1.अवकल समीकरण का संक्रियात्मक गुणनखण्डों द्वारा हल (Solution by Operational Factors of DE),द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण का संक्रियात्मक गुणनखण्डों द्वारा हल (Solution by Means of Operational Factors of Differential Equation):

Solution by Operational Factors of DE

अवकल समीकरण का संक्रियात्मक गुणनखण्डों द्वारा हल (Solution by Operational Factors of DE) ज्ञात करेंगे।इसमें ध्यान देने योग्य यह है कि अधिकतर में ये गुणनखण्ड क्रमविनिमेय (Commutative) नहीं होते हैं क्योंकि इनमें चर संख्याएँ विद्यमान होती हैं।अतः ये गुणनखण्ड सही क्रम में लिखे जाने चाहिए।
माना कि दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में हैः

P_0 \frac{d^2 y}{d x^2}+P_1 \frac{d y}{d x}+P_2 y=R \cdots(1)
प्रतीकात्मक रूप में उपर्युक्त समीकरण को निम्न प्रकार से लिखा जा सकता हैः
\left(P_{0} D^2+P_1 D+P_2\right) \cdot y=R जहाँ D \equiv \frac{d}{d x} \\ f(D)y=R
अब यदि f(D) को दो गुणनखण्डों f_1(D) तथा f_2(D) में इस प्रकार से वियोजित किया जा सके कि f_1(D), y पर क्रिया करता है तथा f_2(D), इस क्रिया के परिणाम पर क्रिया करता है तब हमें वही परिणाम प्राप्त होता है जो f(D) को y पर क्रिया करने पर प्राप्त होता है तब इस समीकरण को प्रतीकात्मक दृष्टि से हम निम्न प्रकार लिख सकते हैंः

f(D)y=f_2(D)\left\{f_1(D) y\right\} \\ \Rightarrow f(D) y=f_2(D) f_1(D) y
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2.अवकल समीकरण का संक्रियात्मक गुणनखण्डों द्वारा हल के साधित उदाहरण (Solution by Operational Factors of DE Solved Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिएः
(Solve the following differential equations):
Example:1. 3 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(2-6 x^2\right) \frac{d y}{d x}-4 y=0
Solution: 3 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(2-6 x^2\right) \frac{d y}{d x}-4 y=0
दिए हुए समीकरण को संकेतन रूप में निम्न प्रकार से लिखा जा सकता हैः

3 x^2 D^2 y+\left(2-6 x^2\right) D y-4 y=0 \\ \Rightarrow {\left[3 x^2 D^2+\left(2-6 x^2\right) D-4\right] y=0 } \\ \Rightarrow \left[3 x^2 D^2+2 D-6 x^2 D-4\right] y=0 \\ \Rightarrow \left(3 x^2 D^2-6 x^2 D+2 D-4\right) y=0 \\ \Rightarrow {\left[3 x^2 D(D-2)+2(D-2)\right] y=0 } \\ \Rightarrow \left(3 x^2 D+2\right)(D-2) y=0 \cdots(1)
अब माना कि (D+2)y=v  …. (2)

तब (1) सेः

\left(3 x^2 D+2\right) v=0 \\ \Rightarrow 3 x^2 \frac{d v}{d x}+2 v=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{v} \frac{d v}{d x}=-\frac{2}{3 x^2} \\ \Rightarrow \frac{d v}{v}=-\frac{2}{3 x^2} d x
समाकलन करने परः

\Rightarrow \int \frac{d v}{v}=-\frac{2}{3} \int \frac{1}{x^2} d x \\ \Rightarrow \log v=\frac{2}{3 x}+\log c_{1} \\ \Rightarrow \log \left(\frac{v}{c_1}\right)=\frac{2}{3 x} \\ \Rightarrow v=c_1 e^{\frac{2}{3 x}} \cdots(3)
v का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने परः

(D-2)y=c_{1} e^{\frac{2}{3 x}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}-2 y=c_{1} e^{\left(\frac{2}{3 x}\right)} \cdots(4)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,इसका
समाकलन गुणक (I.F.)=\exp \{\int (-2) d x\} \\ =e^{-2 x}
अब समीकरण (4) का हल निम्न हैः

y(I.F.)=\int(I.F.) \quad Q(x) d x+c_2 \\ \Rightarrow y \cdot e^{-2 x}=\int e^{-2 x} c_1 e^{\left(\frac{2}{3 x}\right)} d x+c_2 \\ \Rightarrow y=c_{1} e^{2 x} \int e^{\left(\frac{2}{3 x}-2 x\right)} d x+c_2 e^{2 x}
Example:2. (x+1) \frac{d^2 y}{d x^2}+(x-1) \frac{d y}{d x}-2 y=0
Solution: (x+1) \frac{d^2 y}{d x^2}+(x-1) \frac{d y}{d x}-2 y=0
दिए हुए समीकरण को संकेतन रूप में निम्न प्रकार से लिखा जा सकता हैः

\left[(x+1) D^2+(x-1) D-2\right] y=0 \\ \Rightarrow \left(x D^2+D^2+x D-D-2\right) y=0 \\ \Rightarrow \left(x D^2+x D+D^2-D-2\right) y=0 \\ \Rightarrow \left[x D^2+x D+D^2-2 D+D-2\right) y=0  \\ \Rightarrow [x D(D+1)+D(D-2)+1(D-2)] y=0  \\ \Rightarrow [x D(D+1)+(D+1)(D-2)] y=0  \\ \Rightarrow (x D+D-2)(D+1) y=0 \cdots(1)
अब माना कि (D+1)y=v  …. (2)
अब (1) सेः

(x D+D-2) v=0 \\ \Rightarrow (x+1) \frac{dv}{dx}-2 v=0 \\ \Rightarrow \frac{d v}{2 v}=\frac{d x}{x+1}
समाकलन करने परः

\int \frac{d v}{2 v}=\int \frac{d x}{x+1} \\ \log v=2 \log (x+1)+\log c_{1} \\ \Rightarrow v=c_{1}(x+1)^2 \cdots(3)
v का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने परः

(D+1) y=a(x+1)^2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+y=c_{1}(x+1)^2
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,इसका
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int 1 dx} \\ =e^x
अब समीकरण (4) का हल निम्न हैः

y \cdot e^x=\int e^x \cdot c_{1}(x+1)^2 d x+c_{2} \\ \Rightarrow y \cdot e^x= c_1(x+1)^2 e^x-c_{1}(x+1) e^x-2 c_{1} e^x +c_2 \\ \Rightarrow y e^x=c_{1} \left(x^2+1\right) e^x+c_2 \\ \Rightarrow y=c_1 \left(x^2+1\right)+c_2 e^{-x}
Example:3. x \frac{d^2 y}{d x^2}+(1-x) \frac{d y}{d x}-y=e^x
Solution: x \frac{d^2 y}{d x^2}+(1-x) \frac{d y}{d x}-y=e^x
दिए हुए समीकरण को संकेतन रूप में निम्न प्रकार से लिखा जा सकता हैः

\left[x D^2+(1-x) D-1\right] y=e^x \\ \Rightarrow\left(x D^2+D-x D-1\right) y=e^x \\ \Rightarrow\left(x D^2-x D+D-1\right) y=e^x \\ \Rightarrow [x D(D-1)+1(D-1)] y=e^x \\ \Rightarrow(x D+1)\left(D-1\right) y=e^x \cdots(1)
अब माना कि (D-1)y=v  …. (2)
तब (1) सेः

(x D+1) v =e^x \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}+v =e^x \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}+\frac{v}{x} =\frac{e^x}{x} \quad \cdots(3)
इसका I.F.=e^{\int \frac{1}{x} d x} \\ =e^{\log x} \\ \text { I.F. } =x
अतः समीकरण (3) का हल होगाः

v.x=\int x \cdot \frac{e^x}{x} d x+c_{1} \\ \Rightarrow v x =\int e^x d x+c_{1} \\ \Rightarrow v=\frac{e^x}{x}+c_{1} x^{-1} \quad \cdots(4)
v का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने परः

(D-1) y=\frac{e^x}{x}+c_{1} x^{-1} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}-y=\frac{e^x}{x}+c_{1} x^{-1} \cdots(5)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,इसका
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int-1 d x}=e^{-x}
अब समीकरण (5) का हल निम्न हैः

y \cdot e^{-x}=\int e^{-x}\left(\frac{e^x}{x}+c_{1} x^{-1}\right) d x+c_{2} \\ \Rightarrow y e^{-x}=\int \frac{1}{x} d x+c_{1} \int e^{-x} x^{-1} d x+c_2 \\ \Rightarrow y=e^x \log x+c_1 e^x \int e^{-x} x^{-1} d x+c_2 e^x
Example:4. x \frac{d^2 y}{d x^2}-(x+2) \frac{d y}{d x}+2 y=x^3
Solution: x \frac{d^2 y}{d x^2}-(x+2) \frac{d y}{d x}+2 y=x^3
दिए हुए समीकरण को संकेतन रूप में निम्न प्रकार से लिखा जा सकता हैः

\left[x D^2-(x+2) D+2\right] y=x^3 \\ \Rightarrow\left(x D^2-x D-2 D+2\right) y =x^3 \\ \Rightarrow \left[x D(D-1)-2(D-1) y\right]=x^3 \\ \Rightarrow\left(x D-2\right) (D-1) y=x^3 \ldots(1)
अब माना कि (D-1)y=v  …. (2)
तब (1) सेः

(x(D-2) v =x^3 \\ \Rightarrow x \frac{d x}{d x}-2 v =x^3 \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}-\frac{2}{x} v =x^2 \cdots(3)
इसका I.F.=e^{\int-\frac{2}{x} d x} \\ =e^{-2 \log x} \\ =x^{-2}
अतः समीकरण (3) का हल होगाः

v \cdot x^{-2}=\int x^{-2} x^2 d x+c_{1} \\ \Rightarrow v x^{-2}=\int 1 d x+c_{1} \\ \Rightarrow v x^{-2}=x+c_{1} \\ \Rightarrow v=x^3+c_{1} x^2 \ldots(4)
v का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने परः

(D-1) y=x^3+c_{1} x^2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}-y=x^3+c_{1} x^2 \ldots(5)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,इसका
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int (-1) d x}=e^{-x}
अब समीकरण (5) का हल निम्न हैः

y \cdot e^{-x}=\int e^{-x}\left(x^3+c_{1} x^2\right) d x+5 \\ \Rightarrow y e^{-x}=\int x^3 e^{-x} d x+c_{1} \int e^{-x} x^2 d x+c_{2} \\ =-x^3 e^{-x}+3 \int x^2 e^{-x} d x+c_{1} \int e^{-x} x^2 d x+c_2 \\ =-x^3 e^{-x}+(3+c_{1}) \int x^2 e^{-x} d x+c_2 \\ =-x^3 e^{-x}-(3+c_{1}) x^2 e^{-x}+2(3+c_{1}) \int x e^{-x} dx+c_{2} \\ =-x^3 e^{-x}(3+c_{1}) x^2 e^{-x}-2 x(3+c_{1}) e^{-x}-2(3+c_{1}) e^{-x}+c_{2} \\ \Rightarrow y e^{-x}=-x^3 e^{-x}-(3+c_{1})\left(x^2+2 x+2\right) e^{-x}+c_{2}
जहाँ a=-(3+c_{1}) तथा b=c_{2}
Example:5. x \frac{d^2 y}{d x^2}+(x-2) \frac{d y}{d x}-2 y=x^3
Solution: x \frac{d^2 y}{d x^2}+(x-2) \frac{d y}{d x}-2 y=x^3
दिए हुए समीकरण को संकेतन रूप में निम्न प्रकार से लिखा जा सकता हैः

\left[x D^2+(x-2) D-2\right] y=x^3 \\ \Rightarrow\left(x D^2+x D-2 D-2\right) y=x^3 \\ \Rightarrow[x D(D+1)-2(D+1)] y=x^3 \\ \Rightarrow (x D-2)(D+1) y=x^3 \cdots(1)
अब माना कि (D+1)y=v  …. (2)
तब (1) सेः

(x D-2) v =x^3 \\ \Rightarrow x \frac{d y}{d x}-2 v =x^3 \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}-\frac{2}{x} v =x^2 \ldots(3)
इसका I.F.=e^{\int-\frac{2}{x} d x} \\ =e^{-2 \log x} \\ =x^{-2}
अतः समीकरण (3) का हल होगाः

v \cdot x^{-2}=\int x^{-2} \cdot x^2 d x+c_{1} \\ \Rightarrow v x^{-2}=\int+1 \cdot d x+c_{1} \\ \Rightarrow v=x^3+c_{1} x^2 \cdots(4)
v का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने परः

(D+1) y=x^3+c_{1} x^2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+y=x^3+c_{1} x^2 \cdots(5)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,इसका
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int 1 d x}=e^x
अब समीकरण (5) का हल निम्न हैः

y \cdot e^x=\int e^x\left(x^3+c_{1} x^2\right) d x+c_{2} \\ =\int x^3 e^x d x+c_{1} \int x^2 e^x d x+c_{2} \\ =x^3 e^x-\int 3 x^2 e^x d x+c_{1} \int x^2 e^x d x+c_{2} \\ =x^3 e^x+(c_{1}-3) \int x^2 e^x d x+c_{2} \\ =x^3 e^x+(c_{1}-3) x^2 e^x-2(c_{1}-3) \int x e^x d x+c_{2} \\ =x^3 e^x+(c_{1}-3) x^2 e^x-2(c_{1}-3) x e^x+2(c_{1}-3) e^x+c_{2} \\ =x^3 e^x+(c_{1}-3)\left(x^2-2 x+2\right) e^x+c_{2} \\ \Rightarrow y e^x=x^3 +(c_{1}-3) \left(x^2-2 x+2\right)+e^{-x} c_{2} \\ \Rightarrow y e^x=x^3 +a \left(x^2-2 x+2\right)+b c_{2}
जहाँ a=c_{1}-3 तथा b=c_2

Solution by Operational Factors of DE

Example:6. \frac{x^2 d^2 y}{d x^2}+\frac{d y}{d x}-\left(1+x^2\right) y=e^{-x}
Solution: \frac{x^2 d^2 y}{d x^2}+\frac{d y}{d x}-\left(1+x^2\right) y=e^{-x}
दिए हुए समीकरण को संकेतन रूप में निम्न प्रकार से लिखा जा सकता हैः

\left[x^2 D^2+D-\left(1+x^2\right)\right] y=e^{-x} \\ \Rightarrow \left(x^2 D^2+D-1-x^2\right) y=e^{-x} \\ \Rightarrow \left[\left(x^2 D^2-x^2\right)+(D-1)\right] y=e^{-u} \\ \Rightarrow \left[x^2\left( D^2-1\right)+(D-1)\right] y=e^{-x} \\ \Rightarrow\left[x^2(D+1)(D-1)+1(D-1)\right] y=e^{-x} \\ \Rightarrow \left(x^2 D+x^2+1\right)(D-1) y=e^{-x} \cdots(1)
अब माना कि (D-1)y=v  …. (2)
तब (1) सेः

\left(x^2 D+x^2+1\right) v=e^{-x} \\ x^2 \frac{d v}{d x}+x^2 v+v=e^{-x} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}+\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right) v=\frac{e^{-x}}{x^2} \cdots(3)
इसका I.F.=\int \frac{x^2+1}{x^2} d x \\ =\int(1+\frac{1}{x^{2}}) \\ =e^{\left(x-\frac{1}{x}\right)}
अतः समीकरण (3) का हल होगाः

v \cdot e^{\left(x-\frac{1}{x}\right)}=\int\left(e^{x- \frac{1}{x}}\right) \frac{e^{-x}}{x^{2}} d x+c_{1}\\ \Rightarrow v\left(e^{x-\frac{1}{x}}\right)=\int e^{-\frac{1}{x}} d x+c_{1} \\ \Rightarrow v\left(e^{x-\frac{1}{x}}\right)=e^{-2} e^{-\frac{1}{x}}+c_{1} \\ \Rightarrow v=e^{-x}+c_{1 }\left(e^{\frac{1}{x}-x}\right) \cdots(4)
v का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने परः

(D-1) y=e^{-x}+c_{1} \left(e^{\frac{1}{x}-x}\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}-y=e^{-x}+c_{1} \left(e^{\frac{1}{x}-x}\right) \cdots(5)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,इसका
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int (-1) d x}=e^{-x}
अब समीकरण (5) का हल निम्न हैः

y \cdot e^{-x}=\int e^{-x}\left[e^{-x}+c_{1}\left(e^{\frac{1}{x}-x}-x\right)\right] d x+c_{2} \\ y e^{-x}=\int e^{-2 x} d x+c_{1} \int e^{\left(\frac{1}{x}-2 x\right)} d x+c_{2} \\ \Rightarrow y=\frac{-1}{2} e^{-x}+c_{1} e^x \int e^{(\frac{1}{x}-2 x)} d x+c_{2} e^x
Example:7. (x+3) \frac{d^2 y}{d x^2}-(2 x+7) \frac{d y}{d x}+2 y=(x+3)^{2} e^{x}
Solution: (x+3) \frac{d^2 y}{d x^2}-(2 x+7) \frac{d y}{d x}+2 y=(x+3)^{2} e^{x}
दिए हुए समीकरण को संकेतन रूप में निम्न प्रकार से लिखा जा सकता हैः

\left[(x+3) D^2-(2 x+7) D+2\right] y=(x+3)^2 e^x \\ \Rightarrow \left(x D^2+3 D^2-2 x D-7 D+2\right) y=(x+3)^2 e^x \\ \Rightarrow \left(x D^2-2 x D+3 D^2-7 D+2\right) y=(x+3)^2 e^x \\ \Rightarrow \left[x D(D-2)+3 D^2-6 D-D+2\right] y=(x+3)^2 e^x  \\ \Rightarrow [x D(D-2)+3 D(D-2)-1(D-2)] y=(x+3)^2 e^x \\ \Rightarrow (x D+3 D-1)(D-2) y=(x+3)^2 e^x \cdots(1)
अब माना कि (D-2)y=v  …. (2)
तब (1) सेः

(x D+3 D-1) v=(x+3)^2 e^x \\ \Rightarrow\left(x \frac{d v}{d x}+3 \frac{d v}{d x}-v\right)=(x+3)^2 e^x \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}-\frac{v}{x+3}=(x+3) e^{x} \cdots(3)
इसका I.F.=e^{-\int \frac{1}{x+3} d x} \\ =e^{-\log (x+3)}\\ \Rightarrow \text { I.F. }=\frac{1}{x+3}
अतः समीकरण (3) का हल होगाः

v \cdot \frac{1}{x+3}=\int \frac{1}{x+3}(x+3) e^x d x+c_{1} \\ \Rightarrow v\left(\frac{1}{x+3}\right)=\int e^x d x+c_{1} \\ \Rightarrow v=(x+3) e^x+c_{1}(x+3) \ldots(4)
v का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने परः

(D-2)y\left[(x+3) e^x+c_{1}(x+3)\right] \\ \frac{d y}{d x}-2 y=(x+3) e^x+c_{1}(x+3) \cdots(5)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,इसका
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int(-2) d x}=e^{-2 x}
अब समीकरण (5) का हल निम्न हैः

y \cdot e^{-2 x}=\int e^{-2 x}\left[(x+3) e^x+c_{1}(x+3)\right] d x+c_{1} \\ \Rightarrow y e^{-2 x}=\int(x+3) e^{-x} d x+c_{1} \int(x+3) e^{-2 x} d x+c_{1} \\ \Rightarrow y e^{-2 x}=-(x+3) e^{-x}-e^{-x}-\frac{1}{2} c_{1}(x+3) e^{-2 x}-\frac{1}{4} c_{1} e^{-2 x}+c_{2} \\ \Rightarrow y=a(2 x+7)-(x+4) e^x+b c^{2 x}
जहाँ a=-\frac{1}{4} c_1 तथा b= c_2
Example:8. x \frac{d^2 y}{d x^2}+(1-x) \frac{d y}{d x}-2(1+x) y=e^{-x}(1-6 x)
Solution: x \frac{d^2 y}{d x^2}+(1-x) \frac{d y}{d x}-2(1+x) y=e^{-x}(1-6 x)
दिए हुए समीकरण को संकेतन रूप में निम्न प्रकार से लिखा जा सकता हैः

\left[x D^2+(1-x) D-2(1+x)\right] y=e^{-x}(1-6 x) \\ \Rightarrow \left.\left[x D^2-x D-2 x\right)+D-2\right] y=e^{-x}(1-6 x) \\ \Rightarrow \left[x\left(D^2-D-2\right)+(D-2)\right] y=e^{-x}(1-6 x) \\ \Rightarrow \left[x\left(D^2-2 D+D-2\right)+1(D-2)\right] y=e^{-x}(1-6 x) \\ \Rightarrow [x\{D(D-2)+1(D-2)\}+1(D-2)] y=e^{-x}(1-6 x) \\ \Rightarrow [x(D+1)(D-2)+1(D-2)] y=e^{-x}(1-6 x) \\ \Rightarrow (x D+x+1)(D-2) y=e^{-x}(1-6 x) \ldots(1)
अब माना कि (D-2)y=v  …. (2)
तब (1) सेः

(x D+x+1) v=e^{-x}(1-6 x) \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}+(x+1) v=e^{-x}(1-6 x) \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}+\left(\frac{x+1}{x}\right) v =e^{-x}\left(\frac{1-6 x}{x}\right) \cdots(3)
इसका I.F.=e^{\int \left(\frac{x+1}{x}\right) d x }=e^{(1+\frac{1}{x}) d x} \\ =e^{x+1 \log x}=x e^x
अतः समीकरण (3) का हल होगाः

v \cdot x e^x=\int x e^x \cdot e^{-x}\left(\frac{1-6 x}{x}\right) d x+c_{1} \\ \Rightarrow v \cdot x e^x=\int(1-6 x) d x+c_{1} \\ \Rightarrow v \cdot x e^x=x-3 x^2+c_{1} \\ \Rightarrow v=e^{-x}-3 x e^{-x}+\frac{c_{1} e^{-x}}{x} \cdots(4)
v का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने परः

(D-2) y=e^{-x}-3 x e^{-x}+\frac{c_{1} e^{-x}}{x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}-2 y =e^{-x}-3 x e^{-x}+\frac{c_{1} e^{-x}}{x} \cdots(5)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,इसका
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{(-2) d x}=e^{-2 x}
अब समीकरण (5) का हल निम्न हैः

y \cdot e^{-2 x} =\int e^{-2 x}\left(e^{-x}-3 x e^{-x}+\frac{c_{1} e^{-x}}{x}\right) d x+c_{2} \\ =\int\left(e^{-3 x}-3 x e^{-3 x}+\frac{c_{1}}{x} e^{-3 x}\right) d x+c_2 \\ =-\frac{e^{-3 x}}{3}+x e^{-3 x}+\frac{e^{-3 x}}{3}+c_{1} \int \frac{e^{-3 x}}{x} d x+c_{2} \\ \Rightarrow y =x e^{-x}+c_{1} e^{2 x} \int \frac{e^3}{x} d x+c_{2} e^{-x}
Example:9. \frac{d^2 y}{d x^2}+(2 x-3) \frac{d y}{d x}-6 x y=e^{-x^2}
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+(2 x-3) \frac{d y}{d x}-6 x y=e^{-x^2}
दिए हुए समीकरण को संकेतन रूप में निम्न प्रकार से लिखा जा सकता हैः

\left[D^2+(2 x-3) D-6 x\right] y=e^{-x^2} \\ \Rightarrow \left(D^2+2 x D-3 D-6 x\right) y=e^{-x^2} \\ \Rightarrow \left(2 x D-6 x+D^2-3 D\right) y=e^{-x^2} \\ \Rightarrow [2 x(D-3)+D(D-3)] y=e^{-x^2} \\ \Rightarrow (2 x+D)(D-3) y=e^{-x^2} \ldots(1)
अब माना कि (D-3)y=v  …. (2)
तब (1) सेः

(2 x+D) v=e^{-x^2} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}+2 x v=e^{-x^2} \cdots(3)
इसका I.F.=e^{\int 2 x d x}=e^{x^2}
अतः समीकरण (3) का हल होगाः

v \cdot e^{x^2}=\int e^{x^2} \cdot e^{-x^2} d x+c_{1} \\ \Rightarrow v e^{x^2}=\int 1 \cdot d x+c_{1} \\ \Rightarrow v e^{x^2}=x+c_{1} \\ \Rightarrow v=x e^{-x^2}+c_{1} e^{-x^2} \cdots(4)
v का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने परः

(D-3) y=x e^{-x^2}+c_{1} e^{-x^2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}-3 y=x e^{-x^2}+c_{1} e^{-x^2} \cdots(5)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,इसका
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int(-3) d x}=e^{-3 x}
अब समीकरण (5) का हल निम्न हैः

y \cdot e^{-3 x} =\int e^{-3 x}\left(x e^{-x^2}+c_{1} e^{-x^2}\right) d x+c_{2} \\ =-\frac{1}{2} \int(-2 x-3) e^{-3 x-x^2}+(c_{1}-\frac{3}{2}) \int e^{-3 x-x^2} d x+c_{2} \\ =-\frac{1}{2} e^{-3 x-x^2}+a \int e^{-3 x-x^2} d x+c_2 \\ \Rightarrow y= a e^{3 x} \int e^{-\left(3 x+x^2\right)} d x-\frac{1}{2} e^{-x^2} +b e^{3 x}
जहाँ a= c_{1}-\frac{3}{2} तथा b=c_2
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण का संक्रियात्मक गुणनखण्डों द्वारा हल (Solution by Operational Factors of DE),द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण का संक्रियात्मक गुणनखण्डों द्वारा हल (Solution by Means of Operational Factors of Differential Equation) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण का संक्रियात्मक गुणनखण्डों द्वारा हल के सवाल (Solution by Operational Factors of DE Questions):

Solution by Operational Factors of DE

हल कीजिए (Solve):

(1.) 3 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(2-6 x^2\right) \frac{d y}{d x}-4 y=0
(2.) x \frac{d^2 y}{d x^2}+(x-1) \frac{d y}{d x}-y=x^2
उत्तर (Answers): (1 .) y=\frac{a}{3} e^{\left(\frac{2}{3} x\right )} \int x^{-2} e^{\left\{2 x-\left(\frac{2}{3} x\right)\right\}} dx+c_2 e^{\left(\frac{2}{3} x\right )}
(2.)y=x^2+a(x-1)+b e^{-x} \text { जहाँ } a=\left(c_1-2\right), b=c_2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण का संक्रियात्मक गुणनखण्डों द्वारा हल (Solution by Operational Factors of DE),द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण का संक्रियात्मक गुणनखण्डों द्वारा हल (Solution by Means of Operational Factors of Differential Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकल समीकरण का संक्रियात्मक गुणनखण्डों द्वारा हल (Frequently Asked Questions Related to Solution by Operational Factors of DE),द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण का संक्रियात्मक गुणनखण्डों द्वारा हल (Solution by Means of Operational Factors of Differential Equation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

अवकल समीकरण का संक्रियात्मक गुणनखण्डों द्वारा हल (Solution by Operational Factors
of DE) ज्ञात करेंगे।इसमें ध्यान देने योग्य यह है कि अधिकतर में ये गुणनखण्ड क्रमविनिमेय
(Commutative) नहीं होते हैं