1.यथातथ अवकल समीकरण में समानयन (Equations Reducible to an Exact DE),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to an Exact Differential Equation):

Equations Reducible to an Exact DE

यथातथ अवकल समीकरण में समानयन (Equations Reducible to an Exact DE) से तात्पर्य है कि जो समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण नहीं होते उन्हें समाकलन गुणक से गुणा करके यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण बनाया जा सकता है और फिर यथातथ अवकल समीकरण को हल करने की विधि से हल ज्ञात कर लिया जाता है।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Exact Differential Equations in DE

2.यथातथ अवकल समीकरण में समानयन के साधित उदाहरण (Equations Reducible to an Exact DE Solved Examples):

प्रश्नावली I(l)
निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:6. x^2 y^2 d x+\left(x^3 y-2\right) d y=0
Solution: x^2 y^2 d x+\left(x^3 y-2\right) d y=0
यहाँ M=x^2 y^2 तथा N=x^3 y-2 \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2 x^2 y, \frac{\partial N}{\partial x}=3 x^2 y \\ \therefore \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{3 x^2 y-2 x^2 y}{x^2 y^2}=\frac{1}{y}
अतः I.F.=e^{\int \frac{1}{y} d y}=e^{\log y}=y
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए समीकरण को गुणा करने पर:

x^2 y^3 d x+\left(x^3 y^2-2 y\right) d y=0 \ldots(1) \\ M=x^2 y^3, N=x^3 y^2-2 y
अतः \frac{\partial M}{\partial y}=3 x^2 y तथा \frac{\partial N}{\partial x}=3 x^2 y^2 \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।अतः इसका हल प्राप्त करने के लिए

(1.) U(x, y)=\int M d x=\int x^2 y^3 d x=\frac{1}{3} x^3 y^3
(2.) \left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=x^3 y^2
(3.) N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=x^3 y^2-2 y-x^3 y^2=-2 y
(4.) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int(-2 y) d y \\ \Rightarrow V(y)=-y^2
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा:

U(x, y)+V(y)=C_{1} \\ \Rightarrow \frac{1}{3} x^3 y^3-y^2=C_{1} \\ \Rightarrow x^3 \cdot y^3-3 y^2=C \quad[\because C=3 C_{1}]
Example:7. \left(2 x^2 y-3 y^2\right) d x+\left(2 x^3-12 x y+\log y\right) d y=0
Solution: \left(2 x^2 y-3 y^2\right) d x+\left(2 x^3-12 x y+\log y\right) d y=0
यहाँ M=2 x^2 y-3 y^2 तथा N=2 x^3-12 x y+\log y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2 x^2-6 y, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=6 x^2-12 y \\ \therefore \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{6 x^2-12 y-2 x^2+6 y}{2 x^2 y-3 y^2} \\ =\frac{4 x^2-6 y}{2 x^2 y-3 y^2}= \frac{2\left(2 x^2-3 y\right)}{y\left(2 x^2-3 y\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{2}{y}
अतः I.F.=e^{\int \frac{2}{y} d y}=e^{2 \log y}=e^{\log y^2}=y^2
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए समीकरण को गुणा करने पर:

\left(2 x^2 y^3-3 y^4\right) d x+\left(2 x^3 y^2-12 x y^3+y^2 \log y\right) d y=0 \ldots(1) \\ M=2 x^2 y^3-3 y^4, N=2 x^3 y^2-12 x y^3+y^2 \log y
अतः \frac{\partial M}{\partial y}=6 x^2 y^2-12 y^3 तथा \frac{\partial N}{\partial x}=6 x^2 y^2-12 y^3 \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial y}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।अतः इसका हल प्राप्त करने के लिए

(1.) U(x,y)=\int M d x=\int\left(2 x^2 y^3-3 y^4\right) dx \\ \Rightarrow U(x, y)=\frac{2}{3} x^3 y^3-3 x y^4
(2.)\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=2 x^3 y^2-12 x y^3
(3.) N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=2x^3 y^2-12 x y^3+y^2 \log y-2 x^3 y^2+12 xy^3 \\ \Rightarrow N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=y^2 \log y
(4.) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int y^2 \log y d y \\ = \frac{y^3}{3} \log y-\int\left[\frac{d}{d x}(\log y) \int y^2 d y\right] d y \\ =\frac{y^3}{3} \log y-\int \frac{1}{y} \cdot \frac{y^3}{3} d y \\ \Rightarrow V(y)=\frac{y^3}{3} \log y-\frac{1}{9} y^3
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा:

U(x, y)+V(y)=C_{1} \\ \Rightarrow \quad \frac{2}{3} x^3 \cdot y^3-3 x y^4+\frac{y^3}{3} \log y-\frac{1}{9} y^3=C_{1} \\ \Rightarrow 6 x^3 y^3-27 x y^4+3 y^3 \log y-y^3=C_{1}[\because 9 C_{1}=C]
Example:8. \left(y^2 e^x+2 x y\right) d x-x^2 d y=0
Solution: \left(y^2 e^x+2 x y\right) d x-x^2 d y=0
यहाँ M =y^2 e^x+2 x y तथा N=-x^2 \\ \frac{\partial M}{\partial y} =2 y e^x+2 x, \frac{\partial N}{\partial x}=-2 x \\ \therefore \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{-2 x-2 y e^x-2 x}{y^2 e^x+2 x y} \\ =-\frac{2\left(y e^x+2 x\right)}{y\left(y e^x+2 x\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =-\frac{2}{y}
अतः I.F.=\int-\frac{2}{y} d y=e^{-2 \log y}=e^{\log \left(y^{-2}\right)} \\ \Rightarrow I.F.=y^{-2}
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए समीकरण को गुणा करने पर:

\left(e^x+\frac{2 x}{y}\right) d x-\frac{x^2}{y^2} d y \ldots(1) \\ M=e^x+\frac{2 x}{y}, N=-\frac{x^2}{y^2}
अतः \frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{2 x}{y^2} तथा \frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{2 x}{y^2} \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।अतः इसका हल प्राप्त करने के लिए

(1.) U(x, y)=\int M d x=\int\left(e^x+\frac{2 x}{y}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=e^x+\frac{x^2}{y}
(2.) \left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=-\frac{x^2}{y^2}
(3.) N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=-\frac{x^2}{y^2}+\frac{x^2}{y^2}=0
(4.) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ \Rightarrow V(y)=\int 0 d y=0
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा:

Equations Reducible to an Exact DE

Example:9. \left(x^2+y^2+1\right) dx+x(x-2 y) d y=0
Solution: \left(x^2+y^2+1\right) dx+x(x-2 y) dy=0 \\ \left(x^2+y^2+1\right) dx+\left(x^2-2 xy\right) dy =0
यहाँ M=x^2+y^2+1 तथा N=x^2-2 x y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2 y, \frac{\partial N}{\partial x}=2 x-2 y \\ \therefore \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=\frac{2 y-2 x+2 y}{x^2-2 x y} \\ =\frac{-2(x-2 y)}{x(x-2 y)} \\ \Rightarrow \frac{1}{N} \left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)^x=-\frac{2}{x}
अतः I.F.=e^{\int -\frac{2}{x} d x}=e^{-\log x}=e^{\log x^2} \\ \Rightarrow I.F.=\frac{1}{x^2} 
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए समीकरण को गुणा करने पर:

\left(1+\frac{y^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right) d x+\left(1-\frac{2 y}{x}\right) d y=0 \cdots(1) \\ M=1+\frac{y^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}, \quad N=1-\frac{2 y}{x} \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{2 y}{x^2} तथा \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{2 y}{x^2} \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।अतः इसका हल प्राप्त करने के लिए

(1.) U(x, y)=\int \sin x=\int\left(1+\frac{y^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=x-\frac{y^2}{x}-\frac{1}{x}

(2.)\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=-\frac{2 y}{x}
(3.)N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=1-\frac{2 y}{x}+\frac{2 y}{x}=1
(4.) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int 1 d y \\ \Rightarrow V(y)=y
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा:

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow x-\frac{y^2}{x}-\frac{1}{x}+y=c \\ \Rightarrow x^2-y^2-1+x y=c x
प्रश्नावली I(m)
निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:10. x(4 y dx+2x dy)+y^3(3 y d x+5 x d y)=0
Solution: x(4 y dx+2x dy)+y^3(3 y d x+5 x d y)=0
समीकरण को x^h y^k से गुणा करने तथा उसको Mdx+Ndy=0 के रूप में लिखने से:

\Rightarrow \left(4 x^{h+1} y^{k+1}+3 x^h y^{k+4}\right) d x+\left(2 x^{h+2} y^k+5 x^{h+1} y^{k+3}\right) dy=0 \ldots(1)
यहाँ M=4 x^{h+1} y^{k+1}+3 x^h y^{k+4} \\ =0 \\ N=2 x^{h+2} y^k+5 x^{h+1} y^{k+3} \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=4(k+1) x^{h+1} y^k+3(k+4) x^h y^{k+3} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=2(h+2) x^{h+1} y^k+5(h+1) x^h y^{k+3}
यथार्थ समीकरण होने के लिए
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=0 (प्रत्येक x और y के लिए)

\Rightarrow \left[4(k+1) x^{h+1} y^k+3(k+4) x^h y^{k+3}\right]-\left[2(h+2) x^{h+1} y^k+5(h+1) x^h y^{k+3}\right]=0 \\ \Rightarrow (4 k+4-2 h-4) x^{h+1} y^k+(3 k+12-5 h-5)x^h y^{k+3}=0 \\ \Rightarrow(4 k-2 h) x^{h+1} y^k+(3 k-5 h+7) x^h y^{k+3}=0
यह तब ही सम्भव है जबकि
4k-2h=0
तथा 3k-5h+7=0
हल करने पर:h=2,k=1
अब I.F.=x^2 y
अब समीकरण (1) का रूप होगा:

\left(4 x^3 y^2+3 x^2 y^5\right) d x+\left(2 x^4 y+5 x^3 y^4\right) d y=0
यह एक यथार्थ समीकरण है।इसलिए यथार्थ समीकरण की विधि द्वारा समाकलन करने पर:

(1.) U(x, y)=\int M d x=\int\left(4 x^3 y^2+3 x^2 y^5\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=x^4 y^2+x^3 y^5
(2.) \frac{\partial U}{\partial y}=2 x^4 y+5 x^3 y^4
(3.) N-\left(\frac{\partial y}{\partial y}\right)=2 x^{4} y+5 x^3 y^4-2 x^4 y-5 x^3 y^4 \\ \Rightarrow N-\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)=0
(4.) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y =\int 0 d y=0 \\ \Rightarrow V(y)=0
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा:

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow x^4 y^2+x^3 y^5=c
Example:11. x^3 y^3(2 y dx+x d y)-(5 y dx+7 x dy)=0
Solution: x^3 y^3(2 y dx+x d y)-(5 y dx+7 x dy)=0 
समीकरण को x^h y^k समाकलन गुणक (I.F.) से गुणा करने तथा उसको Mdx+Ndy=0 के रूप में लिखने से:

\left(2 x^{h+3} y^{k+4}-5 x^h y^{k+1}\right) d x+\left(x^{h+4} y^{k+3}-x^{h+1}  y^k\right) d y=0 
यहाँ M=2 x^{h+3} y^{k+4}-5 x^h y^{k+1} \\ N=x^{h+4} y^{k+3}-7 x^{h+1} y^k \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=2(k+4) x^{h+3} y^{k+3}-5(k+1) x^h y^k \\ \frac{\partial N}{\partial x}=(h+4) x^{h+3} y^{k+3}-7(h+1) x^h y^k
यथार्थ समीकरण होने के लिए
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=0 (प्रत्येक x और y के लिए)

\Rightarrow\left[2(k+4) x^{h+3} y^{k+3}-5(k+1) x^h y^k\right]-\left[(h+4) x^{h+3} y^{y+3}-7(h+1) x^h y^k\right]=0 \\ \Rightarrow(2 k+8-h-4) x^{h+3} Y^{k+3}-(5 k+5-7 h-7) x^h y^k=0 \\ \Rightarrow(2 k-h+4) x^{h+3} y^{k+3}-(5 k-7 h-2) x^h y^k=0
यह तब ही सम्भव है जबकि
2k-h+4=0
तथा -5k+7h+2=0
हल करने पर: k=-\frac{10}{3}, h=-\frac{8}{3}
अब I.F.=x^{-\frac{8}{3}} y^{-\frac{10}{3}}
अब समीकरण (1) का रूप होगा:

\left(2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}-5 x^{-\frac{8}{3}} y^{-\frac{7}{3}}\right) d x+\left(x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{1}{3}}-7 x^{-\frac{5}{3}} y^{-\frac{10}{3}}\right)dy=0
यह एक यथार्थ समीकरण है।इसलिए यथार्थ समीकरण की विधि द्वारा समाकलन करने पर:

(1) U(x, y)=\int M dx=\int\left(2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}-5^{-\frac{8}{3}} y^{-\frac{7}{3}}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{2}{3}}+3 x^{-\frac{5}{3}} y^{-\frac{7}{3}}
(2.)\frac{\partial U}{\partial y}=x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{1}{3}}-7 x^{-\frac{5}{3}} y^{-\frac{10}{3}}
(3.) N-\left( \frac{\partial U}{\partial y} \right)=x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{1}{3}}-7 x^{-\frac{5}{3}} \cdot y^{-\frac{10}{3}}-x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{1}{3}} +7 x^{-\frac{5}{3}} y^{-\frac{10}{3}} \\ \Rightarrow N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=0
(4.) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int 0 d y \\ \Rightarrow V(y)=0
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा:

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा यथातथ अवकल समीकरण में समानयन (Equations Reducible to an Exact DE),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to an Exact Differential Equation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

3.यथातथ अवकल समीकरण में समानयन पर आधारित सवाल (Questions Based on Equations Reducible to an Exact DE):

Equations Reducible to an Exact DE

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) \left(3 x^2 y^4+2 x y\right) d x+\left(2 x^3 y^3-x^2\right) d y=0
(2.) \left(y^4+2 y\right) d x+\left(x y^3+2 y^4-4 x\right) d y=0
उत्तर (Answers):

(1.) x^3 y^3+x^2=c y
(2.) x y+2 x y^{-2} y^{2}=0

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा यथातथ अवकल समीकरण में समानयन (Equations Reducible to an Exact DE),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to an Exact Differential Equation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Also Read This Article:-Equations Reducible to Exact DE

4.यथातथ अवकल समीकरण में समानयन (Frequently Asked Questions Related to Equations Reducible to an Exact DE),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to an Exact Differential Equation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

यथातथ अवकल समीकरण में समानयन (Equations Reducible to an Exact DE) से तात्पर्य है कि
जो समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण नहीं होते उन्हें समाकलन गुणक से गुणा
करके यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण बनाया जा सकता है