^{2 x}}{2} \frac{(7 D-11)}{49 D^{2}-121} \sin x -\frac{e^{-2 x}}{2} \cdot \frac{D-1}{D^{2}-1} \sin x \\ =\frac{e^{2 x}}{2} \frac{(7 \cos x-11 \sin x)}{49 i^{2}-121}-\frac{e^{-2 x}}{2} \frac{\cos x-\sin x}{i^{2}-1}

P.I.=-\frac{1}{340} e^{2 x}(7 \cos x-11 \sin x)+\frac{1}{4} e^{-2 x}(\cos x-\sin x)
अत:दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{-2 x}-\frac{1}{340} e^{2 x}(7 \cos x-11 \sin x) +\frac{1}{4} e^{-2 x}(\cos x-\sin x)
Example:11. \frac{d^{4} y}{d x^{4}}-y=e^{x} \cos x
Solution:\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-y=e^{x} \cos x
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\left(D^{4}-1\right) y=e^{x} \cos x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{4}-1=0 \\ \Rightarrow(m-1)(m+1)\left(m^{2}+1\right)=0 \\ \Rightarrow m=1,-1, \pm i

C.F.=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{-x}+C_{3} \cos \left(x+C_{4}\right)

P.I.=\frac{1}{\left(D^{4}-1\right)} e^{x} \cdot \cos x \\=e^{x} \cdot \frac{1}{(D+1)^{4}-1} \cos x \\=e^{x} \frac{1}{D^{4}+4 D^{3}+6 D^{2}+4 D+1-1} \cos x \\=e^{x} \frac{1}{\left(i^{2}\right)^{2}+4 \left(i\right)^{2} D+6 i^{2}+4 D} \\ =e^{x} \cdot \frac{1}{1-4D-6+4 D} \cos x

P.I.=-\frac{1}{5} e^{x} \cos x
अत:दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{-x}+C_{3} \cos \left(x+C_{4}\right)-\frac{1}{5} e^{x} \cos x
Example:12.\left(D^{3}-7 D-6\right) y=x^{2} e^{2 x}
Solution: \left(D^{3}-7 D-6\right) y=x^{2} e^{2 x}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{3}-7 m-6=0 \\ \Rightarrow m^{3}+m^{2}-m^{2}-m-6 m-6=0 \\ \Rightarrow m^{2}(m+1)-m(m+1)-6(m+1)=0 \\ \Rightarrow(m+1)\left(m^{2}-m-6\right)=0 \\ \Rightarrow(m+1)\left[m^{2}-3 m+2 m+6\right]=0 \\ \Rightarrow(m+1)[m(m-3)+2(m-6)]=0 \\ \Rightarrow(m+1)(m+2)(m-3)=0 \\ \Rightarrow m=3,-1,-2

C.F.=C_{1} e^{3 x}+C_{2} e^{-x}+C_{3} e^{-2 x}

P.I. =\frac{1}{D^{3}-7 D-6} x^{2} e^{2 x} \\ =e^{2 x} \cdot \frac{1}{(D+2)^{3}-7(D+2)-6} x^{2} \\ =e^{2 x} \frac{1}{D^{3}+6 D^{2}+12 D+8-7 D-14-6} x^{2} \\ =e^{2 x} \frac{1}{D^{3}+6 D^{2}+5 D-12} x^{2} \\ =-\frac{e^{2 x}}{12}\left(1-\frac{D^{3}+6 D^{2}+5 D}{12}\right)^{-1} x^{2} \\ =-\frac{e^{2 x}}{12}\left[1 +\frac{D^{3}+6 D^{2}+5 D}{12}+\left(\frac{D^{3}+6 D^{2}+5 D}{12}\right)^{12}+\cdots\right] x^{2} \\ =\frac{-e^{2 x}}{12}\left[1+\frac{1}{2} D^{2}+\frac{5}{12} D+\frac{25 D^{2}}{144}+\cdots\right] x^{2} \\ =-\frac{e^{2 x}}{12}\left[1+\frac{97}{144} D^{2}+\frac{5}{12} D+ \cdots\right] x^{2} \\ =-\frac{e^{2 x}}{12}\left[x^{2}+\frac{5}{6} x+\frac{97}{12}\right]
अत:दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y =C_{1} e^{3 x}+C_{2} e^{-x}+C_{3} e^{-2 x}-\frac{1}{12} e^{2 x}\left(x^{2}+\frac{5 x}{6}+\frac{97}{12}\right)
Example:13. \left(D^{2}-2 D+4\right) y=e^{x} \cos x - \sin^{2} x
Solution: \left(D^{2}-2 D+4\right) y=e^{x} \cos x+\frac{1}{2} \cos 2 x-\frac{1}{2}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{2}-2 m+4=0 \\ \Rightarrow m =\frac{2 \pm \sqrt{(-2)^{2}-4 \times 1 \times(4)}}{2 \times 1} \\ =\frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} \\ =\frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} \\ =\frac{2 \pm 2 \sqrt{3} i}{2} \\ =\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}i}{2} \\=1 \pm \sqrt{3}i

C.F=e^{x}\left(C_{1} \cos \sqrt{3} x+C_{2} \sin \sqrt{3} x\right)

P.I.=\frac{1}{D^{2}-2 D+4}\left(e^{x} \cos x+\frac{1}{2} \cos 2 x-\frac{1}{2}\right) \\ =\frac{1}{D^{2}-2 D+4} e^{x} \cos x+\frac{1}{2\left(D^{2}-2 D+4\right)} \cos 2 x-\frac{1}{2(D-2 D+4)} e^{0 \cdot x} \\ = e^{x}\frac{1}{(D+1)^{2}-2(D+1)+4} \cos x+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left [ (2 i)^{2}-2 D+4 \right ]} \cos 2x-\frac{1}{2 \times 4} \\ =e^{x} \frac{1}{D^{2}+3} \cos x+\frac{1}{2\left(4 i^{2}-2 D+4\right)} \cos 2 x-\frac{1}{8} \\ =e^{x} \cdot \frac{1}{i^{2}+3} \cos x+\frac{1}{2(-4-2 D+4)} \cos 2x-\frac{1}{8} \\ =\frac{1}{2} e^{x} \cos x-\frac{1}{4D} \cos 2x-\frac{1}{8} \\ =\frac{1}{2} e^{x} \cos x-\frac{1}{8} \sin 2x-2 x-\frac{1}{8}

P.I.=\frac{1}{8}\left(4 e^{x} \cos x- \sin 2 x-1\right)
अत:दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=e^{x}\left(C_{1} \cos \sqrt{3} x+C_{2} \sin \sqrt{3} x\right) +\frac{1}{8}\left(4 e^{x}\cos x-\sin 2 x-1\right)
Example:14. \left(D^{2}-4 D+13\right) y=e^{2 x} \cos 3 x
Solution:\left(D^{2}-4 D+13\right) y=e^{2 x} \cos 3 x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{2}-4 m+13=0 \\ \Rightarrow m=\frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2}-4 \times 1 \times 13}}{2 \times 1} \\ \Rightarrow m=\frac{4 \pm \sqrt{16-52}}{2} \\ \Rightarrow m=\frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} \\ \Rightarrow m=\frac{4 \pm 6 i}{2} \\ \Rightarrow m=2 \pm 3 i

C.F.=e^{2 x}(C_{1} \cos x+C_{2} \sin 3x)

P.I.=\frac{1}{D^{2}-4 D+13} e^{2 x} \cos 3 x \\ =e^{2 x} \cdot \frac{1}{(D+2)^{2}-4(D+2)+3} \cos 3 x \\ =e^{2 x} \cdot \frac{1}{D^{2}+9} \cos 3 x \\ \text { P.I }=\frac{x}{6} e^{2 x} \sin 3 x\left[\frac{1}{D^{2}+a^{2}} \cos 4 x-\frac{x}{2 a} \sin a x\right]
अत:दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=e^{2 x}\left(C_{1} \cos 3 x+C_{2} \sin 3 x\right)+\frac{1}{6} x e^{2 x} \sin 3 x
Example:15. \left(D^{2}+1\right) y=e^{-x}+\cos x+x^{3}+e^{x} \cos x
Solution: \left(D^{2}+1\right) y=e^{-x}+\cos x+x^{3}+e^{x} \cos x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{2}+1=0 \Rightarrow m=\pm i

C.F.=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x

P.I.=\frac{1}{D^{2}+1}\left(e^{-x}+\cos x+x^{3}+e^{x} \cos x\right) \\ =\frac{1}{D^{2}+1} e^{-x}+\frac{1}{D^{2}+1} \cos x+\frac{1}{D^{2}+1} x^{3}+\frac{1}{D^{2}+1} e^{x} \cos x \\ =\frac{1}{2} e^{-x}+\frac{x}{2} \sin x +\left(1+D^{2}\right)^{-1} x^{3}+e^{x} \frac{1}{(D+1)^{2}+1} \cos x\\ =\frac{1}{2} e^{-x}+\frac{1}{2} x \sin x+\left(1-D^{2}+D^{4}-\cdots\right) x^{3}+e^{x} \frac{1}{D^{2}+2D+2} \cos x\\=\frac{1}{2} e^{-x}+\frac{1}{2} x \sin x+x^{3}-6 x+e^{x} \frac{2 D-1}{\left(i^{2}+2 D+2\right)(2D-1)} \cos x\\ \text{P.I.}=\frac{1}{2} e^{-x}+\frac{1}{2} x \sin x+x^{3}-6 x+\frac{1}{5} e^{x}(2 \sin x+\cos x)
अत:दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x+\frac{1}{2} e^{-x}+\frac{1}{2} x \sin x +x^{3}-6 x+\frac{1}{5} e^{x}(2 \sin x+\cos x)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण का CF और PI (CF and PI of Differential Equation),अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करना (To find out Particular Integral of Differential Equation) को समझ सकते है।

3.अवकल समीकरण का CF और PI की समस्याएँ (CF and PI of Differential Equation Problems):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:

(Solve the following differential equations):

(1.) \left(D^{4}+1\right)y=\sinh x+\sin x

(2)\left(D^{2}-1\right) y=\cosh x \cos x+a^{x}
उत्तर (Answers:(1)y=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{-x}+C_{3} \cos x+C_{4} \sin x+\frac{1}{4} x(\cosh x+\cos x)

(2) y=C_{1} e^{x}+C_{2}e^{-x}+\frac{2}{5} \sinh x \sin x-\frac{1}{5} \cosh x \cos x+\frac{a^{x}}{\left\{(\log a)^{2}-1\right\}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण का CF और PI (CF and PI of Differential Equation),अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करना (To find out Particular Integral of Differential Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Singular Solution of Differential Equation

4.अवकल समीकरण का CF और PI (CF and PI of Differential Equation),अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल ज्ञात करना (To find out Particular Integral of Differential Equation) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने प्रश्न:

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CF and PI of Differential Equation

अवकल समीकरण का CF और PI
(CF and PI of Differential Equation)

CF and PI of Differential Equation